29 Mudanca de Base de um espaco vetorial

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n. 29 – MUDANÇA DE BASE 
 
 
 
 
Dadas duas bases β e β’ de um espaço vetorial V, pretende-se 
estabelecer a relação entre as componentes de um vetor v em 
relação à base β e as componentes do mesmo vetor em relação à 
base β’. 
Sejam as bases β = {u1, u2 , ...} e β’ = { w1, w2, ...} de V, dado um 
vetor v ∈ V, este será combinação linear dos vetores das bases β e 
β’. 
Demonstração: 
Seja V um espaço vetorial e: 
β = { u1, u2 , ..., un} e β’ = { w1, w2, ..., wn} duas bases ordenadas de V. 
 
Para ser uma base: 
(i) B gera V  { v1, v 2 , ..., v n} = V 
(ii) B é (LI)  { v1, v 2 , ..., v n} é (LI) 
Seja ainda v ∈ V, um vetor genérico de V. 
Supondo que 











nx
x
v 
1
][ 
 e 











ny
y
v 
1
'][ 
, isto é: 
Dizemos que 
B
v][
representa as coordenadas de v na base 
ordenada B: 













n
x
x
B
v 
1
][ 
A relação entre 
][v
 e 
'][ v
é que podemos escrever os vetores 
da base ordenada 

 como combinações lineares dos vetores da 
base ordenada 
'
: 
Supondo: β = { u1, u2} e β’ = { w1, w2} logo, a matriz mudança 
de base: 
  
 '
I
é dada por: 
 (u1 ) = a (w1 ) + b (w2) 
 (u2 ) = c (w1 ) + d (w2) 
 
Onde a matriz 
   'I
é chamada de matriz de mudança da base 

 
para a base 
'
: [𝐼]
𝛽′
𝛽
= [
𝑎 𝑐
𝑏 𝑑
] 
Exemplos: 
1. Sejam β = { (1, 2), (3, 5)} e β’ = {(1, 0), (0, 1)} duas bases do R2. 
Determine a matriz mudança de base β’ para β. 
(1, 0) = a (1, 2) + b (3, 5) 
(0, 1) = c (1, 2) + d (3, 5) 
 
1 = a + 3 b 0 = c + 3 d 
0 = 2 a + 5 b 1 = 2 c + 5 d 
∴ a = - 5 b = 2 ∴ c = 3 d = -1 
 
[𝐼]𝛽
𝛽′
= [
−5 3
2 −1
] 
 
2. Considere a base B em 𝑅3 formada pelos vetores (1, 0, 1), (1, 
1, 1) e (1, 1, 2). Considere também a base C formada pelos 
vetores (1, 0, 0), (0, 1, 0) e (0, 0, 1). Encontre a matriz 
mudança de base de C para B: [𝑀]𝐵
𝐶 . 
 
 
Precisamos resolver: 
 
{
(1, 0, 0) = 𝑎 (1, 0, 1) + 𝑏 (1, 1, 1) + 𝑐 (1, 1, 2)
(0, 1, 0) = 𝑑 (1, 0, 1) + 𝑒 (1, 1, 1) + 𝑓 (1, 1, 2)
(0, 0, 1) = 𝑔 (1, 0, 1) + ℎ (1, 1, 1) + 𝑖 (1, 1, 2)
 
 
{
(1, 0, 0) = (𝑎, 0, 𝑎) + (𝑏, 𝑏, 𝑏) + (𝑐, 𝑐, 2𝑐)
(0, 1, 0) = (𝑑, 0, 𝑑) + (𝑒, 𝑒, 𝑒) + (𝑓, 𝑓, 2𝑓)
(0, 0, 1) = (𝑔, 0, 𝑔) + (ℎ, ℎ, ℎ) + (𝑖, 𝑖, 2𝑖)
 
 
Primeira linha do sistema: {
1 = 𝑎 + 𝑏 + 𝑐
0 = 𝑏 + 𝑐
0 = 𝑎 + 𝑏 + 2𝑐
 
 
Segunda linha do sistema: {
0 = 𝑑 + 𝑒 + 𝑓
1 = 𝑒 + 𝑓
0 = 𝑑 + 𝑒 + 2𝑓
 
 
Terceira linha do sistema: {
0 = 𝑔 + ℎ + 𝑖
0 = ℎ + 𝑖
1 = 𝑔 + ℎ + 2𝑖
 
 
A matriz mudança de base será do tipo: 
[
 
 
 
 
𝑎 𝑑 𝑔
𝑏 𝑒 ℎ
𝑐 𝑓 𝑖 ]
 
 
 
 
 
 
Resolvendo os sistemas teremos: [𝑀]𝐵
𝐶 = 
[
 
 
 
 
1 −1 0
1 1 −1
−1 0 1 ]
 
 
 
 
 
Alguns exemplos de mudança de base: 
1. Dados V = ℝ2 e as bases A = {(2, -1), (-1, 1)} e B= {(1, 0), (0, 1)} 
determine: 
a. [I]B
A R: [𝐼]𝐵
𝐴 = [
2 −1
−1 1
] 
 
b. [I]A
B R: [𝐼]𝐴
𝐵 = [
1 1
1 2
] 
2. Dados 2V e as bases    }4,3,1,2{  e    }1,0,0,1{' , 
determine: 
a. [𝐼]
𝛽′
𝛽
 R: [𝐼]
𝛽′
𝛽
= [
2 3
−1 4
] 
 
b. [𝐼]𝛽
𝛽′
 R: [𝐼]𝛽
𝛽′
= 
[
 
 
 
 
4
11
−
3
11
1
11
2
11 ]
 
 
 
 
 
3. Ache a matriz mudança de base da base canônica do ℝ3 para a 
base 𝐵 = { ( 1, 1, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 3)}. 
 
4. Dê a matriz de mudança da base 𝐸 = ( 𝑒1 ⃗⃗⃗⃗ , 𝑒2 ⃗⃗ ⃗⃗ , 𝑒3 ⃗⃗ ⃗⃗ ) para a base 
𝐹 = (𝑓1 ⃗⃗⃗⃗ , 𝑓2 ⃗⃗⃗⃗ , 𝑓3 ⃗⃗⃗⃗ ) nos casos: 
 
a. {
𝑓1 ⃗⃗⃗⃗ = − 3 𝑒1 ⃗⃗⃗⃗ + 𝑒2 ⃗⃗ ⃗⃗ + 𝑒3 ⃗⃗ ⃗⃗ 
𝑓2 ⃗⃗⃗⃗ = 𝑒1 ⃗⃗⃗⃗ − 2 𝑒2 ⃗⃗ ⃗⃗ + 𝑒3 ⃗⃗ ⃗⃗ 
𝑓3 ⃗⃗⃗⃗ = 𝑒1 ⃗⃗⃗⃗ + 2 𝑒2 ⃗⃗ ⃗⃗ 
 
 
b. {
𝑓1 ⃗⃗⃗⃗ = 𝑒1 ⃗⃗⃗⃗ − 𝑒3 ⃗⃗ ⃗⃗ 
𝑓2 ⃗⃗⃗⃗ = 3 𝑒1 ⃗⃗⃗⃗ 
𝑓3 ⃗⃗⃗⃗ = 4 𝑒1 ⃗⃗⃗⃗ − 3 𝑒2 ⃗⃗ ⃗⃗ 
 
 
Resolução: 
1. Dados V = ℝ2 e as bases A = {(2, -1), (-1, 1)} e B= {(1, 0), (0, 1)} 
determine: 
a. [𝐼]𝐵
𝐴 
(2, - 1) = a (1, 0) + b ( 0, 1) 
(-1, 1) = c (1, 0) + d (0, 1) 
Logo, a = 2 b = - 1 c = -1 d = 1 
[𝐼]𝐵
𝐴 = [
2 −1
−1 1
] 
 
 b. [I]A
B 
 (1, 0) = a (2, -1) + b ( -1, 1) 
(0, 1) = c (2, -1) + d (-1, 1) 
1 = 2 a – b 0 = 2 c - d 
0 = -a + b 1 = - c + d 
∴ a = 1 b = 1 ∴ c = 1 d = 2 
Logo, a = 1 b = 1 c = 1 d = 2 
[𝐼]𝐴
𝐵 = [
1 1
1 2
] 
 
2. Dados 2V e as bases    }4,3,1,2{  e    }1,0,0,1{' , 
determine: 
𝑎. [𝐼]
𝛽′
𝛽
 
(2, - 1) = a (1, 0) + b ( 0, 1) 
(3, 4) = c (1, 0) + d (0, 1) 
Logo, a = 2 b = - 1 c = 3 d = 4 
[𝐼]
𝛽′
𝛽
= [
2 3
−1 4
] 
 
b. [𝐼]𝛽
𝛽′
 
(1, 0) = a (2, -1) + b (3, 4) 
(0, 1) = c (2, -1) + d (3, 4) 
Logo, 𝑎 = 
4
11
 𝑏 = 
1
11
 𝑐 = −
3
11
 𝑑 = 
2
11
 
[𝐼]𝛽
𝛽′
= 
[
 
 
 
 
4
11
−
3
11
1
11
2
11 ]
 
 
 
 
 
OBS: dos exercícios anteriores observamos que: 
 
 [𝑰]
𝜷′
𝜷
 . [𝑰]𝜷
𝜷′
= [
𝟐 𝟑
−𝟏 𝟒
] . [
𝟒
𝟏𝟏
−
𝟑
𝟏𝟏
𝟏
𝟏𝟏
𝟐
𝟏𝟏
] = [
𝟏 𝟎
𝟎 𝟏
] 
 
 [𝑰]𝜷
𝜷′
. [𝑰]
𝜷′
𝜷
= [
𝟒
𝟏𝟏
−
𝟑
𝟏𝟏
𝟏
𝟏𝟏
𝟐
𝟏𝟏
] . [
𝟐 𝟑
−𝟏 𝟒
] = [
𝟏 𝟎
𝟎 𝟏
] 
Portanto, pode-se concluir que: [𝑰]
𝜷′
𝜷
= ([𝑰]𝜷
𝜷′
)
−𝟏
 
 
3. Ache a matriz mudança de base da base B = {(1, 1,0), (0,1,0), (0, 
0,3)} para a base canônica do ℝ3. (Callioli p. 94) 
 Base canônica do ℝ3: R = {(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)} 
{
(1, 1, 0) = a (1, 0, 0) + b (0, 1, 0) + c (0, 0, 1) (1)
(0, 1, 0) = d (1, 0, 0) + e (0, 1, 0) + f (0, 0, 1) (2)
(0, 0, 3) = g (1, 0, 0) + h (0, 1, 0) + i (0, 0, 1) (3)
 
De (1): a = 1 b = 1 c = 0 
De (2): d = 0 e = 1 f = 0 
De (3): g = 0 h = 0 i = 3 
Matriz mudança de base: [𝐼]𝑅3
𝐵 =
[
 
 
 
 
1 0 0
1 1 0
0 0 3]
 
 
 
 
 
 
4. Ache a matriz mudança de base da base canônica do ℝ3 para a 
base B = {(1, 1,0), (0,1,0), (0, 0,3)}. (Callioli, p. 94) 
Base canônica do ℝ3: R = {(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)} 
{
(1, 0, 0) = a (1, 1, 0) + b (0, 1, 0) + c (0, 0, 3) (1)
(0, 1, 0) = d (1, 1, 0) + e (0, 1, 0) + f (0, 0, 3) (2)
(0, 0, 1) = g (1, 1, 0) + h (0, 1, 0) + i (0, 0, 3) (3)
 
De (1): a = a + b = 0  b = - 1 3 c = 0  c = 0 
De (2): d = 0 e + d = 1  e = 1 3 f = 0  f = 0 
De (3): g = 0 h + g = 0  h = 0 3 i = 1  i = 
1
3
 
Matriz mudança de base: [𝐼]𝐵
𝑅3 =
[
 
 
 
 
1 0 0
−1 1 00 0
1
3]
 
 
 
 
 
 
5. Dê a matriz de mudança da base E = (𝑒1 ⃗⃗⃗⃗ , 𝑒2 ⃗⃗ ⃗⃗ , 𝑒3 ⃗⃗ ⃗⃗ ) para a base F 
= (𝑓1 ⃗⃗⃗⃗ , 𝑓2 ⃗⃗⃗⃗ , 𝑓3 ⃗⃗⃗⃗ ) nos casos: (Boulos, p. 56 – n. 1) 
a. 𝑓1 ⃗⃗⃗⃗ = − 3 𝑒1 ⃗⃗⃗⃗ + 𝑒2 ⃗⃗ ⃗⃗ + 𝑒3 ⃗⃗ ⃗⃗ 
 
 𝑓2 ⃗⃗⃗⃗ = 𝑒1 ⃗⃗⃗⃗ − 2 𝑒2 ⃗⃗ ⃗⃗ + 𝑒3 ⃗⃗ ⃗⃗ 
 
 𝑓3 ⃗⃗⃗⃗ = 𝑒1 ⃗⃗⃗⃗ + 2 𝑒2 ⃗⃗ ⃗⃗ 
 
Como não temos nada sobre a base E, tomamos igual à base 
canônica: 
{(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)} 
 
Logo, 
{ 
𝑓1 ⃗⃗⃗⃗ = (−3, 0, 0) + (0, 1, 0) + (0, 0, 1) = (− 3, 1, 1)
𝑓2 ⃗⃗⃗⃗ = (1, 0, 0) + (0,− 2, 0) + (0, 0, 1) = (1,− 2, 1)
𝑓3 ⃗⃗⃗⃗ = (1, 0, 0) + (0, 2, 0) = (1, 2, 0)
 
 
Da base E (canônica do ℝ3 ) para a base F : 
 
{
(1, 0, 0) = a (−3, 1, 1) + b (1,− 2, 1) + c (1, 2, 0) (1)
(0, 1, 0) = d (−3, 1, 1) + e (1,− 2, 1) + f (1, 2, 0) (2)
(0, 0, 1) = g (−3, 1, 1) + h (1,− 2, 1) + i (1, 2, 0) (3)
 
De (1): a = -3 b = 1 c = 1 
De (2): d = 1 e = -2 f = 1 
De (3): g = 1 h = 2 i = 0 
 
Matriz mudança de base: [𝐼]𝐹
𝐸 =
[
 
 
 
 
− 3 1 1
1 −2 2
1 1 0]
 
 
 
 
 
 
b. 𝑓1 ⃗⃗⃗⃗ = 𝑒1 ⃗⃗⃗⃗ − 𝑒3 ⃗⃗ ⃗⃗ 
 𝑓2 ⃗⃗⃗⃗ = 3 𝑒1 ⃗⃗⃗⃗ 
 𝑓3 ⃗⃗⃗⃗ = 4 𝑒1 ⃗⃗⃗⃗ − 3 𝑒2 ⃗⃗ ⃗⃗ 
 
{
𝑓1 ⃗⃗⃗⃗ = (1, 0, 0) − (0, 0, 1) = (1, 0,−1) 
𝑓2 ⃗⃗⃗⃗ = 3(1, 0, 0) = (3, 0, 0)
𝑓3 ⃗⃗⃗⃗ = 4 (1, 0, 0) − 3 (0, 1, 0) = (4, 0, 0) − (0, 3, 0) = (4,−3, 0)
 
 
 Da base E (canônica do ℝ3 ) para a base F : 
{
(1, 0, 0) = a (1, 0, − 1) + b (3, 0, 0) + c (4,− 3, 0) (1)
(0, 1, 0) = d (1, 0, − 1) + e (3, 0, 0) + f (4,− 3, 0) (2)
(0, 0, 1) = g (1, 0, − 1) + h (3, 0, 0) + i (4,− 3, 0) (3)
 
De (1): a = 0 b = 
1
3
 c = 0 
De (2): d = 0 e = 
4
9
 f = −
1
3
 
De (3): g = - 1 h = 
1
3
 i = 0 
 
Matriz mudança de base: [𝐼]𝐹
𝐸 =
[
 
 
 
 
0 0 − 1
1
3
4
9
1
3
0 − 
1
3
0
 
]
 
 
 
 
 
 
 
Referências Bibliográficas 
 
BOLDRINI, J. L. et al. Álgebra linear. São Paulo: Harper & Row, 1980. 
 
BORGES, A. J. Notas de aula. Curitiba. Set. 2010. Universidade Tecnológica Federal do Paraná – UTFPR. 
 
CALLIOLI, C. A. et al. Álgebra linear e aplicações. São Paulo: Atual, 1990. 
 
ANTON, H.; BUSBY, R. C. Álgebra linear contemporânea. São Paulo: Bookman, 2008. 
 
KOLMAN, B.; HILL, R. Introdução à álgebra linear com aplicações. 6ª ed. Rio de Janeiro: Prentice-
Hall, 1998. 
 
LIPSCHUTZ, S. Álgebra linear. São Paulo: McGraw-Hill do Brasil, 1972. 
 
NUNES, Luiz Fernando. Notas de aula: Matemática 1. Professor do Departamento de Matemática da 
Universidade Tecnológica Federal do Paraná – UTFPR. 
 
STEINBRUCH, A. e WINTERLE, P. Álgebra linear. São Paulo: Pearson-Makron Books, 2010. 
 
VENTURI, J. J. Álgebra Vetorial e Geometria Analítica. 9 ed. Curitiba. 1949.