Gabarito Provinha 3

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Microeconomia II - Gabarito Provinha #3
Tiago Ferraz
27 de setembro de 2015
1. Uma alocac¸a˜o eficiente e´ aquela resultante da soluc¸a˜o do problema de Pareto da economia, ou seja,
o problema do planejador central. Lembre-se que o planejador central conhece todas as informac¸o˜es
necessa´rias para alocar os recursos da melhor maneira poss´ıvel, portanto, ele na˜o precisa do sistema
de prec¸os para sinalizar escassez.
(a) Neste caso, o planejador escolhe as quantidades que sera˜o consumidas por ambos os indiv´ıduos,
de ambos os bens, ale´m da quantidade de insumo que sera´ usada na produc¸a˜o, de modo a
maximizar a utilidade de ambos os indiv´ıduos. Esta escolha e´ restrita pela disponibilidade
de recursos na economia. Repare que o bem 1 sera´ alocado entre consumo para ambos os
indiv´ıduos e tambe´m como insumo para a produc¸a˜o do bem 2. E´ por isto que temos 3
varia´veis de escolha para este bem: xA1, xB1 e x1. Como na˜o existe dotac¸a˜o inicial do bem 2,
a demanda agregada por ele devera´ ser igual a` produc¸a˜o. Assim, temos
max
xA1,xA2,xB1,xB2,x1
λ1uA(xA1, xA2) + λ2uB(xB1, xB2)
s.t. xA1 + xB1 + x1 ≤ wA1 + wB1 = w¯1
xA2 + xB2 ≤ f(x1)
Para simplificar o problema, vamos supor que as restric¸o˜es valem com igualdade. Agora, basta
escrever o lagrangeano e tirar as condic¸o˜es de primeira ordem:
L = λ1uA(xA1, xA2) + λ2uB(xB1, xB2) + γ[w¯1 − xA1 − xB1 − x1] + µ[f(x1)− xA2 − xB2]
CPO :
(xA1) : λ1
∂uA
∂xA1
− γ = 0⇒ γ = λ1 ∂uA
∂xA1
(1)
(xA2) : λ1
∂uA
∂xA2
− µ = 0⇒ µ = λ1 ∂uA
∂xA2
(2)
(xB1) : λ2
∂uB
∂xB1
− γ = 0⇒ γ = λ2 ∂uB
∂xB1
(3)
(xA2) : λ2
∂uB
∂xB2
− µ = 0⇒ µ = λ2 ∂uB
∂xB2
(4)
(x1) : −γ + µ∂f(x1)
∂x1
= 0⇒ ∂f(x1)
∂x1
=
γ
µ
(5)
1
Por (1) e (2), temos
γ
µ
=
��λ1
∂uA
∂xA1
��λ1
∂uA
∂xA2
= TMSA1,2
Da mesma forma, por (3) e (4), temos
γ
µ
=
��λ2
∂uB
∂xB1
��λ2
∂uB
∂xB2
= TMSB1,2
Igualando ambas as expresso˜es a` equac¸a˜o (5), temos
TMSA1,2 = TMS
B
1,2 =
γ
µ
=
∂f(x1)
∂x1
(b) Neste item ha´ um pequeno erro no enunciado. O certo seria: mostre que
TMSA + TMSB =
1
∂f(x1)
∂x1
Agora o bem 2 e´ um bem pu´blico, o que significa que na˜o podemos determinar uma quantidade
para cada indiv´ıduo. Na˜o faz mais sentido pensarmos em xA2 e xB2. O planejador vai
determinar um u´nico n´ıvel g que sera´ usado por ambos. O problema de Pareto e´
max
xA1,,xB1,x1,g
λ1uA(xA1, g) + λ2uB(xB1, g)
s.t. xA1 + xB1 + x1 ≤ wA1 + wB1 = w¯1
g = f(x1)
Novamente, escrevemos o lagrangeano e tiramos as condic¸o˜es de primeira ordem:
L = λ1uA(xA1, g) + λ2uB(xB1, g) + γ[w¯1 − xA1 − xB1 − x1] + µ[f(x1)− g]
CPO :
(xA1) : λ1
∂uA
∂xA1
− γ = 0⇒ λ1 = γ∂uA
∂xA1
(1)
(xB1) : λ2
∂uB
∂xB1
− γ = 0⇒ λ2 = γ∂uB
∂xB1
(2)
(g) : λ1
∂uA
∂g
+ λ2
∂uB
∂g
− µ = 0⇒ µ = λ1 ∂uA
∂g
+ λ2
∂uB
∂g
(3)
(x1) : −γ + µ∂f(x1)
∂x1
= 0⇒ ∂f(x1)
∂x1
=
γ
µ
(4)
2
Substituindo (1) e (2) na equac¸a˜o (3), temos
µ =
γ
∂uA
∂xA1
.
∂uA
∂g
+
γ
∂uB
∂xB1
.
∂uB
∂g
= γ

∂uA
∂g
∂uA
∂xA1
+
∂uB
∂g
∂uB
∂xB1

︸ ︷︷ ︸
TMSAg,1+TMS
B
g,1
⇒ µ
γ
= TMSAg,1 + TMS
B
g,1
Substituindo na equac¸a˜o (4)
TMSAg,1 + TMS
B
g,1 =
1
∂f(x1)
∂x1
2. Esta questa˜o e´ um exemplo t´ıpico do problema conhecido na literatura como “Trage´dia dos co-
muns”. Trata-se do problema associado a` explorac¸a˜o de recursos que sa˜o de uso comum a um
determinado grupo.
(a) Na soluc¸a˜o eficiente, todos se comportam como se fossem so´cios de uma u´nica firma que
explora o recurso. Como todas as firmas esta˜o agindo de maneira coordenada, basta encontrar
o nu´mero total de barcos que maximiza o lucro desta firma:
max
B
11B −B2 −B = 10B −B2
CPO : 10− 2B = 0⇒ B∗ = 5
(b) Na soluc¸a˜o descentralizada, cada firma esta´ interessada apenas em maximizar o seu lucro, sem
levar em conta o fato de que a partir de um certo n´ıvel, B∗, quanto mais barcos ela puser no
mar menor sera´ a produc¸a˜o agregada da regia˜o. Cada firma resolve o seu problema individual
max
bi
bi
B
(11B −B2)− bi
CPO :
1
B
(11B −B2)− 1 = 0⇒ 11−B − 1 = 0⇒ B∗∗ = 10
(c) No problema da trage´dia dos comuns, como na˜o ha´ uma boa definic¸a˜o dos direitos de pro-
priedade, cada firma agindo individualmente ira´ ignorar a externalidade que impo˜e sobre os
demais (o que e´ captado pelo termo quadra´tico da func¸a˜o de produc¸a˜o). Assim, o custo pri-
vado percebido por cada firma sera´ menor do que o custo social, o que leva a uma explorac¸a˜o
do recurso comum ale´m do n´ıvel socialmente o´timo.
(d) O imposto pigouviano aumenta o custo privado de cada firma, de modo que a soluc¸a˜o de seu
problema de maximizac¸a˜o de lucros seja equivalente ao o´timo social. Agora, cada firma se
defronta com o seguinte problema:
max
bi
bi
B
(11B −B2)− (1 + τ)bi
CPO :
1
��B
(11��B −B �2)− (1 + τ) = 0⇒ 10− τ −B = 0
3
Como queremos a taxa τ que induz ao n´ıvel o´timo B∗ = 5, temos
10− τ = 5⇒ τ = 5
4