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Funções, Constante, 1º e 2 Grau sobre Matemática por Paulo Marques math@paulomarques.com.br 1 2 3 4 5 Avaliação: 4.0 / 5 (34 votos) Tipos particulares de funções FUNÇÃO CONSTANTE Uma função é dita constante quando é do tipo f(x) = k, onde k não depende de x . Exemplos: a) f(x) = 5 b) f(x) = -3 Nota : o gráfico de uma função constante é uma reta paralela ao eixo dos x . Veja o gráfico a seguir: FUNÇÃO DO 1º GRAU Uma função é dita do 1º grau , quando é do tipo y = ax + b , onde a 0 . Exemplos : f(x) = 3x + 12 ( a = 3 ; b = 12 ) f(x) = -3x + 1 (a = -3; b = 1). Propriedades da função do 1º grau : 1) o gráfico de uma função do 1º grau é sempre uma reta . 2) na função f(x) = ax + b , se b = 0 , f é dita função linear e se b 0 f é dita função afim . Nota: consta que o termo AFIM foi introduzido por Leonhard Euler (pronuncia-se óiler) -excepcional matemático suíço - 1701/1783). 3) o gráfico intercepta o eixo dos x na raiz da equação f(x) = 0 e, portanto, no ponto de abcissa x = - b/a . 4) o gráfico intercepta o eixo dos y no ponto (0 , b) , onde b é chamado coeficiente linear . 5) o valor a é chamado coeficiente angular e dá a inclinação da reta . 6) se a 0 , então f é crescente . 7) se a 0 , então f é decrescente . 8) quando a função é linear, ou seja, y = f(x) = ax , o gráfico é uma reta que sempre passa na origem. Exercício resolvido: 1 - Determine a função f(x) = ax + b, sabendo-se que f(2) = 5 e f(3) = -10. SOLUÇÃO: Podemos escrever: 5 = 2.a + b -10 = 3.a + b Subtraindo membro a membro, vem: 5 - (- 10) = 2.a + b - (3.a + b) 15 = - a a = - 15 Substituindo o valor de a na primeira equação (poderia ser na segunda), fica: 5 = 2.(- 15) + b b = 35. Logo, a função procurada é: y = - 15x + 35. Agora resolva esta: A função f é definida por f(x) = ax + b. Sabe-se que f(-1) = 3 e f(3) = 1, então podemos afirmar que f(1) é igual a: *a) 2 b) -2 c) 0 d) 3 e) -3 FUNÇÃO DO 2º GRAU Uma função é dita do 2º grau quando é do tipo f(x) = ax2 + bx + c , com a 0 . Exemplos: f(x) = x2 - 2x + 1 ( a = 1 , b = -2 , c = 1 ) ; y = - x2 ( a = -1 , b = 0 , c = 0 ) Gráfico da função do 2º grau y = ax2 + bx + c : é sempre uma parábola de eixo vertical . Propriedades do gráfico de y = ax2 + bx + c : 1) se a 0 a parábola tem um ponto de mínimo . 2) se a 0 a parábola tem um ponto de máximo 3) o vértice da parábola é o ponto V(xv , yv) onde: xv = - b/2a yv = - /4a , onde = b2 - 4ac 4) a parábola intercepta o eixo dos x nos pontos de abcissas x' e x'' , que são as raízes da equação ax2 + bx + c = 0 . 5) a parábola intercepta o eixo dos y no ponto (0 , c) . 6) o eixo de simetria da parábola é uma reta vertical de equação x = - b/2a. 7) ymax = - / 4a ( a 0 ) 8) ymin = - /4a ( a 0 ) 9) Im(f) = { y R ; y - /4a } ( a 0 ) 10) Im(f) = { y R ; y - /4a} ( a 0) 11) Forma fatorada : sendo x1 e x2 as raízes da de f(x) = ax2 + bx + c , então ela pode ser escrita na forma fatorada a seguir : y = a(x - x1).(x - x2) Exercícios Resolvidos 1 - UCSal - Sabe-se que -2 e 3 são raízes de uma função quadrática. Se o ponto (-1 , 8) pertence ao gráfico dessa função, então: a) o seu valor máximo é 1,25 b) o seu valor mínimo é 1,25 c) o seu valor máximo é 0,25 d) o seu valor mínimo é 12,5 *e) o seu valor máximo é 12,5. SOLUÇÃO: Sabemos que a função quadrática, pode ser escrita na forma fatorada: y = a(x - x1)(x - x2) , onde x1 e x2, são os zeros ou raízes da função. Portanto, poderemos escrever: y = a[x - (- 2 )](x - 3) = a(x + 2)(x - 3) y = a(x + 2)(x - 3) Como o ponto (-1,8) pertence ao gráfico da função, vem: 8 = a(-1 + 2)(-1 - 3) 8 = a(1)(-4) = - 4.a Daí vem: a = - 2 A função é, então: y = -2(x + 2)(x - 3) , ou y = (-2x -4)(x - 3) y = -2x2 + 6x - 4x + 12 y = -2x2 + 2x + 12 Temos então: a = -2 , b = 2 e c = 12. Como a é negativo, concluímos que a função possui um valor máximo. Isto já elimina as alternativas B e D. Vamos então, calcular o valor máximo da função. = b2 - 4ac = 22 - 4 .(-2).12 = 4+96 = 100 Portanto, yv = - 100/4(-2) = 100/8 = 12,5 Logo, a alternativa correta é a letra E. 2 - Que número excede o seu quadrado o máximo possível? *a) 1/2 b) 2 c) 1 d) 4 e) -1/2 SOLUÇÃO: Seja x o número procurado. O quadrado de x é x2 . O número x excede o seu quadrado , logo: x - x2. Ora, a expressão anterior é uma função quadrática y = x - x2 . Podemos escrever: y = - x2 + x onde a = -1, b = 1 e c = 0. O valor procurado de x, será o xv (abcissa do vértice da função). Assim, xv = - b / 2.a = - 1 / 2(-1) = 1 / 2 Logo, a alternativa correta é a letra A . Agora resolva estes similares: 1 - A diferença entre dois números é 8. Para que o produto seja o menor possível, um deles deve ser: a) 16 b) 8 *c) 4 d) -4 e) -16 2 - A diferença entre dois números é 8. O menor valor que se pode obter para o produto é: a) 16 b) 8 c) 4 d) -4 *e) -16
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