Corpo de Frações

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A´lgebra I -
GAN 00155
Ricardo
Fuentes
Apolaya
Corpo de
Frac¸o˜es de um
Dom´ınio D
Proposic¸a˜o
Conjunto
Quociente
K e´ um corpo
Exemplos
A´lgebra I - GAN 00155
Ricardo Fuentes Apolaya
ricardof16@yahoo.com.br
Departamento de Ana´lise
Nitero´i, 2018
A´lgebra I -
GAN 00155
Ricardo
Fuentes
Apolaya
Corpo de
Frac¸o˜es de um
Dom´ınio D
Proposic¸a˜o
Conjunto
Quociente
K e´ um corpo
Exemplos
Suma´rio
1 Corpo de Frac¸o˜es de um Dom´ınio D
2 Proposic¸a˜o
3 Conjunto Quociente
4 K e´ um corpo
5 Exemplos
A´lgebra I -
GAN 00155
Ricardo
Fuentes
Apolaya
Corpo de
Frac¸o˜es de um
Dom´ınio D
Proposic¸a˜o
Conjunto
Quociente
K e´ um corpo
Exemplos
Suma´rio
1 Corpo de Frac¸o˜es de um Dom´ınio D
2 Proposic¸a˜o
3 Conjunto Quociente
4 K e´ um corpo
5 Exemplos
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GAN 00155
Ricardo
Fuentes
Apolaya
Corpo de
Frac¸o˜es de um
Dom´ınio D
Proposic¸a˜o
Conjunto
Quociente
K e´ um corpo
Exemplos
Suma´rio
1 Corpo de Frac¸o˜es de um Dom´ınio D
2 Proposic¸a˜o
3 Conjunto Quociente
4 K e´ um corpo
5 Exemplos
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GAN 00155
Ricardo
Fuentes
Apolaya
Corpo de
Frac¸o˜es de um
Dom´ınio D
Proposic¸a˜o
Conjunto
Quociente
K e´ um corpo
Exemplos
Suma´rio
1 Corpo de Frac¸o˜es de um Dom´ınio D
2 Proposic¸a˜o
3 Conjunto Quociente
4 K e´ um corpo
5 Exemplos
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Ricardo
Fuentes
Apolaya
Corpo de
Frac¸o˜es de um
Dom´ınio D
Proposic¸a˜o
Conjunto
Quociente
K e´ um corpo
Exemplos
Suma´rio
1 Corpo de Frac¸o˜es de um Dom´ınio D
2 Proposic¸a˜o
3 Conjunto Quociente
4 K e´ um corpo
5 Exemplos
A´lgebra I -
GAN 00155
Ricardo
Fuentes
Apolaya
Corpo de
Frac¸o˜es de um
Dom´ınio D
Proposic¸a˜o
Conjunto
Quociente
K e´ um corpo
Exemplos
Corpo de Frac¸o˜es
Dado um dom´ınio D construiremos um corpo K, chamado
corpo de frac¸o˜es de D, que verifica:
(i) D ⊂ K .
(ii) As operac¸o˜es de soma e multiplicac¸a˜o de D sa˜o as de
K.
(iii) Se L e´ um corpo tal que D ⊂ L (como subanel), enta˜o
K ⊂ L.
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Fuentes
Apolaya
Corpo de
Frac¸o˜es de um
Dom´ınio D
Proposic¸a˜o
Conjunto
Quociente
K e´ um corpo
Exemplos
Corpo de Frac¸o˜es
Dado um dom´ınio D construiremos um corpo K,
chamado
corpo de frac¸o˜es de D, que verifica:
(i) D ⊂ K .
(ii) As operac¸o˜es de soma e multiplicac¸a˜o de D sa˜o as de
K.
(iii) Se L e´ um corpo tal que D ⊂ L (como subanel), enta˜o
K ⊂ L.
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Corpo de
Frac¸o˜es de um
Dom´ınio D
Proposic¸a˜o
Conjunto
Quociente
K e´ um corpo
Exemplos
Corpo de Frac¸o˜es
Dado um dom´ınio D construiremos um corpo K, chamado
corpo de frac¸o˜es de D, que verifica:
(i) D ⊂ K .
(ii) As operac¸o˜es de soma e multiplicac¸a˜o de D sa˜o as de
K.
(iii) Se L e´ um corpo tal que D ⊂ L (como subanel), enta˜o
K ⊂ L.
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Corpo de
Frac¸o˜es de um
Dom´ınio D
Proposic¸a˜o
Conjunto
Quociente
K e´ um corpo
Exemplos
Corpo de Frac¸o˜es
Dado um dom´ınio D construiremos um corpo K, chamado
corpo de frac¸o˜es de D, que verifica:
(i) D ⊂ K .
(ii) As operac¸o˜es de soma e multiplicac¸a˜o de D sa˜o as de
K.
(iii) Se L e´ um corpo tal que D ⊂ L (como subanel), enta˜o
K ⊂ L.
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Corpo de
Frac¸o˜es de um
Dom´ınio D
Proposic¸a˜o
Conjunto
Quociente
K e´ um corpo
Exemplos
Corpo de Frac¸o˜es
Dado um dom´ınio D construiremos um corpo K, chamado
corpo de frac¸o˜es de D, que verifica:
(i) D ⊂ K .
(ii) As operac¸o˜es de soma e multiplicac¸a˜o de D sa˜o as de
K.
(iii) Se L e´ um corpo tal que D ⊂ L (como subanel), enta˜o
K ⊂ L.
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Corpo de
Frac¸o˜es de um
Dom´ınio D
Proposic¸a˜o
Conjunto
Quociente
K e´ um corpo
Exemplos
Corpo de Frac¸o˜es
Dado um dom´ınio D construiremos um corpo K, chamado
corpo de frac¸o˜es de D, que verifica:
(i) D ⊂ K .
(ii) As operac¸o˜es de soma e multiplicac¸a˜o de D sa˜o as de
K.
(iii) Se L e´ um corpo tal que D ⊂ L (como subanel),
enta˜o
K ⊂ L.
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Corpo de
Frac¸o˜es de um
Dom´ınio D
Proposic¸a˜o
Conjunto
Quociente
K e´ um corpo
Exemplos
Corpo de Frac¸o˜es
Dado um dom´ınio D construiremos um corpo K, chamado
corpo de frac¸o˜es de D, que verifica:
(i) D ⊂ K .
(ii) As operac¸o˜es de soma e multiplicac¸a˜o de D sa˜o as de
K.
(iii) Se L e´ um corpo tal que D ⊂ L (como subanel), enta˜o
K ⊂ L.
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Corpo de
Frac¸o˜es de um
Dom´ınio D
Proposic¸a˜o
Conjunto
Quociente
K e´ um corpo
Exemplos
Construc¸a˜o
Consideramos o conjunto
S = D × (D − {0}) = {(a, b), a, b ∈ D, b 6= 0}
Para (a, b), (c , d) ∈ D, definimos a relac¸a˜o
(a, b) ∼ (c , d) ⇔ a.d = b.c
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Frac¸o˜es de um
Dom´ınio D
Proposic¸a˜o
Conjunto
Quociente
K e´ um corpo
Exemplos
Construc¸a˜o
Consideramos o conjunto
S = D × (D − {0}) = {(a, b), a, b ∈ D, b 6= 0}
Para (a, b), (c , d) ∈ D, definimos a relac¸a˜o
(a, b) ∼ (c , d) ⇔ a.d = b.c
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Corpo de
Frac¸o˜es de um
Dom´ınio D
Proposic¸a˜o
Conjunto
Quociente
K e´ um corpo
Exemplos
Construc¸a˜o
Consideramos o conjunto
S = D × (D − {0})
= {(a, b), a, b ∈ D, b 6= 0}
Para (a, b), (c , d) ∈ D, definimos a relac¸a˜o
(a, b) ∼ (c , d) ⇔ a.d = b.c
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Apolaya
Corpo de
Frac¸o˜es de um
Dom´ınio D
Proposic¸a˜o
Conjunto
Quociente
K e´ um corpo
Exemplos
Construc¸a˜o
Consideramos o conjunto
S = D × (D − {0}) = {(a, b), a, b ∈ D, b 6= 0}
Para (a, b), (c , d) ∈ D, definimos a relac¸a˜o
(a, b) ∼ (c , d) ⇔ a.d = b.c
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Frac¸o˜es de um
Dom´ınio D
Proposic¸a˜o
Conjunto
Quociente
K e´ um corpo
Exemplos
Construc¸a˜o
Consideramos o conjunto
S = D × (D − {0}) = {(a, b), a, b ∈ D, b 6= 0}
Para (a, b), (c , d) ∈ D,
definimos a relac¸a˜o
(a, b) ∼ (c , d) ⇔ a.d = b.c
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Conjunto
Quociente
K e´ um corpo
Exemplos
Construc¸a˜o
Consideramos o conjunto
S = D × (D − {0}) = {(a, b), a, b ∈ D, b 6= 0}
Para (a, b), (c , d) ∈ D, definimos a relac¸a˜o
(a, b) ∼ (c , d) ⇔ a.d = b.c
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Proposic¸a˜o
Conjunto
Quociente
K e´ um corpo
Exemplos
Construc¸a˜o
Consideramos o conjunto
S = D × (D − {0}) = {(a, b), a, b ∈ D, b 6= 0}
Para (a, b), (c , d) ∈ D, definimos a relac¸a˜o
(a, b) ∼ (c , d) ⇔ a.d = b.c
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Corpo de
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Proposic¸a˜o
Conjunto
Quociente
K e´ um corpo
Exemplos
Proposic¸a˜o
Proposic¸a˜o
“ ∼ ” e´ uma relac¸a˜o de equivaleˆncia.
Com efeito,
(a, b) ∼ (a, b) ⇔ a.b = b.a
Sime´trica, se
(a, b) ∼ (c , d) ⇔ a.d = b.c
c .b = d .a ⇔ (c , d) ∼ (a, b)
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Proposic¸a˜o
Conjunto
Quociente
K e´ um corpo
Exemplos
Proposic¸a˜o
Proposic¸a˜o
“ ∼ ” e´ uma relac¸a˜o de equivaleˆncia.
Com efeito,
(a, b) ∼ (a, b) ⇔ a.b = b.a
Sime´trica, se
(a, b) ∼ (c , d) ⇔ a.d = b.c
c .b = d .a ⇔ (c , d) ∼ (a, b)
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Dom´ınio D
Proposic¸a˜o
Conjunto
Quociente
K e´ um corpo
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Proposic¸a˜o
Proposic¸a˜o
“ ∼ ” e´ uma relac¸a˜o de equivaleˆncia.
Com efeito,
(a, b) ∼ (a, b) ⇔ a.b = b.a
Sime´trica, se
(a, b) ∼ (c , d) ⇔ a.d = b.c
c .b = d .a ⇔ (c , d) ∼ (a, b)
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Dom´ınio D
Proposic¸a˜o
Conjunto
Quociente
K e´ um corpo
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Proposic¸a˜o
Proposic¸a˜o
“ ∼ ” e´ uma relac¸a˜o de equivaleˆncia.
Com efeito,
(a, b) ∼ (a, b) ⇔ a.b = b.a
Sime´trica, se
(a, b) ∼ (c , d) ⇔ a.d = b.c
c .b = d .a ⇔ (c , d) ∼ (a, b)
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Dom´ınio D
Proposic¸a˜o
Conjunto
Quociente
K e´ um corpo
Exemplos
Proposic¸a˜o
Proposic¸a˜o
“ ∼ ” e´ uma relac¸a˜o de equivaleˆncia.
Com efeito,
(a, b) ∼ (a, b) ⇔ a.b = b.a
Sime´trica, se
(a, b) ∼ (c , d) ⇔ a.d = b.c
c .b = d .a ⇔ (c , d) ∼ (a, b)
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Proposic¸a˜o
Conjunto
Quociente
K e´ um corpo
Exemplos
Proposic¸a˜o
Proposic¸a˜o
“ ∼ ” e´ uma relac¸a˜o de equivaleˆncia.
Com efeito,
(a, b) ∼ (a, b) ⇔ a.b = b.a
Sime´trica, se
(a, b) ∼ (c , d) ⇔ a.d = b.c
c .b = d .a ⇔ (c , d) ∼ (a, b)
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Proposic¸a˜o
Conjunto
Quociente
K e´ um corpo
Exemplos
Proposic¸a˜o
Proposic¸a˜o
“ ∼ ” e´ uma relac¸a˜o de equivaleˆncia.
Com efeito,
(a, b) ∼ (a, b) ⇔ a.b = b.a
Sime´trica, se
(a, b) ∼ (c , d) ⇔ a.d = b.c
c .b = d .a ⇔ (c , d) ∼ (a, b)
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Proposic¸a˜o
Conjunto
Quociente
K e´ um corpo
Exemplos
Proposic¸a˜o
Proposic¸a˜o
“ ∼ ” e´ uma relac¸a˜o de equivaleˆncia.
Com efeito,
(a, b) ∼ (a, b) ⇔ a.b = b.a
Sime´trica, se
(a, b) ∼ (c , d) ⇔ a.d = b.c
c .b = d .a ⇔ (c , d) ∼ (a, b)
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Proposic¸a˜o
Conjunto
Quociente
K e´ um corpo
Exemplos
Proposic¸a˜o
Proposic¸a˜o
“ ∼ ” e´ uma relac¸a˜o de equivaleˆncia.
Com efeito,
(a, b) ∼ (a, b) ⇔ a.b = b.a
Sime´trica, se
(a, b) ∼ (c , d) ⇔ a.d = b.c
c .b = d .a ⇔ (c , d) ∼ (a, b)
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Corpo de
Frac¸o˜es de um
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Proposic¸a˜o
Conjunto
Quociente
K e´ um corpo
Exemplos
Demonstrac¸a˜o
Transitiva, se
(a, b) ∼ (c , d) e (c , d) ∼ (e, f )
Temos que
a.d = b.c e c .f = d .e
Multiplicamos a primeira igualdade por f, obtemos
a.d .f = b.c .f ⇔ (a.f ).d = b.(d .e) = (b.e).d
Segue-se que
a.f = b.e ⇔ (a, b) ∼ (e, f )
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Corpo de
Frac¸o˜es de um
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Conjunto
Quociente
K e´ um corpo
Exemplos
Demonstrac¸a˜o
Transitiva, se
(a, b) ∼ (c , d) e (c , d) ∼ (e, f )
Temos que
a.d = b.c e c .f = d .e
Multiplicamos a primeira igualdade por f, obtemos
a.d .f = b.c .f ⇔ (a.f ).d = b.(d .e) = (b.e).d
Segue-se que
a.f = b.e ⇔ (a, b) ∼ (e, f )
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Corpo de
Frac¸o˜es de um
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Conjunto
Quociente
K e´ um corpo
Exemplos
Demonstrac¸a˜o
Transitiva, se
(a, b) ∼ (c , d)
e (c , d) ∼ (e, f )
Temos que
a.d = b.c e c .f = d .e
Multiplicamos a primeira igualdade por f, obtemos
a.d .f = b.c .f ⇔ (a.f ).d = b.(d .e) = (b.e).d
Segue-se que
a.f = b.e ⇔ (a, b) ∼ (e, f )
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Corpo de
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Proposic¸a˜o
Conjunto
Quociente
K e´ um corpo
Exemplos
Demonstrac¸a˜o
Transitiva, se
(a, b) ∼ (c , d) e (c , d) ∼ (e, f )
Temos que
a.d = b.c e c .f = d .e
Multiplicamos a primeira igualdade por f, obtemos
a.d .f = b.c .f ⇔ (a.f ).d = b.(d .e) = (b.e).d
Segue-se que
a.f = b.e ⇔ (a, b) ∼ (e, f )
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Proposic¸a˜o
Conjunto
Quociente
K e´ um corpo
Exemplos
Demonstrac¸a˜o
Transitiva, se
(a, b) ∼ (c , d) e (c , d) ∼ (e, f )
Temos que
a.d = b.c e c .f = d .e
Multiplicamos a primeira igualdade por f, obtemos
a.d .f = b.c .f ⇔ (a.f ).d = b.(d .e) = (b.e).d
Segue-se que
a.f = b.e ⇔ (a, b) ∼ (e, f )
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Corpo de
Frac¸o˜es de um
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Conjunto
Quociente
K e´ um corpo
Exemplos
Demonstrac¸a˜o
Transitiva, se
(a, b) ∼ (c , d) e (c , d) ∼ (e, f )
Temos que
a.d = b.c
e c .f = d .e
Multiplicamos a primeira igualdade por f, obtemos
a.d .f = b.c .f ⇔ (a.f ).d = b.(d .e) = (b.e).d
Segue-se que
a.f = b.e ⇔ (a, b) ∼ (e, f )
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K e´ um corpo
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Demonstrac¸a˜o
Transitiva, se
(a, b) ∼ (c , d) e (c , d) ∼ (e, f )
Temos que
a.d = b.c e c .f = d .e
Multiplicamos a primeira igualdade por f, obtemos
a.d .f = b.c .f ⇔ (a.f ).d = b.(d .e) = (b.e).d
Segue-se que
a.f = b.e ⇔ (a, b) ∼ (e, f )
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Conjunto
Quociente
K e´ um corpo
Exemplos
Demonstrac¸a˜o
Transitiva, se
(a, b) ∼ (c , d) e (c , d) ∼ (e, f )
Temos que
a.d = b.c e c .f = d .e
Multiplicamos a primeira igualdade por f, obtemos
a.d .f = b.c .f ⇔ (a.f ).d = b.(d .e) = (b.e).d
Segue-se que
a.f = b.e ⇔ (a, b) ∼ (e, f )
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Conjunto
Quociente
K e´ um corpo
Exemplos
Demonstrac¸a˜o
Transitiva, se
(a, b) ∼ (c , d) e (c , d) ∼ (e, f )
Temos que
a.d = b.c e c .f = d .e
Multiplicamos a primeira igualdade por f, obtemos
a.d .f = b.c .f
⇔ (a.f ).d = b.(d .e) = (b.e).d
Segue-se que
a.f = b.e ⇔ (a, b) ∼ (e, f )
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Conjunto
Quociente
K e´ um corpo
Exemplos
Demonstrac¸a˜o
Transitiva, se
(a, b) ∼ (c , d) e (c , d) ∼ (e, f )
Temos que
a.d = b.c e c .f = d .e
Multiplicamos a primeira igualdade por f, obtemos
a.d .f = b.c .f ⇔ (a.f ).d = b.(d .e) = (b.e).d
Segue-se que
a.f = b.e ⇔ (a, b) ∼ (e, f )
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Conjunto
Quociente
K e´ um corpo
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Demonstrac¸a˜o
Transitiva, se
(a, b) ∼ (c , d) e (c , d) ∼ (e, f )
Temos que
a.d = b.c e c .f = d .e
Multiplicamos a primeira igualdade por f, obtemos
a.d .f = b.c .f ⇔ (a.f ).d = b.(d .e) = (b.e).d
Segue-se que
a.f = b.e ⇔ (a, b) ∼ (e, f )
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Conjunto
Quociente
K e´ um corpo
Exemplos
Demonstrac¸a˜o
Transitiva, se
(a, b) ∼ (c , d) e (c , d) ∼ (e, f )
Temos que
a.d = b.c e c .f = d .e
Multiplicamos a primeira igualdade por f, obtemos
a.d .f = b.c .f ⇔ (a.f ).d = b.(d .e) = (b.e).d
Segue-se que
a.f = b.e ⇔ (a, b) ∼ (e, f )
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Frac¸o˜es de um
Dom´ınio D
Proposic¸a˜o
Conjunto
Quociente
K e´ um corpo
Exemplos
Demonstrac¸a˜o
Transitiva, se
(a, b) ∼ (c , d) e (c , d) ∼ (e,f )
Temos que
a.d = b.c e c .f = d .e
Multiplicamos a primeira igualdade por f, obtemos
a.d .f = b.c .f ⇔ (a.f ).d = b.(d .e) = (b.e).d
Segue-se que
a.f = b.e ⇔ (a, b) ∼ (e, f )
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Frac¸o˜es de um
Dom´ınio D
Proposic¸a˜o
Conjunto
Quociente
K e´ um corpo
Exemplos
Conjunto Quociente K = S/ ∼
Denotamos por K = S/ ∼ o conjunto quociente
K = S/ ∼ =
{
(a, b), (a, b) ∈ S
}
Usamos a notac¸a˜o
a
b
= (a, b)
Se (c , d) ∈ (a, b), enta˜o a.d = b.c .
K =
{a
b
, a, b ∈ D, b 6= 0
}
onde
a
b
=
c
d
⇔ a.d = b.c
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Conjunto
Quociente
K e´ um corpo
Exemplos
Conjunto Quociente K = S/ ∼
Denotamos por K = S/ ∼ o conjunto quociente
K = S/ ∼ =
{
(a, b), (a, b) ∈ S
}
Usamos a notac¸a˜o
a
b
= (a, b)
Se (c , d) ∈ (a, b), enta˜o a.d = b.c .
K =
{a
b
, a, b ∈ D, b 6= 0
}
onde
a
b
=
c
d
⇔ a.d = b.c
A´lgebra I -
GAN 00155
Ricardo
Fuentes
Apolaya
Corpo de
Frac¸o˜es de um
Dom´ınio D
Proposic¸a˜o
Conjunto
Quociente
K e´ um corpo
Exemplos
Conjunto Quociente K = S/ ∼
Denotamos por K = S/ ∼ o conjunto quociente
K = S/ ∼ =
{
(a, b), (a, b) ∈ S
}
Usamos a notac¸a˜o
a
b
= (a, b)
Se (c , d) ∈ (a, b), enta˜o a.d = b.c .
K =
{a
b
, a, b ∈ D, b 6= 0
}
onde
a
b
=
c
d
⇔ a.d = b.c
A´lgebra I -
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Ricardo
Fuentes
Apolaya
Corpo de
Frac¸o˜es de um
Dom´ınio D
Proposic¸a˜o
Conjunto
Quociente
K e´ um corpo
Exemplos
Conjunto Quociente K = S/ ∼
Denotamos por K = S/ ∼ o conjunto quociente
K = S/ ∼ =
{
(a, b), (a, b) ∈ S
}
Usamos a notac¸a˜o
a
b
= (a, b)
Se (c , d) ∈ (a, b), enta˜o a.d = b.c .
K =
{a
b
, a, b ∈ D, b 6= 0
}
onde
a
b
=
c
d
⇔ a.d = b.c
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Corpo de
Frac¸o˜es de um
Dom´ınio D
Proposic¸a˜o
Conjunto
Quociente
K e´ um corpo
Exemplos
Conjunto Quociente K = S/ ∼
Denotamos por K = S/ ∼ o conjunto quociente
K = S/ ∼ =
{
(a, b), (a, b) ∈ S
}
Usamos a notac¸a˜o
a
b
= (a, b)
Se (c , d) ∈ (a, b), enta˜o a.d = b.c .
K =
{a
b
, a, b ∈ D, b 6= 0
}
onde
a
b
=
c
d
⇔ a.d = b.c
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Corpo de
Frac¸o˜es de um
Dom´ınio D
Proposic¸a˜o
Conjunto
Quociente
K e´ um corpo
Exemplos
Conjunto Quociente K = S/ ∼
Denotamos por K = S/ ∼ o conjunto quociente
K = S/ ∼ =
{
(a, b), (a, b) ∈ S
}
Usamos a notac¸a˜o
a
b
= (a, b)
Se (c , d) ∈ (a, b),
enta˜o a.d = b.c .
K =
{a
b
, a, b ∈ D, b 6= 0
}
onde
a
b
=
c
d
⇔ a.d = b.c
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Corpo de
Frac¸o˜es de um
Dom´ınio D
Proposic¸a˜o
Conjunto
Quociente
K e´ um corpo
Exemplos
Conjunto Quociente K = S/ ∼
Denotamos por K = S/ ∼ o conjunto quociente
K = S/ ∼ =
{
(a, b), (a, b) ∈ S
}
Usamos a notac¸a˜o
a
b
= (a, b)
Se (c , d) ∈ (a, b), enta˜o a.d = b.c .
K =
{a
b
, a, b ∈ D, b 6= 0
}
onde
a
b
=
c
d
⇔ a.d = b.c
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Corpo de
Frac¸o˜es de um
Dom´ınio D
Proposic¸a˜o
Conjunto
Quociente
K e´ um corpo
Exemplos
Conjunto Quociente K = S/ ∼
Denotamos por K = S/ ∼ o conjunto quociente
K = S/ ∼ =
{
(a, b), (a, b) ∈ S
}
Usamos a notac¸a˜o
a
b
= (a, b)
Se (c , d) ∈ (a, b), enta˜o a.d = b.c .
K =
{a
b
, a, b ∈ D, b 6= 0
}
onde
a
b
=
c
d
⇔ a.d = b.c
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Corpo de
Frac¸o˜es de um
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Proposic¸a˜o
Conjunto
Quociente
K e´ um corpo
Exemplos
Conjunto Quociente K = S/ ∼
Denotamos por K = S/ ∼ o conjunto quociente
K = S/ ∼ =
{
(a, b), (a, b) ∈ S
}
Usamos a notac¸a˜o
a
b
= (a, b)
Se (c , d) ∈ (a, b), enta˜o a.d = b.c .
K =
{a
b
, a, b ∈ D, b 6= 0
}
onde
a
b
=
c
d
⇔ a.d = b.c
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Corpo de
Frac¸o˜es de um
Dom´ınio D
Proposic¸a˜o
Conjunto
Quociente
K e´ um corpo
Exemplos
Conjunto Quociente K = S/ ∼
Denotamos por K = S/ ∼ o conjunto quociente
K = S/ ∼ =
{
(a, b), (a, b) ∈ S
}
Usamos a notac¸a˜o
a
b
= (a, b)
Se (c , d) ∈ (a, b), enta˜o a.d = b.c .
K =
{a
b
, a, b ∈ D, b 6= 0
}
onde
a
b
=
c
d
⇔ a.d = b.c
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Corpo de
Frac¸o˜es de um
Dom´ınio D
Proposic¸a˜o
Conjunto
Quociente
K e´ um corpo
Exemplos
Conjunto Quociente K = S/ ∼
O elemento
a
b
∈ K , e´ chamado de frac¸a˜o,
a e´ o “numerador”
e b e´ o “denominador”.
Agora vamos dar uma estrutura de corpo para K.
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Corpo de
Frac¸o˜es de um
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Proposic¸a˜o
Conjunto
Quociente
K e´ um corpo
Exemplos
Conjunto Quociente K = S/ ∼
O elemento
a
b
∈ K , e´ chamado de frac¸a˜o,
a e´ o “numerador”
e b e´ o “denominador”.
Agora vamos dar uma estrutura de corpo para K.
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Frac¸o˜es de um
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Proposic¸a˜o
Conjunto
Quociente
K e´ um corpo
Exemplos
Conjunto Quociente K = S/ ∼
O elemento
a
b
∈ K , e´ chamado de frac¸a˜o,
a e´ o “numerador”
e b e´ o “denominador”.
Agora vamos dar uma estrutura de corpo para K.
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Corpo de
Frac¸o˜es de um
Dom´ınio D
Proposic¸a˜o
Conjunto
Quociente
K e´ um corpo
Exemplos
Conjunto Quociente K = S/ ∼
O elemento
a
b
∈ K , e´ chamado de frac¸a˜o,
a e´ o “numerador”
e b e´ o “denominador”.
Agora vamos dar uma estrutura de corpo para K.
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Corpo de
Frac¸o˜es de um
Dom´ınio D
Proposic¸a˜o
Conjunto
Quociente
K e´ um corpo
Exemplos
Conjunto Quociente K = S/ ∼
O elemento
a
b
∈ K , e´ chamado de frac¸a˜o,
a e´ o “numerador”
e b e´ o “denominador”.
Agora vamos dar uma estrutura de corpo para K.
A´lgebra I -
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Corpo de
Frac¸o˜es de um
Dom´ınio D
Proposic¸a˜o
Conjunto
Quociente
K e´ um corpo
Exemplos
Conjunto Quociente K = S/ ∼
O elemento
a
b
∈ K , e´ chamado de frac¸a˜o,
a e´ o “numerador”
e b e´ o “denominador”.
Agora vamos dar uma estrutura de corpo para K.
A´lgebra I -
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Corpo de
Frac¸o˜es de um
Dom´ınio D
Proposic¸a˜o
Conjunto
Quociente
K e´ um corpo
Exemplos
Proposic¸a˜o
Proposic¸a˜o
Em K =
{a
b
, a, b ∈ D, b 6= 0
}
, definimos as operac¸o˜es
seguintes:
Soma:
a
b
+
c
d
=
a.d + b.c
b.d
Produto:
a
b
.
c
d
=
a.c
b.d
Enta˜o vamos ter,
(i) K e´ um corpo.
(ii) D e´ um subanel de K.
(iii) Se L e´ um corpo contendo D, enta˜o K ⊂ L.
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Frac¸o˜es de um
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Proposic¸a˜o
Conjunto
Quociente
K e´ um corpo
Exemplos
Proposic¸a˜o
Proposic¸a˜o
Em K =
{a
b
, a, b ∈ D, b 6= 0
}
, definimos as operac¸o˜es
seguintes:
Soma:
a
b
+
c
d
=
a.d + b.c
b.d
Produto:
a
b
.
c
d
=
a.c
b.d
Enta˜o vamos ter,
(i) K e´ um corpo.
(ii) D e´ um subanel de K.
(iii) Se L e´ um corpo contendo D, enta˜o K ⊂ L.
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Frac¸o˜es de um
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Proposic¸a˜o
Conjunto
Quociente
K e´ um corpo
Exemplos
Proposic¸a˜oProposic¸a˜o
Em K =
{a
b
, a, b ∈ D, b 6= 0
}
, definimos as operac¸o˜es
seguintes:
Soma:
a
b
+
c
d
=
a.d + b.c
b.d
Produto:
a
b
.
c
d
=
a.c
b.d
Enta˜o vamos ter,
(i) K e´ um corpo.
(ii) D e´ um subanel de K.
(iii) Se L e´ um corpo contendo D, enta˜o K ⊂ L.
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Frac¸o˜es de um
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Proposic¸a˜o
Conjunto
Quociente
K e´ um corpo
Exemplos
Proposic¸a˜o
Proposic¸a˜o
Em K =
{a
b
, a, b ∈ D, b 6= 0
}
, definimos as operac¸o˜es
seguintes:
Soma:
a
b
+
c
d
=
a.d + b.c
b.d
Produto:
a
b
.
c
d
=
a.c
b.d
Enta˜o vamos ter,
(i) K e´ um corpo.
(ii) D e´ um subanel de K.
(iii) Se L e´ um corpo contendo D, enta˜o K ⊂ L.
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Conjunto
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K e´ um corpo
Exemplos
Proposic¸a˜o
Proposic¸a˜o
Em K =
{a
b
, a, b ∈ D, b 6= 0
}
, definimos as operac¸o˜es
seguintes:
Soma:
a
b
+
c
d
=
a.d + b.c
b.d
Produto:
a
b
.
c
d
=
a.c
b.d
Enta˜o vamos ter,
(i) K e´ um corpo.
(ii) D e´ um subanel de K.
(iii) Se L e´ um corpo contendo D, enta˜o K ⊂ L.
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Frac¸o˜es de um
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Proposic¸a˜o
Conjunto
Quociente
K e´ um corpo
Exemplos
Proposic¸a˜o
Proposic¸a˜o
Em K =
{a
b
, a, b ∈ D, b 6= 0
}
, definimos as operac¸o˜es
seguintes:
Soma:
a
b
+
c
d
=
a.d + b.c
b.d
Produto:
a
b
.
c
d
=
a.c
b.d
Enta˜o vamos ter,
(i) K e´ um corpo.
(ii) D e´ um subanel de K.
(iii) Se L e´ um corpo contendo D, enta˜o K ⊂ L.
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Proposic¸a˜o
Conjunto
Quociente
K e´ um corpo
Exemplos
Proposic¸a˜o
Proposic¸a˜o
Em K =
{a
b
, a, b ∈ D, b 6= 0
}
, definimos as operac¸o˜es
seguintes:
Soma:
a
b
+
c
d
=
a.d + b.c
b.d
Produto:
a
b
.
c
d
=
a.c
b.d
Enta˜o vamos ter,
(i) K e´ um corpo.
(ii) D e´ um subanel de K.
(iii) Se L e´ um corpo contendo D, enta˜o K ⊂ L.
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Frac¸o˜es de um
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Conjunto
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K e´ um corpo
Exemplos
Proposic¸a˜o
Proposic¸a˜o
Em K =
{a
b
, a, b ∈ D, b 6= 0
}
, definimos as operac¸o˜es
seguintes:
Soma:
a
b
+
c
d
=
a.d + b.c
b.d
Produto:
a
b
.
c
d
=
a.c
b.d
Enta˜o vamos ter,
(i) K e´ um corpo.
(ii) D e´ um subanel de K.
(iii) Se L e´ um corpo contendo D, enta˜o K ⊂ L.
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K e´ um corpo
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Proposic¸a˜o
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Em K =
{a
b
, a, b ∈ D, b 6= 0
}
, definimos as operac¸o˜es
seguintes:
Soma:
a
b
+
c
d
=
a.d + b.c
b.d
Produto:
a
b
.
c
d
=
a.c
b.d
Enta˜o vamos ter,
(i) K e´ um corpo.
(ii) D e´ um subanel de K.
(iii) Se L e´ um corpo contendo D, enta˜o K ⊂ L.
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Frac¸o˜es de um
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Conjunto
Quociente
K e´ um corpo
Exemplos
Proposic¸a˜o
Proposic¸a˜o
Em K =
{a
b
, a, b ∈ D, b 6= 0
}
, definimos as operac¸o˜es
seguintes:
Soma:
a
b
+
c
d
=
a.d + b.c
b.d
Produto:
a
b
.
c
d
=
a.c
b.d
Enta˜o vamos ter,
(i) K e´ um corpo.
(ii) D e´ um subanel de K.
(iii) Se L e´ um corpo contendo D, enta˜o K ⊂ L.
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Corpo de
Frac¸o˜es de um
Dom´ınio D
Proposic¸a˜o
Conjunto
Quociente
K e´ um corpo
Exemplos
Demonstrac¸a˜o
(i) A soma esta´ bem definida, isto e´, independe do
representante da classe.
Soma:
a
b
=
a′
b′
e
c
d
=
c ′
d ′
temos que a.b′ = b.a′, e c.d ′ = d .c ′
Logo
(a.d + b.c)b′.d ′ = (b′.a)(d .d ′) + (c .d ′)(b.b′)
= (b.a′)(d .d ′) + (c ′.d)(b.b′) = b.d(a′.d ′ + b′.c ′)
Equivale,
a.d + b.c
b.d
=
a′.d ′ + b′.c ′
b′.d ′
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Frac¸o˜es de um
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Proposic¸a˜o
Conjunto
Quociente
K e´ um corpo
Exemplos
Demonstrac¸a˜o
(i)
A soma esta´ bem definida, isto e´, independe do
representante da classe.
Soma:
a
b
=
a′
b′
e
c
d
=
c ′
d ′
temos que a.b′ = b.a′, e c.d ′ = d .c ′
Logo
(a.d + b.c)b′.d ′ = (b′.a)(d .d ′) + (c .d ′)(b.b′)
= (b.a′)(d .d ′) + (c ′.d)(b.b′) = b.d(a′.d ′ + b′.c ′)
Equivale,
a.d + b.c
b.d
=
a′.d ′ + b′.c ′
b′.d ′
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Conjunto
Quociente
K e´ um corpo
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Demonstrac¸a˜o
(i) A soma esta´ bem definida, isto e´, independe do
representante da classe.
Soma:
a
b
=
a′
b′
e
c
d
=
c ′
d ′
temos que a.b′ = b.a′, e c.d ′ = d .c ′
Logo
(a.d + b.c)b′.d ′ = (b′.a)(d .d ′) + (c .d ′)(b.b′)
= (b.a′)(d .d ′) + (c ′.d)(b.b′) = b.d(a′.d ′ + b′.c ′)
Equivale,
a.d + b.c
b.d
=
a′.d ′ + b′.c ′
b′.d ′
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Demonstrac¸a˜o
(i) A soma esta´ bem definida, isto e´, independe do
representante da classe.
Soma:
a
b
=
a′
b′
e
c
d
=
c ′
d ′
temos que a.b′ = b.a′, e c.d ′ = d .c ′
Logo
(a.d + b.c)b′.d ′ = (b′.a)(d .d ′) + (c .d ′)(b.b′)
= (b.a′)(d .d ′) + (c ′.d)(b.b′) = b.d(a′.d ′ + b′.c ′)
Equivale,
a.d + b.c
b.d
=
a′.d ′ + b′.c ′
b′.d ′
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Conjunto
Quociente
K e´ um corpo
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Demonstrac¸a˜o
(i) A soma esta´ bem definida, isto e´, independe do
representante da classe.
Soma:
a
b
=
a′
b′
e
c
d
=
c ′
d ′
temos que a.b′ = b.a′, e c.d ′ = d .c ′
Logo
(a.d + b.c)b′.d ′ = (b′.a)(d .d ′) + (c .d ′)(b.b′)
= (b.a′)(d .d ′) + (c ′.d)(b.b′) = b.d(a′.d ′ + b′.c ′)
Equivale,
a.d + b.c
b.d
=
a′.d ′ + b′.c ′
b′.d ′
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Frac¸o˜es de um
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Conjunto
Quociente
K e´ um corpo
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Demonstrac¸a˜o
(i) A soma esta´ bem definida, isto e´, independe do
representante da classe.
Soma:
a
b
=
a′
b′
e
c
d
=
c ′
d ′
temos que a.b′ = b.a′, e c.d ′ = d .c ′
Logo
(a.d + b.c)b′.d ′ = (b′.a)(d .d ′) + (c .d ′)(b.b′)
= (b.a′)(d .d ′) + (c ′.d)(b.b′) = b.d(a′.d ′ + b′.c ′)
Equivale,
a.d + b.c
b.d
=
a′.d ′ + b′.c ′
b′.d ′
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Frac¸o˜es de um
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Conjunto
Quociente
K e´ um corpo
Exemplos
Demonstrac¸a˜o
(i) A soma esta´ bem definida, isto e´, independe do
representante da classe.
Soma:
a
b
=
a′
b′
e
c
d
=
c ′
d ′
temos que a.b′ = b.a′,
e c.d ′ = d .c ′
Logo
(a.d + b.c)b′.d ′ = (b′.a)(d .d ′) + (c .d ′)(b.b′)
= (b.a′)(d .d ′) + (c ′.d)(b.b′) = b.d(a′.d ′ + b′.c ′)
Equivale,
a.d + b.c
b.d
=
a′.d ′ + b′.c ′
b′.d ′
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Conjunto
Quociente
K e´ um corpo
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(i) A soma esta´ bem definida, isto e´,independe do
representante da classe.
Soma:
a
b
=
a′
b′
e
c
d
=
c ′
d ′
temos que a.b′ = b.a′, e c.d ′ = d .c ′
Logo
(a.d + b.c)b′.d ′ = (b′.a)(d .d ′) + (c .d ′)(b.b′)
= (b.a′)(d .d ′) + (c ′.d)(b.b′) = b.d(a′.d ′ + b′.c ′)
Equivale,
a.d + b.c
b.d
=
a′.d ′ + b′.c ′
b′.d ′
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Apolaya
Corpo de
Frac¸o˜es de um
Dom´ınio D
Proposic¸a˜o
Conjunto
Quociente
K e´ um corpo
Exemplos
Demonstrac¸a˜o
(i) A soma esta´ bem definida, isto e´, independe do
representante da classe.
Soma:
a
b
=
a′
b′
e
c
d
=
c ′
d ′
temos que a.b′ = b.a′, e c.d ′ = d .c ′
Logo
(a.d + b.c)b′.d ′ = (b′.a)(d .d ′) + (c .d ′)(b.b′)
= (b.a′)(d .d ′) + (c ′.d)(b.b′) = b.d(a′.d ′ + b′.c ′)
Equivale,
a.d + b.c
b.d
=
a′.d ′ + b′.c ′
b′.d ′
A´lgebra I -
GAN 00155
Ricardo
Fuentes
Apolaya
Corpo de
Frac¸o˜es de um
Dom´ınio D
Proposic¸a˜o
Conjunto
Quociente
K e´ um corpo
Exemplos
Demonstrac¸a˜o
(i) A soma esta´ bem definida, isto e´, independe do
representante da classe.
Soma:
a
b
=
a′
b′
e
c
d
=
c ′
d ′
temos que a.b′ = b.a′, e c.d ′ = d .c ′
Logo
(a.d + b.c)b′.d ′ = (b′.a)(d .d ′) + (c .d ′)(b.b′)
= (b.a′)(d .d ′) + (c ′.d)(b.b′) = b.d(a′.d ′ + b′.c ′)
Equivale,
a.d + b.c
b.d
=
a′.d ′ + b′.c ′
b′.d ′
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Corpo de
Frac¸o˜es de um
Dom´ınio D
Proposic¸a˜o
Conjunto
Quociente
K e´ um corpo
Exemplos
Demonstrac¸a˜o
(i) A soma esta´ bem definida, isto e´, independe do
representante da classe.
Soma:
a
b
=
a′
b′
e
c
d
=
c ′
d ′
temos que a.b′ = b.a′, e c.d ′ = d .c ′
Logo
(a.d + b.c)b′.d ′ = (b′.a)(d .d ′) + (c .d ′)(b.b′)
= (b.a′)(d .d ′) + (c ′.d)(b.b′) = b.d(a′.d ′ + b′.c ′)
Equivale,
a.d + b.c
b.d
=
a′.d ′ + b′.c ′
b′.d ′
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Frac¸o˜es de um
Dom´ınio D
Proposic¸a˜o
Conjunto
Quociente
K e´ um corpo
Exemplos
Demonstrac¸a˜o
(i) A soma esta´ bem definida, isto e´, independe do
representante da classe.
Soma:
a
b
=
a′
b′
e
c
d
=
c ′
d ′
temos que a.b′ = b.a′, e c.d ′ = d .c ′
Logo
(a.d + b.c)b′.d ′ = (b′.a)(d .d ′) + (c .d ′)(b.b′)
= (b.a′)(d .d ′) + (c ′.d)(b.b′) = b.d(a′.d ′ + b′.c ′)
Equivale,
a.d + b.c
b.d
=
a′.d ′ + b′.c ′
b′.d ′
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Frac¸o˜es de um
Dom´ınio D
Proposic¸a˜o
Conjunto
Quociente
K e´ um corpo
Exemplos
Demonstrac¸a˜o
(i) A soma esta´ bem definida, isto e´, independe do
representante da classe.
Soma:
a
b
=
a′
b′
e
c
d
=
c ′
d ′
temos que a.b′ = b.a′, e c.d ′ = d .c ′
Logo
(a.d + b.c)b′.d ′ = (b′.a)(d .d ′) + (c .d ′)(b.b′)
= (b.a′)(d .d ′) + (c ′.d)(b.b′) = b.d(a′.d ′ + b′.c ′)
Equivale,
a.d + b.c
b.d
=
a′.d ′ + b′.c ′
b′.d ′
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Frac¸o˜es de um
Dom´ınio D
Proposic¸a˜o
Conjunto
Quociente
K e´ um corpo
Exemplos
Demonstrac¸a˜o
(i) A soma esta´ bem definida, isto e´, independe do
representante da classe.
Soma:
a
b
=
a′
b′
e
c
d
=
c ′
d ′
temos que a.b′ = b.a′, e c.d ′ = d .c ′
Logo
(a.d + b.c)b′.d ′ = (b′.a)(d .d ′) + (c .d ′)(b.b′)
= (b.a′)(d .d ′) + (c ′.d)(b.b′) = b.d(a′.d ′ + b′.c ′)
Equivale,
a.d + b.c
b.d
=
a′.d ′ + b′.c ′
b′.d ′
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Proposic¸a˜o
Conjunto
Quociente
K e´ um corpo
Exemplos
Demonstrac¸a˜o
De forma similar para o produto,
a
b
=
a′
b′
e
c
d
=
c ′
d ′
temos que a.b′ = b.a′, e c .d ′ = d .c ′
Logo
(a.c)(b′.d ′) = (a.b′)(c .d ′) = (b.a′)(d .c ′)
= (b.d)(a′.c ′)
Equivale,
a.c
b.d
=
a′.c ′
b′.d ′
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Proposic¸a˜o
Conjunto
Quociente
K e´ um corpo
Exemplos
Demonstrac¸a˜o
De forma similar para o produto,
a
b
=
a′
b′
e
c
d
=
c ′
d ′
temos que a.b′ = b.a′, e c .d ′ = d .c ′
Logo
(a.c)(b′.d ′) = (a.b′)(c .d ′) = (b.a′)(d .c ′)
= (b.d)(a′.c ′)
Equivale,
a.c
b.d
=
a′.c ′
b′.d ′
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Proposic¸a˜o
Conjunto
Quociente
K e´ um corpo
Exemplos
Demonstrac¸a˜o
De forma similar para o produto,
a
b
=
a′
b′
e
c
d
=
c ′
d ′
temos que a.b′ = b.a′, e c .d ′ = d .c ′
Logo
(a.c)(b′.d ′) = (a.b′)(c .d ′) = (b.a′)(d .c ′)
= (b.d)(a′.c ′)
Equivale,
a.c
b.d
=
a′.c ′
b′.d ′
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Proposic¸a˜o
Conjunto
Quociente
K e´ um corpo
Exemplos
Demonstrac¸a˜o
De forma similar para o produto,
a
b
=
a′
b′
e
c
d
=
c ′
d ′
temos que a.b′ = b.a′, e c .d ′ = d .c ′
Logo
(a.c)(b′.d ′) = (a.b′)(c .d ′) = (b.a′)(d .c ′)
= (b.d)(a′.c ′)
Equivale,
a.c
b.d
=
a′.c ′
b′.d ′
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Frac¸o˜es de um
Dom´ınio D
Proposic¸a˜o
Conjunto
Quociente
K e´ um corpo
Exemplos
Demonstrac¸a˜o
De forma similar para o produto,
a
b
=
a′
b′
e
c
d
=
c ′
d ′
temos que a.b′ = b.a′, e c .d ′ = d .c ′
Logo
(a.c)(b′.d ′) = (a.b′)(c .d ′) = (b.a′)(d .c ′)
= (b.d)(a′.c ′)
Equivale,
a.c
b.d
=
a′.c ′
b′.d ′
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Proposic¸a˜o
Conjunto
Quociente
K e´ um corpo
Exemplos
Demonstrac¸a˜o
De forma similar para o produto,
a
b
=
a′
b′
e
c
d
=
c ′
d ′
temos que a.b′ = b.a′, e c .d ′ = d .c ′
Logo
(a.c)(b′.d ′) = (a.b′)(c .d ′) = (b.a′)(d .c ′)
= (b.d)(a′.c ′)
Equivale,
a.c
b.d
=
a′.c ′
b′.d ′
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Dom´ınio D
Proposic¸a˜o
Conjunto
Quociente
K e´ um corpo
Exemplos
Demonstrac¸a˜o
De forma similar para o produto,
a
b
=
a′
b′
e
c
d
=
c ′
d ′
temos que a.b′ = b.a′, e c .d ′ = d .c ′
Logo
(a.c)(b′.d ′) = (a.b′)(c .d ′) = (b.a′)(d .c ′)
= (b.d)(a′.c ′)
Equivale,
a.c
b.d
=
a′.c ′
b′.d ′
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Conjunto
Quociente
K e´ um corpo
Exemplos
Demonstrac¸a˜o
De forma similar para o produto,
a
b
=
a′
b′
e
c
d
=
c ′
d ′
temos que a.b′ = b.a′, e c .d ′ = d .c ′
Logo
(a.c)(b′.d ′) = (a.b′)(c .d ′) = (b.a′)(d .c ′)
= (b.d)(a′.c ′)
Equivale,
a.c
b.d
=
a′.c ′
b′.d ′
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Proposic¸a˜o
Conjunto
Quociente
K e´ um corpo
Exemplos
Demonstrac¸a˜o
De forma similar para o produto,
a
b
=
a′
b′
e
c
d
=
c ′
d ′
temos que a.b′ = b.a′, e c .d ′ = d .c ′
Logo
(a.c)(b′.d ′) = (a.b′)(c .d ′) = (b.a′)(d .c ′)
= (b.d)(a′.c ′)
Equivale,
a.c
b.d
=
a′.c ′
b′.d ′
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Frac¸o˜es de um
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Proposic¸a˜o
Conjunto
Quociente
K e´ um corpo
Exemplos
Demonstrac¸a˜o
De forma similar para o produto,
a
b
=
a′
b′
e
c
d
=
c ′
d ′
temos que a.b′ = b.a′, e c .d ′ = d .c ′
Logo
(a.c)(b′.d ′)= (a.b′)(c .d ′) = (b.a′)(d .c ′)
= (b.d)(a′.c ′)
Equivale,
a.c
b.d
=
a′.c ′
b′.d ′
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Proposic¸a˜o
Conjunto
Quociente
K e´ um corpo
Exemplos
Demonstrac¸a˜o
De forma similar para o produto,
a
b
=
a′
b′
e
c
d
=
c ′
d ′
temos que a.b′ = b.a′, e c .d ′ = d .c ′
Logo
(a.c)(b′.d ′) = (a.b′)(c .d ′) = (b.a′)(d .c ′)
= (b.d)(a′.c ′)
Equivale,
a.c
b.d
=
a′.c ′
b′.d ′
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Proposic¸a˜o
Conjunto
Quociente
K e´ um corpo
Exemplos
Demonstrac¸a˜o
1 A soma e´ associativa.
2 O elemento neutro ou zero e´ 0 =
0
1
∈ K .
3 Se
a
b
∈ K , o inverso aditivo e´ −a
b
∈ K .
4 A soma e´ comutativa.
5 O produto e´ associativo.
6 O produto e´ distribuitivo.
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Frac¸o˜es de um
Dom´ınio D
Proposic¸a˜o
Conjunto
Quociente
K e´ um corpo
Exemplos
Demonstrac¸a˜o
1 A soma e´ associativa.
2 O elemento neutro ou zero e´ 0 =
0
1
∈ K .
3 Se
a
b
∈ K , o inverso aditivo e´ −a
b
∈ K .
4 A soma e´ comutativa.
5 O produto e´ associativo.
6 O produto e´ distribuitivo.
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Proposic¸a˜o
Conjunto
Quociente
K e´ um corpo
Exemplos
Demonstrac¸a˜o
1 A soma e´ associativa.
2 O elemento neutro ou zero e´ 0 =
0
1
∈ K .
3 Se
a
b
∈ K , o inverso aditivo e´ −a
b
∈ K .
4 A soma e´ comutativa.
5 O produto e´ associativo.
6 O produto e´ distribuitivo.
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Proposic¸a˜o
Conjunto
Quociente
K e´ um corpo
Exemplos
Demonstrac¸a˜o
1 A soma e´ associativa.
2 O elemento neutro ou zero e´ 0 =
0
1
∈ K .
3 Se
a
b
∈ K , o inverso aditivo e´ −a
b
∈ K .
4 A soma e´ comutativa.
5 O produto e´ associativo.
6 O produto e´ distribuitivo.
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Proposic¸a˜o
Conjunto
Quociente
K e´ um corpo
Exemplos
Demonstrac¸a˜o
1 A soma e´ associativa.
2 O elemento neutro ou zero e´ 0 =
0
1
∈ K .
3 Se
a
b
∈ K , o inverso aditivo e´ −a
b
∈ K .
4 A soma e´ comutativa.
5 O produto e´ associativo.
6 O produto e´ distribuitivo.
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Conjunto
Quociente
K e´ um corpo
Exemplos
Demonstrac¸a˜o
1 A soma e´ associativa.
2 O elemento neutro ou zero e´ 0 =
0
1
∈ K .
3 Se
a
b
∈ K , o inverso aditivo e´ −a
b
∈ K .
4 A soma e´ comutativa.
5 O produto e´ associativo.
6 O produto e´ distribuitivo.
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Conjunto
Quociente
K e´ um corpo
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Demonstrac¸a˜o
1 A soma e´ associativa.
2 O elemento neutro ou zero e´ 0 =
0
1
∈ K .
3 Se
a
b
∈ K , o inverso aditivo e´ −a
b
∈ K .
4 A soma e´ comutativa.
5 O produto e´ associativo.
6 O produto e´ distribuitivo.
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Conjunto
Quociente
K e´ um corpo
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Demonstrac¸a˜o
1 A soma e´ associativa.
2 O elemento neutro ou zero e´ 0 =
0
1
∈ K .
3 Se
a
b
∈ K , o inverso aditivo e´ −a
b
∈ K .
4 A soma e´ comutativa.
5 O produto e´ associativo.
6 O produto e´ distribuitivo.
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Frac¸o˜es de um
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Proposic¸a˜o
Conjunto
Quociente
K e´ um corpo
Exemplos
Demonstrac¸a˜o
1 A soma e´ associativa.
2 O elemento neutro ou zero e´ 0 =
0
1
∈ K .
3 Se
a
b
∈ K , o inverso aditivo e´ −a
b
∈ K .
4 A soma e´ comutativa.
5 O produto e´ associativo.
6 O produto e´ distribuitivo.
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Corpo de
Frac¸o˜es de um
Dom´ınio D
Proposic¸a˜o
Conjunto
Quociente
K e´ um corpo
Exemplos
Demonstrac¸a˜o
O elemento 1 =
1
1
∈ K .
Observar que
a
b
=
0
1
, se esomente se, a.1 = b.0 = 0.
Logo, se
a
b
6= 0
1
, enta˜o tem inverso multiplicativo
b
a
∈ K .
(ii) Como
a
1
=
b
1
∈ K ⇔ a = b.
Podemos identificar D como um subanel de K, via a
identificac¸a˜o
a ∈ D ⇔ a
1
∈ K
Preservando operac¸o˜es.
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Proposic¸a˜o
Conjunto
Quociente
K e´ um corpo
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Demonstrac¸a˜o
O elemento 1 =
1
1
∈ K .
Observar que
a
b
=
0
1
, se esomente se, a.1 = b.0 = 0.
Logo, se
a
b
6= 0
1
, enta˜o tem inverso multiplicativo
b
a
∈ K .
(ii) Como
a
1
=
b
1
∈ K ⇔ a = b.
Podemos identificar D como um subanel de K, via a
identificac¸a˜o
a ∈ D ⇔ a
1
∈ K
Preservando operac¸o˜es.
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Conjunto
Quociente
K e´ um corpo
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Demonstrac¸a˜o
O elemento 1 =
1
1
∈ K .
Observar que
a
b
=
0
1
, se esomente se, a.1 = b.0 = 0.
Logo, se
a
b
6= 0
1
, enta˜o tem inverso multiplicativo
b
a
∈ K .
(ii) Como
a
1
=
b
1
∈ K ⇔ a = b.
Podemos identificar D como um subanel de K, via a
identificac¸a˜o
a ∈ D ⇔ a
1
∈ K
Preservando operac¸o˜es.
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Conjunto
Quociente
K e´ um corpo
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Demonstrac¸a˜o
O elemento 1 =
1
1
∈ K .
Observar que
a
b
=
0
1
, se esomente se, a.1 = b.0 = 0.
Logo, se
a
b
6= 0
1
, enta˜o tem inverso multiplicativo
b
a
∈ K .
(ii) Como
a
1
=
b
1
∈ K ⇔ a = b.
Podemos identificar D como um subanel de K, via a
identificac¸a˜o
a ∈ D ⇔ a
1
∈ K
Preservando operac¸o˜es.
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Conjunto
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O elemento 1 =
1
1
∈ K .
Observar que
a
b
=
0
1
, se esomente se, a.1 = b.0 = 0.
Logo, se
a
b
6= 0
1
, enta˜o tem inverso multiplicativo
b
a
∈ K .
(ii)
Como
a
1
=
b
1
∈ K ⇔ a = b.
Podemos identificar D como um subanel de K, via a
identificac¸a˜o
a ∈ D ⇔ a
1
∈ K
Preservando operac¸o˜es.
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O elemento 1 =
1
1
∈ K .
Observar que
a
b
=
0
1
, se esomente se, a.1 = b.0 = 0.
Logo, se
a
b
6= 0
1
, enta˜o tem inverso multiplicativo
b
a
∈ K .
(ii) Como
a
1
=
b
1
∈ K ⇔ a = b.
Podemos identificar D como um subanel de K, via a
identificac¸a˜o
a ∈ D ⇔ a
1
∈ K
Preservando operac¸o˜es.
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O elemento 1 =
1
1
∈ K .
Observar que
a
b
=
0
1
, se esomente se, a.1 = b.0 = 0.
Logo, se
a
b
6= 0
1
, enta˜o tem inverso multiplicativo
b
a
∈ K .
(ii) Como
a
1
=
b
1
∈ K ⇔ a = b.
Podemos identificar D como um subanel de K, via aidentificac¸a˜o
a ∈ D ⇔ a
1
∈ K
Preservando operac¸o˜es.
A´lgebra I -
GAN 00155
Ricardo
Fuentes
Apolaya
Corpo de
Frac¸o˜es de um
Dom´ınio D
Proposic¸a˜o
Conjunto
Quociente
K e´ um corpo
Exemplos
Demonstrac¸a˜o
O elemento 1 =
1
1
∈ K .
Observar que
a
b
=
0
1
, se esomente se, a.1 = b.0 = 0.
Logo, se
a
b
6= 0
1
, enta˜o tem inverso multiplicativo
b
a
∈ K .
(ii) Como
a
1
=
b
1
∈ K ⇔ a = b.
Podemos identificar D como um subanel de K, via a
identificac¸a˜o
a ∈ D ⇔ a
1
∈ K
Preservando operac¸o˜es.
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Corpo de
Frac¸o˜es de um
Dom´ınio D
Proposic¸a˜o
Conjunto
Quociente
K e´ um corpo
Exemplos
Demonstrac¸a˜o
O elemento 1 =
1
1
∈ K .
Observar que
a
b
=
0
1
, se esomente se, a.1 = b.0 = 0.
Logo, se
a
b
6= 0
1
, enta˜o tem inverso multiplicativo
b
a
∈ K .
(ii) Como
a
1
=
b
1
∈ K ⇔ a = b.
Podemos identificar D como um subanel de K, via a
identificac¸a˜o
a ∈ D ⇔ a
1
∈ K
Preservando operac¸o˜es.
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Corpo de
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Dom´ınio D
Proposic¸a˜o
Conjunto
Quociente
K e´ um corpo
Exemplos
Demonstrac¸a˜o
O elemento 1 =
1
1
∈ K .
Observar que
a
b
=
0
1
, se esomente se, a.1 = b.0 = 0.
Logo, se
a
b
6= 0
1
, enta˜o tem inverso multiplicativo
b
a
∈ K .
(ii) Como
a
1
=
b
1
∈ K ⇔ a = b.
Podemos identificar D como um subanel de K, via a
identificac¸a˜o
a ∈ D ⇔ a
1
∈ K
Preservando operac¸o˜es.
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Corpo de
Frac¸o˜es de um
Dom´ınio D
Proposic¸a˜o
Conjunto
Quociente
K e´ um corpo
Exemplos
Demonstrac¸a˜o
(iii) Se L e´ um corpo que conte´m D como subanel, se a, b ∈ D,
com b 6= 0, temos que a.b−1 ∈ L.
Se
a
b
∈ K , e (c, d) ∈ a
b
, enta˜o
a.d = b.c ⇔ a.b−1 = c .d−1 ∈ L.
A´lgebra I -
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Frac¸o˜es de um
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Proposic¸a˜o
Conjunto
Quociente
K e´ um corpo
Exemplos
Demonstrac¸a˜o
(iii)
Se L e´ um corpo que conte´m D como subanel, se a, b ∈ D,
com b 6= 0, temos que a.b−1 ∈ L.
Se
a
b
∈ K , e (c, d) ∈ a
b
, enta˜o
a.d = b.c ⇔ a.b−1 = c .d−1 ∈ L.
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Conjunto
Quociente
K e´ um corpo
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Demonstrac¸a˜o
(iii) Se L e´ um corpo que conte´m D como subanel,
se a, b ∈ D,
com b 6= 0, temos que a.b−1 ∈ L.
Se
a
b
∈ K , e (c, d) ∈ a
b
, enta˜o
a.d = b.c ⇔ a.b−1 = c .d−1 ∈ L.
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Conjunto
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K e´ um corpo
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Demonstrac¸a˜o
(iii) Se L e´ um corpo que conte´m D como subanel, se a, b ∈ D,
com b 6= 0, temos que a.b−1 ∈ L.
Se
a
b
∈ K , e (c, d) ∈ a
b
, enta˜o
a.d = b.c ⇔ a.b−1 = c .d−1 ∈ L.
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Conjunto
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K e´ um corpo
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Demonstrac¸a˜o
(iii) Se L e´ um corpo que conte´m D como subanel, se a, b ∈ D,
com b 6= 0, temos que a.b−1 ∈ L.
Se
a
b
∈ K ,
e (c, d) ∈ a
b
, enta˜o
a.d = b.c ⇔ a.b−1 = c .d−1 ∈ L.
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Conjunto
Quociente
K e´ um corpo
Exemplos
Demonstrac¸a˜o
(iii) Se L e´ um corpo que conte´m D como subanel, se a, b ∈ D,
com b 6= 0, temos que a.b−1 ∈ L.
Se
a
b
∈ K , e (c, d) ∈ a
b
,
enta˜o
a.d = b.c ⇔ a.b−1 = c .d−1 ∈ L.
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Frac¸o˜es de um
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Proposic¸a˜o
Conjunto
Quociente
K e´ um corpo
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Demonstrac¸a˜o
(iii) Se L e´ um corpo que conte´m D como subanel, se a, b ∈ D,
com b 6= 0, temos que a.b−1 ∈ L.
Se
a
b
∈ K , e (c, d) ∈ a
b
, enta˜o
a.d = b.c ⇔ a.b−1 = c .d−1 ∈ L.
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Corpo de
Frac¸o˜es de um
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Proposic¸a˜o
Conjunto
Quociente
K e´ um corpo
Exemplos
Demonstrac¸a˜o
(iii) Se L e´ um corpo que conte´m D como subanel, se a, b ∈ D,
com b 6= 0, temos que a.b−1 ∈ L.
Se
a
b
∈ K , e (c, d) ∈ a
b
, enta˜o
a.d = b.c ⇔ a.b−1 = c .d−1 ∈ L.
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Proposic¸a˜o
Conjunto
Quociente
K e´ um corpo
Exemplos
Exemplos
Q e´ o corpo de frac¸o˜es de Z.
Q
[√
2
]
e´ o corpo de frac¸o˜es de Z
[√
2
]
.
Q(i) e´ o corpo de frac¸o˜es de Z[i ].
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Q e´ o corpo de frac¸o˜es de Z.
Q
[√
2
]
e´ o corpo de frac¸o˜es de Z
[√
2
]
.
Q(i) e´ o corpo de frac¸o˜es de Z[i ].
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K e´ um corpo
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Q e´ o corpo de frac¸o˜es de Z.
Q
[√
2
]
e´ o corpo de frac¸o˜es de Z
[√
2
]
.
Q(i) e´ o corpo de frac¸o˜es de Z[i ].
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Conjunto
Quociente
K e´ um corpo
Exemplos
Exemplos
Q e´ o corpo de frac¸o˜es de Z.
Q
[√
2
]
e´ o corpo de frac¸o˜es de Z
[√
2
]
.
Q(i) e´ o corpo de frac¸o˜es de Z[i ].
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K e´ um corpo
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Q e´ o corpo de frac¸o˜es de Z.
Q
[√
2
]
e´ o corpo de frac¸o˜es de Z
[√
2
]
.
Q(i) e´ o corpo de frac¸o˜es de Z[i ].
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Q e´ o corpo de frac¸o˜es de Z.
Q
[√
2
]
e´ o corpo de frac¸o˜es de Z
[√
2
]
.
Q(i) e´ o corpo de frac¸o˜es de Z[i ].
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Q e´ o corpo de frac¸o˜es de Z.
Q
[√
2
]
e´ o corpo de frac¸o˜es de Z
[√
2
]
.
Q(i) e´ o corpo de frac¸o˜es de Z[i ].
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K e´ um corpo
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Q e´ o corpo de frac¸o˜es de Z.
Q
[√
2
]
e´ o corpo de frac¸o˜es de Z
[√
2
]
.
Q(i) e´ o corpo de frac¸o˜es de Z[i ].
	Corpo de Frações de um Domínio D
	Proposição
	Conjunto Quociente
	K é um corpo
	Exemplos