ESPACOS VETORIAIS

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A´lgebra Linear
Professoras: Dra. Daiane Silva de Freitas
Dra. Fab´ıola Aiub Sperotto
Colaboradores: Felipe de Freitas Vilar Simone da Rosa
2012
2
Suma´rio
1 Espac¸os Vetoriais 5
1.1 Espac¸os Vetoriais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.1.1 Agora tente resolver! . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.2 Subespac¸o Vetorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.2.1 Agora tente resolver! . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.3 Combinac¸a˜o Linear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.3.1 Agora tente resolver! . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.4 Subespac¸os Gerados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.4.1 Agora tente resolver! . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.5 Dependeˆncia e Independeˆncia Linear . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.5.1 Agora tente resolver! . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.6 Base e Dimensa˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.7 Produto Interno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
1.7.1 Agora tente resolver! . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
1.7.2 Agora tente resolver! . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
1.7.3 Agora tente resolver! . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
1.7.4 Processo de ortogonalizac¸a˜o de Gram-Schmidt: . . . . . . . . . 26
1.7.5 Agora tente resolver! . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
1.8 Lista de exerc´ıcios 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
3
4 SUMA´RIO
Cap´ıtulo 1
Espac¸os Vetoriais
1.1 Espac¸os Vetoriais
Este e´ um ramo da A´lgebra Linear de grande importaˆncia. Vamos estender o
conceito de vetor, usando as propriedades alge´bricas mais importantes dos vetores
em Rn como axiomas.
Primeiramente, vamos recordar alguns to´picos de Geometria Anal´ıtica:
Considere as seguintes operac¸o˜es com vetores:
- Adic¸a˜o: o vetor resultante pode ser obtido pela lei do paralelogramo. Essa
operac¸a˜o e´ dotada de propriedades como a comutativa, associativa, a existeˆncia do
elemento neutro e do elemento oposto para cada vetor.
- Multiplicac¸a˜o por escalar: o produto α−→u e´ obtido multiplicando o comprimento
do vetor pelo nu´mero real α, mantendo o mesmo sentido se α > 0 ou de sentindo
oposto se α < 0. Esta operac¸a˜o tambe´m satisfaz algumas propriedades como a
associativa e distributiva.
A definic¸a˜o de um espac¸o vetorial envolve um corpo arbitra´rio cujos elementos
no contexto da A´lgebra Linear sa˜o chamados de escalares.
Espac¸os Vetoriais: Seja um conjunto V na˜o-vazio, no qual esta˜o definidas duas
operac¸o˜es:
u+ v (onde u,v e u+ v ∈ V )
5
6 CAPI´TULO 1. ESPAC¸OS VETORIAIS
αu (onde α ∈ R e u, αu ∈ V )
Sera´ chamado de espac¸o vetorial se sa˜o satisfeitas:
A. Em relac¸a˜o a` adic¸a˜o: Esta´ definida uma adic¸a˜o em V que associa a cada par
de elementos u e v um u´nico elemento em V , indicado por u+ v e chamado de
soma de u com v, que satisfaz as seguintes propriedades, ∀u,v,w ∈ V :
A1. (u+ v) + w = u+ (v + w), ∀u,v e w ∈ V (Associatividade da adic¸a˜o)
A2. u+ v = v + u (Comutatividade da Adic¸a˜o)
A3. ∃0 ∈ V , elemento neutro tal que u+ 0 = 0 + u = u
A4. Para cada u ∈ V, ∃(−u) ∈ V / u+ (−u) = 0, elemento oposto.
M. Em relac¸a˜o a` multiplicac¸a˜o: Esta´ definida uma multiplicac¸a˜o por escalar
em V que associa cada escalar α ∈ R e cada elemento v ∈ V um u´nico vetor
αv ∈ V , que satisfaz as seguintes propriedades, ∀α, β ∈ R e ∀u,v ∈ V :
M1. 1 · u = u
M2. (αβ)u = α(βu), αβ ∈ R
M3. (α + β)u = αu+ βu, αβ ∈ V
M4. α(u+ v) = αu+ αv
Observac¸a˜o: os elementos u,v ∈ V sa˜o chamados vetores. A justificativa esta´
no fato de as operac¸o˜es de adic¸a˜o e multiplicac¸a˜o por escalar realizada com esses
elementos (conjuntos) de natureza ta˜o distinta se comportam de forma ideˆntica como
se estive´ssemos trabalhando com os pro´prios vetores do R2 e R3.
Para verificar as propriedades do espac¸o vetorial, vamos considerar treˆs vetores
gene´ricos: u = (x1, y1), v = (x2, y2), w = (x3, y3)
A1. (u+ v) + w = u+ (v + w)
(u+ v) + w = ((x1, y1) + (x2, y2)) + (x3, y3)
(u+ v) + w = (x1 + x2, y1 + y2) + (x3, y3)
(u+ v) + w = ((x1 + x2) + x3, (y1 + y2) + y3)
1.1. ESPAC¸OS VETORIAIS 7
(u+ v) + w = (x1 + (x2 + x3), y1 + (y2 + y3))
(u+ v) + w = (x1, y1) + ((x2, y2) + (x3, y3))
(u+ v) + w = u+ (v + w)
A2. u+ v = v + u
u+ v = (x1, y1) + (x2, y2)
u+ v = (x1 + x2, y1 + y2)
u+ v = (x2, y2) + (x1, y1)
u+ v = v + u
A3. u+ 0 = 0 + u = u
u+ 0 = (x1, y1) + (0,0)
u+ 0 = (x1 + 0, y1 + 0)
u+ 0 = (x1, y1)
A4. u+ (−u) = 0
u+ (−u) = (x1, y1) + (−x1, y1)
u+ (−u) = (x1 − x1, y1 − y1)
u+ (−u) = (0,0)
M1. 1 · u = u · 1 = u
1 · u = 1 · (x1, y1)
1 · u = (x1, y1) · 1
1 · u = (x1, y1)
1 · u = u · 1 = u
M2. (αβ)u = α(βu)
(αβ)u = ((αβ)x1, (αβ)y1)
(αβ)u = (α(βx1), α(βy1)
(αβ)u = α(βx1, βy1)
(αβ)u = α(β(x1, y1)
(αβ)u = α(βu)
M3. (α + β)u = αu+ βu
(α + β)u = (α + β)(x1, y1)
8 CAPI´TULO 1. ESPAC¸OS VETORIAIS
(α + β)u = α(x1, y1) + β(x1, y1)
(α + β)u = αu+ βu
M4. α(u+ v) = αu+ αu
α(u+ v) = α((x1, y1) + (x2, y2))
α(u+ v) = α(x1 + x2, y1 + y2)
α(u+ v) = (αx1 + αx2, αy1 + αy2)
α(u+ v) = (αx1, αy1) + αx2, αy2)
α(u+ v) = α(x1, y1) + α(x2, y2)
α(u+ v) = αu+ αv
Exemplo 1 V = R2 e´ um espac¸o vetorial real.
R2 = {(x,y);x,y ∈ R} e´ o conjunto dos pontos no plano. Um par ordenado pode ser
um ponto ou um vetor no plano.
V = R3 e´ um espac¸o vetorial real.
R3 = {(x,y,z);x,y,z ∈ R} e´ o conjunto dos pontos do espac¸o.
V = Mm×n(R) o conjunto das matrizes de ordem m × n, com elementos em R e´
um espac¸o vetorial com as operac¸o˜es de adic¸a˜o de matrizes e multiplicac¸a˜o de uma
matriz por um escalar.
V = M2×2(R)
Adic¸a˜o:
[
a b
c d
]
+
[
e f
g h
]
=
[
a+ e b+ f
c+ g d+ h
]
.
1.1. ESPAC¸OS VETORIAIS 9
Multiplicac¸a˜o por um escalar: α ·
[
a b
c d
]
=
[
αa αb
αc αd
]
.
V = Pn(R) o conjunto dos polinoˆmios de grau menor ou igual a n.
Toda reta (no plano ou no espac¸o) que passa pela origem.
Todo plano que passa pela origem e´ um espac¸o vetorial do R3.
Observac¸a˜o: Os s´ımbolos⊕ e� sa˜o utilizados para indicar que a adic¸a˜o e a multiplicac¸a˜o
por escalar na˜o sa˜o as usuais.
Exemplo 2 Mostrar que o seguinte conjunto R2 = {(a,b)/a,b ∈ R} na˜o e´ um espac¸o
vetorial com relac¸a˜o as seguintes operac¸o˜es: (a,b)+(c,d) = (a+ c,b+d) e k� (a,b) =
(ka,0).
Vamos verificar os axiomas do espac¸o vetorial.
Mas, observe que a operac¸a˜o de adic¸a˜o e´ a usual, portanto os axiomas da adic¸a˜o sa˜o
satisfeitos. Vamos analisar os axiomas da multiplicac¸a˜o:
M1 1 · u = 1(a,b)
1 · (a,b) = (1 · a, 0) = (a,0) 6= (a,b)
Portanto falha o axioma M1, na˜o e´ espac¸o vetorial.
1.1.1 Agora tente resolver!
1. Verifique se os conjuntos abaixo sa˜o espac¸os vetoriais:
a. V e´ o conjunto de todas as matrizes 2× 2 ,
[
c d
a b
]
onde c = d.
b. V e´ o conjunto de todas as matrizes de ordem 3× 1.
c O conjunto de todas as triplas ordenadas (x,y,z) de nu´meros reais com
as operac¸o˜es (x1,y1,z1) + (x2,y2,z2) = (x2,y1 + y2,z2) e a · (x1,y1,z1) =
(ax1,ay1,az1) = (αx1, αy1, αz1).
d. O conjunto de todas as triplas ordenadas de nu´meros reais da forma (x,0,0)
com as operac¸o˜es (x,0,0) + (x′,0,0) = (x+ x′,0,0) e α · (x,0,0) = (αx,0,0).
e. R2 = {(a,b)/a,b ∈ R}, com a operac¸a˜o usual de adic¸a˜o, mas com a
multiplicac¸a˜o por um escalar definida como β(x,y) = (x, βy).
2. Seja V o segundo quadrante do plano xy, isto e´, seja V = {(x,y) : x ≤ 0,y ≥ 0},
responda: se u e v esta˜o em V, sera´ que u+ v esta´ em V ?
10 CAPI´TULO 1. ESPAC¸OS VETORIAIS
1.2 Subespac¸o Vetorial
Dado um espac¸o vetorial V , um subconjunto S, na˜o vazio, sera´ um subespac¸o
vetorial de V se:
a. Para quaisquer u,v ∈ S, tivermosu+ v ∈ S
b. Para quaisquer α ∈ R, u ∈ S, tivermos αu ∈ S
c. O vetor nulo 0 ∈ S.
Exemplo 3 Se S = {(x,y) ∈ R2; y = kx} = {(x,kx) ∈ R2}. Uma reta que passa na
origem e´ um subespac¸o vetorial.
Observac¸a˜o: com relac¸a˜o ao exemplo anterior, considere dois vetores da reta, o vetor
soma ainda e´ da reta e se multiplicarmos o vetor por um escalar, o vetor resultante
ainda estara´ na reta.
Proposic¸a˜o : Se S e´ um subespac¸o vetorial V , enta˜o S tambe´m e´ um espac¸o vetorial
sobre R.
Exemplo 4 Quando a reta na˜o passa na origem, por exemplo, S = {(x,6− 3x);x ∈
R}.
Observac¸o˜es:
• As condic¸o˜es acima garantem que ao operar vetores em S na˜o obteremos vetores
fora de S.
• Sendo va´lidas as condic¸o˜es citadas em S, os oito axiomas de espac¸o vetorial tambe´m
se verificam.
• Todo espac¸o vetorial V admite, pelo menos, dois subespac¸os, o pro´prio espac¸o
vetorial S = V . E S = {0} o subespac¸o zero. Estes subespac¸os sa˜o chamados de
subespac¸os triviais de V .
1.2. SUBESPAC¸O VETORIAL 11
1.2.1 Agora tente resolver!
1. Seja S = {(x,y,z) ∈ R3;x+ y = 0}, verificar se S e´ um subespac¸o vetorial.
2. Seja S = M2×3R =
{[
0 a b
0 a d
]
; a,b,d ∈ R
}
, o conjunto das matrizes de ordem
2× 3, onde a primeira coluna todos os elementos sa˜o nulos. S e´ um subespac¸o
vetorial?
3. Verifique quais dos seguintes conjuntos sa˜o subespac¸os vetoriais de R3.
(a) Todos os vetores da forma (x,0,0).
(b) Todos os vetores da forma (x,1,1).
(c) Todos os vetores da forma (x,y,z), onde b = a+ c.
4. Dados os conjuntos a seguir, verificar quais sa˜o subespac¸os em relac¸a˜o a`s
operac¸o˜es de adic¸a˜o e multiplicac¸a˜o por um escalar:
a. S = {(x,y,z) ∈ R3;x = 6y e z = 0}
b. S = {(x,y,z) ∈ R3;x = z2}
c. S = {(x,y,z) ∈ R3; y = x+ 2 e z = 0}
d. S = {(x,x,x) ∈ R3;x ∈ R}
e. S =
{[
a b
b c
]
; a,b,c ∈ R
}
, conjunto das matrizes sime´tricas.
f. W =

 b−b
2b
 ; b ∈ R

Resposta: Sa˜o subespac¸os os exerc´ıcios correspondentes as letras: a,d,e,f.
5. Determine se o conjunto dado e´ um subespac¸o de Pn para um valor apropriado
de n:
a. Todos os polinoˆmios da forma p(t) = at2 com a ∈ R.
b Todos os polinoˆmios de grau no ma´ximo 3, com coeficientes inteiros.
12 CAPI´TULO 1. ESPAC¸OS VETORIAIS
Intersec¸a˜o de subespac¸os vetoriais: A intersec¸a˜o de dois subespac¸os vetoriais do
mesmo espac¸o vetorial V e´ tambe´m um subespac¸o vetorial de V .
Sejam U e W dois subespac¸os vetoriais de V . A intersec¸a˜o de U e W , e´ representada
por U ∩W , onde U ∩W = {v ∈ V ; v ∈ Uev ∈ W}, e´ um subespac¸o vetorial.
Soma de subespac¸os vetoriais: Considere U e W dois subespac¸os vetoriais de V .
A soma de U e W , representada por U +W , e´ o conjunto de todos os vetores u+w
de V , definido como U +W = {u+ w;u ∈ Uew ∈ W}.
Soma direta de subespac¸os vetoriais: Sejam U e W dois subespac¸os vetoriais de
V . A soma direta V = U ⊕W, seV = U +W e U ∩W = {0}.
1.3 Combinac¸a˜o Linear
Considere dois ou mais vetores de um espac¸o vetorial, esses vetores podem ser
“combinados” usando-se as duas operac¸o˜es de um espac¸o vetorial: adic¸a˜o e multiplicac¸a˜o
por um escalar.
Seja um conjunto de vetores {v1,v2,. . . ,vn} de um espac¸o vetorial V . E sejam
escalares α1, α2,. . . , αn ∈ R . Todo vetor v escrito como
v = α1v1 + α2v2 + . . . αn
e´ chamado de uma combinac¸a˜o linear.
Exemplo 5 Todo vetor de R2 e´ uma combinac¸a˜o linear dos vetores −→i = (1,0) e−→
j = (0,1).
Exemplo 6 Todo vetor de R3 e´ uma combinac¸a˜o linear dos vetores −→i = (1,0,0),−→j =
(0,1,0) e
−→
k = (0,0,1).
Exemplo 7 Escrever v = (4,2,9) como combinac¸a˜o linear dos vetores v1 = (2,1,3), v2 =
(1,0,3), v3 = (1,0,0).
1.3. COMBINAC¸A˜O LINEAR 13
Soluc¸a˜o: Procuramos escalares a,b,c tais que: v = av1 + bv2 + cv3 , sendo assim:
(4,2,9) = a(2,1,3) + b(1,0,3) + c(1,0,0)
(4,2,9) = (2a,a,3a) + (b,0,3b) + (c,0,0)
(4,2,9) = (2a+ b+ c, a, 3a+ 3b)

2a+ 2b+ c = 4
a = 2→ a = 2, b = 1, c = −1
3a+ 3b = 9
v = 2v1 + v2 − v3
Definic¸a˜o: Definic¸a˜o: Seja V um espac¸o vetorial real,v1, v2,..., vn ∈ V e α1, α2,..., αn ∈
R.
O vetor
v =
n∑
i=1
αivi = α1v1 + α2v2...+ αnvn
E´ uma combinac¸a˜o linear de v1, v2,..., vn ∈ V .
Contra exemplo: O vetor v = (1, 1, 2) na˜o e´ combinac¸a˜o linear dos vetores (1, 0, 1) e
(2, 1, 1).
Soluc¸a˜o: Ter´ıamos que encontrar valores para os escalares a e b tais que: v = av1+bv2,
enta˜o:
(1,1,2) = a(1,0,1) + b(2,1,1)
(1,1,2) = (a,0,a) + (2b,b,b)
(1,1,2) = (a+ 2b,b,a+ b)
De acordo com a condic¸a˜o de igualdade entre vetores:
a+ 2b = 1
b = 1
a+ b = 2
Na˜o existe soluc¸a˜o que satisfac¸a o sistema, portanto o vetor v na˜o pode ser escrito
como combinac¸a˜o linear dos vetores dados.
14 CAPI´TULO 1. ESPAC¸OS VETORIAIS
Exemplo 8 Seja a matriz A =
[
2 3
1 4
]
e´ uma combinac¸a˜o linear das matrizes[
1 0
0 0
]
,
[
0 1
0 0
]
,
[
0 0
1 0
]
,
[
0 0
0 1
]
.
Pois [
2 3
1 4
]
= 2
[
1 0
0 0
]
+ 3
[
0 1
0 0
]
+ 1
[
0 0
1 0
]
+ 4
[
0 0
0 1
]
1.3.1 Agora tente resolver!
1. Dados os vetores u = (2,− 3,2) e v = (−1,2,4) em R3:
a. Escreva o vetor w = (7,− 11,2) como combinac¸a˜o linear de u e v.
b. Determine o valor de k para que o vetor (−8,14,k) seja uma combinac¸a˜o
linear de u e v.
c. Determinar uma condic¸a˜o entre a,b,c para que o vetor (a,b,c) seja uma
combinac¸a˜o linear de u e v.
2. V = M2(R) e considere:
v =
[
1 0
1 1
]
, u =
[−1 2
0 1
]
, w =
[
0 −1
2 1
]
Escrever o vetor y =
[
1 8
0 5
]
como combinac¸a˜o de v,u,w.
3. Expressar o polinoˆmio v = t2 + 4t − 3 sobre R como combinac¸a˜o linear dos
polinoˆmios p1 − 2t+ 5; p2 = 2t2 − 3t; p3 = t+ 3.
1.4 Subespac¸os Gerados
Vimos em Geometria Anal´ıtica, que os vetores
−→
i = (1,0,0),
−→
j = (0,1,0) ∈
R3 geram o plano xOy. Isto significa que todo vetor v = (x,y,0) desse plano e´
combinac¸a˜o linear de
−→
i e
−→
j .
O teorema que sera´ mostrado diz que se constru´ımos um conjunto W consistindo
de todos os vetores que podem ser dados por combinac¸o˜es lineares de v1,v2,. . . ,vn
1.4. SUBESPAC¸OS GERADOS 15
enta˜o W sera´ um subespac¸o de V .
Teorema: Seja V um espac¸o vetorial. Consideremos um subconjuntoA = {v1,v2,. . . ,vn} ⊂
V,A 6= 0. O conjunto W de todos os vetores de V que sa˜o combinac¸o˜es lineares de
A e´ um subespac¸o vetorial de V .
Demonstrac¸a˜o: Se u1 = a1v1+a2v2+...+anvn e u2 = b1v1+b2v2+...+bnvn ∈ V .
Temos:
a. u1 +u2 = (a1 + b1)v1 +(a2 + b2)v2 + ...+(an + bn)vn e´ tambe´m uma combinac¸a˜o
linear de v1 e v2. Em outras palavras, u1 + u2 ∈ W .
b. Seja u1 ∈ W e β ∈ R. Enta˜o u1 = β(a1v1 + a2v2 + ... + anvn) = (βa1v1) +
(βa2v2) + ... + (βanvn) e´ tambe´m uma combinac¸a˜o linear de v1 e v2 , ou seja,
βu1 ∈ W .
c. Observe que W 6= ∅, pois, 0 = 0v1 + ...+ 0vn. Logo 0 ∈ W .
O subespac¸o W = {v ∈ V/v = a1v1 + a2v2 + ... + anvn; a1...an ∈ R} diz-se
gerado pelos vetores v1, v2,. . . ,vn ou gerado pelo conjunto A e e´ representado
por:
W = [v1,v2,. . . ,vn] ou S = G(A)
Os vetores sa˜o chamados geradores do subespac¸o W . Todo conjunto A ⊂ V
gera um subespac¸o vetorial de V , podendo ocorrer G(A) = V . Nesse caso, A e´ um
conjunto gerador de V .
Exemplo 9 Os vetores
−→
i = (1,0),
−→
j = (0,1) geram o espac¸o vetorial de R2 pois
qualquer (x,y) ∈ R2 e´ uma combinac¸a˜o linear dos vetores i e j. Enta˜o [i,j] = R2.
Exemplo 10 R3 = [(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)]. Qualquer vetor do espac¸o pode ser escrito
como uma combinac¸a˜o linear desses treˆs vetores.
Observac¸a˜o: Considere o seguinte caso: {v1,v2,. . . ,vn} de um espac¸o vetorial V ,
se w ∈ V e´ tal que w = a1v1 + a2v2 + ...+ anvn. Enta˜o,
[v1,. . . ,vn,w] = [v1,. . . ,vn]
Pois todo o vetor v que e´ uma combinac¸a˜o linear de v1,. . . ,vn,w e´ tambe´m uma
combinac¸a˜o linear de v1,. . . ,vn.16 CAPI´TULO 1. ESPAC¸OS VETORIAIS
1.4.1 Agora tente resolver!
1. Determinar os subespac¸os gerados do R3 gerados pelos seguintes conjuntos:
a. A = {(6,− 4,1)}
b. A = {(1,0,1),(0,1,1),(−1,1,0)}
2. Determinar o subespac¸o gerado G(A) para A = {(2, − 2),(−4,4)}. O que
representa geometricamente esse subespac¸o?
3. Considere o seguinte conjunto A = {(−1,3, − 1),(1, − 2,4)}. Determine o
subespac¸o G(A) e o valor de k para que o vetor u = (5,k,11) pertenc¸a a G(A).
4. Mostre que os vetores (2,1) e (1,1) geram o R2.
1.5 Dependeˆncia e Independeˆncia Linear
Seja V um espac¸o vetorial e v1,v2,. . . ,vn ∈ V . Dizemos que o conjunto {v1,v2,. . . ,vn}
e´ Linearmente Independente (LI), ou que os vetores v1,v2,. . . ,vn sa˜o LI, se a equac¸a˜o
a1v1 + a2v2 + ...+ anvn = 0.
Sabemos que essa equac¸a˜o admite pelo menos uma soluc¸a˜o: a1 = 0, a2 = 0,. . . , an =
0, chamada soluc¸a˜o trivial. O conjunto de vetores acima diz-se LI ou os vetores
v1, v2,. . . , vn sa˜o LI caso a equac¸a˜o acima admita apenas a soluc¸a˜o trivial ⇒ a1 =
a2 = ... = an = 0.
No caso em que exista algum ai 6= 0 dizemos que {v1,v2,. . . ,vn} e´ Linearmente
Dependente (LD) ou que os vetores v1,v2,. . . ,vn sa˜o LD.
Teorema: O conjunto {v1,v2,. . . ,vn} e´ LD se, e somente se, um destes vetores for
uma combinac¸a˜o linear dos outros.
1.5. DEPENDEˆNCIA E INDEPENDEˆNCIA LINEAR 17
Observac¸o˜es:
1. Qualquer conjunto de vetores que contenha um subconjunto LD e´ LD.
2. Qualquer conjunto de vetores contendo o vetor nulo e´ LD.
3. Todo subconjunto de um conjunto LI e´ LI.
4. Um conjunto de dois vetores e´ LD se, e somente se, um deles e´ um mu´ltiplo
escalar do outro.
Exemplo 11 Os vetores i = (1,0) e j = (0,1) sa˜o linearmente independentes.
Exemplo 12 De forma ana´loga os vetores i = (1,0,0),j = (0,1,0) e k = (0,0,1)
tambe´m sa˜o linearmente independentes.
Exemplo 13 O conjunto
{[
1 0
0 0
]
,
[
0 1
0 0
]
,
[
0 0
1 0
]
,
[
0 0
0 1
]}
e´ linearmente independente.
Exemplo 14 Verifique se o seguinte conjunto e´ Linearmente Independente: {(1,2),(−1,−
3)} em R2.
Soluc¸a˜o: Sa˜o LI pois,
V = a1(1,2) + a2(−1,3) = (0,0)
= (a1, 2a1) + (−a2,−3a2) = 0
= (a1 − a2, 2a1 − 3a2) = 0⇒
a1 − a2 = 0
2a1 − 3a2 = 0
⇒ a1 = a2 ⇒ a1 = 0, a2 = 0
1.5.1 Agora tente resolver!
1. Classificar os seguintes conjuntos em LI ou LD:
a. {(2,− 1,0),(−1,3,0),(3,5,0)} ∈ R3
18 CAPI´TULO 1. ESPAC¸OS VETORIAIS
b. {(1,2,− 1),(2,4,− 2),(1,3,0)} ∈ R3
c. 2 + x− x2,−4− x+ 4x2, x+ 2x2 ∈ P2
d. 1 + x, x+ x2, 1 + x2 ∈ P2
e. {(2,1,0,0),(1,0,2,1),(−1,2,0,− 1)} ∈ R4
2. Sendo V o espac¸o vetorial das matrizes 2× 3, verificar se {A,B,C} e´ LI ou LD:
A =
[−1 2 1
3 −2 4
]
, B =
[
0 −1 2
−2 1 0
]
, C =
[−1 0 5
−1 0 3
]
3. Determinar o valor de k para que seja LI o conjunto: {(−1,0,2),(1,1,1),(k, −
2,0)}.
1.6 Base e Dimensa˜o
Queremos determinar um conjunto de vetores geradores de V tal que todos os
elementos sejam realmente necessa´rios para gerar V . Se pudermos encontrar tais
vetores, teremos os alicerces de nosso espac¸o, com estes vetores fazendo o mesmo
papel de
−→
i ,
−→
j ,
−→
k na geometria espacial.
Base: Um conjunto {v1, v2,. . . ,vn} de vetores de V sera´ uma base de V se:
a) {v1, v2,. . . ,vn} e´ Linearmente Independente
b) [v1, v2,. . . ,vn] = V,B gera V .
Se {v1, v2,. . . ,vn} e´ uma base para V , enta˜o qualquer vetor de V e´ escrito de maneira
u´nica como uma combinac¸a˜o linear dos vetores v1, v2,. . . ,vn.
Base padra˜o do Rn (Base Canoˆnica): E´ uma base que tem como coeficientes da
combinac¸a˜o linear os valores dos componentes do vetor:
R2 ⇒ Base canoˆnica e1 = (1,0), e2 = (0,1)
1.6. BASE E DIMENSA˜O 19
R3 ⇒ Base canoˆnica e1 = (1,0,0), e2 = (0,1,0), e3 = (0,0,1)
...
Rn ⇒ Base canoˆnica e1 = (1,0,...,0), e2 = (0,1,...,0), e3 = (0,0,...,1)
Exemplo 15 1. {(1, 0), (0, 1)} e´ uma base do R2.
2. {(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)} e´ uma base do R3.
Exemplo 16 Verifique se B = {(2,3),(4,6)} e´ uma base do V = R2.
Soluc¸a˜o: a) B e´ Linearmente Independente?
a1(2,3) + a2(4,6) = (0,0)
{
2a1 + 4a2 = 0⇒ 2a1 = −4a2 ⇒ a1 = −2a2
3a1 + 6a2 = 0
3(−2a2) + 6a2 = 0
−6a2 + 6a2 = 0
Portanto, B e´ linearmente dependente e na˜o e´ base de V = R2.
Teorema: Seja V espac¸o vetorial sobre R e {v1,v2,. . . ,vn} uma base para V . Enta˜o
qualquer conjunto no espac¸o V com mais de n vetores e´ necessariamente LD.
Exemplo 17 1. Treˆs ou mais vetores no plano R2 sa˜o sempre L.D.
2. Quatro ou mais vetores no espac¸o R3 sa˜o sempre LD.
3. Cinco ou mais matrizes de ordem 2× 2 ( em M2(R)) sa˜o sempre LD.
20 CAPI´TULO 1. ESPAC¸OS VETORIAIS
Observac¸a˜o: O teorema anterior e´ equivalente a “Um espac¸o vetorial gerado por n
vetores tem no ma´ximo n vetores LI.” e tem como consequeˆncia que “Qualquer base
de um espac¸o vetorial V tem sempre o mesmo nu´mero de vetores”.
Dimensa˜o: A dimensa˜o do espac¸o vetorial V e´ o nu´mero de vetores da base de V .
Assim, sendo V um espac¸o vetorial com uma base constitu´ıda por n vetores, diz-se
que V tem dimensa˜o n, dimV = n.
O espac¸o vetorial {0} constitu´ıdo somente pelo vetor nulo, e´ de dimensa˜o zero.
Exemplo 18 1. dim (R2) = 2
2. dim (R3) = 3
3. Generalizando: dim (Rn) = n
4. Se W e´ subespac¸o vetorial de V edim(V ) = n enta˜o dim(W ) ≤ n.
Observac¸o˜es:
• Se temos um conjunto de n vetores que geram um espac¸o de dimensa˜o n,
podemos garantir que este conjunto e´ LI e, portanto, forma uma base para o espac¸o.
• Se temos um conjunto de n vetores LI de um espac¸o de dimensa˜o n, podemos
garantir que o conjunto gera o espac¸o e, portanto, forma uma base para o mesmo.
• A dimensa˜o de um subespac¸o vetorial pode ser determinada pelo nu´mero de
varia´veis livres do seu vetor gene´rico.
Exemplo 19 Determinar a dimensa˜o do subespac¸o: S = {(x,y,z) ∈ R3/2x+y+z =
0}.
Soluc¸a˜o: Isolando z (ou x ou y ) na equac¸a˜o de definic¸a˜o tem-se: z = −2x− y, onde
x e y sa˜o varia´veis livres. Para qualquer vetor (x,y,z) ∈ S tem-se:
(x,y,z) = (x,y,− 2x− y)
ou
(x,y,z) = (x,0,− 2x) + (0,y,− y)
1.7. PRODUTO INTERNO 21
(x,y,z) = x(1,0,− 2) + y(0,1,− 1)
Como esses dois vetores geradores de S sa˜o LI o conjunto {(1,0, − 2),(0,1, − 1)} e´
uma base de S e a dimensa˜o: dimS = 2 nu´mero de varia´veis livres.
Observac¸a˜o: Uma base ordenada e´ uma base na qual fixamos a ordem dos seus
vetores, isto e´, quem e´ o primeiro vetor, quem e´ o segundo vetor, etc.
Componentes de um vetor: Dado o vetor v ∈ V como uma combinac¸a˜o linear
da seguinte forma:
v = α1v1 + α2v2 + ...+ αnvn
Sendo B = {v1, v2,. . . ,vn} uma base de V . Os nu´meros α1,α2, ..., αn sa˜o denominados
componentes ou coordenadas de vem relac¸a˜o a` base B e representamos por
vB = (α1,α2, ..., αn) ou vB =
α1...
αn

1.7 Produto Interno
Na Geometria Anal´ıtica, definimos o produto escalar entre vetores e foram estabelecidos
alguns conceitos geome´tricos como comprimento, distaˆncia e ortogonalidade no R2 e
R3 .
A ideia agora, e´ generalizar o conceito de produto interno e os conceitos citados
acima para Rn em espac¸os vetoriais.
Definic¸a˜o: Um produto interno no espac¸o vetorial V e´ um func¸a˜o de V × V em
R que a todo par de vetores (u,v) ∈ V × V associa um nu´mero real (u · v) , tal que
u · v = x1x2 + y1y2 + z1z2
que satisfazem os seguintes axiomas:
i. u · u ≥ 0 e u · u = 0 se, e somente se u = 0 Positividade
22 CAPI´TULO 1. ESPAC¸OS VETORIAIS
ii. u · v = v · u Simetria
iii. u · (v + w) = u · v + u · w Distributividade
iv. (αu) · v = α(u.v), para todo α ∈ R Homogeneidade
Consequeˆncias dos axiomas:
a. 0 · u = u · 0, para todo u ∈ V
b. (u+ v) · w = u · w + v · w
c. u · (αv) = α(u · v)
d. u · (v1 + · · ·+ vn) = u · v1 + · · ·+ u · vn
Espac¸o Vetorial Euclidiano: Um espac¸o vetorial real, de dimensa˜o finita, no
qual esta´ definidoum produto interno, e´ um espac¸o vetorial euclidiano.
Exemplo 20 Sejam u = (x1,y1) e v = (x2,y2), vetores em R2 verifique que o produto
interno u · v = 2x1x2 − 4y1y2, satisfaz os quatro axiomas do produto interno.
Soluc¸a˜o: i. u · u = 2x1x1 − 4y1y1 = 2x21 − 4y21 ≥ 0
E, u · u = 2x1x1 − 4y1y1 = 0⇔ x1 = y1 = 0
ii. u · v = 2x1x2 − 4y1y2 = 2x2x1 − 4y2y1 = v · u
iii. Se, w = (x3,y3):
u · (v + w) = (x1,y1) · (x2 + x3,y2 + y3)
u · (v + w) = (2x1x2 − 4y1y2) + (2x1x3 − 4y1y3) = u · v + u · w.
iv. (αu) · v = (αx1,αy1) · (x2,y2)
(αu) · v = 2(αx1)x2 − 4(αy1)y2 = α(2x1x2 − 4y1y2) = α(u · v)
1.7. PRODUTO INTERNO 23
Observac¸a˜o: Este produto interno e´ diferente daquele que realizamos em Geometria
Anal´ıtica, portanto, verificamos que existe mais de um produto interno em um mesmo
espac¸o.
Exemplo 21 Calcular o produto interno dos vetores u = (1,2) e v = (3, − 2) do
produto interno do exemplo anterior.
Soluc¸a˜o: u · v = 2x1x2 − 4y1y2 = 2(1)(3)− 4(2)(−2) = 6 + 16 = 22.
1.7.1 Agora tente resolver!
1. Considere V = R2 e dados u = (x1,y1),v = (x2,y2), verifique se u·v = x1x2+y1y2
e´ um produto interno. E, calcular o produto interno dos vetores u = (2,3),v =
(−2,3).
2. Sejam u = (x1,y1),v = (x2,y2) ∈ R2. Verifique quais das func¸o˜es f : V ×V → R,
definidas abaixo sa˜o produtos internos:
(a) f(u,v) = 3x1x2 − x1y2 − x2y1 + 3y1y2
(b) f(u,v) = 8x1x2
3. Sejam u = (x1,y1,z1),v = (x2,y2,z2) ∈ R3. Verifique se func¸a˜o e´ um produto
interno sobre R3: u · v = 3x1x2 + 5y1y2 + 2z1z2.
Observac¸a˜o:
1. Seja V = P2, polinoˆmios em P2: Considere u = a0 +a1x+a2x2 e v = b0 + b1x+
b2x
2, enta˜o a fo´rmula que define o produto interno sera´: u·v = a0b0+a1b1+a2b2.
2. O produto interno em Mnn: Sejam u e v matrizes de ordem 2,
u =
[
a1 b1
c1 d1
]
e v =
[
a2 b2
c2 d2
]
, temos que o produto interno e´ simplesmente o
produto escalar das entradas correspondentes das duas matrizes u · v = a1a1 +
b1b2 + c1c2 + d1d2.
3. Se V for o espac¸o das func¸o˜es cont´ınuas C[a,b]: Sejam f e g ∈ V duas func¸o˜es
cont´ınuas em C[a,b] e definimos f ·g = ∫ b
a
f(x) ·g(x)dx como o produto interno
das func¸o˜es cont´ınuas. A verificac¸a˜o dos axiomas fica a cargo do leitor.
24 CAPI´TULO 1. ESPAC¸OS VETORIAIS
Exemplo 22 Considere o conjunto das func¸o˜es cont´ınuas V = {f : [0,1]⇒ R}. Se
f(x) = x e g(x) = 3x− 2. Calcule f · f , f · g.
Soluc¸a˜o:
f · f = ∫ 1
0
f(x) · f(x)dx = ∫ 1
0
x · xdx = ∫ 1
0
x2dx = x
3
3
|10= 13
f · g = ∫ b
a
f(x) · g(x)dx = ∫ 1
0
x · (3x− 2)dx = ∫ 1
0
(3x2 − 2x)dx = x3 − x2 |10= 0
1.7.2 Agora tente resolver!
1. Repetir o exerc´ıcio anterior para as func¸o˜es f(t) = t2 − 2t e g(t) = t+ 3.
Mo´dulo ou Norma: e´ o nu´mero real na˜o negativo, |v| , definido por |v| = √v · v
=
√
x21 + y
2
1 + z
2
1 .
Propriedades:
a. |v| ≥ 0, para todo v ∈ V e |v| = 0 se, e somente se v = 0
b. |αv| = |α||v|, para todo v ∈ V e todo α ∈ R
c. |u · v| ≤ |u||v|, para todo u, v ∈ V
Prova: Se u = 0, os dois lados sa˜o iguais e sa˜o nulos. Vamos considerar u 6= 0,
v 6= 0 e α ∈ R, pela propriedade [i]:
(u+ αv) · (u+ αv) ≥ 0,
Efetuando o produto interno: u · u+ u(αv) + (αv · u) + α2(v · v) ≥ 0
|u|2 + α2|v|2 + 2(u · v)α ≥ 0 ou |v|2α2 + 2(u · v)α + |u|2 ≥ 0.
Temos um trinoˆmio do segundo grau em α, com |v|2 6= 0. Como o coeficiente
de α2 e´ sempre positivo, o discriminante deve satisfazer:
(2u · v)2 − 4|u|2|v|2 ≤ 0
4(u · v)2 − 4|u|2|v|2 ≤ 0
(u · v)2 ≤ |u|2|v|2
|u · v| ≤ |u||v|
Essa e´ a desigualdade de Cauchy-Schwarz.
1.7. PRODUTO INTERNO 25
d. |u+ v| ≤ |u|+ |v|
Prova: |u+ v|2 = |u|2 + 2(u · v) + |v|2, pelo item anterior,
|u+ v|2 ≤ |u|2 + 2|u| · |v|+ |v|2
|u+ v|2 ≤ (|u|+ |v|)2
Extraindo a raiz quadrada, obtemos |u + v| ≤ |u| + |v|, conhecida como
desigualdade triangular.
Distaˆncia: d(u,v) = |u− v| = √(x1 − x2)2 + (y1 − y2)2 + (z1 − z2)2.
Aˆngulo entre dois vetores: cosθ = u·v|u||v| , 0 ≤ θ ≤ pi.
Vetores ortogonais: u,v ∈ V , diz-se que u e v sa˜o ortogonais ortogonais se u·v = 0.
Conjunto ortogonal de vetores: Seja V um espac¸o vetorial. Um conjunto de
vetores {v1,v2,. . . ,vn} ⊂ V e´ ortogonal se dois vetores quaisquer, distintos, sa˜o
ortogonais, isto e´, vi · vj = 0 para i 6= j.
Um conjunto ortogonal de vetores na˜o nulosA = {v1,v2,. . . ,vn} e´ linearmente independente.
Justificativa: Considere a1v1 + a2v2 + ...+ anvn = 0 e fac¸amos o produto interno
(a1v1 + a2v2 + ...+ anvn) · vi = 0 · vi
ou
a1(v1 · vi) + a2(v2 · vi) + ...+ an(vn · vi) = 0
O conjunto A e´ ortogonal se vj · vi = 0, para j 6= i e vi · vi 6= 0 pois vi 6= 0. Enta˜o,
ai(vi · vi) = 0 se ai = 0.
Base Ortogonal: Uma base {v1,v2,. . . ,vn} de V e´ ortogonal se seus vetores sa˜o
dois a dois ortogonais.
Exemplo 23 Determinar os vetores (a,b,c) para que o conjunto B = {(1,−3,2),(2,2,2),(a,b,c)}
seja uma base ortogonal do R3 em relac¸a˜o ao produto interno usual.
Soluc¸a˜o:
v1 · v3 = 0⇒ a− 3b+ 2c = 0
v2 · v3 = 0⇒ 2a+ 2b+ 2c = 0
26 CAPI´TULO 1. ESPAC¸OS VETORIAIS
Resolvendo o sistema temos que a = −5b e c = 4b. Portanto, v3 = (−5b,b,4b) =
b(−5,1,4) para b 6= 0.
Base Ortonormal: Uma base {v1,v2,. . . ,vn} de um espac¸o vetorial euclidiano V
e´ ortonormal se B e´ ortogonal e todos os seus vetores sa˜o unita´rios,
vi.vj =
{
0 para i 6= j
1 para i = j
1.7.3 Agora tente resolver!
1. Construir a partir do conjunto B do exemplo anterior, uma base ortonormal.
(Observac¸a˜o: Dado um vetor na˜o nulo, o vetor v|v| e´ unita´rio. Neste caso
dizemos que o vetor esta´ normalizado e o processo que transforma o vetor v
em v|v| chama-se normalizac¸a˜o).
2. Seja V = R3 munido do produto interno usual e o conjunto A = {(1,−1,−2)} ⊂
V . Encontre uma base ortogonal B de V tal que A ⊂ B.
1.7.4 Processo de ortogonalizac¸a˜o de Gram-Schmidt:
Dado um espac¸o vetorial euclidiano V e uma base B = {v1,v2,. . . ,vn} desse
espac¸o, e´ poss´ıvel a partir dessa base, determinar uma base ortogonal de V . Supondo
que v1,v2,. . . ,vn na˜o sa˜o ortogonais, seguimos os seguintes passos:
w1 = v1
precisamos determinar a partir de v2 um novo vetor v2 ortogonal a w1. Para isso,
w2 = v2 − αw1 em que α e´ escolhido de modo que w2 seja ortogonal a w1, isto e´,
α = v2.w1
w1.w1
, enta˜o, w2 = v2 −
(
v2.w1
w1.w1
)
w1. Assim, os vetores w1 e w2 sa˜o ortogonais.
O processo segue de maneira analo´ga, para o vetor: w3 = v3 − a2w2 − a1w1,
determina-se os valores de a1 e a2 de maneira que o vetor w3 seja ortogonal aos
vetores w1 e w2. Assim,
w3 = v3 −
(
v3.w2
w2.w2
)
w2 −
(
v3.w1
w1.w1
)
w1
Enta˜o, os vetores w1,w2 e w3 sa˜o ortogonais.
1.7. PRODUTO INTERNO 27
Pode-se concluir o teorema por induc¸a˜o, para um conjunto com n vetores:
wn = vn − (an−1)wn−1 − · · · − a2w2 − a1w1
Dessa forma, a partir de um conjunto B = {v1,v2} obtemos uma base ortogonal
{w1,w2}. Para obter uma base ortonormal, basta normalizar cada wi, onde ui = wi|wi| ,
obtendo assim uma base B′ = {u1,u2} que e´ ortonormal em relac¸a˜o a base B.
Exemplo 24 Considere o conjunto B = {(3,4),(1,2)} ∈ R2, ortonormalizar essa
base pelo processo de Gram-Schmidt, segundo o produto interno usual de cada espac¸o.
Soluc¸a˜o:
Passo 1:
w1 = v1 = (3,4)
u1 =
w1
|w1| =
(3,4)
|(3,4)| = (
3
5
,
4
5
)
Passo 2:
w2 = v2 − (v2 · u1) · u1
v2 · u1 = (1,2) · (3
5
,
4
5
) =
11
5
w2 = (1,2)− 11
5
(
3
5
,
4
5
) = (
−8
25
,
6
25
)
u2 =
w2
|w2| = (
−8
10
,
6
10
)
Portanto B′ = {(3
5
,4
5
),(−8
10
, 6
10
)}.
Resumo: Dado um conjunto {v1,v2, . . . ,vn} ∈ V , na˜o ortogonal, enta˜o:
ˆ w1 = v1
ˆ w2 = v2 − (v2 · u1) · u1
ˆ w3 = v3 − (v3 · u2) · u2 − (v3 · u1) · u1
ˆ
...
ˆ wn = vn − (vn · un−1) · un−1 − . . .− (vn · u2) · u2 − (vn · u1) · u1
28 CAPI´TULO 1. ESPAC¸OS VETORIAIS
1.7.5 Agora tente resolver!
1. Considere o seguinteconjunto B = {(1,0,0),(0,1,1),(0,1,2)}. Ortonormalizar
essa base pelo processo de Gram-Schmidt, segundo o produto interno usual
R3.
2. Verifique se a base B = {(2,1, − 1),(0,1,1),(1, − 1,1)} do R3 e´ ortogonal e
construa uma base ortonormal a partir de B.
3. Determine quais dos conjuntos de vetores sa˜o base ortogonais:
(a) {
−31
2
 ,
24
1
 ,
 1−1
2
}
(b) {
 31
−1
 ,
−12
1
 ,
 2−2
4
}
(c) {

2
3
−1
4
 ,

−2
1
−1
0
 ,

−4
−6
2
7
}
4. Verifique se os vetores formam uma base ortogonal para R2 ou R3 e escreva w
como combinac¸a˜o linear dos vetores dessa base:
(a) v1 = (4,− 2),v2 = (1,2),w = (1,− 3).
(b) v1 = (1,0,− 1),v2 = (1,2,1),v3 = (1,− 1,1),w = (1,1,1).
5. Verifique se cada um dos conjuntos abaixo sa˜o ortonormais:
(a) {
[
3
5
4
5
]
,
[−4
5
3
5
]
}
(b) {
[
1
2
1
2
]
,
[
1
2−1
2
]
}
6. Aplique o processo de Gram-Schmidt para construir uma base ortonormal para
o conjunto B = {v1 = (1,− 1,− 1,1),v2 = (2,1,0,1),v3 = (2,2,1,2)}
1.8. LISTA DE EXERCI´CIOS 3 29
1.8 Lista de exerc´ıcios 3
1. Mostrar se os conjuntos com as operac¸o˜es de adic¸a˜o e multiplicac¸a˜o por escalar
definidos sa˜o ou na˜o espac¸os vetoriais. Para aqueles que na˜o sa˜o citar os
axiomas que na˜o se verificam:
(a) R3,(x,y,z) + (x′,y′,z′) = (x+ x′,y + y′,z + z′) e k(x,y,z) = (0,0,0).
(b) o conjunto de todos os vetores em R2 da forma
[
y
y
]
com as operac¸o˜es
usuais de adic¸a˜o e multiplicac¸a˜o por escalar.
(c) o conjunto de todas as matrizes 2 × 2 triangulares superiores, com as
operac¸o˜es usuais de adic¸a˜o de matrizes e multiplicac¸a˜o por escalar.
(d) R2,(x,y) + (x′,y′) = (x+ x′,y + y′) e α · (x,y) = (α2x,α2y).
Resposta: b) e c) sa˜o espac¸os vetoriais.
2. Verificar se o seguinte conjunto V = {f : R → R}, onde f e g ∈ V e α ∈ R,
definido por: (f,g)→ (f + g)(x) = f(x) + g(x) e´ um espac¸o vetorial.
3. Verificar quais dos subconjuntos de R2 sa˜o subespac¸os vetoriais de R2 relativamente
a`s operac¸o˜es de adic¸a˜o e multiplicac¸a˜o por escalar usuais:
(a) o conjunto de todas as matrizes diagonais n× n.
(b) S = {(x,x2)|x ∈ R}
(c) o conjunto W de todos os polinoˆmios da forma a+ bx− bx2 + ax3 + bx4.
(d) S = {(x,y) ∈ R2|y = x+ 4}.
Resposta: a) e c)
4. Verificar se o conjunto dado e´ um subespac¸o vetorial: V = R5,W = {(0,x2,x3,x4,x5)|xi ∈
R}.
5. Mostre que o seguinte subconjunto de R4 e´ um subespac¸o vetorial: W =
{(x,y,z,t) ∈ R4|x+ y = 0; z − t = 0}.
6. Verifique se o conjunto W e´ um subespac¸o vetorial W = {(a,2a,3a);α ∈ R},
V = R3.
7. Escreva o vetor w = (−4,7,7) como combinac¸a˜o linear dos vetores v = (1,2,−1)
e u = (−2,1,3).
30 CAPI´TULO 1. ESPAC¸OS VETORIAIS
8. Quais dos vetores abaixo sa˜o combinac¸o˜es lineares de u = (0, − 2,2) e v =
(1,3,− 1):
(a) (1,− 1,0)
(b) (2,2,2)
(c) (3,1,5)
9. Escreva w como combinac¸a˜o linear de v1,v2,v3 : v1 = (1,1),v2 = (−1,1),v3 =
(3,0),w = (1,− 4).
10. Considere os vetores v1 = (1,2,5), v2 = (7,− 1,5) e v3 = (1,− 1,− 1), vetores do
R3. Esses vetores sa˜o LD, escreva um desses vetores como combinac¸a˜o linear
dos outros dois. (Dica: considere x1v1 +x2v2 +x3v3 = 0, resolva o sistema para
determinar x1, x2, x3).
11. Escreva a matrizA =
[
6 0
3 8
]
como combinac¸a˜o linear de: A1 =
[
4 0
−2 −2
]
,A2 =[
1 −1
2 3
]
, A3 =
[
0 2
1 4
]
.
12. Escreva a matrizA como combinac¸a˜o linear de: A1 =
[
1 −1
0 3
]
,A2 =
[
1 1
0 2
]
, A3 =[
2 2
−1 1
]
sabendo que A =
[
3 −1
−1 5
]
.
13. Explique por que o conjunto de vetores dado e´ linearmente independente: u =
(−1,2,4) e v = (5,− 10,− 20) em R3.
14. Classificar os seguintes subconjuntos do R2 em LI ou LD:
(a) {(2,− 1),(3,5)}
(b) {(1,3),(2,6)}
Respostas: a)LI, b)LD
15. Classificar o seguinte subconjunto do R3 em LI ou LD:
(a) {(2,1,3),(0,0,0),(1,5,2)}
1.8. LISTA DE EXERCI´CIOS 3 31
Resposta: LD
16. Quais dos conjuntos de vetores abaixo formam uma base para R2 ?
(a) {(1,3),(−1,1)}
(b) {(1,3),(−2,6)}
(c) {(1,2),(2,− 3),(3,2)}
(d) {(3,− 1),(2,3)}
(e) {(0,1),(0,2)}
Resposta: a), b), d).
17. Mostrar que os vetores v1 = (1,1,1),v2 = (0,1,1),v3 = (0,0,1) geram o R3.
Resposta: (x,y,z) = xv1 + (y − x)v2 + (z − y)v3.
18. Mostre que:
{[
1 0
0 0
]
,
[
0 1
0 0
]
,
[
0 0
1 0
]
,
[
0 0
0 1
]}
e´ uma base de M(2,2).
19. Determine geradores para os seguintes subespac¸os:
(a) W = {(x,y,z) ∈ R3, x− y − z = 0}
(b) W = {(x,y,z)R3,x− y − z = 0 ex+ 2y = 0}
Resposta: a)W = [(1,1,0),(1,0,1)] b)W = [(−2,1− 3)]
20. Verifique se sa˜o verdadeiras ou falsas as afirmac¸o˜es:
( ) Dois vetores sa˜o LD se, e somente se, um deles e´ mu´ltiplo do outro.
( ) Um conjunto que conte´m um subconjunto de vetores LD e´ LD.
( ) Um subconjunto de um conjunto LI pode ser LD.
21. Dados os seguintes subespac¸os do R4:
(a) S1 = {(a,b,c,d)|a+ b+ c = 0}
(b) S2 = {(a,b,c,d)|a− 2b = 0,c = 3d}
Determinar a dimensa˜o de S1 e S2 e uma base de S1 e S2.
Resposta: a) dimS1 = 3 b) dimS2 = 2.