Lista de exercícios - Espaços e subespaços vetoriais

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UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO GRANDE DO NORTE 
ESCOLA DE CIÊNCIAS E TECNOLOGIA 
ÁLGEBRA LINEAR – Turma 05 
PROFESSOR SÉRGIO LUIZ - sergioluiz@ect.ufrn.br 
 
LISTA DE EXERCÍCIOS - Espaços e subespaços vetoriais 
 
 
ESTA LISTA DE EXERCÍCIO É APENAS COMPLEMENTAR AOS EXERCÍCIOS CONTIDOS NOS LIVROS 
CITADOS NAS REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS DESTE CURSO. 
 
 
1. (Modificado de Lay, 1997) Seja V o primeiro quadrante do plano xy , isto é, seja V = 
 . 
 
a) Se u e v estão em V, será que u + v está em V? Por quê? 
b) Determine um certo vetor v, em V, e um certo escalar c tal que cv não pertença a V. 
c) Afinal, V é um subespaço vetorial de ? 
 
2. Considere os conjuntos abaixo. Verifique quais são espaços vetoriais. 
 
a) Seja W o primeiro e o terceiro quadrante do plano xy , isto é, seja W = 
 . 
b) Seja H o conjunto de pontos no interior do círculo unitário no plano xy , isto é, seja W = 
 . 
c) W = , onde . 
d) V = . 
 
 
3. (Prova 2016.2) Indique quais dos conjuntos abaixo são subespaços vetoriais do . 
Justifique, sucintamente, a sua resposta. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
4. (Anton, 2001) Determine quais dos seguintes conjuntos são subespaços de . 
a) Todos os vetores da forma (a, 0, 0). 
b) Todos os vetores da forma (a, 1 , 1). 
c) Todos os vetores da forma (a, b, c), com b = a + c. 
d) Todos os vetores da forma (a, b, c), com b = a + c + 1. 
 
5. (Anton, 2001) Determine quais dos seguintes conjuntos são subespaços de M22: 
a) todas as matrizes 2 x 2 com entradas inteiras; 
b) todas as matrizes 
 
 
 
 , tais que a + b + c + d = 0. 
c) todas as matrizes A2X2 tais que det(A) = 0. 
d) Todas as matrizes da forma 
 
 
 
 
 
6. (Anton, 2001) Determine quais dos seguintes conjuntos são subespaços de P3. 
a) Todos os polinômios a0 + a1x + a2x
2 + a3x
3 para os quais a0 = 0. 
b) Todos os polinômios a0 + a1x + a2x
2 + a3x
3 para os quais a0 +a1 +a2 +a3 = 0. 
c) Todos os polinômios a0 + a1x + a2x
2 + a3x
3 para os quais a0, a1, a2 e a3 são números 
inteiros. 
d) Todos os polinômios a0 + a1x para os quais a0 e a1 são números reais. 
 
7. (modificado de Anton, 2001) Determine quais dos seguintes conjuntos são subespaços do 
espaço . 
a) todas as funções f tais que para todo x. 
b) todas as funções f tais que . 
c) todas as funções constantes. 
 
8. (Anton, 2001) Determine quais dos seguintes conjuntos são subespaços de Mnn. 
a) todas as matrizes A de tamanho n X n tais que tr(A)=0. 
b) todas as matrizes A de tamanho n X n tais que AT= - A . 
c) todas as matrizes A de tamanho n X n tais que o sistema linear Ax = 0 tem somente a 
solução trivial. 
d) todas as matrizes A de tamanho n X n tais que AB = BA para uma matriz fixada B de 
tamanho n X n. 
9. (Anton, 2001) Determine se o espaço-solução do sistema linear Ax = 0 é uma reta pela 
origem, um plano pela origem ou somente a origem. Se for um plano, obtenha uma 
equação para este plano; se for uma reta, obtenha as equações paramétricas desta 
reta. 
 
10. (Lay,1997) Se uma massa m for presa na extremidade de uma mola e se a mola for 
puxada para baixo e liberada, o sistema massa-mola começará a oscilar. O 
deslocamento y da massa com relação à sua posição de repouso é dado por uma 
função da forma 
 
onde é uma constante que depende da mola e da massa. Mostre que o conjunto de todas as 
funções descretas acima (com fixo e c1 e c2 arbitrários) é um espaço vetorial. 
 
 
 
 
 
 
GABARITO 
AXIOMAS – ESPAÇO VETORIAL 
(1) Se u e v são objetos em V então u + v é um objeto em V. 
(2) u + v = v + u. 
(3) u + (v + w) = (u + v) + w 
(4) Existe um objeto 0 em V, chamado de vetor nulo ou vetor zero de V, tal que 0 + u = u + 0 = u. 
(5) Para cada u em V, existe um objeto –u, chamado um negativo de u, tal que u + (-u) = (-u) + u = 0. 
(6) Se k é qualquer escalar e v é um objeto em V, então kv é um objeto em V. 
(7) k(u+v)=ku+k v. (8) (k + l)v = kv + lv. 
(9) k(lu) = (kl)u. (10) 1u = u. 
 
1. 
a) Considere os vetores u e v em V, 
 e 
 
ao realizarmos a soma usual entre eles, obtemos, 
 
 
Como , , e são maiores ou igual a zero, temos que 
 e 
Assim, . 
 
b) Como os vetores do conjunto V são pares ordenados com valores maiores ou igual a zero, 
qualquer vetor onde pelo menos uma de suas coordenadas seja um número negativo fará com que 
não pertença ao conjunto V. Como , qualquer escalar c menor que zero, torna c um vetor com 
coordenadas formadas por números negativos, ou seja, vetores que não pertemcem ao primeiro 
quadrante do plano xy. 
 
c) Como visto no ítem b), a operação de múltiplo por escalar não faz parte do conjunto V, 
assim, V não é um subespaço vetorial. (observação, um dos axiomas de espaço vetorial diz que para cada vetor u 
em V, existe um objeto –u, chamado um negativo de u, tal que u + (-u) = (-u) + u = 0, tal axioma não é satisfeito, visto que 
–u não pertence ao plano xy.) 
 
 
2. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3. 
 Um dos axiomas que devem ser satisfeitos para ser um 
legítimo espaço vetorial é a existência do vetor nulo. Vamos 
observar graficamente os quatro conjuntos acima. 
 A linha vermelha refere-se a W1 , a verde representa W2, 
azul W3 e os pontos preto são referentes a W4. Observe que o 
único que não permite a existência do vetor nulo (0,0) é a linha 
verde. Desse modo, o conjunto W2 não é um espaço vetorial, 
pois não satisfaz a existência do vetor nulo. 
Vamos verificar para os demais, a existência da soma 
usual. 
Para W1 : Tome e , com e , 
 
Como a segunda coordenada é o dobro da primeira, a soma usual pertence a W1. 
Para W3 : Tome e , com e , 
 
Observe que a segunda coordenada não é o cubo da primeira, , logo a 
soma usual não pertence a W3, ou seja, W3 não é um espaço vetorial. 
Para W4, a operação usual está definida, pois a soma entre pares ordenados formados por 
números inteiros resulta em um novo par ordenado formado por números inteiros. Porém, se 
multiplicarmos um número real por um par ordenado de W4, nem sempre teremos um par 
ordenado formado por números inteiros. Logo, W4 também não é um subespaço vetorial do . 
Tome , e . Temos que a multiplicação por um escalar será dado 
por: . Satisfazendo a operação de múltiplo por um escalar. Além 
do mais, existe um elemento simétrico tal que é igual ao vetor nulo, devido a 
linearidade da condiçãoc . 
Logo, o único conjunto dos quatros acima que é um subespaço vetorial do é W1. 
 
4. (a) e (c). 
5. (b) e (d). 
6. (a), (b) e (d). 
7. (b) e (c). 
8. (a), (b) e (d). 
 
 
9. 
 
10. (LAY, 2013) Sugestão: Use o teorema 1 (CONSULTE CAPÍTULO 4). 
Cuidado: Você realmente tem de tentar fazer os exercícios por conta própria. Caso contrário, não 
aprenderá com eles.