Álgebra Linear I - Poli - P2 - 2008

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Com excec¸a˜o da Questa˜o 15, em todas as questo˜es da prova con-
sidera-se fixado um sistema de coordenadas Σ = (O,E), onde E e´
uma base ortonormal positiva.
1Q1. Considere o ponto A = (1, 2, 3), a reta r : x+12 =
y−1
3 = z − 2 e o
plano pi : x− 2y + 3z = 0. Sabendo-se que s e´ uma reta que passa por A, e´
concorrente com r e e´ paralela ao plano pi, pode-se afirmar que uma equac¸a˜o
vetorial para s e´:
(a) s : X = (1, 2, 3) + λ(2,−5,−4), λ ∈ R;
(b) s : X = (−7,−5,−1) + λ(−1, 1, 1), λ ∈ R;
(c) s : X = (−1,−2,−3) + λ(4, 5, 2), λ ∈ R;
(d) s : X = (1, 2, 3) + λ(2, 1, 0), λ ∈ R;
(e) s : X = (−7,−8,−1) + λ(4, 5, 2), λ ∈ R.
1Q2. Sejam ~n1, ~n2 vetores na˜o nulos normais aos planos pi1 e pi2, respecti-
vamente. Seja r uma reta e ~u um vetor na˜o nulo paralelo a r. Considere as
seguintes treˆs afirmac¸o˜es:
(I) se a intersec¸a˜o de pi1 e pi2 e´ uma reta concorrente com r enta˜o os
vetores ~n1, ~n2 e ~u sa˜o linearmente independentes.
(II) Se pi1∩pi2∩ r e´ uma reta enta˜o os vetores ~n1, ~n2 e ~u sa˜o linearmente
dependentes.
(III) Se os vetores ~n1, ~n2 e ~u sa˜o linearmente independentes enta˜o a in-
tersec¸a˜o pi1 ∩ pi2 ∩ r possui um u´nico ponto.
Assinale a alternativa correta:
(a) apenas a afirmac¸a˜o (II) e´ falsa;
(b) apenas as afirmac¸o˜es (II) e (III) sa˜o falsas;
(c) apenas a afirmac¸a˜o (I) e´ falsa;
(d) apenas a afirmac¸a˜o (III) e´ falsa;
(e) as afirmac¸o˜es (I), (II) e (III) sa˜o todas falsas.
1Q3. O sime´trico do ponto P = (−3, 2, 1) em relac¸a˜o ao plano:
pi : x− y + z − 6 = 0
e´ um ponto cuja soma das coordenadas e´:
(a) 203 ;
(b) 503 ;
(c) 43 ;
(d) 103 ;
(e) 73 .
1Q4. Sejam a, b ∈ R e considere o sistema linear:
x− 2y + z − 2w = a,
x− y + z − w = b,
2x− 5y + 2z − 5w = 0,
com inco´gnitas x, y, z e w. Pode-se afirmar que:
(a) para quaisquer a, b ∈ R o sistema possui uma u´nica soluc¸a˜o;
(b) existem a, b ∈ R tais que o sistema possui uma u´nica soluc¸a˜o;
(c) para quaisquer a, b ∈ R o sistema possui infinitas soluc¸o˜es;
(d) existem a, b ∈ R tais que o sistema possui infinitas soluc¸o˜es;
(e) para quaisquer a, b ∈ R o sistema na˜o possui soluc¸a˜o.
1Q5. Considere as retas:
r :

x = −1 + λ,
y = λ,
z = λ,
λ ∈ R, s :
{
x+ 1 = 0,
y − z = 0.
Os pontos de r que distam 3 da reta s sa˜o:
(a) (−1 +√3,√3,√3) e (−1−√3,−√3,−√3);
(b) (3, 4, 4) e (−4,−3,−3);
(c) (−1 +√3,√3,√3) e (−1 + 3√3, 3√3, 3√3);
(d) (2, 3, 3) e (3, 4, 4);
(e) (2, 3, 3) e (−4,−3,−3).
1Q6. O plano pi passa pela origem do sistema de coordenadas e e´ paralelo
a`s retas:
r : x− 1 = 2y + 1 = z − 3, s : x+ 2 = −y + 1 = 2z + 2.
A distaˆncia do ponto P = (2, 1, 3) ao plano pi e´:
(a) 6√
65
;
(b) 665 ;
(c) 4√
65
;
(d) 4
√
65;
(e) 6
√
65.
1Q7. A respeito das retas reversas:
r : X = (0, 0, 0) + λ(1,−1, 2), λ ∈ R,
s : X = (1, 5, 5) + µ(−1, 1, 1), µ ∈ R,
a afirmac¸a˜o falsa e´:
(a) uma equac¸a˜o geral do plano que conte´m a reta r e e´ paralelo a` reta s e´
x− y − z = 0;
(b) um vetor diretor da reta perpendicular a r e a s e´ (1, 1, 0);
(c) a distaˆncia d(r, s) e´ 3
√
2;
(d) a reta t : X = (1,−1, 2) + α(−1, 1, 1), α ∈ R e´ concorrente com r e e´
paralela a s;
(e) a projec¸a˜o ortogonal da origem do sistema de coordenadas sobre a reta
s e´ o ponto P = (4, 2, 2).
1Q8. Das alternativas abaixo, aquela que conte´m uma afirmac¸a˜o falsa e´:
(a) (~u ∧ ~v) · ~w = ~u · (~v ∧ ~w), para quaisquer ~u,~v, ~w ∈ V 3;
(b) [~u,~v, ~w] = [~u,~v, 2~u+ 3~v + ~w], para quaisquer ~u,~v, ~w ∈ V 3;
(c) [~u,~v, ~w] = −[~u, ~w,~v], para quaisquer ~u,~v, ~w ∈ V 3;
(d) dados ~u,~v, ~w ∈ V 3, se [~u,~v, ~w] > 0 enta˜o F = (~u,~v, ~w) e´ uma base
positiva de V 3;
(e) [λ~u, λ~v, λ~w] = λ[~u,~v, ~w], para todos ~u,~v, ~w ∈ V 3 e todo λ ∈ R.
1Q9. Considere as retas:
r :
x− 1
2
=
y + 1
3
= z + 2, s : (1, 3, 2) + λ(2, 1, 1), λ ∈ R.
A u´nica reta perpendicular a r e a s corta s no ponto:
(a) (1, 3, 2);
(b) (3, 4, 3);
(c)
(
7
5 ,
16
5 ,
11
5
)
;
(d)
(
2, 72 ,
5
2
)
;
(e)
(
13
5 ,
19
5 ,
14
5
)
.
1Q10. Sejam a, b ∈ R e considere o sistema linear:
x1 + x2 + x3 = 1,
2x1 + ax2 − x3 = 2a,
3x1 + 2x2 + bx3 = 0,
com inco´gnitas x1, x2 e x3. Qual das alternativas conte´m as condic¸o˜es sobre
a e b que tornam esse sistema imposs´ıvel?
(a) −(2− a)(b+ 3) + 1 = 0 e a 6= 1;
(b) (2− a)(3− b)− 3 = 0 e a 6= 4;
(c) ab− 3a− 2b+ 7 6= 0;
(d) −(2− a)(b+ 3) 6= 0 e ab− 3a 6= 0;
(e) a 6= 1 e b = 2a.
1Q11. Se pi, pi′ sa˜o planos distintos paralelos ao plano x + 2y + z − 1 = 0
que distam
√
6
2 do ponto P = (1, 0, 1) enta˜o equac¸o˜es gerais para pi e pi
′ sa˜o:
(a) x+ 2y + z + 1 = 0 e x+ 2y + z − 5 = 0;
(b) x+ 2y + z − 2 = 0 e 2x+ 4y + 2z + 1 = 0;
(c) 3x+ 6y + 3z − 2 = 0 e x+ 2y + z + 1 = 0;
(d) 2x+ 4y + 2z + 1 = 0 e x+ 2y + z − 5 = 0;
(e) 2x+ 4y + 2z − 1 = 0 e x+ 2y + z + 1 = 0.
1Q12. Seja pi um plano que conte´m a reta:
r :

x = −1,
y = λ,
z = λ,
λ ∈ R,
e que dista 1 do ponto C = (0,−1, 0). Pode-se afirmar que uma equac¸a˜o
geral para pi e´:
(a) pi : x− y + z + 1 = 0 ou pi : x+ 1 = 0;
(b) pi : y − z = 0 ou pi : x− 2y + 2z + 1 = 0;
(c) pi : x− 1 = 0 ou pi : x+ 2y − 2z + 1 = 0;
(d) pi : x+ 1 = 0 ou pi : x+ 2y − 2z + 1 = 0;
(e) pi : x+ 1 = 0 ou pi : x− 2y + 2z + 1 = 0.
1Q13. Considere os planos:
pi1 : x− 3y + 2z = 2, pi2 : −2x+ y + z = 1,
e a reta r = pi1 ∩ pi2. O valor de m ∈ R para o qual a reta r e´ concorrente
com a reta s : X = (1,−1, 2) + λ(−1, 2,m), λ ∈ R e´:
(a) −13 ;
(b) 2;
(c) 3;
(d) −1;
(e) 12 .
1Q14. Seja ABCD um tetraedro cujo volume e´ igual a 12. Se M , N sa˜o
pontos tais que 2
−−→
BM =
−−→
BD e 3
−−→
DN =
−−→
DC enta˜o o volume do tetraedro
ABMN e´ igual a:
(a) 6;
(b) 2;
(c) 8;
(d) 3;
(e) 4.
1Q15. Considere um cubo ABCDEFGH como na figura abaixo:
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
A B
CD
E F
GH
e sejam Σ = (H, E), Σ′ = (D, E ′) sistemas de coordenadas, onde:
E = (−−→FC,−→AC,−−→BF ), E ′ = (−−→EF,−−→AD,−−→GC).
Se um ponto P tem coordenadas (3,−1, 2) no sistema Σ enta˜o suas coorde-
nadas no sistema Σ′ sa˜o:
(a) (−1, 2, 0);
(b) (−1,−2, 0);
(c) (1, 2, 0);
(d) (1,−2, 0);
(e) (0,−1, 2).
1Q16. A medida em radianos do aˆngulo entre os vetores ~u e ~v e´ pi3 e o vetor
~w e´ ortogonal a ~u e a ~v. Sabendo-se que ‖~u‖ = 2, ‖~v‖ = 1 e ‖~w‖ = 3 e que
(~u,~v, ~w) e´ uma base negativa de V 3, pode-se concluir que [~u,~v, ~w] e´ igual a:
(a) 3
√
3;
(b) 6;
(c) −3;
(d) 3;
(e) −3√3.
1Q17. Sejam ~u,~v ∈ V 3 vetores linearmente independentes e m ∈ R. Con-
sidere os planos de equac¸o˜es:
pi1 : X = (3, 1, 2) + λ(~u+ ~v) + µ(~u− ~v),
pi2 : X = (1, 2, 1) + λ(~u+m~v) + µ(m~u− ~v).
Pode-se afirmar que:
(a) se m = 1 enta˜o pi1 = pi2;
(b) para todo m ∈ R na˜o nulo, os planos pi1 e pi2 sa˜o distintos;
(c) para todo m ∈ R, existe um plano pi3 que e´ paralelo a pi1 e a pi2;
(d) para todo m ∈ R, a intersec¸a˜o de pi1 e pi2 e´ uma reta;
(e) apenas para m = 1 tem-se que os planos pi1 e pi2 sa˜o distintos.
1Q18. Considere as retas:
r :
{
x− z = 3,
2x+ y = −1, s : −
x
2
= y − 5 = z.
Pode-se afirmar que:
(a) r ∩ s = {(0, 5, 0)};
(b) r e s sa˜o reversas;
(c) r = s;
(d) r ∩ s = {(3,−7, 0)};
(e) r e s sa˜o paralelas distintas.
1Q19. Sabe-se que A = (2,−1, 2) e´ um ve´rtice de um quadrado que possui
uma diagonal contida na reta r : x− 1 = −y−12 = z− 1. Pode-se afirmar que
outro ve´rtice desse quadrado e´:
(a)
(
2
3 ,−73 , 23
)
;
(b)
(
4
3 ,−53 , 43
)
;
(c)
(
4
3 ,
5
3 ,
4
3
)
;
(d)
(
2
3 ,
1
3 ,
2
3
)
;
(e)
(−23 ,−23 ,−23).
1Q20. Seja ~v = (2, 2, 1) ∈ V 3 e considere o plano pi : x + y + 2z = 5. Se ~p
e´ um vetor paralelo a pi, ~q e´ um vetor ortogonal a pi e ~v = ~p + ~q, enta˜o ~p e´
igual a:
(a) ~p = (3, 1,−2);
(b) ~p = (0, 2,−1);
(c) ~p = (1, 1,−1);
(d) ~p = (2, 0,−1);
(e)~p = (1,−1, 0).