Mecânica II - POli - P1 2011

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ESCOLA POLITÉCNICA DA UNIVERSIDADE DE SÃO PAULO 
 Avenida Professor Mello Moraes, nº 2231. cep 05508-900, São Paulo, SP. 
 Telefone: (0xx11) 3091 5337 Fax: (0xx11) 3813 1886 
 
Departamento de Engenharia Mecânica 
 
MECÂNICA B – PME 2200 – Primeira Prova – 05 de abril de 2011 
Duração da Prova: 110 minutos (não é permitido uso de calculadora) 
 
1ª Questão (3,5 pontos) 
 
O sistema mostrado na figura ao lado gira em torno do eixo OD. 
Este eixo tem comprimento 4L e massa desprezível. O volante 
fixado ao eixo em D tem massa 2m e raio L. A barra ABC está no 
plano xz e os trechos AB e BC têm cada um massa m e 
comprimento L. O corpo P possui massa concentrada m e pode 
deslizar sobre a haste AE de massa desprezível, também contida 
no plano xz. Na configuração indicada o corpo P dista h do eixo 
OD. Pede-se: 
a) determinar a localização do baricentro do sistema em função 
de h; 
b) calcular o momento angular do sistema em relação ao pólo O; 
c) balancear o sistema colocando apenas uma massa M no 
diâmetro externo do volante e ajustando a distância h do corpo 
P. Informe os valores obtidos. 
 
2ª Questão (3,5 pontos) 
 
Um avião, que acaba de decolar, está em translação retilínea com 
velocidade constante. O trem de pouso do avião, mostrado na figura, é 
recolhido com a roda ainda em movimento com velocidade angular 
constante kRR
rr
ww = relativamente à barra OG. A rotação da barra 
OG, de massa M e comprimento 2L, é mantida com velocidade 
angular constante iiBB
r&rr qww == . Considere a roda como um disco de 
raio R, massa m e momentos de inércia JGx = JGy = J, JGz = 2J. Na 
configuração representada neste instante, pedem-se, em função dos 
parâmetros dados, expressos na base tri-ortogonal kjiO
rrr
, solidária à 
barra OG: 
a) compor o vetor rotação da roda; 
b) determinar o vetor momento angular GH
r
 da roda com respeito ao 
pólo G; 
c) calcular o momento aplicado pela roda à barra OG; 
d) considerando também os pesos da roda e da barra OG, 
calcular o momento aplicado pela barra ao sistema de 
acionamento do trem de pouso. 
 
3ª Questão (3,0 pontos) 
 
Considerando o primeiro exercício de modelagem e 
simulação computacional (EMSC #1), realize as seguintes 
atividades: 
a) faça o diagrama de forças sobre o corpo livre e obtenha 
a equação de movimento no grau de liberdade q; 
 
2m 
x 
z 
L 
L 
O h 
D 
L 
P 
C 
B 
A 
E 
 
z 
x 
O 
y 
G 
g 
q 
2L 
® 
w R 
 
L 
R 
g 
k 
q 
T 
O 
 
 
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b) escreva as equações das reações horizontal e vertical do mancal O; 
 
c) você obteve nas simulações os gráficos temporais apresentados abaixo para condições iniciais 
04.02/)0( --= pq e 0)0( =q& . Faça uma tabela identificando as grandezas representadas em cada 
gráfico; 
 
 
(1) 
 
(2) 
 
(3) 
 
(4) 
 
 
d) justifique porque, na condição de equilíbrio, a 
reação vertical do mancal O é maior que o peso 
próprio do conjunto. Dados: m = 1 kg; M = 5 kg; k = 
120 ´ 103 N/m; c = 500 Nm/(rad/s); R = 0.10 m; 2L = 
0.03 m; g = 9.81 m/s2 ; momento dissipativo no 
mancal: kcT
r&r q-= , 
 
4ª Questão (1,0 ponto) 
 
Considerando a definição dos ângulos de Euler 
apresentada na figura ao lado, estabeleça as condições 
cinemáticas necessárias a uma possível precessão 
estacionária. 
 
 
 
Z
z
y
xX
Y
O
y&
f&
q
q
f
zG
mg
 
 
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Departamento de Engenharia Mecânica 
 
MECÂNICA B – PME 2200 – Primeira Prova – 05 de abril de 2011 
 
Resolução da 1ª Questão (3,5 pontos) 
 
O sistema mostrado na figura ao lado gira em torno do eixo OD. 
Este eixo tem comprimento 4L e massa desprezível. O volante 
fixado ao eixo em D tem massa 2m e raio L. A barra ABC está no 
plano xz e os trechos AB e BC têm cada um massa m e 
comprimento L. O corpo P possui massa concentrada m e pode 
deslizar sobre a haste AE de massa desprezível, também contida 
no plano xz. Na configuração indicada o corpo P dista h do eixo 
OD. Pede-se: 
 
a) determinar a localização do baricentro do sistema em função 
de h; (1,0 ponto) 
b) calcular o momento angular do sistema em relação ao pólo 
O; (1,0 ponto) 
c) balancear o sistema colocando apenas uma massa M no 
diâmetro externo do volante e ajustando a distância h do 
corpo P. Informe os valores obtidos. (1,5 pontos) 
 
( )
Þ
-+÷
ø
ö
ç
è
æ-+
=
m
Lm
L
mmh
xG 5
2 
10
32 Lh
xG
-
= 
0=Gy 
 
( )
Þ
+÷
ø
ö
ç
è
æ++
=
m
Lm
L
mmLmL
zG 5
42
2
3
 
10
23L
zG = 
 
[ ][ ] kJjJiJJkjiH zyzxzOxyzO ˆˆˆ0
0
ˆˆˆ www
w
+--=
ï
þ
ï
ý
ü
ï
î
ï
í
ì
=
r
 
mas 0=yzJ 
 
Assim: kJiJH zxzO ˆˆ ww +-=
r
 
 
( ) 22
2
3
2
mLmhL
L
LmL
L
mmhLJ xz -=÷
ø
ö
ç
è
æ-+÷
ø
ö
ç
è
æ -+= 
3
7
2
2
3
2
2
2
2
2
2 mLmh
L
mmL
mL
mhJ z +=÷÷
ø
ö
çç
è
æ
+++= 
( ) kmLmhimLmhLHO ˆ3
7ˆ2
2
22 ww ÷÷
ø
ö
çç
è
æ
++--=
r
 
 
Balanceamento: 
 
( )
Þ=
+
+÷
ø
ö
ç
è
æ -
=¢ 0
5
10
32
5
Mm
LM
Lh
m
xG 
 
( )1
2
3
ML
mL
mh -= 
 
( ) Þ=+-=¢ 042 2 LLMmLmhLJ xz 
 
( )2042 =+- MLmLmh 
 
Substituindo (1) em (2): 
 
Þ=+-- 042
2
3
MLmLML
mL
 
 
 
6
m
M = 
 
Substituindo em (1): 
Þ-=
62
3 mLmL
mh 
3
4L
h = 
 
2m 
x 
z 
L 
L 
O h 
D 
L 
P 
C 
B 
A 
E 
 
 
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Resolução da 2ª Questão (3,5 pontos) 
 
Um avião, que acaba de decolar, está em translação retilínea com 
velocidade constante. O trem de pouso do avião, mostrado na 
figura, é recolhido com a roda ainda em movimento com 
velocidade angular constante kRR
rr
ww = relativamente à barra OG. 
A rotação da barra OG, de massa M e comprimento 2L, é mantida 
com velocidade angular constante iiBB
r&rr qww == . Considere a 
roda como um disco de raio R, massa m e momentos de inércia JGx 
= JGy = J, JGz = 2J. Na configuração representada neste instante, 
pedem-se, em função dos parâmetros dados, expressos na base tri-
ortogonal kjiO
rrr
, solidária à barra OG: 
 
a) compor o vetor rotação da roda; (1,0 ponto) 
b) determinar o vetor momento angular GH
r
 da roda com respeito ao pólo G; (1,0 ponto) 
c) calcular o momento aplicado pela roda à barra OG; (1,0 ponto) 
d) considerando também os pesos da roda e da barra OG, calcular o momento aplicado pela barra ao 
sistema de acionamento do trem de pouso.(0,5 pontos) 
 
a) ki RB
rr
www += ˆ 
b) [ ][ ]
ï
þ
ï
ý
ü
ï
î
ï
í
ì
=
R
B
GxyzG JkjiH
w
w
0ˆˆˆ
r
 
kJiJH RBG
rrr
ww 2+= 
c) TMA na roda: GG MH
r&r = 
( ) jJkiJkJH BRBRRG r
rr&r&r wwwww 222 -=Ù== 
Assim, o momento giroscópico aplicado pela roda na 
barra é igual a: 
jJM BRGir
rr
ww2= 
 
d) TMA aplicado à barra OG, pólo O 
[ ]
( ) 0
][)^(
rrr
rrrrr
==
+-=
iJ
dt
d
M
Jkji
dt
d
aOGMM
BOx
ext
O
OOB
ext
O
w
w
, 
pois 0
rr
=Oa e iJ BOx
r
w é constante. Assim, 
BSBR
ext
O MjJiMgLiLmgM >-++--=
rrrrr
wwqq 2sinsin2 
com BSM >-
r
= momento que o sistema de acionamento 
do trem de pouso aplica à barra OG, dado por: 
 
0:
02:
0)2(:
0
22
=
=+
=++-
Þ==++
++--
Þ++=>-
z
yBR
motor
ext
Ozymotor
BR
zymotorBS
Mk
MJj
MgLsinMmi
MkMjMiM
jJiMgLsiniLsinmg
kMjMiMM
r
r
r
rrrrr
rrr
rrrr
ww
q
wwqq
 
Portanto, os momentos que a barra aplica ao 
sistema são: 
jJigLsinMmM
kMjMiMM
BRSB
zymotorSB
rrr
rrrr
wwq 2)2( ++-=
---=
>-
>-
 
DFCL: 
 
O 
G 
 ® 
M g 
 ® 
m g 
® 
RO 
 ® 
MY 
 ® 
MZ 
 ® 
MMOTOR 
 ® 
2 J wR wB j 
GB 
 
 
 
 
z 
x 
O 
y 
G 
g 
q 
2L 
® 
w R 
 
 
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Resolução da 3ª Questão (3,0 pontos) 
 
Considerando o primeiro exercício de modelagem e 
simulação computacional (EMSC #1), realize as seguintes 
atividades: 
 
a) Faça o diagrama de forças sobre o corpo livre e escreva 
novamente a equação de movimento para o grau de 
liberdade q. 
 
÷
ø
ö
ç
è
æ +++= 222 )2/(
12
1
2
1
LRMMLmRJ z (I) 
qqqq &&& ckRMgLRJ z --+=
2cos)2/( (II) (0,5 ponto) 
 
b) Escreva as equações das reações do mancal O expressando-as no sistema fixo. 
 
)(
)2/(
mM
RLM
xG +
+
-= (III) 
nxtxa GGG
r&
r
&&r 2ww += (IV) (0,5 ponto) 
)cossen()( 2 qwqw ++= &Gx xmMO (V) 
gmMkRxmMO Gy )()sencos()(
2 ++++-+= qqwqw& (VI) (0,5 ponto) 
 
c) Você obteve nas simulações os gráficos temporais apresentados nas figuras abaixo para condições 
iniciais 04.02/)0( --= pq e 0)0( =q& . Faça uma tabela identificando as variáveis 
correspondentes a cada gráfico. (1,0 ponto) 
 
Figura 1 Posição angular q 
Figura 2 Reação vertical no mancal 
Figura 3 Reação horizontal no mancal 
Figura 4 Velocidade angular dq/dt 
 
d) justifique porque, na condição de equilíbrio, a reação vertical do mancal O é maior que o peso 
próprio do conjunto. 
 
Resposta: A reação vertical é maior que o peso próprio do conjunto porque há ação externa da mola. 
Na posição de equilíbrio a mola estará tensionada e sua ação se soma ao peso próprio do conjunto, 
aumentando a reação vertical do mancal. (0,5 ponto) 
 
 
L 
F=kRq 
q 
T 
O 
Oy 
Ox 
(M+m)g 
xG 
 
 
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Resolução da 4ª Questão (1,0 ponto) 
 
Considerando a definição dos ângulos de Euler 
apresentada na figura ao lado, estabeleça as condições 
cinemáticas necessárias a uma possível precessão 
estacionária. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Resposta: 
 
 
As condições cinemáticas que definem a precessão estacionária são: 
 
- rotação própria constante cte=y& ; 
 
- velocidade angular de precessão constante cte=f& ; 
 
- ângulo de nutação constante cte=q ® 0=q& . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Z
z
y
x
X
Y
O
y&
f&
q
q
f
zG
mg