Lista1 CASS ECI EER 2014 1s

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ECI - EER - UNILA - 2014.1s
Lista 1 - CASS - 22-março-2014
Exercícios sobre: Seqüências.
1 Exercícios do livro [1]
Fazer da seção de exercícios 11.1 (página 649 de [1]) os seguintes exercícios
1
: 1, 5, 7,
8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29, 30, 31,
32, 33, 34, 35, 36, 37, 38, 39, 54, 58, 59, 60, 61, 62, 63, 64, 65, 66, 69, 70, 74, 75, 77 e 80.
Notar que os exercícios de números 75 e 77 pedem as demonstrações dos teoremas
estudados em aula e enumerados por 5 e 7, respectivamente. A dica para fazer estes
exercícios é pesquisar em livros de Cálculo demonstrações de afirmações idênticas a
estas feitas para funõ�es de uma variável.
Fazer da seção de exercícios de REVISÃO do capítulo 11 (página 722 de [1]) os seguintes
exercícios: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9.
2 Exercícios adicionais
Exercício 2.1. Provar as seguintes afirmações do teorema 3 estudado em aula: se
an −→ L, bn −→M e c é uma constante real fixada, então valem as seguintes afirma-
ções:
(a) (an ± bn) −→ L±M ;
(b) (c an) −→ cL;
(c) (an bn) −→ LM ;
(d) (an/bn) −→ L/M desde que M 6= 0.
Dica: pesquisar em livros de Cálculo demonstrações de afirmações idênticas a estas feitas para funõ�es
de uma variável.
Exercício 2.2. Provar teorema 4 (do confronto, ou do sanduíche) estudado em aula:
se an ≤ bn ≤ cn para todo índice n maior que um índice n0, se lim an = lim cn = L,
então bn −→ L.
Dica: pesquisar em livros de Cálculo demonstrações de afirmações idênticas a estas feitas para funõ�es
de uma variável.
Exercício 2.3. Usar o teorema do confronto para provar o seguinte limite:
n!
nn
−→ 0
Observar que este limite significa dizer que, para valores grandes de n, o termo nn é
maior que n! . Notar que não é possível definir uma função contendo o termo x! para
todo x em R. Dica: ver [1].
1
A princípio deve-se fazer todos os exercícios desta seção, porém pode-se priorizar os exercícios
escolhidos aqui.
1
Exercício 2.4. Seja an = − 2n2 cos
(
n6−7n3+10
9n8+9n2+3
)
. Calcular o limite desta seqüência de
duas maneiras:
(a) usando o teorema 4 estudado em aula;
(b) usando o teorema 7 estudado em aula.
Definição 2.1. Dada uma seqüência (an)n∈N e I ⊆ N um subconjunto infinito de
números naturais. Define-se uma subseqüência de an como sendo a seqüência
(an)n∈I
Exemplo 2.1. Sejam I = {n ∈ N : n é ímpar } e P = {n ∈ N : n é par } (I e P são
subconjuntos infinitos de N). Seja (an)n∈N uma seqüência dada por(
− 1
n
)
n∈N
=
(
−1,−1
2
,−1
3
,−1
4
,−1
5
,−1
6
, . . .
)
(1)
Tem-se então duas subseqüências de an dadas por(
− 1
n
)
n∈I
=
(
−1,−1
3
,−1
5
,−1
7
, . . .
)
(2)
e (
− 1
n
)
n∈P
=
(
−1
2
,−1
4
,−1
6
,−1
8
, . . .
)
(3)
Exercício 2.5. (a) Verificar que as seqüências dadas acima por (1), (2) e (3) conver-
gem para o mesmo limite;
(b) Provar a seguinte afirmação: Se (an)n∈N −→ L, então toda subseqüência (an)n∈I⊂N
converge para L;
(c) Seria verdadeira a afirmação que diz: Se (an)n∈N −→ +∞, então toda subseqüência
(an)n∈I⊂N −→ +∞? Se for verdadeira deve ser provada, se não for deve-se mostrar
um contra-exemplo;
(d) Provar a seguinte afirmação: Se an tem uma subseqüência (an)n∈I⊂N −→ +∞,
então an diverge;
(e) Provar: se (an)n∈I⊆N diverge, então (an)n∈N diverge. (Notar que o item (d) é um
caso particular deste - este item (e) inclui os casos em que a subsequencia oscila em
alguns valores - ver exercício 27 da seção 11.1 de [1].);
(f) Seria correto afirmar que se (an)n∈I⊂N −→ +∞, então (an)n∈N −→ +∞? Se for
verdadeira deve ser provada, se não for deve-se mostrar um contra-exemplo;
(g) Provar: Se (an)n∈I⊆N −→ L, se (an)n∈J⊆N −→ M e se L 6= M , então (an)n∈N
diverge. (Esta prova pode ser feita de duas formas: por contradição e por definição de
limite - ver exercício 26 da seção 11.1 de [1].)
Exercício 2.6. (a) Dar exemplo de uma seqüência ilimitada e que não cumpre (an)n∈N −→
+∞;
(b) Obter uma seqüencia an que cumpre (an)n∈I⊂N −→ +∞ e (an)n∈J⊂N −→ L;
(c) Dar exemplo de uma seqüência divergente que não cumpre an −→ +∞, não cum-
pre an −→ −∞ e que tem Im{an} infinito.
2
Exercício 2.7. Durante as aulas foi feito um estudo sobre a convergência/divergência
da seqüência dada por an = r
n
para r ∈ R+. Agora deve-se fazer o mesmo estudo para
r ∈ R−.
Exercício 2.8. (a) Usar o teorema 6 estudado em aula para provar a seguinte afirma-
ção: Se an −→ L, an > 0 para todo n e se p ∈ N, então
[an]
p −→ Lp (4)
(b) Seja an = −1, ∀n ∈ N, e p = −2. Estude a convergência/divergência de an e de
(an)
p
. Neste caso valeria o resultado dado em (4)?
(c) Seja an = 1/n, ∀n ∈ N, e p = −2. Estude a convergência/divergência de an e de
(an)
p
. Neste caso valeria o resultado dado em (4)?
Exercício 2.9. (a) Provar: se f : X ⊆ R → R, com X ilimitado superiormente,
se bn ∈ X para todo n ∈ N e com (bn)n∈N −→ +∞ e se lim
x→+∞
f(x) = L, então
an = f(bn) −→ L;
(b) Usar este resultado na resolução do exercício 30 da seção 11.1 de [1].
Exercício 2.10. (i) Supor que as seqüências an e bn cumprem an = bn para todo
n ≥ n0 (para um certo n0 ∈ N). Com esta suposição provar que: Se an −→ L, então
bn −→ L;
(ii) Dar exemplo de duas seqüências cumprindo o enunciado no item (i).
Exercício 2.11. (a) Sejam I e J subconjuntos infinitos de N e tais que I∪J = N. Seja
(an)n∈N. Provar ou dar um contra-exemplo: se (an)n∈I⊆N −→ L e se (an)n∈J⊆N −→ L,
então (an)n∈N −→ L;
(b) O que acontece com a afirmação (an)n∈N −→ L se a hipótese I∪J = N for retirada?
(c) Usar o resultado provado em (a) às seqüências dadas nas expressões enumeradas
por (2) e (3).
Observação 2.1. Durante as aulas foi comentado o Axioma da Completude, a
saber:
Todo subconjunto de R não-vazio e limitado superiormente possui um
limitante superior mínimo.
Existe ainda uma segunda versão deste axioma, a saber:
Todo subconjunto de R não-vazio e limitado inferiormente possui um
limitante inferior máximo.
Exercício 2.12. Demonstrar a segunda afirmação feita no teorema 8: Toda seqüência
decrescente e limitada inferiormente é convergente.
Dicas: adaptar a demonstração feita para a primeira afirmação dada no teorema 8; usar a segunda
versão do axioma da completude.
Exercício 2.13. Mostrar que as seguintes afirmações são equivalentes:
(a) lim an = L;
(b) lim(an − L) = 0;
(c) lim |an − L| = 0,
isto é, mostar que (a) ⇔ (b) e que (b) ⇔ (c).
3
Exercício 2.14. (a) Mostrar que se an −→ L, então |an| −→ |L|;
Dica: ver a fórmula dada em 14 ao fim desta lista de exercícios.
(b) Vale a recíproca?
(c) Comparar com o teorema 5 estudado em aula e com o exercício 75 da seção 11.1
de [1].
Exercício 2.15. (a) Provar a seguinte afirmação: se an é convergente, então an é
limitada;
(b) Obter um exemplo de uma seqüência limitada que não é convergente.
Exercício 2.16. As questões seguintes exploram o uso do teorema 7 estudado em aula
(mostra que as hipóteses requisitadas pelo teorema são essenciais para se obter o seu
resultado).
(a) Sejam an =
(
1
n
+ 2
)
e bn = sin
(
(−1)n pi
2
)
. Notar que bn é limitada. Seria correto
afirmar que a seqüência anbn é convergente? Há alguma contradição com o resultado
do teorema 7?
(b) Sejam an =
1
n
e bn = n
2
. Notar que an −→ 0. Seria correto afirmar que a seqüência
anbn é convergente? Há alguma contradição com o resultado do teorema 7?
Exercício 2.17. (Teorema da manutenção do sinal) Provar as seguintes afirma-
ções:
(a) Se an −→ L e se L > 0, então existe um n0 ∈ N tal que n > n0 implica an > 0.
(Notar que esta afirmação pode se adaptada para o caso em que L < 0.)
(b) Se an > 0 para todo n e se an é convergente, então seu limite L não poderá cumprir
L < 0;
(c) Encontrar um exemplo de seqüência que cumpre an > 0 e tem limite 0.
Exercício 2.18. Seja an uma seqüência de termos positivos,crescente e convergente
para um número L. Provar que:
(a) L > 0;
(b) an ≤ L para todo n ∈ N.
Exercício 2.19. Supor que an −→ L e que ∃M ∈ R tal que an ≤ M para todo n.
Provar que L ≤M .
Exercício 2.20. Provar a seguinte afirmação: se existe um subconjunto infinito I ⊆ N
tal que an ≥ m para todo n ∈ I e se m > 0, então não pode ocorrer (an)n∈N −→ 0.
Exercício 2.21. Provar a seguinte afirmação: se lim |an| = L > 0, então lim an 6= 0.
Exercício 2.22. Mostrar por definição que
an =
4
2n− 1 −→ 0
Dica: ver livro [6].
Exercício 2.23. Mostrar por definição que
an =
3
n− 1 −→ 0
Dica: ver livro [6].
4
Exercício 2.24. Mostrar que as seqüências
an =
n2
n− 3 e bn =
n2
n+ 4
são divergentes, mas que cn = an + bn é convergente.
Exercício 2.25. Supor que r > 1 e que b ∈ N são fixados. Mostrar que
nb
rn
−→ 0
Exercício 2.26. Seja an uma seqûëncia definida recursivamente
an =

1, se n = 1
3, se n = 2
1
2
(an−1 + an−2), se n ≥ 3
(a) Obter os oito primeiros termos da seqüência;
(b) Usar o princípio de indução para provar que an =
7
3
+ (−1)
n
3×2n−3 ;
(c) Encontrar lim an.
Exercício 2.27. Seja r ∈ R tal que |r| < 1. Mostrar que:
(a) xn = nr
n −→ 0;
(b) yn = n
2rn −→ 0.
Dica: este exercício pode, eventualmente, ter alguma idéia no exercício adicional de número 2.7.
Exercício 2.28. (Comparação de seqüências) Sejam an e bn seqüências que cum-
prem an ≥ bn para todo n > n0. Mostrar que:
(a) se (bn) −→ +∞, então (an) −→ +∞;
(b) se (an) −→ L e se (bn) −→M , então L ≥M .
Exercício 2.29. Sejam an e bn seqüências. Provar as seguintes afirmações:
(a)

lim an = +∞
lim bn = +∞
⇒

lim[an + bn] = +∞
lim[anbn] = +∞
(b)

lim an = L, L ∈ R
lim bn = +∞
⇒

lim[anbn] = +∞ se L > 0
lim[anbn] = −∞ se L < 0
(c)

lim an = −∞
lim bn = +∞
⇒ lim[anbn] = −∞
(d)

lim an = L, L ∈ R
lim bn = +∞
⇒ lim[an + bn] = +∞
5
(e)

lim an = L, L ∈ R
lim bn = −∞
⇒ lim[an + bn] = −∞
(f)

lim an = −∞
lim bn = −∞
⇒

lim[an + bn] = −∞
lim[anbn] = +∞
(g)

lim an = L, L ∈ R
lim bn = −∞
⇒

lim[anbn] = −∞ se L > 0
lim[anbn] = +∞ se L < 0
Dica: pesquisar no livro H. L. Guidorizzi, Um Curso de Cálculo, vol. I, seção 4.2, demonstrações de
afirmações análogas a estas, porém feitas para funções de uma variável real.
Exercício 2.30. (i) O que ocorre com a afirmação do item (b) do exercício 2.29 se
L = 0?
(ii) O que ocorre com a afirmação do item (g) do exercício 2.29 se L = 0?
Exercício 2.31. Provar ou dar um contra-exemplo:
lim an = +∞
lim bn = −∞
⇒ lim[an + bn] = 0
Exercício 2.32. Mostrar que a seqüência
an =
n2
3n+ 1
sin
(pi
n
)
converge (e mostrar o seu limite).
Dicas: lim
x→+∞ sin
(
1
x
)
= 0 e lim
x→0
sin(x)
x = 1.
Exercício 2.33. Estudar as seqüências seguintes quanto a convergência/divergência.
Se for convergente mostrar o seu limite:
an =
1√
n2 + 1− n
∣∣∣∣ bn = √n+ 1− n ∣∣∣∣ cn = sinhn
Exercício 2.34. Seja an uma seqüência de termos positivos.
(a) Provar a seguinte afirmação: se lim
n→+∞
an+1
an
= 0, então an é decrescente a partir de
um certo subíndice n0;
(b) O que afirmar se lim
n→+∞
an+1
an
= +∞?
(c) O que ocorre se lim
n→+∞
an
an+1
= +∞? E se lim
n→+∞
an
an+1
= 0?
6
Exercício 2.35. Seja cn uma seqüência. Sejam an e bn seqüências construída com cn
do seguinte modo:
an = (−1)ncn e bn = (−1)n+1cn
Responder às seguintes perguntas, provando ou dando um contra-exemplo:
(a) Se an −→ L e se L 6= 0, então seria correto afirmar que bn também converge para
L?
(b) Se an −→ 0, então seria correto afirmar que bn também converge para 0?
(c) Se an diverge, então seria correto afirmar que bn diverge?
(d) Se an −→ L, então seria correto afirmar que cn também converge para L?
(e) Se an diverge, então seria correto afirmar que cn diverge?
Exercício 2.36. Seja an uma seqüência. Provar as seguintes afirmações:
(a) Se an −→ 0, então 1an −→ +∞;
(b) Se an −→ +∞, então 1an −→ 0;
(c) Utilizar o item (a) e o exercício adicional 2.3 para mostrar que
nn
n!
−→ +∞
Exercício 2.37. (Algumas seqüências inusuais) (i) Calcular os primeiros 5 ter-
mos de cada seqüência:
an =
(
1 +
n∑
j=1
1
jj
)
n∈N
∣∣∣∣ bn =
1 + n∫
1
1
x2
dx

n∈N
cn =
(
n∑
i=1
1
2i−1
)
n∈N
∣∣∣∣ dn =
(
n∏
i=1
1
i
)
n∈N
sn =
(
d[n]
dx[n]
[
sin
(xpi
2
)] ∣∣∣
x=n
)
n∈N
∣∣∣∣ fn = ( d[2+n]dx[2+n]
[
x10
5
+
x9
9
+
x8
4
])
n∈N
gn =
(
d[n]
dx[n]
[
x10
5
+
x9
9
+
x8
4
] ∣∣∣
x=n
)
n∈N
∣∣∣∣ hn = ((−1)n+11.3.5 . . . (2n− 1)2.4.6. . . . (2n)
)
n∈N
(ii) As seqüências dn, gn e sn são convergentes? Se sim, quais são os limites?
(iii) Notar que a seqüência fn foge à regra de se ter an : N −→ R, pois é da forma
fn : P10(R) −→ P7(R) (ou seja, é uma seqüência de polinômios).
(iv) Notar que a seqüência hn é o quociente entre o produto dos primeiros n números
ímpares pelo produto dos primeiros n números pares, alternando o sinal. Conhecendo
a desigualdade de Wallys
1
2
√
n
≤ 1.3.5 . . . (2n− 1)
2.4.6. . . . (2n)
≤ 1√
2n
(5)
calcular o limite da seqüência hn.
7
Exercícios sobre: Séries
2
.
3 Exercícios do livro [1]
Fazer da seção de exercícios 11.2 (página 658 de [1]) os seguintes exercícios: 1, 2, 3, 4,
5, 6, 7, 8, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29, 30,
31, 32, 33, 34, 35, 36, 37, 38, 39, 40, 41, 42, 43, 44, 45, 46, 47, 48, 49, 50, 51, 52, 59,
69 e 70.
4 Exercícios adicionais
Exercício 4.1. Demonstrar o teorema 12 estudado em aula.
Exercício 4.2. Usar os teoremas de números 10 a 13 (e outros, se for necessário) para
determinar se as séries seguintes são convergentes ou divergentes. Se for convergente
encontre sua soma.
(a)
+∞∑
n=1
1
n+ 2
∣∣∣ (b) +∞∑
n=1
1
n− 1
∣∣∣ (c) +∞∑
n=1
3
2n
∣∣∣ (d) +∞∑
n=1
2
3n
(e)
+∞∑
n=1
3
2n
∣∣∣ (f) +∞∑
n=1
2
3n
∣∣∣ (g) +∞∑
n=1
4
3
(
5
7
)n−1 ∣∣∣ (h) +∞∑
n=0
4
3
(
5
7
)n
(i)
+∞∑
n=1
4
3
(
5
7
)n ∣∣∣ (j) +∞∑
n=4
4
3
(
5
7
)n−1 ∣∣∣ (k) +∞∑
n=2
7
5
(
3
4
)n
(l)
+∞∑
n=1
(
1
2n
+
1
2n
) ∣∣∣ (m) +∞∑
n=1
(
1
3n
+
1
3n
) ∣∣∣ (n) +∞∑
n=1
(
1
2n
+
1
3n
)
(o)
+∞∑
n=1
(
1
3n
− 1
4n
) ∣∣∣ (p) +∞∑
n=1
(
e−n + en
) ∣∣∣ (q) +∞∑
n=1
(
2−n + 3n
)
(r)
+∞∑
n=1
(
1
2n
− 1
3n
) ∣∣∣ (s) +∞∑
n=3
(
3
2n
− 2
3n
) ∣∣∣ (t) +∞∑
n=1
(
3
2n
− 2
3n
)
(u)
+∞∑
n=1
(
5
4n
+
4
5n
) ∣∣∣ (v) +∞∑
n=1
(
1
n2
+ 2
) ∣∣∣ (x) +∞∑
n=1
2n!
5n
2
Para melhor compreender os assuntos referentes a séries recomenda-se a leitura do apêndice E do
livro citado em [1].
8
Exercício 4.3. Dar um exemplo de duas séries
∑
an e
∑
bn divergentes mas que fazem∑
anbn ser convergente.
Exercício 4.4. Usar frações parciais para mostrar que as séries abaixo são divergentes.
(a)
+∞∑
n=1
1
(2k − 1)(2k + 1)
∣∣∣∣ (b) +∞∑
n=1
1
k2 + 2k
Exercício 4.5. Determinar a série cuja soma parcial é a seqüência sn dada. Em
seguida determinar se a série é convergente ou divergente.
(a) sn =
n
n+ 1
∣∣∣∣ (b) sn = 1− (−1)n
Exercício 4.6. Determinar se as séries dadas são convergentes ou divergentes:
(a) 1 +
2
7
+
4
49
+
8
343
+ . . .
∣∣∣∣ (b) +∞∑
n=1
(
7
6
)n
(c) 1− 1 + 1− 1 + 1− 1 + 1− 1 + . . .
∣∣∣∣ (d) +∞∑
n=1
5−n
Exercício 4.7. Encontrar o seguinte limite:
lim
n→+∞
(
1 +
1
32
+
1
34
+
1
36
+ . . .+
1
32n
)
Exercício 4.8. Este exercício objetivamelhor compreender os teoremas 10 e 11 estu-
dados em aula.
(a) Usar os teoremas 10 e 11 para verificar que
+∞∑
n=103
2
n
diverge e que
+∞∑
n=577
1
n2
converge;
(b) Seria correto afirmar que
+∞∑
n=3
1
2n−1 converge? Seria correto afirmar que
+∞∑
n=3
1
2n−1 =
1
1−1/2 = 2?
(c) Notar que o teorema 10 pode ser reformulado assim: Descartar uma quantidade
finita de termos iniciais de uma série não altera sua convergência ou sua divergência;
(d) Notar que o teorema 10 pode ser reformulado assim: Se se descartar os k termos
iniciais da série
+∞∑
n=1
an, então a nova série
+∞∑
n=k+1
an converge se a série inicial convergir
e diverge se a inicial divergir;
(e) Sabe-se que
+∞∑
n=1
1
n
diverge e que
+∞∑
n=1
1
n2
converge. Há infinitos números naturais que
não são quadrados perfeitos (i.e., naturais m que cumprem m = k2 para algum k ∈ N)
9
e há infinitos naturais que são. Descartando-se infinitas parcelas de
+∞∑
n=1
1
n
com n ≥ 2 e
cujos denominadores não são quadrados perfeitos obtém-se
+∞∑
n=1
1
n2
:
+∞∑
n=1
1
n
= 1 +
1
2
+
1
3
+
1
4
+
1
5
+
1
6
+
1
7
+
1
8
+
1
9
. . . > 1 +
1
4
+
1
9
+
1
16
+ . . . =
+∞∑
n=1
1
n2
Conforme já dito acima,
∑
1
n
diverge e
∑
1
n2
converge. Isto contraria o teorema 10?
Exercício 4.9. Este exercício objetiva melhor compreender o teorema 10 estudado em
aula e o conceito de subseqüência dado acima na definição 2.1.
(a) O exercício 4.8 anterior trouxe algumas reinterpretações do teorema 10. Notar que
o teorema 10 não garante que a nova série (obtida descartando os k termos iniciais de
uma série convergente) tem a mesma soma (rever o item (b) do exercício 4.8!);
(b) Ler (e resolver caso ainda não o tenha feito) o exercício 2.5 (b);
(c) Seja
+∞∑
n=1
an uma série convergente. Seja k ∈ N. Seja P = {m ∈ N : m ≥ k + 1}.
Sejam
(sn)n∈N =
(
n∑
i=1
ai
)
n∈N
e (sm)m∈P =
(
m∑
i=k+1
ai
)
m∈P
Como
+∞∑
n=1
an converge, então lim
n→+∞
(sn)n∈N = S. Seria correto afirmar que (sm)m∈P é
uma subseqüência de (sn)n∈N? Se a resposta for sim, então, pelo exercício 2.5(b), deve-
se ter também lim
n→+∞
(sm)m∈P = S. Mas, caso contrário, (sm)m∈P não tem obrigação
de ter limite S e, assim, é esperado que no exercício 4.8(b) se tenha
+∞∑
n=3
1
2n−1
6= 2
Definição 4.1. Fixados os números reais a e r, define-se progressão aritmética
(PA)
3
uma seqüência infinita dada pela seguinte fórmula de recorrência:{
a1 = a, se n = 1
an = an−1 + r, se n ≥ 2 (6)
O número r é chamado de razão da PA enquanto que o número a é chamado de termo
inicial da PA.
Exercício 4.10. (a) Construir alguns exemplos de PA, com a = 1 e r = 2, com a = 4
e r = 0, com a = 1/2 e r = 1;
(b) Verificar que a seqüência (an)n∈N = (4, 9, 14, 19, 24, 29, . . .) é uma PA; qual seria
a fórmula de recorrência que define esta PA; haveria outra forma de escrever o termo
geral desta PA?
(c) Usar o processo de indução finita para mostrar que o termo geral da PA definida
em (6) é
an = a1 + (n− 1)r
3
Os assuntos PA e PG, dos exercícios adicionais de números 4.10 e 4.11, são habitualmente estu-
dados no ensino secundário.
10
para todo n ∈ N;
(d) Usar o processo de indução finita e o fato de que
n∑
i=1
i =
n(n+ 1)
2
para provar que a seqüência das somas parciais de uma PA cumpre:
sn = a1 + a2 + a3 + . . .+ an = na1 +
n(n− 1)
2
r
(e) Provar que a seqüência das somas parciais de uma PA cumpre:
sn =
n(a1 + an)
2
(f) Se an é uma PA o que se pode afirmar sobre a série
+∞∑
n=1
an ?
(g) Obter uma PA em que a soma dos n primeiros termos é n2 +2n, para todo n ∈ N;
(h) Mostrar que a soma dos mútiplos positivos de 5 formados com 3 algarismos é 98550.
Definição 4.2. Fixados os números reais a e q, define-se progressão geométrica
(PG) uma seqüência infinita dada pela seguinte fórmula de recorrência:{
a1 = a, se n = 1
an = an−1q, se n ≥ 2 (7)
O número q é chamado de razão da PG enquanto que o número a é chamado de termo
inicial da PG.
Exercício 4.11. (a) Construir alguns exemplos de PG, com a = 1 e q = 2, com a = 1
e q = 1/3, com a = 3 e q = 0;
(b) Verificar que a seqüência (an)n∈N = (−54,−18,−6,−2,−2/3, . . .) é uma PG; qual
seria a fórmula de recorrência que define esta PG; haveria outra forma de escrever o
termo geral desta PA?
(c) Usar o processo de indução finita para mostrar que o termo geral da PG definida
em (7) é
an = a1q
n−1
para todo n ∈ N;
(d) Usar o processo de indução finita para provar que a seqüência das somas parciais
de uma PG com q 6= 1 cumpre:
sn = a1 + a2 + a3 + . . .+ an =
a1q
n − a1
q − 1
(e) Provar que a seqüência das somas parciais de uma PG com q 6= 1 cumpre:
sn =
anq − a1
q − 1
11
(f) Se an é uma PG o que se pode afirmar sobre a série
+∞∑
n=1
an ?
(g) Quantos termos da PG (1, 3, 9, 27, . . .) devem ser somados para que a soma resulte
em 3280?
(h) A soma dos seis primeiros termos de uma PG de razão 2 é 1197. Qual é o primeiro
termo da PG?
(i) Provar que a seqüência das somas parciais de toda PG cumpre
s2n + s
2
2n = sn(s2n + s3n) .
5 Utilidades
Uma propriedade de números reais:
Se 0 < a ≤ b , então 0 < 1
b
≤ 1
a
(8)
Algumas utilidades sobre valor absoluto:
∀w ∈ R, −|w| ≤ w ≤ |w| (9)
∀w ∈ R, ∀a ∈ R, ∀b ∈ R?+, |w − a| < b⇔ a− b < x < a+ b (10)
Desigualdade triangular: ∀w ∈ R, ∀z ∈ R, |w + z| ≤ |w|+ |z| (11)
∀w ∈ R, ∀z ∈ R, |w.z| = |w|.|z| (12)
∀w ∈ R, ∀z ∈ R?,
∣∣∣w
z
∣∣∣ = |w||z| (13)
∀w ∈ R, ∀z ∈ R, |w| − |z| ≤ ||w| − |z|| ≤ |w − z| (14)
∀w ∈ R, ∀z ∈ R, |w − z| ≤ |w − y|+ |y − z| (15)
Algumas propriedades de somatórios:
para um fixo c ∈ R,
i=n∑
i=1
cai = c
i=n∑
i=1
ai (16)
i=n∑
i=1
[ai ± bi] =
i=n∑
i=1
ai ±
i=n∑
i=1
bi (17)
i=n∑
i=1
0 = 0 e
i=n∑
i=1
1 = n e
i=n∑
i=1
c = cn (18)
12
i=n∑
i=1
i =
n(n+ 1)
2
e
i=n∑
i=1
i2 =
n(n+ 1)(2n+ 1)
6
e
i=n∑
i=1
i3 =
n2(n+ 1)2
4
(19)
Alguns limites fundamentais do Cálculo:
lim
x→0
sinx
x
= 1 e lim
x→0
1− cosx
x
= 0 (20)
lim
x→+∞
x
√
x = 1 e lim
x→+∞
(
1 +
1
x
)x
= e (21)
6 Fontes bibliográficas
Todas as referências aqui citadas referem-se a:
[1] James STEWART. CÁLCULO, volume II. Editora Cengage Learning, 2
a
edição, 2011. (Tradução da sexta edição norte-americana.)
[2] James STEWART. CÁLCULO, volume I. Editora Cengage Learning, 2
a
edição, 2011. (Tradução da sexta edição norte-americana.)
[3] Mustafa MUNEM; David FOULIS. CÁLCULO, volume II. Editora Guanabara Koogan (LTC), 1982.
[4] Hamilton Luiz GUIDORIZZI. UM CURSO DE CÁLCULO, volume III. Editora LTC, 5
a
edição, 2011.
[5] Hamilton Luiz GUIDORIZZI. UM CURSO DE CÁLCULO, volume IV. Editora LTC, 5
a
edição, 2011.
[6] Louis LEITHOLD. O CÁLCULO COM GEOMETRIA ANALÍTICA, volume II. Editora Harbra, 1994.
[7] Howard ANTON; Irl BIVENS; Stephen DAVIS. CÁLCULO, volume II. Editora Bookman, 8
a
edição, 2007.
[8] Diomara PINTO; Maria Cândida Ferreira MORGADO. CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL DE FUNÇÕES DE VÁRIAS
VARIÁVEIS. Editora da UFRJ, 3
a
edição, 8
a
reimpressão, 2013.
[9] Gelson IEZZI; Samuel HAZZAN. FUNDAMENTOS DE MATEMÁTICA ELEMENTAR, volume IV. Editora Atual, 6
a
edição, 1993.
[10] Elon Lages LIMA. ANÁLISE REAL, FUNÇÕES DE UMA VARIÁVEL REAL, volume I. IMPA: Coleção Matemática Universitária,
9
a
edição, 2007.
[11] www.wolframalpha.com
13