Cálculo Numérico Aula 2

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CÁLCULO NUMÉRICO 
Aula 2 
 
 
 
Prof. Luan de Campos Corrêa, M.Sc. 
01/08/2016 2 
Introdução 
• Os métodos numéricos são usados para obter soluções numéricas para 
problemas 
quando não se pode ou não se deseja usar métodos analíticos. 
• Os métodos numéricos entregam soluções aproximadas de um modelo ou 
sistema real. 
 
A diferença entre uma solução analítica e uma solução numérica 
• Um método analítico para resolver um problema matemático é qualquer 
método baseado na análise matemática 
e cuja aplicação conduz a uma solução verdadeira (exata). 
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Introdução 
A diferença entre uma solução analítica e uma solução numérica 
• Um método numérico para resolver um problema matemático é qualquer 
método baseado na análise matemática 
cuja aplicação em muitos casos, pode conduzir a uma solução aproximada 
(não exata). 
• Em alguns casos, raros, um método numérico pode dar uma solução exata. 
 
• Em geral a diferença entre soluções analíticas e soluções numéricas é: 
soluções analíticas são exatas 
enquanto soluções numéricas são aproximadas. 
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Introdução 
Necessidade para métodos numéricos 
• Nos primeiros contatos com os métodos numéricos, 
muitos alunos costumam questionar a necessidade dos métodos 
numéricos. 
 
• Alguém pode ser levado a concluir que é suficiente usar métodos analíticos 
na resolução de problemas matemáticos, 
ou seja, não haveria necessidade de aprender métodos numéricos 
pois eles conduzem somente a soluções aproximadas. 
 
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Introdução 
Necessidade para métodos numéricos 
• O aprendizado dos métodos numéricos pode ser justificado por: 
• Existem situações em que é preferível um método numérico ao método 
analítico (ainda que este exista), 
Como por exemplo se a solução para um problema envolve vários cálculos, 
os quais podem ser muito demorados. 
 
• A maior parte dos problemas concretos são, em geral, complexos e 
envolvem fenômenos não lineares, 
É comum os conhecimentos de matemática não serem suficientes para a 
descoberta de uma solução para um problema real. 
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Introdução 
Necessidade para métodos numéricos 
• O aprendizado dos métodos numéricos pode ser justificado por: 
 
• Quando os dados do problema são os de uma tabela de valores, 
qualquer tratamento terá de ser feito através de um método numérico. 
 
• Usar métodos numéricos e assim produzir soluções aproximadas 
para o sistema real. 
 
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Objetivo 
• Aplicar métodos numéricos para encontrar raízes (zeros) de funções reais. 
• Métodos numéricos 
• Fase 1: Isolamento das raízes 
• Fase 2: Refinamento da raiz 
• Tipos de refinamentos 
• Critérios de parada dos métodos 
• Método da Bissecção 
 
• Frequentemente, temos situações que envolvem a resolução de uma 
equação do tipo 𝑓(𝑥) = 0. 
• Veremos métodos para encontrar soluções de equações não lineares do 
tipo 𝑓(𝑥) = 0. 
 
 
 
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Métodos numéricos para encontrar raízes de funções reais 
• O nosso objetivo é o estudo de métodos numéricos para resolução de equações 
não lineares. 
 
• Um número real ξ é um zero da função 𝑓(𝑥) ou uma raiz da equação 𝑓 𝑥 = 0 
se 𝑓 ξ = 0. 
 
• Em alguns casos de equações polinomiais, 
os valores de 𝑥 que anulam 𝑓(𝑥) podem ser reais ou complexos. 
 
• Neste momento, estaremos interessados somente nos zeros reais de 𝑓(𝑥) . 
 
 
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Métodos numéricos para encontrar raízes de funções reais 
 
 
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Métodos numéricos para encontrar raízes de funções reais 
• Sabemos que, para algumas equações, 
como as equações polinomiais do segundo grau, 
existem fórmulas explícitas que dão as raízes em função dos coeficientes 
(exemplo: regra de Bhaskara). 
 
• No caso de polinômios de grau mais elevado e 
no caso de funções mais complicadas, 
é praticamente impossível se achar zeros exatamente. 
 
• Temos que nos contentar em encontrar apenas aproximações para esses zeros 
(soluções numéricas). 
01/08/2016 11 
Métodos numéricos para encontrar raízes de funções reais 
• A ideia central destes métodos numéricos é: 
partir de uma aproximação inicial para a raiz 
um intervalo onde imaginamos a raiz estar contida 
e em seguida refinar essa aproximação através de um processo iterativo. 
 
• Por isso, os métodos se dividem em duas fases: 
• Fase I: localização ou isolamento das raízes, 
que consiste em obter um intervalo que contém a raiz. 
• Fase II: refinamento, 
que consiste em, escolhidas aproximações iniciais no intervalo encontrado 
na Fase I, 
melhorá-las sucessivamente até se obter uma aproximação para a raiz. 
 
 
 
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Fase I: Isolamento das raízes 
• Nesta fase é feita uma análise teórica e gráfica da função 𝑓(𝑥). 
 
• É importante ressaltar que o sucesso da fase II depende da precisão desta 
análise. 
 
• Na análise teórica usamos frequentemente o teorema: 
 
 Seja 𝑓(𝑥) uma função contínua num intervalo [𝑎, 𝑏]. 
 Se 𝑓 𝑎 . 𝑓 𝑏 < 0 então existe pelo menos um ponto 𝑥 = ξ 
entre [𝑎, 𝑏] que é zero de 𝑓(𝑥). 
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Fase I: Isolamento das raízes 
• Pois: 
+ ∗ + → + 
− ∗ − → + 
+ ∗ − → − 
− ∗ + → − 
 
• Graficamente temos: 
 
 
 
 
 
x f(x) Sinal
-5 -77 -
-4 -25 -
-3 3 +
-2 13 +
-1 11 +
0 3 +
1 -5 -
2 -7 -
3 3 +
4 31 +
5 83 +
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Fase I: Isolamento das raízes – exemplo 
• Construindo uma tabela de valores para 𝑓(𝑥) 
e considerando apenas os sinais. 
• Sabendo que 𝑓 𝑥 é contínua para qualquer 
𝑥 real e 
observando as variações de sinal, podemos 
concluir que cada um dos intervalos 
𝐼1 = [-4,-3], 𝐼2 = [0,1], 𝐼3 = [2,3] contém pelo 
menos um zero de 𝑓(𝑥). 
• Como 𝑓(𝑥) é polinômio de grau 3, 
podemos afirmar que cada intervalo tem um 
único zero de 𝑓(𝑥), 
assim localizamos todas as raízes de 𝑓(𝑥). 
Exemplo 1: 𝒇 𝒙 = 𝒙𝟑 − 𝟗𝒙 + 𝟑 
01/08/2016 15 
Fase I: Isolamento das raízes – exemplo 
• Exemplo 2: 𝒇 𝒙 = 𝒙 − 𝟓𝒆−𝒙 
 
Construindo uma tabela de valores com o sinal 
de 𝑓 𝑥 para determinados valores de 𝑥 temos: 
 
 
Analisando a tabela podemos concluir 𝑓(𝑥) 
admite um único zero no intervalo analisado e 
este zero está no intervalo [1,2]. 
 
x f(x) Sinal
0 -5,00 -
1 -0,84 -
2 0,74 +
3 1,48 +
. . .
. . .
. . .
01/08/2016 16 
Fase I: Isolamento das raízes 
• Observação: 
Se 𝑓 𝑎 . 𝑓 𝑏 > 0 
então podemos ter várias situações no intervalo [𝑎, 𝑏], 
conforme os gráficos: 
 
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Fase I: Isolamento das raízes 
• A análise gráfica da função 𝑓 𝑥 ou da equação 𝑓 𝑥 = 0 é fundamental para 
se obter boas aproximações para a raiz. 
• Para tanto, é suficiente um dos seguintes processo: 
i) Esboçar o gráfico 𝑓 𝑥 e 
localizar as abscissas dos pontos onde a curva intercepta o eixo 𝑜𝑥. 
ii) A partir da equação 𝑓 𝑥 = 0, obter a equação equivalente 𝑔 𝑥 = 𝑓 𝑥 , 
esboçar os gráficos das funções 𝑔 𝑥 e 𝑕 𝑥 no mesmo eixo cartesiano e 
localizar os pontos 𝑥 onde as duas curvas se interceptam, 
pois neste caso 𝑓 ξ = 0 ↔ 𝑔 ξ = 𝑕 ξ . 
iii) Usar os programas que traçam gráficos de funções, 
disponíveis em algumas calculadoras ou softwares matemáticos. 
01/08/2016 18 
Fase I: Isolamento das raízes – exemplo 
• Exemplo 3: 𝑓 𝑥 = 𝑥3 − 9𝑥 + 3 
 Usando o processo i) 
x f(x) Sinal
-5 -77 -
-4 -25 -
-3 3 +
-2 13+
-1 11 +
0 3 +
1 -5 -
2 -7 -
3 3 +
4 31 +
5 83 +
01/08/2016 19 
Fase I: Isolamento das raízes – exemplo 
• Exemplo 4: 𝑓 𝑥 = 𝑥3 − 9𝑥 + 3 
 Usando o processo ii) Podemos obter a equação equivalente 
𝑥3 = 9𝑥 − 3. Tendo 𝑔 𝑥 = 𝑥3 e 𝑓 𝑥 = 9𝑥 − 3 
 
01/08/2016 20 
Fase II: Refinamento da raiz 
• Veremos na disciplina alguns métodos numéricos de refinamento de raiz. 
 i) Método da Bissecção 
 ii) Método da Falsa Posição 
 iii) Método do Ponto Fixo 
 iv) Método de Newton-Raphson 
 v) Método da Secante 
 
• A forma como se efetua o refinamento é que diferencia os métodos. 
• Todos eles pertencem à classe dos métodos iterativos. 
• Um método iterativo consiste em uma sequência de instruções que são 
executadas passo a passo, algumas das quais são repetidas em ciclos. 
 
 
 
 
 
01/08/2016 21 
Fase II: Refinamento da raiz 
• A execução de um ciclo recebe o nome de iteração. 
 
• Cada iteração utiliza resultados das iterações 
e efetua determinados testes que permitem verificar se foi atingido um 
resultado próximo o suficiente do resultado esperado. 
 
• Observamos que os métodos iterativos para obter zeros de funções 
fornecem apenas uma aproximação para a solução exata. 
 
 
 
 
 
01/08/2016 22 
Fase II: Refinamento da raiz 
• Os métodos iterativos para refinamento da aproximação inicial para a raiz 
exata podem ser colocados num diagrama de fluxo: 
 
 
 
 
 
01/08/2016 23 
Fase II: Refinamento da raiz – Critérios de parada 
• Todos os métodos iterativos para obter zeros de função efetuam um teste 
do tipo: 
𝑥𝑘 está suficientemente próximo da raiz exata? 
que tipo de teste efetuar para se verificar se 𝑥𝑘 está suficientemente 
próximo da raiz exata ? 
 
• Existem duas interpretações para raiz aproximada 
que nem sempre levam ao mesmo resultado: 
• 𝑥 é raiz aproximada com precisão 𝜀 se: 
 i) 𝑥 − ξ < 𝜀, ou ξ é a solução exata 
 ii) 𝑓(𝑥 ) < 𝜀 
 
 
01/08/2016 24 
Fase II: Refinamento da raiz – Critérios de parada 
• Nem sempre é possível ter as exigências (i) e (ii) satisfeitas 
simultaneamente. 
• Os métodos numéricos são desenvolvidos de forma a satisfazer pelo menos 
um dos critérios. 
• O gráfico a seguir ilustram algumas possibilidades: 
01/08/2016 25 
Fase II: Refinamento da raiz – Método da Bissecção 
• Seja a função 𝑓 𝑥 contínua no intervalo 𝑎, 𝑏 e tal que 𝑓 𝑎 . 𝑓 𝑏 < 0. 
• Vamos supor que o intervalo 𝑎, 𝑏 
contenha apenas uma única raiz da 
equação 𝑓 𝑥 = 0. 
 
• Graficamente temos: 
O objetivo deste método é reduzir a 
amplitude do intervalo que contém a raiz 
até atingir a precisão requerida: 
𝑏𝑘 − 𝑎𝑘 < 𝜀 
usando para isto a sucessiva divisão de 
𝑎, 𝑏 ao meio. 
01/08/2016 26 
Fase II: Refinamento da raiz – Método da Bissecção 
01/08/2016 27 
Fase II: Refinamento da raiz – Método da Bissecção: Exemplo 1 
• Exemplo: Considere a função 𝑓 𝑥 = 𝑥. log 𝑥 − 1. Faça o isolamento das 
raízes para o intervalo entre [1,5] e encontre uma aproximação para a raiz 
adotando um critério de parada 𝑓 𝑥 ≤ 0,002. 
 
 
 
 
 
• A raiz encontra-se no intervalo [2,3]. 
• A nossa primeira iteração do método da bissecção será considerando o 
intervalo [2,3]. 
x f(x)
1 -1,00
2 -0,40
3 0,43
4 1,41
5 2,49
01/08/2016 28 
Fase II: Refinamento da raiz – Método da Bissecção: Exemplo 1 
• Lembre-se que temos que analisar intervalos em que exista raiz, 
 
• Em outras palavras, na próxima iteração temos que analisar um intervalo 
em que as imagens tenham sinais opostos. 
 
• Se tiverem o mesmo sinal, 
significa que não intercepta o eixo x em nenhum ponto do intervalo 
considerado. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
01/08/2016 29 
Fase II: Refinamento da raiz – Método da Bissecção: Exemplo 1 
• O valor de 𝑥𝑛 é calculado por: 
𝑥𝑛 =
𝑎𝑛 + 𝑏𝑛
2
 
 
 
 
• Repare que não atingimos nenhum critério de parada 
𝑏𝑛 − 𝑎𝑛 < 𝜀 ou 𝑓(𝑥 ) < 𝜀. 
 
• Faremos iterações até algum critério de parada ser satisfeito. 
n an f(an) bn f(bn) xn f(xn) lan - bnl
1 2,00000 -0,39794 3,00000 0,43136 2,50000 -0,00515 1,00000
01/08/2016 30 
Fase II: Refinamento da raiz – Método da Bissecção: Exemplo 1 
 
 
 
• Lembre-se que temos que analisar intervalos em que exista raiz, 
 
• Em outras palavras, na próxima iteração temos que analisar um 
intervalo em que as imagens tenham sinais opostos. 
 
• Se tiverem o mesmo sinal, 
significa que não intercepta o eixo x em nenhum ponto do intervalo 
considerado. 
 
 
 
 
 
n an f(an) bn f(bn) xn f(xn) lan - bnl
1 2,00000 -0,39794 3,00000 0,43136 2,50000 -0,00515 1,00000
01/08/2016 31 
Fase II: Refinamento da raiz – Método da Bissecção: Exemplo 1 
 
 
• Primeiramente analisaremos o sinal de f(𝑥𝑛), 
• Se for positivo, iremos manter o f(𝑎𝑛) ou o f(𝑏𝑛) que tenha sinal negativo 
(somente um terá sinal negativo). 
• Se for negativo, iremos manter o f(𝑎𝑛) ou o f(𝑏𝑛) que tenha sinal positivo 
(somente um terá sinal positivo). 
• Logo após: 
• Se mantivermos o 𝑎𝑛 (e consequentemente o f(𝑎𝑛)), na próxima iteração 
𝑎𝑛+1 = 𝑎𝑛 e atribuiremos o valor de 𝑥𝑛 para de 𝑏𝑛+1. 
• Se mantivermos o 𝑏𝑛 (e consequentemente o f(𝑏𝑛)), na próxima iteração 
𝑏𝑛+1 = 𝑏𝑛 e atribuiremos o valor de 𝑥𝑛 para de 𝑎𝑛+1. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
n an f(an) bn f(bn) xn f(xn) lan - bnl
1 2,00000 -0,39794 3,00000 0,43136 2,50000 -0,00515 1,00000
01/08/2016 32 
Fase II: Refinamento da raiz – Método da Bissecção: Exemplo 1 
• Assim: 
 
 
 
 
 
• Completando a iteração 2: 
 
 
• Nenhum critério de parada foi atingido, 
então faremos iterações até algum critério de parada ser alcançado. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
n an f(an) bn f(bn) xn f(xn) lan - bnl
1 2,00000 -0,39794 3,00000 0,43136 2,50000 -0,00515 1,00000
2 2,50000 -0,00515 3,00000 0,43136
n an f(an) bn f(bn) xn f(xn) lan - bnl
1 2,00000 -0,39794 3,00000 0,43136 2,50000 -0,00515 1,00000
2 2,50000 -0,00515 3,00000 0,43136 2,75000 0,20816 0,50000
01/08/2016 33 
Fase II: Refinamento da raiz – Método da Bissecção: Exemplo 1 
 
 
 
 
 
 
• Na sétima iteração alcançamos o critério de parada 𝑓(𝑥 ) < 𝜀. 
 
• Assim, a resposta para nossa raiz aproximada é 2,50781. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
n an f(an) bn f(bn) xn f(xn) lan - bnl
1 2,00000 -0,39794 3,00000 0,43136 2,50000 -0,00515 1,00000
2 2,50000 -0,00515 3,00000 0,43136 2,75000 0,20816 0,50000
3 2,50000 -0,00515 2,75000 0,20816 2,62500 0,10021 0,25000
4 2,50000 -0,00515 2,62500 0,10021 2,56250 0,04720 0,12500
5 2,50000 -0,00515 2,56250 0,04720 2,53125 0,02094 0,06250
6 2,50000 -0,00515 2,53125 0,02094 2,51563 0,00787 0,03125
7 2,50000 -0,00515 2,51563 0,00787 2,50781 0,00136 0,01563
01/08/2016 34 
Fase II: Refinamento da raiz – Método da Bissecção 
Observações finais: 
• Conforme demonstramos, 
satisfeitas as hipóteses de continuidade de 𝑓(𝑥) em (𝑎, 𝑏) e 
de troca de sinal em 𝑎 e 𝑏, 
o método da bissecção gera uma sequência convergente, 
• ou seja, é sempre possível obter um intervalo que contém a raiz da 
equação em estudo, 
sendo que o comprimento deste intervalo satisfaz a precisão 
requerida. 
 
• As iterações não envolvem cálculos difíceis. 
 
01/08/2016 35 
Fase II: Refinamento da raiz – Método da Bissecção: Exemplo 2 
• Encontre a raiz da equação 𝑓 𝑥 = 𝑥3 − 9𝑥 + 3 utilizando o método da 
bissecção e as condições:Chute inicial, 𝐼 = [0,1] e critério de parada 
𝑎𝑛 − 𝑏𝑛 = 0,05. 
 
 
 
 
 
 
 
• Fazer iterações até atingirmos algum critério de parada... 
 
 
 
 
n an f(an) bn f(bn) xn f(xn) lan - bnl
1 0,00000 3,00000 1,00000 -5,00000 0,50000 -1,37500 1,00000
2 0,00000 3,00000 0,50000 -1,37500
n an f(an) bn f(bn) xn f(xn) lan - bnl
1 0,00000 3,00000 1,00000 -5,00000 0,50000 -1,37500 1,00000
2 0,00000 3,00000 0,50000 -1,37500 0,25000 0,76563 0,50000
01/08/2016 36 
Fase II: Refinamento da raiz – Método da Bissecção: Exemplo 2 
• Encontre a raiz da equação 𝑓 𝑥 = 𝑥3 − 9𝑥 + 3 utilizando o método da 
bissecção e as condições: Chute inicial, 𝐼 = [0,1] e critério de parada 
𝑎𝑛 − 𝑏𝑛 = 0,05. 
 
 
 
 
 
 
 
• Raiz aproximada = 0,32813 
 
n an f(an) bn f(bn) xn f(xn) lan - bnl
1 0,00000 3,00000 1,00000 -5,00000 0,50000 -1,37500 1,00000
2 0,00000 3,00000 0,50000 -1,37500 0,25000 0,76563 0,50000
3 0,25000 0,76563 0,50000 -1,37500 0,37500 -0,32227 0,25000
4 0,25000 0,76563 0,37500 -0,32227 0,31250 0,21802 0,12500
5 0,31250 0,21802 0,37500 -0,32227 0,34375 -0,05313 0,06250
6 0,31250 0,21802 0,34375 -0,05313 0,32813 0,08220 0,03125
7 0,32813 0,08220 0,34375 -0,05313 0,33594 0,01447 0,01563
8 0,33594 0,01447 0,34375 -0,05313 0,33984 -0,01934 0,00781
9 0,33594 0,01447 0,33984 -0,01934 0,33789 -0,00244 0,00391
10 0,33594 0,01447 0,33789 -0,00244 0,33691 0,00602 0,00195
11 0,33691 0,00602 0,33789 -0,00244 0,33740 0,00179 0,00098
01/08/2016 37 
Fase II: Refinamento da raiz – Método da Bissecção: Exemplo 3 
• Encontre a raiz da equação 𝑓 𝑥 = cos 𝑥 − 𝑥 utilizando o método da 
bissecção e as condições: 
• Estimativa inicial, 𝐼 = [0,1] e utilize como critério de parada 𝑓 𝑥 ≤ 0,05: 
 
 Observação: deve ser usado 𝑥 em radianos. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
01/08/2016 38 
Fase II: Refinamento da raiz – Método da Bissecção: Exemplo 4 
• Encontre a raiz da equação 𝑓 𝑥 = 2𝑥3 − 2𝑥 + 1 utilizando o método da 
bissecção e critério de parada 𝑓 𝑥 ≤ 0,05: