AULA_DE_INTEGRAL_DEFINIDA

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ENGENHARIA DE CONTROLE E AUTOMAÇÃO 
CÁLCULO I 
Prof. Irazel 
CÁLCULO INTEGRAL COM UMA VARIÁVEL 
 
INTEGRAL DEFINIDA 
 
TEOREMA FUNDAMENTAL DO CÁLCULO 
 
Seja f uma função contínua num intervalo [a,b] e F uma primitiva de f , então, 
 
න ݂ሺݔሻ݀ݔ
௕
௔
ൌ ሾܨሺݔሻሿ௔௕ ൌ ܨሺܾሻ െ ܨሺܽሻ 
 
onde: 
• a é o limite inferior de integração 
• b é o limite superior de integração 
• f(x) é o integrando 
 
PROPRIEDADES DA INTEGRAL DEFINIDA 
 
ܲ1ሻ න ݂ሺݔሻ݀ݔ ൌ ܨሺܽሻ െ ܨሺܽሻ ൌ 0
௔
௔
 
ܲ2ሻ න ݂ሺݔሻ݀ݔ ൌ െ න ݂ሺݔሻ݀ݔ
௔
௕
௕
௔
 
ܲ3ሻ න ݂ሺݔሻ݀ݔ ൌ න ݂ሺݔሻ݀ݔ ൅ න ݂ሺݔሻ݀ݔ, ܽ ൑ ܿ ൑ ܾ
௕
௖
௖
௔
௕
௔
 
ܲ4ሻ න ݇. ݂ሺݔሻ݀ݔ ൌ ݇ න ݂ሺݔሻ݀ݔ, ݇ א \
௕
௔
௕
௔
 
EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO 
01. ܥ݈ܽܿݑ݈݁ න ݔଶ ݀ݔ ܴ: 7 3⁄
ଶ
ଵ
 
02. ܥ݈ܽܿݑ݈݁ න 4 ݀ݔ
ଷ
ିଵ
 ܴ: 16 
03. න ݁ି௫݀ݔ ܴ: 1 െ 1 ݁⁄
ଵ
଴
 
( Mais exercícios: Guidorizzi, vol.1, 5ª edição, páginas 308, 309 e 310, exercícios 11.5) 
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 APLICAÇÕES DA INTEGRAL DEFINIDA 
 
I. CÁLCULO DE ÁREAS – Seja ݂ሺ࢞ሻ uma função contínua no intervalo ሾܽ, ܾሿ. A área entre o 
gráfico de ݂ሺ࢞ሻ e o eixo dos x, de ݔ ൌ ܽ ܽ ݔ ൌ ܾ, é dado por: 
 
ܣ ൌ න ݂ሺݔሻ݀ݔ
௕
௔
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
II. CÁLCULO DA ÁREA COMPREENDIDA ENTRE O GRÁFICO DE DUAS FUNÇÕES - 
A área entre os dois gráficos das funções f e g no intervalo [a,b] é dado por: 
 
 
 
 
 
 
 
 
ܣ ൌ නሾ݂ሺݔሻ െ ݃ሺݔሻሿ
௕
௔
݀ݔ 
 
 
EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO 
 
01. Use integração para calcular a área das regiões delimitadas pelo eixo-x e pelas funções abaixo: 
 
a) ݂ሺݔሻ ൌ 2ݔ ൅ 1, ݊݋ ݅݊ݐ݁ݎݒ݈ܽ݋ ሾ1, 3ሿ 
 
b) ݂ሺݔሻ ൌ ݔଶ െ 4ݔ, ݔ א ሾ1, 3ሿ 
 
c) ݂ሺݔሻ ൌ ݔଷ െ 2ݔଶ െ 5ݔ ൅ 6, ݔ א ሾെ2, 3ሿ 
 
02. Calcule a área da região compreendida pelas curvas ݂ሺݔሻ ൌ െݔଶ ൅ 4ݔ ݁ ݃ሺݔሻ ൌ ݔଶ 
 
03. Calcule a área da região compreendida pelas curvas ݕଶ ൌ 2ݔ െ 2 ݁ ݕ ൌ ݔ െ 5 
 
 
( Mais exercícios: Guidorizzi, vol.1, 5ª edição, páginas 316 e 317, exercícios 11.6) 
 
 
 
 
ܽ ܾ 
3 
 
III. TEOREMA DO VALOR MÉDIO PARA INTEGRAIS 
 
Se f é uma função contínua em [a,b], então existe cא(a,b) tal que 
 
න ࢌሺ࢞ሻࢊ࢞ ൌ ࢌሺࢉሻሺ࢈ െ ࢇሻ
࢈
ࢇ
 
 
INTERPRETAÇÃO GEOMÉTRICA DO TEOREMA DO VALOR MÉDIO 
 
 Se f (x) ≥ 0, ∀ x∈[a,b] , então a área sob o gráfico de f é igual à área do retângulo de lados 
(b – a) e f(c). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
IV. VOLUME OBTIDO PELA ROTAÇÃO DE UMA CURVA DESCRITA POR ࢟ ൌ ࢌሺ࢞ሻ EM 
TORNO DE OX 
Dada uma região plana R, girando-se a região R em torno do eixo dos x obtém-se um sólido denominado 
de sólido de revolução. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Considerando uma curva suave C descrita por y=f(x) (não negativa no intervalo [a,b]), o volume 
V(S) do sólido de revolução gerado pela rotação da curva C em torno do eixo OX no intervalo [a,b] é dado 
por: 
݂ሺܿሻ ൌ
1
ܾ െ ܽ
න ݂ሺݔሻ݀ݔ
௕
௔
 
O valor médio de f em [a,b] 
é dado por: 
4 
 
ܸ ൌ ߨ නሾ݂ሺݔሻሿଶ ݀ݔ
௕
௔
 
 
 
Volume obtido pela rotação de uma curva descrita por y=f(x) em torno do eixo dos y 
 
ܸ ൌ 2ߨ න ݔ ݂ሺݔሻ ݀ݔ
௕
௔
 
 
EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO 
 
01. Determine o volume obtido pela rotação completa, em torno do eixo dos x, do conjunto de pontos 
2 2 2, 0 ( 0)x y r y r+ ≤ ≥ > . 
 
02. Determine a expressão do volume do cone obtido pela rotação completa de ( ) rf x x
h
= , em torno do 
eixo dos x. 
 
02. Determine o volume do tronco de cone gerado pela rotação do segmento de reta AB, em torno do eixo 
dos x, sendo A(1,1) e B(2,3). 
R.: 13
3
π 
03. Calcule o volume do sólido obtido pela rotação do gráfico de 2( )f x x= , [1,3]x∈ , em torno do eixo 
dos x. 
R.: 242
5
π 
 
04. A curva 1( )f x
x
= , [1, 4]x ∈ , ao ser girada em torno do eixo dos x determina um sólido de volume V. 
Calcule V. R.: 3
4
π 
 
V. TRABALHO DE UMA FORÇA VARIÁVEL 
 
Seja f uma função contínua no intervalo fechado [a,b] e seja f(x) o número de unidades da força atuando 
sobre um objeto no ponto x sobre o eixo dos x. Então, se τ for o trabalho realizado pela força enquanto o 
objeto se move de a para b, τ será dado por: 
 
߬ ൌ න ݂ሺݔሻ ݀ݔ
௕
௔
 
 
EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO 
 
01. Determine o trabalho realizado por uma força para distender uma mola de constante elástica k, de x1 a x2. 
(Adote: x1=0 e x2=x) 
 
5 
 
02. Uma mola tem um comprimento natural de 1,4 m. Se uma força de 5N é exigida para conservar a mola 
esticada de 0,2 m, qual é o trabalho realizado para que a mola se estenda de seu comprimento natural a um 
comprimento de 1,8 m? R.: 2 J 
 
VI. COMPRIMENTO DO ARCO DE UMA CURVA PLANA 
 
 Se a função ݂ሺݔሻ e sua derivada ݂ᇱሺݔሻ são contínuas no intervalo fechado [a,b], então, o 
comprimento do arco da curva ݕ ൌ ݂ሺݔሻ do ponto (a, f(a)) ao ponto (b, f(b)), que representaremos por L é 
dado por 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO 
 
01. Determine o comprimento da curva 
2
, 0 1
2
xy x= ≤ ≤ . 
 
02. Determine o comprimento do arco da curva 
2
3( )f x x= do ponto (1,1) a (8,4). 
R..
3 31 2 2(40 13 ) 7, 6
27
− ≅ 
 
03. Determine o comprimento de uma circunferência de raio r. 
R.: ܮ ൌ 2ߨݎ 
 
 
( Mais exercícios: Guidorizzi, vol.1, 5ª edição, página 405, exercício 13.1) 
 
 
 
 
 
ܮ ൌ න ඥ1 ൅ ሾ݂ ′ሺݔሻሿଶ ݀ݔ
௕
௔