md_aula14_2014_1

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Exemplo 5.7 
 
Encontrar a função geradora para a seqüência 
 






= ,...
!4
1
,
!3
1
,
!2
1
,
!1
1
,1)(a r . 
 
Solução 
 
 Como 
 
...
r!
x
...
4!
x
3!
x
2!
x
x1e
r432
x +++++++= , 
 
a função procurada é xe . 
 
 
Observação 
 
Seja a função f infinitamente diferenciável em um intervalo aberto J e seja 
a um número em J . Então, a série de Taylor para f em a é a série de potências 
 
k
0k
k a)(xC −∑
∞
=
 onde 
k!
(a)fC
(k)
k = , 
 
para ... 3, 2, 1, 0, k = . 
 
 
 
xe f(x) = em 0 a = 
 
xiv
x
x
x
x
e (x)f
e (x)''f'
e (x)'f'
e (x)f'
e f(x)
=
=
=
=
=
 
1(0)f'
1(0)''f'
1(0)'f'
1(0)f'
1ef(0)
v
0
=
=
=
=
==
 
 
 
 
 
Série de Taylor 
 
 
K+−+−+−+−+= 30302000 0)(xe
 4!
1)0(xe
 3!
10)(xe
 2!
1)0(xe
 1!
1
ef(x) 
 
 ∑
∞
=
=
0k
k
k!
x
 . 
 
 
A série de Taylor para f em 0 a = é chamada de série de Maclaurin para f . 
 
 
Exemplo 5.8 
 
Encontrar a seqüência cuja função geradora ordinária é 
 
x32 exx ++ . 
 
Solução 
 
 Como 
 






+++++++=++ ...
4!
x
3!
x
2!
x
x1xxexx
432
32x32
 
 
 ...
5!
x
4!
x
x
3!
11x
2!
11x1
54
32 +++





++





+++= , 
 
a seqüência gerada por esta função é 
 






++= ,...
!r
1
,...,
!5
1
,
!4
1
,
!3
11,
!2
11,1,1)(a r . 
 
 
Exemplo 5.9 
 
Encontrar a função geradora ordinária para a seqüência 
 






=
r!
2)(a
r
r . 
Solução 
 
 Substituímos x por 2x em 
 
...
r!
x
...
4!
x
3!
x
2!
x
x1e
r432
x +++++++= . 
 
Temos nesse caso que 
 
 
...
r!
(2x)
...
4!
(2x)
3!
(2x)
2!
(2x)
x21e
r432
2x +++++++= 
 
 ...x
r!
2
...x
4!
2
x
3!
2
x
2!
2
x
1!
21 r
r
4
4
3
3
2
21
+





++





+





+





+





+= . 
 
 
Isso mostra que 2xe é a função geradora procurada. 
 
 
Exemplo 5.10 
 
Qual o coeficiente de 23x na expansão de 695 )xx(1 ++ ? 
 
Solução 
 
 Como são 6 fatores iguais a )xx(1 95 ++ , devemos escolher dois fatores, 
tomando 9x em ambos, e um no qual escolhemos 5x ; nos demais escolhemos 1. 
Como podemos fazer isso de 14
2
6CC maneiras diferentes, este é o coeficiente de 
23x . 
 
 
Observação 
 
695 )xx(1 ++ é a função geradora para o número de soluções inteiras 
não-negativas de 
 
23xxxxxx 654321 =+++++ , 
 
com a restrição {0,5,9}x i ∈ . 
Teorema 5.1 
 
 Sendo f(x) e g(x) as funções geradoras das sequências )(a r e )(br , 
respectivamente, temos: 
 
(i) Bg(x)Af(x) + é a função geradora de )Bb(Aa rr + . 
 
(ii) ∑ ∑
∞
= =
− 





=
0n
n
n
0k
knk x)b(af(x)g(x) . 
 
(iii) A função geradora para )a...aa(a r210 ++++ é igual a 
...)f(x)xx(1 2 +++ . 
 
(iv) A função geradora para )(ra r é igual a (x)xf' , onde (x)f' é a derivada de f 
com respeito a x . 
 
(v) ∑∫
∞
=
+
+
=
0n
1nn x
1n
af(x)dx . 
 
 
 
Exemplo 5.11 
 
Encontrar a função geradora para ra r = . 
 
Solução 
 
 Como a função geradora para a seqüência )(1,1,1,... é 
 
...x...xxxx1
x1
1f(x) r432 +++++++=
−
= , 
 
e utilizando o item (iv) do teorema 5.1, a função geradora é (x)xf' . De fato, 
 
...rx...x5x4x3x21
x)(1
1(x)f' 1r4322 +++++++=
−
=
−
 
e 
...rx...x4x3x2x
x)(1
x(x)xf' r4322 ++++++=
−
= . 
Portanto, (x)xf' é a função geradora para a seqüência r)(a(r) = . 
 
 
Exemplo 5.12 
 
Encontrar a função geradora para 2r ra = . 
 
Solução 
 
 Do exemplo anterior, 
 
...rx...x4x3x2x
x)(1
x(x)xf' r4322 ++++++=
−
= . 
 
Para que o coeficiente de rx seja 2r , devemos tomar a derivada desta função e 
multiplicá-la por x . Temos assim que 
 
3
/
2 x)(1
x)x(1
x)(1
x
x
−
+
=





−
 
 ...)xr...x4x3x2x(1 1r232222 ++++++= − 
 ...xr...x4x3x2x1 r24232222 ++++++= 
 
Temos que a função geradora para a sequência 2r ra = é (x))'x(xf' , onde 
 
x1
1f(x)
−
= .