aula5 projéteis 2017 28agosto

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Movimento 
de Projéteis
Fundamentos de Biomecânica Aplicados à 
Educação Física
Prof. Ms. Eric Leal Avigo
eric.avigo@cruzeirodosul.edu.br
Universidade Cruzeiro do Sul – 2o Semestre/2017
O que é Cinemática Linear...
Descrição dos movimentos lineares
em termos espaciais e temporais 
sem levar em conta as forças que 
geram o movimento.
O que é um Projétil...
 Um corpo (objeto ou pessoa) que é projetado
ou lançado ao ar e que está sujeito somente
à ação da gravidade e à resistência do ar.
 Em qualquer instante do 
movimento do projétil a 
aceleração é = “g”
 g é a aceleração devido a 
gravidade e é constante
durante todo o movimento
O que é um Projétil...
Movimento de Projétil
 Trajetória de um projétil é o percurso
(caminho) que ele descreve no ar.
 Parábola...
Quais os fatores* que 
influenciam a trajetória 
de um projétil?
Quais os fatores* que influenciam a altura 
máxima e o alcance (horizontal) do projétil?
*modo que o objeto é lançado (momento do lançamento)
Movimento de Projétil
28/08/2017
2
Fatores...
Componentes da velocidade de lançamento 
durante o voo de um projétil
 Ângulo de lançamento do projétil
 Velocidade de lançamento (saída) do projétil
 Altura relativa de lançamento
 O ângulo no qual o objeto foi liberado determina 
a forma da sua trajetória
 Ângulo com relação a horizontal
 Geralmente varia entre 0° a 90°
 0°: paralelo ao solo | 90°: vertical.
Ângulo de Lançamento
Ângulo de Lançamento Exemplo: Ângulo de Lançamento
Efeito do ângulo de lançamento no alcance e altura máxima
(Altura relativa de lançamento = 0)
Velocidade 
(m/s)
Ângulo 
(graus)
Alcance 
(m)
Altura Máxima 
(m) 
10 10 3,49 0,15
10 20 6,55 0,60
10 30 8,83 1,27
10 40 10,04 2,11
10 45 10,19 2,55
10 50 10,04 2,99
10 60 8,83 3,82
10 70 6,55 4,50
10 80 3,49 4,94
10 90 0 5,10
Velocidade de Lançamento
 A velocidade (v) de lançamento
 Determina o tamanho ou comprimento da 
trajetória do projétil.
 Determinada pela força exercida no projétil.
Exemplo: Velocidade de Lançamento
Efeito da vel. de lançamento no alcance e altura máxima
(Altura relativa de lançamento = 0)
Velocidade 
(m/s)
Ângulo 
(graus)
Alcance 
(m)
Altura Máxima 
(m) 
10 30 8,83 1,27
20 30 35,31 5,10
30 30 79,45 11,47
10 45 10,19 2,55
20 45 40,77 10,19
30 45 91,74 22,93
10 60 8,83 3,82
20 60 35,32 15,29
30 60 79,46 34,40
3
Velocidade de Lançamento
 A velocidade fornecida é a resultante...
 Para cálculo do alcance e altura máxima é
necessário calcular o componente horizontal e
vertical da velocidade...
 Para isso, usa-se o ângulo de lançamento
 V vertical (v0y) determina a altura e o tempo de voo
 V horizontal (v0x) determina o alcance máximo
vR= 8 m/s
θ
vv=?
vh=?
Altura relativa de Lançamento
 Altura relativa de lançamento: diferença
entre a altura de lançamento e altura de
parada ou aterrissagem do projétil.
Altura relativa de Lançamento
http://phet.colorado.edu/sims/projectile-motion/projectile-motion_en.html
 Com velocidade e ângulo de lançamento
constantes:
 > altura relativa
 > alcance e tempo de voo...
Otimização do lançamento
 Sempre os três fatores (velocidade, ângulo e
altura relativa de lançamento) estão inter-
relacionados.
  velocidade de lançamento =  hmax / alcance
  altura relativa de lançamento =  hmax / alcance
 Ângulo de lançamento
 90° = maior hmax / alcance = 0
 Maior alcance: ângulo de lançamento = 45°
 Mas depende da altura relativa de lançamento...
Otimização do lançamento
 Em alguns casos atletas devem controlar a
velocidade juntamente com o ângulo de
lançamento para acertar um alvo (precisão):
 Controle da força aplicada para se acertar um
alvo específico...
 Devem levar em consideração a altura relativa...
Resumindo...
 Quais os 3 fatores que influenciam a trajetória,
altura máxima e alcance máximo de um projétil?
 Ângulo de lançamento do projétil
 Velocidade de saída (lançamento) do projétil
 Altura relativa de lançamento
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O que posso avaliar... O que posso avaliar...
Relembrando... Matemática básica
 Expoentes
Indicam o número de vezes que o número de base deve ser 
multiplicado por ele mesmo
 Raiz quadrada
 O resultado é o número original
quando multiplicado por ele mesmo
 Operação oposta à elevação do
número ao quadrado
1622222
644444
9333
4
3
2



xxx
xx
x
9)3()3(
333
39
2



x
ou
x
Relembrando... Trigonometria
 É o ramo da matemática que trata das medidas dos
lados e ângulos de triângulos e as relações entre
eles...
 Triângulo é composto de 
três lados e três ângulos
 A soma dos ângulos de um triângulo é igual a 180 º
(graus)
 Triângulo retângulo:
um dos ângulos é igual à 90º 
(ângulo reto)
Funções do triângulo retângulo
 Enquanto que um ângulo equivale à 90º, a soma dos
outros dois ângulos equivale à 90º.
 A soma dos 3 ângulos equivale SEMPRE à 180º
 O quadrado do lado maior (hipotenusa) é igual à
soma dos quadrados dos outros dois lados
 Isto leva à seguinte equação:
c2 = a2 + b2
c
a
b
Teorema de Pitágoras
A=6
B=8
C=?
Relembrando... Como eu encontro “C”
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Relembrando... Como eu encontro “B”
A=6
B=?
C=?
α=35°
β
Funções do triângulo retângulo
 No triângulo ABC: 
 lado A é oposto ao ângulo α e é adjacente ao ângulo β; 
 lado B é oposto ao ângulo β e adjacente ao ângulo α; 
 lado C (hipotenusa) é oposto ao ângulo reto
A
C é chamado de hipotenusa
α
β
A e B são chamados de catetos
B
Funções do triângulo retângulo
 Funções ou razões trigonométricas são relações
entre os lados do triângulo retângulo
 Utilizaremos 3 funções: seno (sen), cosseno (cos) e
tangente (tg)...
 Funções trigonométricas auxiliam para obter os lados do
triângulo retângulo quando o comprimento de um dos lados
e um dos ângulos já foram definidos
sen α = cateto opostohipotenusa
cos α = cateto adjacentehipotenusa
tg α = cateto adjacente
cateto oposto
A=6
B=8
C=10
α
β
Funções do triângulo retângulo
8,0
10
8_
6,0
10
6_


C
B
Hipotenusa
OpostoCatetoSen
C
A
Hipotenusa
OpostoCatetoSen


A=6
B=8
C=10
α
β
Funções do triângulo retângulo
6,0
10
6_
8,0
10
8_


C
A
Hipotenusa
AdjacenteCatetoCos
C
B
Hipotenusa
AdjacenteCatetoCos


A=6
B=8
C=10
α
β
Funções do triângulo retângulo
6
33,1
6
8
_
_
75,0
8
6
_
_


A
B
AdjacenteCateto
OpostoCatetoTg
B
A
AdjacenteCateto
OpostoCatetoTg


A=6
B=8
C=10
α
β
Funções do triângulo retângulo Relembrando... Como eu encontro “B”
A=6
B=?
C=?
α=35°
β
Relembrando... Como eu encontro “B”
A=6
B=?
C=?
α=35°
β 57,87,0
667,0635
_
_


BB
BB
Tg
AdjacenteCateto
OpostoCatetoTg
Relembrando... SUA VEZ!!!
A=?
B=?
C=15
α=40°
β=?
Movimento de Projétil
Qual é o significado de “g”...
“g” é aceleração 
devido a gravidade e 
é constante durante 
todo o movimento.
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Quanto tempo a bola
demora para atingir
o solo?
h=20 m
Movimento de Projétil – Queda livre
g
ht .2
9,81 m/s2
Queda Livre
Qual a velocidade
da bola quando ela
bater no solo?
Movimento de Projétil – Queda livre
tgv . 
9,81 m/s2h=20 m
Queda Livre
 Calcule o tempo que o mergulhador leva
para chegar na água se lançando de uma
plataforma de 25 m?
 Calcule a velocidade queele chega na água?
Movimento de Projétil – Queda livre
g
ht .2
tgv  
Quanto tempo a bola demora para 
atingir o ápice ou altura máxima (hmax)?
Depende da velocidade de lançamento.
 𝒕 = 𝒗𝟎
𝒈
𝒗𝟎 = 𝒗𝒆𝒍𝒐𝒄𝒊𝒅𝒂𝒅𝒆 𝒅𝒆 𝒍𝒂𝒏ç𝒂𝒎𝒆𝒏𝒕𝒐
Lançamento Vertical
tgv  
Qual altura máxima (hmax) que a bola 
alcança?
Depende da velocidade de lançamento.
𝒉𝒎𝒂𝒙 =
𝒗𝟎𝟐
𝟐𝒈
𝒗𝟎 = 𝒗𝒆𝒍𝒐𝒄𝒊𝒅𝒂𝒅𝒆 𝒅𝒆 𝒍𝒂𝒏ç𝒂𝒎𝒆𝒏𝒕𝒐
Lançamento Vertical
 Um jogador de futebol salta verticalmente
para cabecear a bola. A velocidade com que
ele saiu do chão (v0) foi de 3,4 m/s. Calcule a
altura (máxima) do salto e o tempo que ele
leva para atingir essa altura...
Lançamento Vertical
tgv  
g
vh
2
2
0
max 
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Movimento de Projétil
 Princípio da Independência dos movimentos 
(Galileu)
 O movimento de um projétil é planar:
 horizontal (X) e vertical (Y); 
 Composto de dois tipos movimentos 
independentes: 
 Horizontal: movimento uniforme 
velocidade constante, a=0;
 Vertical: movimento uniformemente variado
aceleração constante = g (9,81m/s2) 
velocidade altera a todo momento.
Movimento de Projétil
 Usamos relações entre posição, velocidade e 
aceleração para descrever quantitativamente
a trajetória do projétil.
 Alcance: Equações do movimento uniforme 
(a = 0, v = constante)
 Altura Máxima: Equações do movimento 
uniformemente variado (a = g)
Equações de movimento constante
Vf = Vi + at (1)
d = Vit + 0,5at2 (2)
Vf2 = Vi2 + 2ad (3)
Onde, a = aceleração
Vf = velocidade final d = deslocamento
Vi = velocidade inicial t = tempo
 Possibilitam predizer o movimento de objetos na fase aérea de
um determinado evento. Isto se dá pelo fato que a aceleração é
constante na direção vertical (g = 9.81 m/s2) e na direção horizontal
(a = 0.0 m/s2). Nessas circunstâncias de aceleração constante ou
uniforme, as três equações de movimento uniforme contêm
informação que está relacionada com as três variáveis cinemáticas
(deslocamento, velocidade e aceleração) e com o tempo...
Exemplo: Tiro de meta
 Calcular a altura máxima que a bola atinge e
o alcance da bola chutada pelo goleiro no
tiro de meta. A bola foi chutada e caiu direta
no campo. A bola saiu dos pés do goleiro à
25 m/s e a 40 graus.
Rh
Rv
vv
vsenv


)cos(
)(


Exemplo: Tiro de meta
vR= 25 m/s
Vv = ?
Vh = ?
Rh
Rv
vv
vsenv


)cos(
)(


smvvv
Hipotenusa
Copostosen vvv /07,1625643,025
643,0)40( 
smvvv
Hipotenusa
Cadjacente
hh
h /15,1925766,0
25
766,0)40cos( 
40º
Exemplo: Tiro de meta
 Calcular a altura máxima que a bola atinge...
Vf = Vi + at (1)
d = Vit + 0,5at2 (2)
Vf2 = Vi2 + 2ad (3)
62,19
24,258
62,1924,258
62,1924,2580
)81,9(2²07,160





d
d
d
d
Vi  Vv = 16,07 m/s
Vf = 0
a  g = 9,81 m/s²
d = 13,16 m
9
Exemplo: Tiro de meta
 Calcular o alcance da bola...
Vf = Vi + at (1)
d = Vit + 0,5at2 (2)
Vf2 = Vi2 + 2ad (3)
a  g = 9,81 m/s²
Vi  Vv = 16,07 m/s
81,9
07,16
81,907,16
)81,9(07,160




t
t
t
Antes, necessário 
saber o tempo:
Vf = 0
tsubida= 1,64 s
Exemplo: Tiro de meta
 Calcular o alcance da bola...
Vf = Vi + at (1)
d = Vit + 0,5at2 (2)
Vf2 = Vi2 + 2ad (3)
Vi  Vh = 19,15 m/s
a = 0
t = tsubida . 2  t = 3,28 s
028,315,19
²28,305,028,315,19


d
d
d = 62,81 m
tsubida = 1,64 s
Tempo total (t):
 Quando a saída e aterrissagem ocorrem no mesmo nível
(altura relativa = 0), tempo de voo total = 2tsubida
 tvoo = tsubida + tdescida
Resumindo...
 Deslocamento na direção
horizontal (alcance)
voohmáx tvd 
 Para se descobrir o tempo de voo, 
usar às seguintes equações:
 Eq. 1: tempo até o ápice (vv_final = 0) 
 Eq. 2: tempo do ápice até a 
aterrissagem (vv_incial = 0) g
ht
g
vt
descida
v
subida


max2
(1)
(2)
 Deslocamento na direção
vertical (altura máxima)
g
vh vmáx 2
2

Problemas
1. Se um jogador de basquetebol arremessa uma bola à
cesta com velocidade inicial de 8 m/s à 60° com
relação linha do horizonte. Qual é a velocidade do
vetor (componente) vertical e horizontal da bola?
vR= 8 m/s
θ
vv=?
vh=?
 Lembre-se:
1) Esboçar o problema...
2) Verificar os dados...
3) Escolher a formula...
4) Realizar a conta...
Problemas
2. Uma bola é rebatida a 1m do chão em um ângulo de
35º, com uma velocidade inicial de 12 m/s. Que altura
e que distância a bola poderá atingir? É possível
calcular o tempo que essa bola permanece no ar
após ser rebatida?
Movimento de projétil
Projéteis e a Educação Física
 Objetivo: melhora do desempenho
■ Avaliar, prescrever exercícios e corrigir
movimentos
■ Altura do salto
■ Deslocamento horizontal: alcance
 Salto em Distância/Triplo
■ Distância e/ou altura do arremesso, no
lançamento de um objeto
 Dardo, Peso, Bola
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Questões de estudo
1) O que é um projétil por que é importante estuda-lo?
2) Dê exemplos de projéteis comuns na EF?
3) O que influencia o deslocamento vertical (altura) e o 
deslocamento horizontal (alcance) máximos de um projétil? 
4) Como eu posso obter a altura e o alcance de um projétil? 
Quais três variáveis cinemáticas devo relacionar?
5) O que acontece se um projétil é lançado a um ângulo de 
lançamento de 90º? 
6) Considerando que a altura relativa de lançamento seja igual 
a zero, qual seria o melhor ângulo de lançamento para se 
obter um maior alcance do projétil?
7) Para otimização do lançamento de um projétil onde exista 
um alvo específico a ser alcançado, com quais fatores 
preciso me preocupar?
Referências de estudo
 HALL, S.J. Biomecânica básica. 5ª. ed. Barueri:
Manole, 2009 (Cap. 10).
 HAMILL, J. Bases Biomecânicas do Mov. Humano, 4ª
ed. São Paulo: Manole, 2016 (Cap. 8).
 MCGINNIS, P.M. Biomecânica do esporte e exercício.
Porto Alegre: Artmed,
 versão 2002 – Cap. 5
 versão 2015 – Cap. 2