Exercicios Resolvidos EDO 1

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Universidade Federal de Itajubá
Instituto de Matemática e Computação
Exercícios Resolvidos
MAT021 Equações Diferenciais I
1
a
Questão:
(a) Sem resolver a EDO, encontre um intervalo no qual certamente existe a solução do PVI:
�
(x+ 1)x
2
y
0
+
1
x�1
y = 4
y(2) = �3:
(b) Fazendo uma mudança adequada, transforme a equação numa equação de variáveis separáveis e encontre
uma família de soluções.
dy
dx
=
x
2
� y
2
xy
:
Solução:
(a) A equação pode ser escrita na forma
y
0
+
1
(x� 1)(x+ 1)x
2
y =
4
(x+ 1)x
2
A equação não está definida nos pontos �1; 1; 0. O intervalo de definição que contém x
0
= 2 é (1;+1).
(b) Se y = xv temos que
v + x
dv
dx
=
x
2
� x
2
v
2
x
2
v
=
1� v
2
v
:
Simplificando segue
x
dv
dx
=
1� 2v
2
v
=)
vdv
1� 2v
2
=
dx
x
:
Integrando (fazendo a mudança w = 1� 2v
2
na integral da esquerda):
�1
4
ln(1� 2v
2
) = lnx+
1
4
lnC =) (1� 2v
2
)
�1
= Cx
4
:
Substituindo v = y=x temos
�
x
2
� 2y
2
x
2
�
�1
= Cx
4
=) 1 = Cx
2
(x
2
� 2y
2
)
2
a
Questão: Considere a sequinte E.D.O. seguinte: xydx+ (2x
2
+ 3y
2
� 20)dy = 0:
(a) Verifique que a equação não é exata e encontre um fator integrante da forma �(y) tal que
d�
�
=
�
�
M
y
�N
x
M
�
dy:
(b) Encontre uma família de soluções a 1-parâmetro.
Solução:
(a) Note que
@M
@y
= x e
@N
@x
= 4x. Como
@M
@y
6=
@N
@x
, segue que a equação não é exata. Usando o fator integrante
sugerido temos que
d�
�
= �
�
x� 4x
xy
�
dy =
3
y
:
Assim integrando temos ln� = ln y
3
e por tanto �(y) = y
3
.
1
(b) Multiplicando na equação temos que xy
4
dx+ (2x
2
y
3
+ 3y
5
� 20y
3
)dy = 0 é exata. Integrando
 (x; y) =
Z
xy
4
dx =
x
2
y
4
2
+ h(y):
Derivando
2x
2
y
3
+ 3y
5
� 20y
3
=
@ 
@y
+ h
0
(y) = 2x
2
y
3
+ h
0
(y):
Assim h
0
(y) = 3y
5
� 20y
3
e logo h(y) =
y
6
2
� 5y
4
. A família de soluções é (x; y) = C ou
x
2
y
4
2
+
y
6
2
� 5y
4
= C:
3
a
Questão: Encontre uma família de soluções a 1-parâmetro para cada uma das seguintes equações diferen-
ciais:
(a) x
dy
dx
� (x+ 2)y = x
3
e
3x
(b) 4xy
0
� 4y = x
6
e
x
y
�3
solução:
(a) Dividindo entre x temos
dy
dx
�
x+2
x
y = x
2
e
3x
que é uma equação linear. O fator integrante é
�(x) = e
�
R
x+2
x
dx
= e
�x�2 lnx
= x
�2
e
�x
:
Assim
d
dx
�
x
�2
e
�x
y
�
= e
2x
=) x
�2
e
�x
y =
e
2x
2
+ C =) y =
x
2
e
3x
2
+ Cx
2
e
x
:
(b) Note que a equação é de Bernoulli pois pode ser escrita na forma
y
0
�
1
x
y =
x
5
e
x
4
y
�3
Assim � = �3 e fazendo a mudança z = y
1��
= y
4
a equação transforma-se numa linear:
z
0
� 4
1
x
z = x
5
e
x
Utilizando �(x) = e
R
�4dx
x
= e
�4 lnx
= x
�4
temos
d
dx
�
x
�4
z
�
= xe
x
=) x
�4
z = (x� 1)e
x
+ C =) x
�4
y
4
= (x� 1)e
x
+ C:
4
a
Questão: Um corpo cai num fluido que fornece uma resistência proporcional ao quadrado da velocidade
da forma 2v
2
. Supondo que o corpo tem uma massa de 5kg, o modelo do movimento do corpo é
5
dv
dt
= 50� 2v
2
:
(a) Resolva a equação e encontre v(t) supondo que v(0) = 0;
(b) calcule a velocidade limite quando t tende ao +1.
Solução:
(a) A equação é de variáveis separáveis:
5dv
25� v
2
= 2dt =)
Z
5dv
v
2
� 25
= �
Z
2dt =)
1
2
Z
(
1
v � 5
�
1
v + 5
)dv = �2t+
1
2
lnC:
2
Assim, se v > �5 teremos
ln
�
v � 5
v + 5
�
= �4t+ lnC =)
v � 5
v + 5
= Ce
�4t
=) v � 5 = vCe
�4t
+ 5Ce
�4t
Isolando temos
v(t) =
5 + 5Ce
�4t
1� Ce
�4t
:
Se v(0) = 0 então 0 = 5 + 5C então C = �1. Assim
v(t) =
5� 5e
�4t
1 + e
�4t
:
(b)
v
lim
= lim
t!+1
5 + 5Ce
�4t
1� Ce
�4t
= 5
5
a
Questão: Um tanque contém inicialmente 60 litros de água pura. Uma solução de água com sal contendo
0:5 kl de sal por litro entra no tanque a uma taxa de 2 litros por minuto, e a solução perfeitamente misturada
sai do tanque a uma taxa de 3 litros por minuto; assim o tanque estará vazio exatamente em 1 hora.
(a) Encontre a quantidade de sal no tanque em cada tempo t (< 60 minutos).
Solução: Usando o modelo
dQ
dt
= t
e
C
e
� t
s
Q
V
0
+ (t
e
� t
s
)t
teremos
dQ
dt
= 2(0; 5)� 3
Q
60 + (2� 3)t
=)
dQ
dt
= 1� 3
Q
60� t
=)
dQ
dt
+ 3
Q
60� t
= 1:
Assim o fator integrante é
�(t) = e
R
3dt
60�t
= e
�3 ln(60�t)
=
1
(60� t)
3
:
Por tanto,
d
dt
�
Q
(60� t)
3
�
=
1
(60� t)
3
=)
Q
(60� t)
3
=
1
2(60� t)
2
+ C:
Assim, se t < 60 teremos,
Q(t) =
60� t
2
+ C(60� t)
3
:
Pela condição inicial Q(0) = 0 então 0 = 30 + C(60)
3
, assim C = �30=(60
3
). Logo a resposta é
Q(t) =
60� t
2
�
30(60� t)
3
60
3
:
3