Lista 1 - Vetores, Retas e Planos

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1º LISTA DE EXERCICIOS DE CALCULO III ( VETORES, RETAS E PLANOS )
Determine as componentes do vetor de módulo 5, sabendo-se que é ortogonal ao eixo y e também ao vetor = i – 2k. Resp. = ( 2 , 0 , ) ou = ( -2 o , - ).
Se = 4 e = 2 e 120o o ângulo entre e , determine o ângulo entre os vetores ( +) e ( – ) . resp. arccos( ) o .
Determine o valor da constante m para que o vetor = ( 1, 2, m ) seja imultaneamente ortogonal aos vetores 1 = ( 1, -2, 0 ) e 2 = ( 1, -3, -1 ). resp. -5
Os ângulos diretores de um vetor são 45o , 60o e 120o. Se = 2, então determine as componentes do vetor . resp. = ( , 1, -1 ).
Dados os vetores = ( 4, 0, 3 ) e = ( -2, 1, 2 ) , determine as projeções de sobre e de sobre . resp. ( -2, 1, 2 ) e ( 4 , 0 , 3 ).
Dados os pontos A ( 2, -1, 2 ) , B ( 1, 2, -1 ) e C( 3, 2, 1 ) , determine as componentes do vetor x ( – 2 ). resp. ( 12, -8, 12 ).
Calcule o valor de m, sabendo que A( m, 1, 1 ) , B( 1, -1, 0 ) e C( 2, 1, -1 ) são vértices de um triângulo de área . resp. 3 ou .
Calcule a área do paralelogramo cujos vértices são A ( 1, -2, 3 ) , B ( 4, 3, -1 ) , C ( 5, 7, -3 ) e D ( 2, 2, 1 ) . resp. .
Dado um triângulo equilátero ABC de lado 10cm. Calcule . resp. 50.
 Calcule o valor da constante n para que seja de 30o ângulo entre o vetore = ( 1, n, 2 ) e o eixo do y sentido positivo. resp. 
 Determine um vetor unitário ortogonal ao eixo 0z e que forma um ângulo de 60o com o vetor canônico i. resp. 
 Dados os pontos A ( 2, 1, 1 ) , B ( 3, -1, 0 ) e C ( 4, 2, -2 ). Determine 
A área do triângulo ABC. resp. 
A altura do triângulo relativo ao vértice C. resp. 
 13 ) Seja o triangulo de vértices A ( -1, -2, 4 ), B ( -4, -2, 0 ) e C ( 3, -2, 1 ). Determine o ângulo 
 interno ao vértice B. resp. 45o
14) Dados os vetores = ( 2, 1, m ) , = ( m+2 , -5 , 2 ) e = ( 2m , 8, m ). Determine o valor de m para que ( + ) seja ortogonal a ( - ) . resp. 3 ou -6 . 
 Calcule a área do triângulo de vértices :
A ( -1, 0, 2 ) , B ( -4 , 1, 1 ) e C ( 0, 1, 3 ) . resp. 
A ( 1, 0, 1 ) , B ( 4 , 2 , 1 ) e C ( 1, 2, 0 ) . resp. 7/2
A ( 2, 3, -1 ) , B ( 3, 1, -2 ) e C ( -1, 0 ,2 ) resp. 9 / 2.
 Verifique se são coplaneres os seguintes vetores :
 = ( 3, -1, 2) , = ( 1, 2, 1 ) e = ( -2, 3, 4 ) resp. Não
 = ( 2, -1, 0 ) , = ( 3, 1, 2 ) e = ( -1, -2, 2 ) resp. Sim 
 Verifique se são coplanares os pontos :
A ( 1, 1, 1 ) , B ( -2, -1, -3 ) , C ( 0, 2, -2 ) e D ( -1, 0, -2 ). resp. Sim
A ( 1, 0, 2 ) , B ( -1 , 0, 3 ) , C ( 2, 4, 1 ) e D ( -1 , -2 ,2 ) resp. Não
 Dado o triangulo de vértice A ( 0, 1, -1 ) , B ( -2, 0, 1 ) e C ( 1, -2, 0 ) , calcular a medida da altura relativa ao lado BC. Resp. . 
 Calcule o valor da constante m para que a área do paralelogramo determinado pelos vetores = ( 2,1,-1 ) e = ( 1, -1, m ) seja igual a . Resp. 3 e -17/5
 Calcule o valor da constante k para que seja coplanares as retas abaixo:
 r : = = s: resp. K = 4
 Determine o valor da constante n para que seja de 30o o ângulo entre as retas abaixo:
r : = = s: resp. n = 7 e n = 1
 Calcule o valor de k para que as retas abaixo sejam paralelas
 r : = ; z - 6 = 0 s : resp. k = -2
 A reta que passa pelos pontos A ( -2, 5, 1 ) e B ( 1, 3, 0 ) é paralela a reta determinada pelos pontos C ( 3,-1,-1 ) e D ( 0,y,z ). Determine o ponto D. Resp. D( 0,1,0 ).
Determinar as equações paramétricas da reta t, que é perpendicular a cada uma das retas: 
 a) , e que passa pelo ponto P(2,3,5);
 b) , e que passa pelo ponto P(2,–3,1);
 c) e , e que passa pelo ponto P(3,3,4). 
 RESP: a) t: c) 
 Encontre a equação do plano que contém os pontos 
A ( -1,2,0) , B ( 2, -1, 1 ) e C ( 1, 1, -1 ) resp. 4x+5y+3x-6 = 0 
A (2, 1, 0 ) , B ( -4,-2,-1) e C ( 0, 0 , 1 ) resp. x – 2y = 0
A (2, 1, 3 ) , B ( -3,-1,3) e C( 4 , 2, 3) resp. z = 3
 Encontre a equação do plano que passa pelo ponto A ( 6, 0, -2 ) e é paralelo aos vetores dados por i e -2j+k. resp. y+2x+4 = 0
 Encontre a equação do plano que contém as retas abaixo.
r : = ; y+1 = 0 s : resp. 5x -4y – 3z -6 = 0
 Encontre a equação do plano que contém o ponto A( 3,-1,2 ) e a reta r: 
 resp. x+y –2 = 0
 Determine o ângulo entre os planos 1 : x + 2y +z -10 = 0 e 2 : 2x+y-z +1 = 0 
Resp. = 60o 
 Determine a e b de modo que os planos abaixo sejam paralelos
 1 : ax +by +4z – 1 = 0 e 2 : 3x -5y – 2z +5 = 0. Resp. a = -6 e b = 10
 Sejam os vetores = ( 1,1,0 ), = (2, 0, 1 ) , 1 = 3 - 2 , w2 = u + 3v e w3 =i +j -2k. Determine o volume do paralelepipedo definido por w1 , w2 e w3. Resp. 44.
 Dados os planos 1:2x+y3z+1=0, 2:x+y+z+1=0 e 3:x2y+z+5=0, ache uma equação do plano que contém 12 e é perpendicular a 3. Resp: :x + y + z +1=0
 
33) Dado o plano 1:2x+5y+3z+3=0 e a reta AB, sendo A (1,1,1) e B(2,2,2), determina a equação do plano que passa pelo ponto onde a reta AB fura o plano 1 e é paralelo ao plano 2:x3=0. Resp: :
 34) Determinar a equação geral dos planos nos seguintes casos:
 a)possui o ponto A(1,2,1) e é paralelo aos vetores e ;
 b) passa pelo ponto E( 1,2,2) e contém os vetores =(2,–1,1) e =( –3,1,2); 
 c) possui o ponto P(2,1,3) e é paralelo ao plano XOZ; 
 d) contém as retas e ;
 e) contém as retas e ; 
 f ) que contém as retas ;
 g )contém as retas ;
 Resp: a) :x-yz = 0 b) :x+yz5=0 c) :y+1=0
 d) :2x16y13z+31= 0 e ) :yz2=0 
 f) :4x+4y+3z=0 g ) :11x+2y5z11=0