Probabilidades - ESTATÍSTICA DESCRITIVA - UNIP

Prévia do material em texto

ESTATÍSTICA DESCITIVA
PROBABILIDADES
PROBABIL IDADE
DEFINIÇÕES
O termo Probabilidade se refere ao estudo da aleatoriedade e da incerteza.
Em qualquer situação em que podem ocorrer diversos resultados, a teoria da probabilidade oferece
métodos de quantificação das chances ou possibilidades de ocorrência associadas a cada um deles.
A linguagem da probabilidade é constantemente usada de maneira informal em contextos escritos e
falados. Exemplos incluem declarações como: "é provável que a média Dow-Jones cresça no final do ano",
"há 50% de chance de o titular ser reeleito"
Neste módulo, apresentaremos alguns conceitos básicos de probabilidade, indicaremos como as
probabilidades podem ser interpretadas e como suas regras podem ser aplicadas para calcular as
possibilidades de ocorrência de muitos eventos. A metodologia da teoria da probabilidade permitirá que
expressemos, em linguagem precisa, declarações informais como as vistas acima.
Um Experimento é qualquer ação ou processo cujo resultado está sujeito à incerteza.
O Espaço Amostral de um experimento, representado por S, é o conjunto de todos os resultados
possíveis desse experimento. E cada um dos resultados possíveis do experimento é denominado
um Ponto Amostral.
Experimento Espaço Amostral (S) Pontos Amostrais
PROBABIL IDADE
DEFINIÇÕES
Exemplos:
Atirar uma moeda S = {cara, coroa} s1 = cara s2 = coroa
Atirar um dado S = {1, 2, 3, 4, 5, 6} s1 = 1, s2 = 2, s3= 3, s4 = 4, s5= 5, s6 = 6
Proporção da área de uma 
cidade inundada em uma 
tempestade. 
S = [0,1] S = [0,1]
PROBABIL IDADE
DEFINIÇÕES
Um Evento é qualquer subconjunto do espaço amostral.
Exemplos:
1. No lançamento de um dado, podemos citar os seguintes eventos:
P : O Resultado ser um numero par
P = {2,4,6} n(P) = 3
F : O Resultado ser um numero menor que 5
F = {1,2,3,4} n(F) = 4
2. Em uma nova estação de bombeamento existem 3 bombas. Antes de dar a partida, podemos 
fazer testes para ver se as bombas estão funcionando. Os resultados possíveis dos testes podem 
ser: S = {FFF, NFF, FNF, FFN, FNN, NFN, NNF, NNN}.
F1 : Uma bomba funcionando
F1 = {FNN, NFN, NNF} n(F1) = 3
F2 : Pelo menos duas bombas funcionando
F2 = {NFF, FNF, FFN, FFF} n(F2) = 4
EVENTOS
OPERAÇÕES
Dentre os eventos, podemos destacar dois especiais. O Evento Certo (sempre ocorre), que corresponde ao
próprio espaço amostral (S), e o Evento Impossível (nunca ocorre), que corresponde ao conjunto vazio (∅).
A correspondência entre eventos e subconjuntos do espaço amostral, faz com que possamos aplicar aos
eventos as mesmas operações que se aplica a conjuntos.
Evento Interseção (𝐴 ∩ 𝐵) é o evento formado
pelos resultados que pertencem a ambos os eventos
considerados.
Evento União (𝐴𝑈𝐵) é o evento formado pelos
resultados que pertencem a pelo menos um dos eventos
considerados.
A B
A∩B
BA
 𝑨
S
EVENTOS
OPERAÇÕES
A
Evento Complementar ( 𝐴) É o evento formado pelos
resultados que não pertencem ao Evento A.
Diferença (𝐴 − 𝐵) É o evento formado pelos
resultados que pertencem ao evento A e não
pertencem ao evento B.
BA
A-B
EVENTOS
OPERAÇÕES
Exclusão Lógica (𝐴U𝐵) É o evento formado pelos
resultados que pertencem exclusivamente ao Evento A
ou ao evento B, mas não a ambos.
BA
A− B B− A
𝐴 U 𝐵 = (𝐴 ∪ 𝐵) − (𝐴 ∩ 𝐵)
Exemplos:
S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
Lançamento de um dado
E = {2, 4, 6} F= {1, 2, 3, 4}
• E U F = {1, 2, 3, 4, 6}
• E ⋂ F = {2, 4}
• E - F = {6} F - E = {1, 3}
 𝐹 = {5,6}• 𝐸 = {1,3,5}
• 𝐸 U F = {1,3,6}
Tomemos os eventos : e
EVENTOS
EVENTOS MUTUAMENTE EXCLUSIVOS
Dois eventos A e B são mutuamente exclusivos ou
disjuntos, quando nenhum resultado do experimento
pertence simultaneamente a A e B.
BA
Ou seja, A e B são mutuamente exclusivos se e
somente se 𝐴 ∩ 𝐵 = ∅
Exemplo:
S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
Lançamento de um dado
E = {2, 4, 6} O = {1, 3, 5}
S = {FFF, NFF, FNF, FFN, FNN, NFN, NNF, NNN}.
Exemplo: Número de bombas em funcionamento em 
uma inspeção de 3 bombas
F1: Apenas uma bomba funcionando:
F1 = {FNN, NFN, NNF}
F2: Pelo menos duas bombas funcionando: 
F2 = {NFF, FNF, FFN, FFF}
PROBABIL IDADES
O CONCEITO DE PROBABILIDADE
A probabilidade de ocorrência de um evento E, é dada
pelo quociente entre o número de elementos de E
n(E) e o número total de resultados possíveis n(S).
Exemplo:
𝑃 𝐸 =
𝑛(𝐸)
𝑛(𝑆)
S = {FFF, NFF, FNF, FFN, FNN, NFN, NNF, NNN}.
Número de bombas em funcionamento em 
uma inspeção de 3 bombas.
F2: Pelo menos duas bombas funcionando:
F2 = {NFF, FNF, FFN, FFF}
F1: Uma bomba funcionando: F1 = {FNN, NFN, NNF}
𝑃 𝐸 =
3
8
= 37,5%
𝑃 𝐸 =
4
8
= 50%
S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
Lançamento de um dado honesto
E: Obtenção de um resultado par: E = {2, 4, 6}
𝑃 𝐸 =
3
6
= 50%
Exemplo:
PROBABIL IDADES
AXIOMAS
As probabilidades atribuídas aos diferentes
resultados de um determinado experimento devem
satisfazer, por definição, aos seguintes axiomas:
𝑃 𝐸 ≥ 0
𝑃 𝑆 = 1
Se 𝐴1, 𝐴2, 𝐴3… , são eventos
mutuamente exclusivos, então:
𝑃 𝐴1 ∪ 𝐴2 ∪ 𝐴3… = 𝑃(𝐴𝑖)
O Axioma 1 reflete a noção intuitiva de que a chance de
ocorrência de qualquer evento E, deve ser não-negativa.
Como todos os resultados possíveis do experimento
pertencem ao espaço amostral S, o Axioma 2 diz que a
probabilidade a ser atribuída ao evento certo é 1.
Axioma 1: 
Axioma 2: 
Axioma 3: 
O Axioma 3 formaliza a ideia de que, se dois eventos
não ocorrem simultaneamente, a chance de pelo
menos um ocorrer será a soma das chances dos eventos
individuais.
PROBABIL IDADES
PROPRIEDADES
Com base nos Axiomas anteriores, pode-se deduzir
algumas propriedades das probabilidades:
Propriedade 1: Para qualquer evento 𝐴, temos:
𝑃 𝐴 = 1 − 𝑃( 𝐴)
Demonstração: Consequência as axiomas 2 e 3.
Propriedade 2: Se 𝐴 e 𝐵 forem eventos mutuamente
exclusivos então:
𝑃 𝐴 ∩ 𝐵 = 0
Demonstração: Como, por definição, 𝐴 ∩ 𝐵 = ∅. Em
consequência do axioma 2 e da propriedade 1 temos
𝑃 𝐴 ∩ 𝐵 = 0.
Propriedade 3: Para quaisquer eventos A e B temos:
𝑃 𝐴 ∪ 𝐵 = 𝑃 𝐴 + 𝑃 𝐵 − 𝑃(𝐴 ∩ 𝐵)
Demonstração: Basta notar que o evento 𝐴𝑈𝐵 é
formado pelos resultados que pertencem a 𝐴, mais
os que pertencem a 𝐵, e mais os que pertencem a
ambos.
Propriedade 4: Se tivermos eventos 𝐴1, 𝐴2, 𝐴3… ,
tais que :
i. 𝐴𝑖 ∩ 𝐴𝑗 = ∅ , para quaisquer par i e j
ii. 𝐴1 ∪ 𝐴2 ∪ 𝐴3 ∪⋯ = 𝑆
Esses eventos são ditos exaustivos
Nesse caso teremos 𝑃 𝐴𝑖 = 1.
PROBABIL IDADES
PROBABILIDADE CONDICIONAL
A Probabilidade de B Condicionada a A ou
Probabilidade Condicional de B dado que ocorreu A,
é a probabilidade de ocorrer o evento B, sabendo-se
que ocorreu A.
𝑃 𝐵/𝐴 =
𝑛(𝐴 ∩ 𝐵)
𝑛(𝐴)
BA
A∩B
Exemplo:
S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
Lançamento de um dado honesto
A: Obtenção de um resultado ímpar: A = {1,3,5}
B: Obtenção de um resultado maior que 2 : B = {3,4,5,6}
𝑃 𝐵/𝐴 =
2
3
= 66,7%
𝑃 𝐴/𝐵 =
2
4
= 50%
PROBABIL IDADES
EVENTOS INDEPENDENTES
Diz-se que dois eventos A e B são independentes
quando :
𝑃 𝐵/𝐴 = 𝑃(𝐵)𝑃 𝐵/𝐴 =
𝑛(𝐴 ∩ 𝐵)
𝑛(𝐴)
𝑃 𝐴 ∩ 𝐵 =
𝑛(𝐴 ∩ 𝐵)
𝑛(𝑆)
𝑃 𝐴 =
𝑛(𝐴)
𝑛(𝑆)
𝑃 𝐴 ∩ 𝐵 = 𝑃 𝐵 𝐴 ∙ 𝑃(𝐴)
Das expressões (1), (2) e (3), acima, conclui-se que:
Ou seja, quando a ocorrência ou não de A não altera a
probabilidade de ocorrência de B.
Da definição acima, pode-se concluir que se A e B são
eventos independentes teremos:
𝑃 𝐴 ∩ 𝐵 = 𝑃(𝐴) ∙ 𝑃(𝐵)
Por definição podemos escrever que:
(1)
(3)
(2)
PROBABIL IDADES
EVENTOS INDEPENDENTES
Na verdade, teremos:
S = {EEE, EEF, EFE, FEE, FFE, FEF,EFF, FFF}
Três lançamentos seguidos de uma moeda 
honesta.
Exemplo:
E = Cara F = CoroaVamos representar: e
Para cada lançamento temos:
𝑃 𝐸 = 0,5 𝑒 𝑃 𝐹 = 0,5
Logo a probabilidade de obter EEE é:
𝑃 𝐸𝐸𝐸 = 0,5 ∙ 0,5 ∙ 0,5 = 0,125 ou 12,5%
e, para cada um dos resultados a probabilidade será 
12,5%.
Exemplo:
Qual a probabilidade de termos os lotes dos dois
fornecedores rejeitados em um determinado dia ?
i. Probabilidade do lote do fornecedor 1 ser
reprovado: 𝑃 𝑅1 = 0,2
𝑃 𝑅1 ∩ 𝑅2 = 0,2 ∙ 0,1 = 0,02 ou 2%
ii. Probabilidade do lote do fornecedor 2 ser
reprovado : 𝑃 𝑅2 = 0,1
Um fabricante de circuitos tem dois
fornecedores. Cada fornecedor envia um lote
de componentes todos os dias para o
fabricante. Sabe-se que:
80% dos lotes do F1 são aprovados no CQ
90% dos lotes do F2 são aprovados no CQ
B
PROBABIL IDADES
LEI DA PROBABILIDADE TOTAL
Na maioria das situações não se tem as 𝑃(𝐵 ∩ 𝐴𝑘), mas 
sim as probabilidades condicionais 𝑃 𝐵|𝐴𝑘 e as 𝑃 𝐴𝑘
Sejam 𝐴1, 𝐴2, ⋯ , 𝐴𝑁 eventos mutuamente
exclusivos e exaustivos. Então, para qualquer
outro evento B, teremos:
𝑃 𝐵 = 
𝑘=1
𝑁
𝑃(𝐵 ∩ 𝐴𝑘)
𝐴1
𝐴3 𝐴4
𝐴5
𝐴2
Nesses casos podemos fazer as substituições:
𝑃(𝐵 ∩ 𝐴𝑘) = 𝑃 𝐵|𝐴𝑘 ∙ 𝑃(𝐴𝑘)
E a fórmula se torna:
𝑃(𝐵) = 
𝑘=1
𝑁
𝑃 𝐵|𝐴𝑘 ∙ 𝑃(𝐴𝑘)
PROBABIL IDADES
EXEMPLO PROBABILIDADE TOTAL
De todos os testes de HIV realizados em um hospital, num determinado período, 20% tiveram resultado
positivo, 45% negativo e 35% foram inconclusivos.
A probabilidade do paciente estar contaminado se o resultado do teste for positivo é de 80%.
A probabilidade do paciente estar contaminado se o resultado do teste for negativo é de 3%.
A probabilidade do paciente estar contaminado se o resultado do teste for inconclusivo é de 10%.
Se tomarmos um paciente ao acaso, qual é a probabilidade do mesmo estar contaminado ?
Vamos nomear os eventos da seguinte forma:
B = Paciente estar Contaminado
𝐴1 = Resultado positivo
𝐴2 = Resultado negativo
𝐴3 = Resultado inconclusivo
𝑃 𝐵 = 
𝑘=1
𝑁
𝑃 𝐵|𝐴𝑘 ∙ 𝑃 𝐴𝑘 = 0,8 ∙ 0,2 + 0,03 ∙ 0,45 + 0,1 ∙ 0,35 = 0,209
Ou seja, a probabilidade de se ter um paciente contaminado é 20,9%
Então teremos:
PROBABIL IDADES
A REGRA DE BAYES
Exemplo: Em certo colégio, 5% dos homens e 2% das
mulheres têm mais do que 1,80m de altura. Por
outro lado, 60% dos estudantes são homens. Se um
estudante é selecionado aleatoriamente, qual a
probabilidade de que seja uma mulher, sabendo-se
que ele(a) mede mais de 1,80m ?
Sejam 𝐴1, 𝐴2, ⋯ , 𝐴𝑁 eventos mutuamente exclusivos
e exaustivos, tais que 𝑃 𝐴𝑘 > 0 . Então, para
qualquer outro evento B, tal que 𝑃 𝐵 > 0, teremos:
𝑃 𝐴𝑘|𝐵 =
𝑃(𝐵 ∩ 𝐴𝑘)
𝑃(𝐵)
=
𝑃(𝐵|𝐴𝑘) ∙ 𝑃(𝐴𝑘)
 𝑘=1
𝑁 𝑃(𝐵|𝐴𝑘) ∙ 𝑃(𝐴𝑘)
Vamos nomear os eventos da seguinte forma:
B = Medir mais de 1,80m
𝐻 = Ser homem
M = Ser mulher
Assim teremos:
𝑃 𝐵 𝐻 = 0,05
𝑃 𝐵 𝑀 = 0,02
𝑃(𝐻) = 0,6
𝑃(𝑀) = 0,4
Usando a Regra de Bayes podemos escrever:
𝑃 𝑀 𝐵 =
𝑃(𝐵|𝑀) ∙ 𝑃(𝑀)
𝑃 𝐵 𝐻 ∙ 𝑃 𝐻 + 𝑃 𝐵 𝑀 ∙ 𝑃 𝑀
𝑃 𝑀 𝐵 = ?
𝑃 𝑀 𝐵 =
0,02 ∙ 0,4
0,05 ∙ 0,6 + 0,02 ∙ 0,4
=
0,008
0,038
= 0,21 = 21%