26 Arcos

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PROF. PAULO
AULA 26
ARCOS
 X Sen(x) cos(x) tg(x)
 30 0 
2
1
 
2
3
 
3
3
 45 0
 
2
2
 
2
2 1
 60 0
 
2
3 
2
1 3
ADIÇÃO E SUBTRAÇÃO DE ARCOS
sen(a + b) = sen(a).cos(b) + cos(a).sen(b)
sen(a – b) = sen(a).cos(b) - cos(a).sen(b)
cos(a + b) = cos(a).cos(b) - sen(a).sen(b)
cos(a - b) = cos(a).cos(b) + sen(a).sen(b)
tg(a + b) = 
)().(1
)()(
btgatg
btgatg
-
+
tg(a - b) = 
)().(1
)()(
btgatg
btgatg
+
-
Exemplo 1:
Calcule sen(75 0 )
Resolução:
sen(75 0 ) = sen(45 0 + 30 0 ) =
= sen(45 0 ).cos(30 0 ) + cos( 45 0 ).sen(30 0 ) =
= 
2
1
.
2
2
2
3
.
2
2
+ =
4
2
4
6
+ = 
4
26 +
Exemplo 2 :
Calcule cos(105 0 )
Resolução:
cos(105 0 ) = cos(45 0 + 60 0 ) =
= cos( 45 0 ). cos(60 0 ) - sen(45 0 ). sen(60 0 ) =
= 
2
3
.
2
2
2
1
.
2
2
- =
4
6
4
2
- = 
4
62 -
Exemplo 3 :
Calcule o valor de cos(90 0 + x)
Resolução:
cos(90 0 + x) = cos(90 0 ).cos(x) - sen(90 0 ).sen(x) =
 = 0.cos(x) – 1.sen(x) =
 = - sen(x)
Exemplo 4 :
Sabendo-se que tg(a) = 3 e tg(b) = 2,
calcule tg(a + b)
Resolução:
)().(1
)()(
)(
btgatg
btgatg
batg
-
+
=+ =
 = 
2.31
23
-
+
 =
 = 
61
5
-
 =
 = 
5
5
-
 =
 = -1
ARCO DUPLO
Definições:
sen(2x) = sen(x + x) = senx.cosx + cosx.senx = 2.senx.cosx
cos(2x) = cos(x + x) = cosx.cosx – senx.senx = cos 2 x - sen 2 x
Lembrando que sen 2 x + cos 2 x = 1
1) cos 2 x = 1 - sen 2 x
cos(2x) = cos 2 x - sen 2 x = 1 - sen 2 x- sen 2 x = 1 – 2.sen 2 x
2) sen 2 x = 1 - cos 2 x
cos(2x) = cos 2 x - sen 2 x = cos 2 x – ( 1 - cos 2 x) = cos 2 x – 1 + cos 2 x =
= 2. cos 2 x – 1
tg(2x) = tg(x + x) = 
xtg
tgx
tgxtgx
tgxtgx
21
.2
.1 -
=
-
+
Resumo das fórmulas
 sen(2x) = 2.sen(x).cos(x)
 cos 2 (x) - sen 2 (x)
 cos(2x) = 2.cos 2 (x) - 1
 1 - 2.sen 2 (x)
 tg(2x) = 
)(1
)(2
2 xtg
xtg
-
Exemplo 1:
Sabendo-se que cos(x) = 
3
1
 e que
p20 ££ x , calcule cos(2x)
Resolução:
cos(2x) = 2.cos 2 (x) – 1 =
 = 2.(
3
1
) 2 - 1
 = 2.
9
1
 - 1 =
 = 
9
2
 - 1 =
 =
9
92 -
 =
 = 
9
7-
Exemplo 2 :
Simplifique a expressão:
cos 4 (x) - sen 4 (x)
Resolução:
cos 4 (x) - sen 4 (x) =
= [cos 2 (x) - sen 2 (x)].[cos 2 (x) + sen 2 (x)] =
= [cos 2 (x) - sen 2 (x)].1 =
= cos(2x).1 =
= cos(2x)
Exercícios:
1) Calcule o valor de sen(90 0 + x).cos(180 0 - x)
2) Calcule o valor de tg15 0
3) O valor de 00000 40sen).20cos.20seccos20sen.20(sec + é:
a) sen40 0 b) cos40 0 c) 2 d) 1 e) 0
4) (UFMG) – A expressão 
xtg
tgx
21
.2
+
 é idêntica a:
a) tg(2x) b) cos(2x) c) sen(2x) d) 2.sen(x) e) sen(x).cos(x)
5) (UFMA) – De acordo com os dados da figura abaixo, o valor de k é:
a) 3/2 b) 1/3 c) 4/3 d) _ e) 1/4
 k.a
 a
 2a a
 3.a
RESOLUÇÃO:
1) Calcule o valor de sen(90 0 + x).cos(180 0 - x)
Resolução:
sen(90 0 + x).cos(180 0 - x) =
= (sen90 0 .cosx + cos90 0 .senx).(cos180 0 .cosx + sen180 0 .senx) =
= (1.cosx + 0.senx).(-1.cosx + 0.senx) =
= (cosx).(-cosx) = -cos 2 x
2) Calcule o valor de tg15 0
Resolução:
tg(15 0 ) = tg(60 0 - 45 0 ) = 
1.31
13
45.601
4560
00
00
+
-
=
+
-
tgtg
tgtg
 =
32
2
324
13
1323
1)3(
13.2)3(
13
13
.
13
13
22
22
-=
-
=
-
+-
=
-
+-
=
-
-
+
-
3) O valor de 00000 40sen).20cos.20seccos20sen.20(sec + é:
a) sen40 0 b) cos40 0 c) 2 d) 1 e) 0
Resolução:
00000 40sen).20cos.20seccos20sen.20(sec + =
22).1(
20cos.20sen.2).
20sen.20cos
1
(
20cos.20sen.2).
20sen.20cos
20cos20sen
(
20cos.20sen.2).
20sen
20cos
20cos
20sen
(
)20.2sen().20cos.
20sen
1
20sen.
20cos
1
(
00
00
00
00
0202
00
0
0
0
0
00
0
0
0
=
=
=
+
=+
=+
Resposta c
4) (UFMG) – A expressão 
xtg
tgx
21
.2
+
 é idêntica a:
Resolução:
a) tg(2x) b) cos(2x) c) sen(2x) d) 2.sen(x) e) sen(x).cos(x)
)2sen(cos.sen.2
1
cos
.
cos
sen.2
cos
1
cos
sen.2
cos
sencos
cos
sen.2
cos
sen
1
cos
sen
.2
1
.2 2
22
22
2
22
xxx
x
x
x
x
x
x
x
xx
x
x
x
x
x
x
xtg
tgx
==
===
+
=
+
=
+
Resposta c
5) (UFMA) – De acordo com os dados da figura abaixo, o valor de k é:
a) 3/2 b) 1/3 c) 4/3 d) _ e) 1/4
 k.a
 a
 2a a
 3.a
Resolução:
a
 3a
tg(a ) = 
3
1
3.
.
==
a
a
adjacentecat
opostocat
 k.a
 2a
 a tg(2a ) = 
kak
a
adjacentecat
opostocat 1
..
.
==
a
a
a
21
.2
)2(
tg
tg
tg
-
=
 a
2)
3
1
(1
3
1
.21
-
=
k
9
1
1
3
2
1
-
=
k
9
8
3
2
1
=
k
8
9
.
3
21
=
k
4
31
=
k
k = 
3
4
Resposta c