Vetores - explicações e exemplos

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VETORES
GEOMETRIA ANALÍTICA 
E ÁLGEBRA LINEAR
1.1 - GRANDEZAS ESCALARES E VETORIAIS
GEOMETRIA ANALÍTICA E ÁLGEBRA LINEAR
Grandezas Escalares 
‣Comprimento ( mm, cm, m , …) 
‣Massa (g, kg, ….) 
Grandezas Vetoriais 
‣Peso 
‣ Força 
‣Velocidade 
‣Aceleração
‣ RETA 
‣ RETA ORIENTADA 
‣ SEGMENTO DE RETA 
‣ VETOR
GEOMETRIA ANALÍTICA E ÁLGEBRA LINEAR
rA B
‣ O segmento de reta com origem em A e que termina em B será 
representado por AB, analogamente para BA. 
‣ O segmento nulo é aquele que tem origem e destino no mesmo ponto. 
‣ AB é o Oposto de BA.
1.2 - SEGMENTOS EQUIPOLENTES (~)
GEOMETRIA ANALÍTICA E ÁLGEBRA LINEAR
‣ Dois segmentos orientados são equipolentes quando 
têm a mesma direção, o mesmo sentido e o mesmo 
comprimento.
A
B
C
D
A
B C
D
PROPRIEDADES DE EQUIPOLÊNCIA
GEOMETRIA ANALÍTICA E ÁLGEBRA LINEAR
‣ AB ~ AB (Reflexiva) 
‣ Se AB ~ CD, CD ~ AB (Simétrica) 
‣ Se AB ~ CD e CD ~ EF ∴ AB ~ EF (transitiva) 
‣ Dado um segmento orientado AB e um ponto C, existe 
um único ponto D tal que AB ~CD. 
1.3 - VETORES
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‣ Vetor determinado por um segmento orientado AB é o conjunto 
de todos os segmentos orientados equipolentes a AB. 
‣ O vetor determinado por AB, indicamos por v 
‣ Dois Vetores v e u são iguais se, e somente se AB ~ CD. 
‣ Os segmentos nulos, por serem equivalentes entre si, 
determinam um único vetor, chamado vetor nulo ou vetor zero, e 
que é indicado por o. 
‣ Se v = AB, o vetor BA é o oposto de AB e se indica por -AB ou -v 
1.3.1 OPERAÇÕES COM VETORES
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‣ Comprimento do Vetor 
‣ Dado o vetor v = (x₁ , y₁)
| |v | | = x21 + y21
EXEMPLO 1
GEOMETRIA ANALÍTICA E ÁLGEBRA LINEAR
‣ A distância entre P(3,2) e Q(-1,5), ou o comprimento do vetor 
v =(PQ) é: 
EXEMPLO 2
GEOMETRIA ANALÍTICA E ÁLGEBRA LINEAR
‣ Uma força de 12 newtons é aplicada em um objeto ao longo do 
semi-eixo negativo dos x e que uma força de 5 newtons é 
aplicada ao objeto ao longo do semi-eixo positivo dos y. Encontre 
a intensidade, a direção e o sentido da força resultante. 
1.3.2 - VETOR UNITÁRIO
GEOMETRIA ANALÍTICA E ÁLGEBRA LINEAR
‣ Um vetor v é unitário se ∥v∥ = 1 
‣ Versor de um vetor não nulo v é o vetor 
unitário de mesma direção e mesmo 
sentido de v.
1.3.3 - ADIÇÃO DE VETORES
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‣ Comutativa: u + v = v + u 
‣ Associativa: (u + v) + w = u + (v + w) 
‣ Existe só um vetor nulo 0 tal que para 
todo o vetor v se tem: 
‣ v + o = o + v = v 
‣ Qualquer que seja o vetor v, existe só um 
vetor -v tal que: 
‣ v + (-v) = -v + v = o
1.3.4 - MULTIPLICAÇÃO POR UM NÚMERO REAL
GEOMETRIA ANALÍTICA E ÁLGEBRA LINEAR
‣ Dado um vetor v ≠ 0 e um número real k ≠ 0, 
chama-se produto do número real k pelo vetor v 
o vetor p = k v, tal que: 
‣ Módulo: ∣p∣ = ∣kv∣ = ∣k∣ ∙ ∣v∣ 
‣ Direção: a mesma de v 
‣ Sentido: o mesmo de v se k > 0, e contrário ao 
de v se k < 0.
O PRODUTO 
ESCALAR.
Geometria Analítica e 
Álgebra Linear
1.4 - PRODUTO ESCALAR
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‣ Definição 
‣ Se u e v são vetores não nulos em R² ou R³, e 
se 𝛉 é o angulo entre u e v, então o produto 
interno (também chamado de Produto interno 
Euclideano) de u e v é denotado por u∙v. 
1.4.1 - PROPRIEDADES DO PRODUTO ESCALAR
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‣ Se u, v e w são vetores em Rⁿ, e se k é um 
escalar, então: 
‣ u∙v=v∙u (Simetria) 
‣ u∙(v+w) = u∙v + u∙w. (Distributiva) 
‣ v∙v ≥ 0 
‣ v∙v = 0 se e somente se v = 0 (Positiva)
1.5 - ÂNGULO ENTRE DOIS VETORES
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1.5.1 - DESIGUALDADE CAUCHY-SCHWARZ
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‣ A expressão do ângulo entre vetores só é válida 
para cossenos entre -1 e 1 
‣ Desta forma temos: 
‣ ∣u∙v∣≤∥ u ∥∙∥v∥
EXEMPLO 3
GEOMETRIA ANALÍTICA E ÁLGEBRA LINEAR
‣ Verificar se os vetores u e v atendem a 
desigualdade de Cauchy-Schwarz. 
‣ u = (3 , 2 ) 
‣ v = (4 , 1 ) 
1.6 ORTOGONALIDADE
GEOMETRIA ANALÍTICA E ÁLGEBRA LINEAR
‣ Dizemos que dois vetores u e v em Rⁿ são 
ortogonais se u∙v=0. 
‣ Também convencionamos que o vetor nulo em 
Rⁿ é ortogonal a cada vetor em Rⁿ.
1.6 ORTOGONALIDADE
GEOMETRIA ANALÍTICA E ÁLGEBRA LINEAR
‣ Obs: Dois vetores serão paralelos se existe um 
número k tal que u=k∙v 
(x₁, y₁, z₁) = k∙ (x₂, y₂, z₂) 
Dois vetores terão o mesmo sentido se a 
equação a seguir for atendida: 
‣ u∙v=∥u∥ ∥v∥
1.7 ÂNGULOS DIRETORES
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‣ Ângulos diretores de v são os ângulos 𝛼,𝛽, e 𝛾 
que v forma com os vetores i, j e k 
respectivamente.
1.8 PROJEÇÕES ORTOGONAIS DE UM VETOR
GEOMETRIA ANALÍTICA E ÁLGEBRA LINEAR
‣ Sejam os vetores u e a não nulos e 𝛉 o ângulo 
formado entre eles. Pretende-se encontrar o 
vetor w que representa a projeção de u sobre a.
1.9 DEPENDÊNCIA LINEAR
GEOMETRIA ANALÍTICA E ÁLGEBRA LINEAR
Exemplo
1.9 DEPENDÊNCIA LINEAR
GEOMETRIA ANALÍTICA E ÁLGEBRA LINEAR
‣ AB é ? 
‣ AB+BC+CA é ? 
‣ AD e AE são ? 
‣ AB e ½ AB são ?
LI 
LD 
LI 
LD
Exemplo
1.9 DEPENDÊNCIA LINEAR
GEOMETRIA ANALÍTICA E ÁLGEBRA LINEAR
‣ AB, AD e AE são ? 
‣ AE, AB e DC são ? 
‣ AB, AD e FF são ? 
‣ AB, BF, BC e AG são ?
LI 
LD 
LD 
LD
Exemplo
1.10 PRODUTO VETORIAL
GEOMETRIA ANALÍTICA E ÁLGEBRA LINEAR
1.10 PRODUTO VETORIAL
GEOMETRIA ANALÍTICA E ÁLGEBRA LINEAR
a
b
a x b
b x a
1.11 PRODUTO MISTO
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