geometria gabarito

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PRÉ-VESTIBULAR
LIVRO DO PROFESSOR
MATEMÁTICA
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© 2006-2009 – IESDE Brasil S.A. É proibida a reprodução, mesmo parcial, por qualquer processo, sem autorização por escrito dos autores e do 
detentor dos direitos autorais.
Produção Projeto e Desenvolvimento Pedagógico
Disciplinas Autores 
Língua Portuguesa Francis Madeira da S. Sales
 Márcio F. Santiago Calixto
 Rita de Fátima Bezerra
Literatura Fábio D’Ávila 
 Danton Pedro dos Santos
Matemática Feres Fares
 Haroldo Costa Silva Filho
 Jayme Andrade Neto
 Renato Caldas Madeira
 Rodrigo Piracicaba Costa
Física Cleber Ribeiro
 Marco Antonio Noronha
 Vitor M. Saquette
Química Edson Costa P. da Cruz
 Fernanda Barbosa
Biologia Fernando Pimentel
 Hélio Apostolo
 Rogério Fernandes
História Jefferson dos Santos da Silva 
 Marcelo Piccinini 
 Rafael F. de Menezes
 Rogério de Sousa Gonçalves
 Vanessa Silva
Geografia	 	 	 Duarte	A.	R.	Vieira
 Enilson F. Venâncio
 Felipe Silveira de Souza 
 Fernando Mousquer
I229 IESDE Brasil S.A. / Pré-vestibular / IESDE Brasil S.A. — 
Curitiba : IESDE Brasil S.A., 2009. [Livro do Professor]
660 p.
ISBN: 978-85-387-0571-0
1. Pré-vestibular. 2. Educação. 3. Estudo e Ensino. I. Título.
CDD 370.71
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A
T
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O curso de geometria plana começa com três 
conceitos primitivos (conceitos sem definição): ponto, 
reta e plano, que nos leva a uma melhor compreen-
são no estudo dos ângulos e têm grande utilidade 
no dia-a-dia. 
Ponto, reta e plano
A
S
(α)
PONTO RETA PLANO
Numa reta há infinitos pontos. Num plano, 
há infinitas retas e, consequentemente, infinitos 
pontos.
Semirreta
Se tomarmos um ponto O de uma reta r, forma-
remos duas semirretas, com origem no ponto O.
O
r
Segmento de reta
Se tomarmos dois pontos distintos A e B de uma 
reta r, o pedaço da reta que vai de um ponto ao outro 
é chamado de segmento de reta AB.
A B
Ângulos
Se traçarmos duas semirretas de mesma origem, 
as regiões formadas no plano que as contém serão 
chamadas de ângulos.
0
Tipos de ângulos
Agudo
É todo ângulo α, tal que 0° < α < 90°.
0 α
Reto
É todo ângulo α, tal que α = 90°.
Símbolo
Ângulos e 
polígonos
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Muitas vezes o desenho induz ao erro, pois o 
ângulo só será considerado reto se tiver o símbolo 
ou vier escrito.
Obtuso
É todo ângulo α, tal que 90°< α < 180°.
α
0
Raso
É todo ângulo α, tal que α = 180°. 
α
0
Reentrantes
É todo ângulo α, tal que 180° < α < 360°.
α
0
Comparação de dois ou mais 
ângulos 
Consecutivos
Possuem o mesmo vértice e um lado em comum.
A
B
C
AÔB e AÔC
O
Adjacentes
Possuem o mesmo vértice e um lado comum 
entre eles.
A
B
C
AÔB e BÔC
O
Todo ângulo adjacente é consecutivo, mas nem 
todo ângulo consecutivo é adjacente.
Complementares
São dois ângulos cuja soma é igual a 90°.
α + β = 90°A
B
C
α
0
β
α é o complemento de β
ou
β é o complemento de α
Suplementares
São dois ângulos cuja soma é igual a 180°.
α
0
β
α + β = 180°
α é o suplemento de β
ou
β é o suplemento de α
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Replementares
São dois ângulos cuja soma é igual a 360°.
α
0
β
α + β = 360°
B
A
α é o replemento de β
ou
β é o replemento de α
Opostos pelo vértice
São dois ângulos de mesma medida, tais que os 
lados de um são as respectivas semirretas opostas 
aos lados do outro.
α β α = β 
Bissetriz de um ângulo
É a semirreta de origem no vértice que divide o 
ângulo em duas partes com a mesma medida.
OR é bissetriz de AÔB
α
α
A
R
BO
Retas paralelas cortadas 
por uma transversal
a b
d c
e f
gh
(r//s)
t
r
s
Alternos
Internos: c – e; d – f
Externos: a – g; b – h
Todos os ângulos alternos são congruentes. 
Colaterais
Internos: c – f; d – e
Externos: a – h; b – g
Todos os ângulos colaterais são suplementares.
Correspondentes
São os ângulos que se superpõem quando 
deslocamos a reta s para cima da reta r, logo, são 
congruentes.
a – e; b – f; d – h; c – g
u
s
β
θ
α
α
t
r
θ
α + β + θ = 180º. A soma dos ângulos externos 
de qualquer triângulo vale 180º.
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Polígonos
As figuras poligonais geralmente são usadas 
para delimitar uma região em destaque, assim poden-
do calcular a área de seu interior de acordo com seus 
ângulos internos. Muito utilizado na idade média 
quando as igrejas eram construídas com mosaicos 
e vitrais em suas decorações interiores, atualmente 
vemos duas dessas formas poligonais (pentágono e 
hexágono) nos gomos da bola de futebol.
O polígono é a união de n segmentos de retas 
consecutivas (n > 3).
V1
V3
V2
V4
V5
Vn
V1∪V2∪V2V3∪V3V4∪...∪Vn∪V1
Classificação
Convexo
É o polígono no qual quaisquer pontos interiores 
unidos formam um segmento de reta completamente 
contido no polígono.
D C
 BA 
E
Côncavo
É o polígono no qual existem pontos interiores 
que, unidos, formam um segmento de reta que não 
está completamente contido no polígono.
C D
B
A 
EF 
Equilátero
É todo polígono que tem lados congruentes.
 D 
C
B
A 
 C D
 BA 
Losango Quadrado
Equiângulo
É todo polígono que tem ângulos congruentes.
D C
BA 
 D C
BA 
QuadradoRetângulo
Regular
É todo polígono equilátero e equiângulo.
C D
BA 
 D C
 B
A 
E
D 
C
BA 
F 
E
Quadrado Pentágono 
regular
Hexágono 
regular
Gênero
É todo número de lados (ou vértices) de um 
polígono.
3 lados – triângulo •
4 lados – quadrado •
5 lados – pentágono •
6 lados – hexágono •
7 lados – heptágono •
8 lados – octógono •
9 lados – eneágono •
10 lados – decágono •
11 lados – undecágono •
12 lados – dodecágono •
20 lados – icoságono •
Para os demais dizemos polígonos de n lados. •
Número de diagonais
Diagonal
É o segmento de reta que une dois vértices não 
adjacentes.
(n lados)
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Diagonais de cada vértice
Como podemos observar, de cada vértice sai 
(n – 3) diagonais, pois não pode sair diagonal para os 
vértices adjacentes e nem para o próprio vértice.
Logo, se o polígono tem n lados ele terá n vér-
tices, o que nos leva a pensar errado que o número 
de diagonais é igual a n (n – 3). 
Total de diagonais
Como podemos observar, cada diagonal é con-
tada duas vezes, então a relação correta do número 
de diagonais é: 
n(n 3)
2
−
Pentágono
n(n 3)
nd
2
−
=
5(5 3)
nd 5
2
−
= =
Somente em polígonos regulares de gênero par 
podemos afirmar que o número de diagonais que 
passam pelo centro é igual à metade do número 
de lados n
2
.
Ângulos internos (ai) e 
ângulos externos (ae)
Em cada vértice temos um ângulo interno e um 
ângulo externo adjacente.
 An
 A1 ae1
ai1 ai2
ae2
A3
A4
 A2
Soma dos ângulos internos 
(Sai)
ai ≠ ae = 180º
V1
V3V2
V4
V5
Vn
n lados
Como podemos observar, temos n lados nos 
dando n triângulos, assim concluímos que a soma 
dos ângulos internos será:
Sai = 180° (n – 2)
Soma dos ângulos externos 
(Sae)
Consideremos, como exemplo,o polígono da 
figura a seguir:
Tracemos, pelo ponto p, paralelas aos lados do 
polígono. Os ângulos formados em torno do ponto 
p são congruentes, respectivamente, aos ângulos 
externos do polígono.
Logo, é fácil concluir que:
ae1 + ae2 + ae3 +ae4 +ae5 = 360°
ae1
ae2ae3
ae5ae4
ae3
ae2
ae1
ae4
ae5
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A soma dos ângulos externos de um polígono 
convexo é dada por:
Sae = 360°
Para todo polígono regular podemos afirmar 
que:
Ângulo interno = 
soma dos ângulos internos
o número de ângulos internos
a
n
ni
=
° −180 2( )
Ângulo externo = 
soma dos ângulos externos
o número de ângulos externos
a
ne
=
°360
Quadriláteros
É a figura plana determinada por quatro seg-
mentos de reta consecutivos (polígono de quatro 
lados). 
A
B C
D
x
A
B
D
C z
^
^
^
^
w
y
 , B̂ , Ĉ e D̂ são ângulos internos.
x, y, z, w são ângulos externos.
 + B̂ + Ĉ + D̂ = 360°
x + y + z + w = 360°
AC e BD são diagonais. 
Classificação
Paralelogramo 
É todo quadrilátero que possui os lados opostos 
paralelos.
A B
CD
AB // CD e AD // BC
Propriedades `
Os lados e os ângulos opostos são congruentes, as 
diagonais cortam-se mutuamente ao meio e os ângulos 
consecutivos são suplementares.
O paralelogramo, de acordo com sua forma, cria algumas 
propriedades, formando, assim, retângulos, losangos e 
quadrados.
Retângulo 
É todo paralelogramo que possui os quatro 
ângulos congruentes.
A B
CD
O
•
Propriedades `
As diagonais são congruentes e cortam-se ao meio.
Losango 
É todo paralelogramo que possui os quatro lados 
congruentes.
B
A
C
D O•
Propriedades `
As diagonais são perpendiculares entre si bissetrizes dos 
ângulos internos e se cortam ao meio.
Quadrado 
É todo paralelogramo que possui os quatro lados 
e os quatro ângulos congruentes.
A B
C D
O
•
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Propriedades `
As diagonais são congruentes, perpendiculares entre si, 
bissetrizes dos ângulos internos e se cortam ao meio.
É interessante observarmos que, ao destacar-
mos uma das partes do retângulo dividido por sua 
diagonal, teremos um triângulo retângulo e deste 
tiramos algumas propriedades:
A B
C D
x O x
x x
x
O
xx
A
C D
A mediana relativa à hipotenusa de um triân-
gulo mede a metade da hipotenusa.
Por consequência, teremos dois triângulos 
isósceles, AOC e COD.
Trapézio
É todo quadrilátero que possui somente um par 
de lados paralelos, chamados bases.
A B
CD
AB // CD
O trapézio, de acordo com sua forma, é subdivi-
dido em três: escaleno, isósceles e retângulo.
Escaleno 
Os lados não-paralelos não são congruentes.
A B
CD
AD ≠ BC
Isósceles 
Os lados não-paralelos são congruentes.
A B
C
D
AD // BC
AC // BD
Os ângulos pertencentes à mesma base são 
congruentes.
Retângulo 
Um dos lados não-paralelos é perpendicular às 
bases (possui dois ângulos retos).
A B
CD
AD // AB
AD // CD
O trapézio retângulo é também escaleno.
Base média e mediana de 
Euler 
Agora vamos estudar como se calcula a base 
média e a mediana de Euler do trapézio, para isso 
temos:
Base média do triângulo
A
B C
NM
MN // BC
MN = BC
2
M e N são pontos médios de AB e AC respec-
tivamente.
MN é a base média do triângulo.
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Base média do trapézio
NM
D
A B
C
MN // AB
MN // CD
MN = AB + CD
2
M e N são pontos médios de AD e BC respec-
tivamente.
MN é a base média do trapézio.
Mediana de Euler
D
A B
C
P Q
M N
PQ // AB
PQ // CD
PQ = CD – AB
2
M e N são pontos médios de AD e BC respec-
tivamente.
MN é a base média do trapézio.
PQ é a mediana de Euler.
Trapezoide
É todo quadrilátero que não possui lados pa-
ralelos.
D C
A
B
Polígonos inscritos
Como já foi estudado anteriormente, um po-
lígono convexo é regular se seus lados e ângulos 
são congruentes. 
A grande importância dos polígonos regulares 
na geometria plana é tirada pela inscrição e circuns-
crição das figuras.
Vamos estudar os três principais polígonos re-
gulares: triângulo equilátero, quadrado e hexágono 
regular, calculando os lados e os apótemas em função 
dos raios das circunferências inscritas e circunscritas 
(os apótemas são as distâncias do centro da circun-
ferência aos pontos médios dos lados). 
Triângulo equilátero
a = R
2
=R 3
Demonstração: `
2a = R a= R
2
hTE= 
3
2
3a= 32
2
3R = 32 = 
3R
3
 = R 3
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Quadrado
a= 2
2
R
 =R 2
Demonstração: `
d= 2
2a=
2R= 2
2a=R 2
2
2R
 =
a=
2
R 2
=R 2
Hexágono regular
a= 3R2
 = R
Demonstração: `
=
=

TE
3
h
2
R 3
a
2
Polígonos circunscritos
Triângulo equilátero
a = R
=2 3 R
Demonstração: `
a=R
 
a = R
=2R
=
=


TE
3
h
2
3
3a
2
=
=


3
3R
2
6R
3
= 2 3R
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Quadrado
 
a = R
 = 2a
 = 2R
Demonstração: `
Hexágono regular
=
=
a R
2R 3
3
Demonstração: `
a=R
=
=


TE
3
h
2
3
a
2
=
=


3
R
2
2R
3
=
2R 3
3
Um ângulo é igual a 1. 5
4
 do seu suplemento. Calcule o 
replemento do dobro desse ângulo.
Solução: `
= ° −
° −
=
= ° −
5
x (180 x )
4
900 5 x
x
4
4x 900 5 x
= °
= °
9x 900
x 100
° − =
° − = °
Log o :
( 360 2 x ) ?
360 2.100 160
Determine o menor ângulo formado pelas bissetrizes de 2. 
dois ângulos adjacentes e suplementares.
 β/2 α/2
α/2
 β/2
β
α
r
B
s
CA
O
Solução `
α +β = °
α β
= +
α +β °
= = = °
180
RÔS
2 2
180
RÔS 90
2 2
Na figura, calcule α se r//s.3. 
160º
2α
r
 30°
40°
s
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20°
10°
160°
160°
10°
 30°
 30°
 30°
2α = 20°+ 10°
2α = 30°
α = 15°
Um raio de luz é refletido por três espelhos planos, 4. 
dois dos quais são paralelos, como mostra a figura. 
Lembrando que o raio de luz é refletido por um espelho 
segundo o seu ângulo de incidência, ou seja, o ângulo 
de reflexão é igual ao ângulo de incidência, o valor do 
ângulo α é, em graus:
45°
110°
α
90ºa) 
85ºb) 
80ºc) 
75ºd) 
65ºe) 
Solução: ` B
110°
70°
25°
25°
45° 45°
45° 45°α
αα + 70° + 25 = 180°
α = 85°
Determine o polígono convexo, cujo número de diago-5. 
nais é o triplo do número de lados.
Solução: `
=
−
=
−
=
nd 3n
n( n 3 )
nd
2
n( n 3 )
3n
2
2
2
6n n 3n
n 9n 0
n 9 eneágono
= −
− =
= →
Em um polígono regular, o ângulo interno é o quádruplo 6. 
do ângulo externo. Calcule a soma dos ângulos internos 
desse polígono.
Solução: `
=
+ = °
+ = °
= °
= °
i e
i e
e e
e
e
a 4a
a a 180
4a a 180
5a 180
a 36
°
= °
°
=
°
=
360
36
n
360
n
36
n 10
ai
ai
ai
ai
S 180 ( n 2 )
S 180 (10 2 )
S 180 .8
S 1 440
= ° −
= ° −
= °
= °
Determine o número de diagonais que não passam 7. 
pelo centro de um polígono regular cujo ângulo externo 
vale 45°.
Solução: `
e
360
a
n
360
45
n
360
n
45
n 8
°
=
°
° =
°
=
°
=
−
= = =
= = =
= −
= − =
pc
npc pc
npc
8( 8 3 ) 8.5
nd 20
2 2
n 8
nd 4
2 2
nd nd nd
nd 20 4 16
Na construção civil, é muito comum a utilização de 8. 
ladrilhos ou azulejos com a forma de polígonos para o 
revestimento de pisos ou paredes. Entretanto, não são 
todas as combinações de polígonos que se prestam a 
pavimentar uma superfície plana, sem que haja falhas ou 
superposições de ladrilhos, como ilustram as figuras.
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Num trapézio isósceles, a base menor é igual a um dos 9. 
lados não-paralelos. Prove que as diagonais são bisse-
trizes dos ângulos agudos.
Solução: `
D
A B
C
α α
αα α α
Se BD̂C = α, então AB̂D = α, como AB = AD, AB̂D = 
AD̂B = α, assim, a diagonal também é bissetriz do vértice 
D analogamente com AC.
Na figura, ABCD é um quadrado e CDE um triângulo 10. 
equilátero, calcule α.
α
A B
D C
E
Solução: `
α α
30º
60º
EA
B
D C
Como CD é lado do triângulo e do quadrado, temos CE
= BC = α, logo BCE é um triângulo isósceles, assim 
ααα + αα + 30º = 180º 2α αα = 150º α = 75º.
No trapézio ABCD da figura, E e F são pontos médios. De 11. 
AD e BC , respectivamente. Sabendo-se que DC = 4cm 
e MN= 3cm, calcule a diferença entre os perímetros dos 
trapézios ABFE e EFCD.
A B
E F
D C
M N
Figura1: Ladrilhos retangulares pavimentando o plano.
Figura 2: Heptágonos regulares não pavimentam
o plano (há falhas ou superposição).
A tabela traz uma relação de alguns polígonos regulares, 
com as respectivas medidas de seus ângulos internos.
Nome Triângulo Quadrado Pentágono Hexágono Octógono Eneágono
Figura
Ângulo
interno
60° 90° 108º 120º 135º 140º
Se um arquiteto deseja utilizar uma combinação de dois 
tipos diferentes de ladrilhos entre os polígonos da tabela, 
sendo um deles octogonal, o outro tipo escolhido deverá 
ter a forma de um:
triângulo.a) 
quadrado.b) 
pentágono.c) 
hexágono.d) 
eneágono.e) 
Solução: ` B
135º
135º α 
α + 135° + 135° = 360°
α = 90º, logo é ângulo interno de um quadrado.
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Solução: `
A B
E F
D C
M N
b = 4
y
y
x
x
B = ?
3
B – b
2
 = 3 → B – 4 = 6 → B = 10 
EF = 10+42 = 7
2PABFE = 10 + x + y + 7 = 17 + x + y
2PCDEF = 4 + x + y + 7 = 11 + x + y
2PABFE - 2PCDEF = 6
E
A
C
B
F
DD
A B
C
Figura 1 Figura 2 Figura 3
A B
D C
Origami é a arte japonesa das dobraduras de papel. Observe 12. 
as figuras anteriores, onde estão descritos os passos iniciais 
para fazer um passarinho: comece marcando uma das dia-
gonais de uma folha de papel quadrada. Em seguida, faça 
coincidir os lados AD e CD sobre a diagonal marcada, de 
modo que o vértice A e C se encontrem. Considerando-se 
o quadrilátero BEDF da figura 3, pode-se concluir que o 
ângulo BED mede:
100ºa) 
112º 30’b) 
115ºc) 
125º 30’d) 
135ºe) 
Solução: ` B
67,5º
45º45º
22,5º
B
F
E
C
D
BED = 45º + 67,5º = 112,5º = 112º30’ 
Calcule o perímetro do triângulo equilátero inscrito numa 13. 
circunferência com 12cm de diâmetro.
Solução: `
A
B C
2R = 12 R = 6cm
 = R 3
 = 6 3cm
2PABC= 3 = 18 3cm
Ache a razão entre o lado do quadrado inscrito e o 14. 
lado do quadrado circunscrito a uma mesma circun-
ferência.
Solução: `
2R
R
 = R 2
Razão = 22R
R=L =
2
2
Uma moeda tem em seu interior um hexágono regular 15. 
inscrito. Se o raio mede 1cm, calcule o perímetro do 
hexágono inscrito na moeda. 
Solução: `
Como = R = 1cm, temos 2p = 6 = 6cm
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Um ângulo mede a metade do seu complemento. Então 1. 
esse ângulo vale:
30°a) 
60ºb) 
45°c) 
80ºd) 
90°e) 
O ângulo igual a 2. 
5
4
 do seu suplemento mede:
100°a) 
144°b) 
36°c) 
72°d) 
80°e) 
Dois ângulos opostos pelo vértice medem 3x + 10° e 3. 
x + 50°. Um deles mede:
20°a) 
70ºb) 
30°c) 
45ºd) 
80°e) 
Calcule x e determine o valor dos ângulos adjacentes 4. 
da figura:
3x α 30º
xα +α 10º
–
120º e 60ºa) 
105º e 75ºb) 
100º e 80ºc) 
90º e 90ºd) 
110º e 70ºe) 
A semirreta OC é exterior ao ângulo AÔB de bissetriz 5. 
OX. Se AÔC = 32° e BÔC = 108º, determine CÔX:
70°a) 
64°b) 
54°c) 
66°d) 
82°e) 
Mostre que as bissetrizes de dois ângulos opostos pelo 6. 
vértice são colineares.
A medida da soma de dois ângulos é 125º e a metade de 7. 
um deles é igual à terça parte da medida do suplemento 
do outro. Calcule a diferença entre esses ângulos.
Nas figuras a seguir, as retas r e s são paralelas. Encontre 8. 
a medida de cada caso.
a) 
b) 
c) 
d) 
Demonstre que as bissetrizes de dois ângulos adjacentes 9. 
e suplementares formam ângulo reto.
(UFF) Sabendo que o replemento do dobro de um ângu-10. 
lo é igual ao suplemento do complemento desse mesmo 
ângulo. Determine a quarta parte desse ângulo.
15ºa) 
22,5ºb) 
45ºc) 
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60ºd) 
67,5ºe) 
(Unirio) A diferença entre o suplemento e o comple-11. 
mento de um ângulo qualquer é:
um ângulo raso.a) 
um ângulo agudo.b) 
um ângulo reto.c) 
um ângulo obtuso.d) 
não pode ser determinada.e) 
Calcular os valores dos ângulos internos e externos do 12. 
polígono regular convexo que possui 27 diagonais.
No polígono regular ABCD... da figura, as diagonais AC 13. 
e BD formam, entre si, um ângulo que mede 20º. 
Determine o número de lados do polígono.
O número de diagonais do polígono convexo cuja soma 14. 
dos ângulos internos é 1 440° é:
20a) 
27b) 
35c) 
44d) 
48e) 
Qual o gênero do polígono convexo em que a diagonal 15. 
AC faz com o lado BC um ângulo de 20º?
Qual o polígono convexo em que o número de diagonais 16. 
é o triplo do número de lados?
As mediatrizes de dois lados consecutivos de um po-17. 
lígono regular formam um ângulo igual a 20°. Determine 
o número de diagonais desse polígono.
De cada vértice de um polígono regular só podemos 18. 
traçar três diagonais, sendo que a maior mede T. O 
perímetro desse polígono vale:
Ta) 
2Tb) 
3Tc) 
6Td) 
8Te) 
Três polígonos convexos têm lados expressos por nú-19. 
meros consecutivos. Sendo 2 700° a soma de todos os 
ângulos internos dos três polígonos, determine o número 
de diagonais de cada um deles.
Determine o número de lados de um polígono regular 20. 
ABCDE, sabendo que as bissetrizes de AP e CP, dos 
ângulos A e C, formam um ângulo que vale 2/9 do seu 
ângulo interno.
(UFJF) Em um pentágono convexo, os ângulos internos 21. 
formam uma progressão aritmética de razão r. O valor 
de r tal que o maior ângulo desse pentágono meça 
128° é:
10°a) 
15ºb) 
20°c) 
27ºd) 
36°e) 
Na figura, ABCDE é um pentágono regular.22. 
Determine a soma:
Assinale a alternativa que contém a propriedade diferencia-23. 
da do quadrado em relação aos demais quadriláteros.
Todos os ângulos são retos.a) 
Os lados são todos iguais.b) 
As diagonais são iguais e perpendiculares entre si.c) 
As diagonais se cortam ao meio.d) 
Os lados opostos são paralelos e iguais.e) 
Q, T, P, L, R e D denotam, respectivamente, o conjunto 24. 
dos quadriláteros, dos trapézios, dos paralelogramos, 
dos losangos, dos retângulos e dos quadrados. De 
acordo com a relação de inclusão entre esses conjuntos, 
a alternativa verdadeira é:
D a) R L P
D b) L P Q
Q c) P L D
T d) P Q R D
Q e) T P R C
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Prove que a figura formada pelas bissetrizes internas de 25. 
um paralelogramo propriamente dito é um retângulo.
Na figura, os triângulos A26. B̂M e BĈP são equiláteros e 
ABCD é um quadrado.
Calcule o ângulo .
24°a) 
22°b) 
15°c) 
45°d) 
30°e) 
(Fuvest) No retângulo a seguir, o valor em graus de 27. 
+ é:
50°a) 
90°b) 
120°c) 
130°d) 
220°e) 
A afirmativa “um quadrado foi subdividido em n quadra-28. 
dos congruentes” acarreta que:
n pode ser 12.a) 
n não pode ser par.b) 
n não pode ser ímpar.c) 
n pode ser 36.d) 
n pode ser 29.e) 
(UFMG) Sobre figuras planas, é correto afirmar que:29. 
um quadriláteroconvexo é um retângulo se os la-a) 
dos opostos têm comprimentos iguais.
um quadrilátero que tem suas diagonais perpendicu-b) 
lares é um quadrado.
um trapézio que tem dois ângulos consecutivos c) 
congruentes é isósceles.
um triângulo equilátero é também isósceles.d) 
um triângulo retângulo é aquele cujos ângulos são e) 
retos.
(PUC-SP) Sendo:30. 
A = {x | x é quadrilátero}
B = {x | x é quadrado}
C = {x | x é retângulo}
D = {x | x é losango}
E = {x | x é trapézio}
F = {x | x é paralelogramo}
então vale a relação:
A a) D E
A b) F D B
F c) D A
A d) F B C
B e) D A E
Na figura, ABCD é um quadrado e AMB um triângulo 31. 
equilátero.
Determine a medida do ângulo AM̂D.
75°a) 
68°b) 
60°c) 
48°d) 
50°e) 
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(Cesgranrio) As bases 32. MQ e NP de um trapézio medem 
42cm e 112cm, respectivamente.
Se o ângulo MQ̂P é o dobro do ângulo PN̂M, então o 
lado PQ mede:
154cma) 
133cmb) 
91cmc) 
77cmd) 
70cme) 
Na figura 33. AD = DC = CB e BD = BA
A medida do ângulo  do trapézio ABCD mede:
30°a) 
36°b) 
72°c) 
48°d) 
80°e) 
Ligando-se os pontos médios dos lados de um quadri-34. 
látero convexo de diagonais 6 e 8, obtém-se um outro 
quadrilátero convexo de perímetro:
7a) 
10b) 
12c) 
14d) 
16e) 
(UFRJ) Os ângulos internos de um quadrilátero convexo 35. 
estão em progressão aritmética de razão igual a 20°. 
Determine o valor do maior ângulo desse quadrilátero.
Calcule o lado e o apótema do triângulo equilátero 36. 
inscrito num círculo de raio R.
Calcule o lado e o apótema do quadrado inscrito num 37. 
círculo de raio R.
Calcule o lado e o apótema do hexágono regular inscrito 38. 
num círculo de raio R.
Calcule o lado do triângulo equilátero circunscrito a um 39. 
círculo de raio R.
Calcule o lado do hexágono regular circunscrito a um 40. 
círculo de raio R.
Calcule a distância entre dois lados opostos de um 41. 
hexágono regular de 2cm de lado.
Calcule a razão entre os perímetros de dois hexágonos 42. 
regulares, o primeiro inscrito e o segundo circunscrito 
a um mesmo círculo.
ABCDE é um polígono regular convexo de 2cm de 43. 
lado. As diagonais AC BD e formam um ângulo de 18º. 
Calcule o perímetro do polígono.
(UFF) A razão entre o lado do quadrado inscrito e o 44. 
lado do quadrado circunscrito em uma circunferência 
de raio R é:
1
3
a) 
1
2
b) 
3
3
c) 
2
2
d) 
2e) 
(PUC) A45. 1 A2 ... An é um polígono regular convexo, de n 
lados, inscrito em um círculo. Se o vértice A15 é diame-
tralmente oposto ao vértice A46, o valor de n é:
62a) 
60b) 
58c) 
56d) 
54e) 
(Unirio) Às 13 horas e 15 minutos, os ponteiros de um 1. 
relógio formam um ângulo de:
7°30’ a) 
17°30’b) 
22°30’c) 
37°d) 
52°30’e) 
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Nesta figura, as retas r e s são paralelas e t e u são 2. 
transversais.
O valor em graus de (2x + 3y) é:
64°a) 
500°b) 
520°c) 
660°d) 
580°e) 
O triplo do complemento de um ângulo é igual à terça 3. 
parte do seu suplemento aumentada da metade do 
replemento do quádruplo desse ângulo. Determine o 
valor do complemento desse ângulo.
4. e são, respectivamente, as bissetrizes dos ângu-
los adjacentes MÔN e NÔP. é a bissetriz do ângulo 
QÔR. Calcule as medidas, em graus, dos ângulos MÔN 
e NÔP, sabendo que MÔP = 100° e MÔT = 55°.
Sendo r//s na figura abaixo, o valor de 5. α é:
6ºa) 
10ºb) 
15ºc) 
20ºd) 
30ºe) 
(ITA) Entre 4 e 5 horas, o ponteiro das horas de um 6. 
relógio fica duas vezes em ângulo reto com o ponteiro 
dos minutos. Os momentos dessas ocorrências serão:
4h 5a) min e 4h 38 min.
4h5b) min e 4h 38 min.
4hc) min e 4h 38 min.
4h 5 d) min e 4h 38 min.
(UFRRJ) As semirretas consecutivas 7. e 
são tais que são colineares e BÔC = 72°.
Calcule a medida do ângulo PÔQ, sabendo-se que e 
 são as bissetrizes dos ângulos AÔB e DÔC.
36°a) 
54°b) 
90°c) 
92°d) 
126°e) 
Pelo ponto C de uma reta AB traçam-se, num mesmo 8. 
semiplano dos determinados por AB, as semirretas 
. O ângulo é o dobro do ângulo e o 
ângulo é o dobro do ângulo . Calcule o ângulo 
formado pelas bissetrizes dos ângulos e .
Na figura abaixo, calcule 9. .
(OBM) Quantos ângulos retos são formados pelos 10. 
ponteiros (horas e minutos) de um relógio em um 
dia completo que se inicia às 0:00 h?
48a) 
40b) 
44c) 
96d) 
(CMC) Na figura a seguir:11. 
AÔC = 108°I. 
ZÔB = 4°II. 
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Sabendo-se que OX, OY e OZ são as bissetrizes de 
AÔB, BÔC e XÔY, respectivamente, determine a medida 
de AÔB.
Duas bissetrizes internas de dois ângulos consecutivos 12. 
de um polígono regular formam um ângulo dado por:
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
(Cesgranrio) Na figura ABCDE é um polígono 13. regular.
Determine a medida do ângulo CÂD.
(Consart) Se cada ângulo interno de um polígono não 14. 
excede , então o polígono tem, no máximo:
4 lados.a) 
5 lados. b) 
6 lados.c) 
8 lados.d) 
12 lados.e) 
Os lados de um polígono regular de n lados, n > 4, são 15. 
prolongados para formar uma estrela. O número de graus 
em cada vértice da estrela é:
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
O número de diagonais de um polígono 16. regular de 2n 
lados que não passam pelo centro da circunferência 
circunscrita nesse polígono, é dado por:
2n (n – 2)a) 
2n (n – 1)b) 
2n (n – 3)c) 
d) 
2ne) 
(UFF) A figura representa um triângulo equilátero FHN 17. 
de lado e um hexágono regular.
Sabendo que I é ponto médio do lado e pertence 
ao segmento , assinale a alternativa que representa 
o perímetro do quadrilátero FGLM.
7a) 
6b) 
5c) 
4d) 
3e) 
Se a razão entre o número de diagonais e o número 18. 
de lados de um polígono é um número inteiro positivo, 
então o número de lados do polígono é:
par.a) 
ímpar.b) 
múltiplo de 3.c) 
não existe.d) 
nenhuma das anteriores.e) 
A soma dos (n –1) ângulos internos de um polígono 19. 
regular de n lados é 945º. Determine o número de lados 
do polígono.
(FEI) O menor ângulo de um polígono convexo mede 20. 
139º, e os outros ângulos formam com o primeiro uma 
progressão aritmética de razão 2. Determine o número 
de lados do polígono.
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(Mackenzie) A medida em graus de um ângulo interno 21. 
de um polígono regular é um número inteiro. O número 
de polígonos não semelhantes que possuem essa 
propriedade é:
24a) 
22b) 
20c) 
18d) 
15e) 
Um polígono P22. 1 tem 3 lados a mais e 30 diagonais a mais 
que um polígono P2. Quantas diagonais possui P1?
(CN) O número de polígonos regulares, tais que quais-23. 
quer duas de suas diagonais, que passam pelo seu 
centro, formam entre si ângulo expresso em graus por 
número inteiro, é:
17a) 
18b) 
21c) 
23d) 
24e) 
O hexágono da figura abaixo é equiângulo e não equi-25. 
látero. Determine o valor de X e Y.
ABCD é um quadrado cujas diagonais cortam-se no 26. 
ponto I. Constrói-se, exteriormente, um triângulo equi-
látero ABM.
Calcule o ângulo AÎJ, sabendo-se que J é o ponto médio 
do lado AM.
Observe a figura abaixo:27. 
O trapézio ABCD é isósceles e o lado oblíquo BC tem 
para o dobro da medida da base menor AB. O ponto M 
é médio de BC e DM = DC
Se o ângulo AD̂M mede 30°, calcule o valor da medida 
do ângulo BĈD.
Na figura a seguir, A não pertence ao plano determi-28. 
nado pelos pontos B, C, e D. Os pontos E, F, G e H são 
os pontos médios dos segmentos AB, BC, CD E DA 
respectivamente.
Prove que EFGH é um paralelogramo.
(CEFET) Para ladrilhar o chão de uma varanda foram 24. 
usadas lajotas na forma de pentágonos regulares elosangos, como mostra a figura.
Os ângulos agudos de cada losango medem:
36°a) 
42°b) 
48°c) 
56°d) 
72°e) 
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Dado o triângulo acutângulo ABC da figura AH, tal 29. 
que AB = 8, BC = 12 e BH = 3, calcule o perímetro do 
quadrilátero convexo MNPH, onde M, N e P são pontos 
médios dos lados AB, AC e BC.
(Unificado) No quadrilátero ABCD da figura a seguir 30. 
são traçadas as bissetrizes CM e BN, que formam entre 
si o ângulo .
A soma dos ângulos internos A e D desse quadrilátero 
corresponde a:
3 a) 
2 b) 
c) 
2
d) 
e) 
4
Na figura, ABCD é um paralelogramo.31. 
B
Considere:
AP1. bissetriz de Â, BP bissetriz de B̂ e CQ bissetriz 
de Ĉ .
M e N pontos médios, respectivamente, de 2. AB e 
BC
PM3. = 5cm e QN = 3cm.
O perímetro do paralelogramo ABCD é igual a:
48cma) 
46cmb) 
40cmc) 
36cmd) 
32cme) 
Um ponto A qualquer é considerado sobre o lado OX 32. 
do ângulo XÔY da figura.
Traçamos, então:
AB1. OY
AQ2. // OY
OPQ3. tal que PQ = 2OA
Se PÔB = 26°, XÔY mede:
61°a) 
66°b) 
72ºc) 
78ºd) 
80ºe) 
No paralelogramo ABCD, as distâncias de A, B e C a 33. 
uma reta exterior que contém D são, respectivamente, 
a, b e c.
Prove que b = a + c.
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Na figura, M é o ponto médio do lado 34. BC, AN bissetriz 
do ângulo BÂC e BN perpendicular a AN.
Se AB = 14 e AC = 20, calcule o comprimento do 
segmento MN.
(Fuvest) Em um trapézio isósceles, a altura é igual à 35. 
base média. Determinar o ângulo que a diagonal forma 
com a base.
No quadrilátero ABCD, temos AD = 36. BC = 2 e o prolon-
gamento desses lados forma um ângulo de 60°.
Indicando por A, B, C e D, respectivamente, as me-a) 
didas dos ângulos internos do quadrilátero de vér-
tice A, B, C e D, calcule A + B e C + D.
Sejam J o ponto médio de b) DC, M o ponto médio de 
AC e N o ponto médio de BD. Calcule JM e JN.
Calcule a medida do ângulo Mc) Ĵ N.
Na figura abaixo, ABCD é um quadrilátero onde 37. AD = 
BC e DÂB + AB̂C = 120º.
Calcule o perímetro do triângulo PQR. Sabendo que 
P, Q e R são respectivamente os pontos médios dos 
segmentos AC, BD E DC e que AD = 6m
Na figura abaixo, ABCD é um trapézio e M e N os pontos 38. 
médios dos lados não-paralelos.
Mostre que:
Os pontos P, M, N e Q são colineares.a) 
O perímetro do trapézio ABCD vale o dobro do b) 
segmento PQ.
Ao montar um quebra-cabeça, Joãozinho montou o 39. 
retângulo abaixo de dimensões a e b, decomposto 
em quatro quadrados.
a
b
Qual o valor da razão a/b?
5
3
a) 
2
3
b) 
2c) 
3
2
d) 
1
2
e) 
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Na figura a seguir, calcule o ângulo 40. , sabendo que 
ABCDE é um pentágono onde B = D̂ = 90º, AB = BC, 
CD = DE e que M é o ponto médio do lado AE.
Em uma circunferência de centro O e raio 2, têm-se 41. 
duas cordas paralelas, AB e CD, que são os lados do 
quadrado e do hexágono regular convexo inscritos, 
respectivamente.
A distância EF entre essas cordas é, aproximadamente, 
igual a:
5a) 
b) 
6c) 
2d) 
π
2
e) 
Na figura a seguir, AB e AC são, respectivamente, lados 42. 
do triângulo equilátero e do quadrado inscritos na cir-
cunferência de raio r. Com centro em A, traçam-se os 
arcos de circunferências BB’ e CC’, que interceptam a 
reta t em B’ e C’.
A medida que está mais próxima do comprimento do 
segmento B’C’ é:
o perímetro do quadrado de lado AC.a) 
o comprimento da semicircunferência de raio r.b) 
o dobro do diâmetro da circunferência de raio r.c) 
o semiperímetro do triângulo equilátero de lado d) 
AB.
Calcule o perímetro do triângulo equilátero circunscrito 43. 
ao círculo que circunscreve um quadrado de 8 6 cm 
de perímetro.
Calcule a distância entre dois lados opostos de um hexá-44. 
gono regular inscrito num círculo inscrito num triângulo 
equilátero de 6m de lado.
Calcule a razão entre os perímetros do triângulo 45. 
equilátero inscrito num círculo e do hexágono regular 
circunscrito ao mesmo círculo.
Calcule o lado do octógono regular convexo inscrito num 46. 
círculo de raio igual a 2cm.
Calcule o lado do dodecágono regular convexo inscrito 47. 
num círculo de raio 3cm.
Calcule o comprimento da diagonal do pentágono re-48. 
gular convexo, de lado = 2cm.
A razão entre os comprimentos das circunferências 49. 
circunscrita e inscrita a um quadrado é:
1
2
a) 
2b) 
3c) 
2 2d) 
2e) 
(Unirio) Um carimbo com o símbolo de uma empre-50. 
sa foi encomendado a uma fábrica. Ele é formado 
por um triângulo equilátero que está inscrito numa 
circunferência e que circunscreve um hexágono 
regular. Sabendo-se que o lado do triângulo deve 
medir 3cm, então a soma das medidas, em cm, do 
lado do hexágono com a do diâmetro da circunfe-
rência deve ser:
7a) 
2 3 1+b) 
2 3c) 
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24 E
M
_V
_M
A
T
_0
26
Ache o lado do decágono regular inscrito em um círculo 51. 
de raio R.
3 1+d) 
77
22
e) 
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25E
M
_V
_M
A
T
_0
26
A1. 
A2. 
B3. 
A4. 
A5. 
Demonstração6. 
95°7. 
8. 
120°a) 
18ºb) 
40°c) 
55ºd) 
Demonstração9. 
B10. 
C11. 
140° e 40°12. 
1813. 
C14. 
Eneágono.15. 
Eneágono.16. 
135 diagonais.17. 
C18. 
9, 14 e 2019. 
20 lados20. 
A21. 
216°22. 
C23. 
B24. 
225. + 2 = 180°
 + = 90°
C26. 
D27. 
D28. 
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26 E
M
_V
_M
A
T
_0
26
D29. 
B30. 
A31. 
E32. 
C33. 
D34. 
120°35. 
R
R
3
2
 e 36. 
R
R
2
2
2
 e 37. 
R
R
 e 
3
2
38. 
2 3R39. 
2 3
3
R40. 
2 3 cm41. 
3
2
42. 
40cm43. 
D44. 
A45. 
E1. 
B2. 
45°3. 
60° e 40°4. 
B5. 
B6. 
E7. 
30°8. 
135°9. 
C10. 
62°11. 
B12. 
36º13. 
D14. 
B15. 
A16. 
D17. 
B18. 
D19. 
12 lados.20. 
B21. 
35 diagonais.22. 
A23. 
A24. 
x = 125. 
y = 4
26. = 30°
27. = 70°
H e FG é um paralelogramo.28. 
17cm.29. 
B30. 
E31. 
D32. 
Demonstração33. 
Como 34. AN é bissetriz, temos dois triângulos congruentes 
ABN e ANQ, logo AQ = 14 e QC = 6.
No triângulo BCQ, N e M são pontos médios, assim 
MN = 3.
45°, com as bases.35. 
36. 
120° e 240°a) 
1b) 
60°c) 
9cm37. 
38. 
2a) + 2 = 180°
 + = 90°
2 + 2 = 180°
 + = 90
PQb) = PM + MN + NQ
MN = B + b
2
PQ = x + B + b
2
 + y
PQ = 2x B + b + 2y
2
2PABCD = 2x + B + b + 2y
2PABCD = 2.PQ
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27E
M
_V
_M
A
T
_0
26
A39. 
90°40. 
B41. 
B42. 
36cm43. 
3m44. 
3
4
45. 
2 2 2− cm46. 
3 2 3− cm47. 
1 5+( ) cm48. 
B49. 
B50. 
R
2
5 1−( )51. 
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28 E
M
_V
_M
A
T
_0
26
 
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