Resolução da lista de Autovalor e autovetor

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į ，
2 . T operador sobre ıR a.
nados por este operador.
P ortanto, T nã o tem autovalores e autovetores e Æ z nã o tem autoespaç os determ i-
M as m z é um espaç o vetorial sobre m e i e i nã o sã o núm eros reais.
É claro que
p(人) 一 pA (人) 一 dettA 一 Àı2 ) 一 det[丁 ：]一 分 十 1 .
P ortanto, o p o linô m io característico de T é dado por
L ogo, a m a triz de A de T em relaç ã o à base B é A = [ : o 1
(b) C onsiderem os ß a base canô nica de ıw , e n tão
portanto, V3 - {(z , y ) ? ı8
2 
; y
- 3£} = [(1 , 3 ) ] ·
(··y)? (··y)? ker(A
一 3 12 ) 一 ker[：一 ]
D eterm inando os autoespaç os V 3 e V - 3 
·
L ogo, o s a u to v a lores de T s
āo ll
- 3 e l2 = - 3 .
P (入) 一 0 4
二 分 ス严一 9 = 0 4 ニ 争 ユ严
一 9 ヰニ 争 ス ー 3 ou ス
ー ー 3 .
É claro que
p(入) 一 p A (入) 一 dettA
一 人l2 ) 一 det[：一 ：]一 人
2
_ 9 .
P ortanto, o polinô m io característico de 
T é dado p
or
L ogo , a m a triz de A de T em relaç ã o à base 
ß é A
(a) C onsiderem os ß a base canô nica de ıR 2 , en tão
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0 1
(z , y , z ) ? V ı (£, y , z ) ? ker (A - 113 ) = ker 0 0 0
ro o o1
portanto, Vo - {(z , y , z) ? m 
3 
; z - y
- 0} = [(0 , 0 , 1 ) ] ·
0 0
(エ，ソ ，石 )? Vo ヰニ 争 (写，y ，名 )? ker(A
一 0 13 ) 一 ker 0 1 0
r 1 0 0
D eterm inando os autoespaç os V o e V _ ·
L ogo, o s a u to v alores de T 
sāo À , = O e l 2 - 1 .
É claro que
portanto , o p o lin ô m io car acter
fstico de T é dado por
L ogo, ° m a triz d, A d. T em re
laç iio à b.
. B ; A = L ; ! ! 】
,) C onsiderem os B a base canô nica de JR
3
, e n
tā o
)iuç āo
(a) C onsiderem os B a base canô n Y d X ' n \ . T (O . 0 1) = (0 , 0 , 0 ).
S olu ç ã o
(b) T (T r$ , z ) = (« + z, y + z , z + y + 2 z ) ·
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P ortanto, Va - {(z , y , · ) ? ıR A ; z - y e z - 2 z } = [(1 , 1 , 2 ) ] ·
(··y ，名) E (··y ，名 )? ker(A 一 3 13 ) 一 ker 一 ；一 」
P ortanto, Vo 一 {(z , y ，名 )? ıR 3 ： エ ー ー 石 e y 一 一 名 }ー にー 1， 一 1 , 1 )】。
. L 」 L」一 一 ， 三三0 一 2 一 一 岩 e y 一 一 Z .
portanto , Vı 一 {(z , y ，名 )? m 
3
： z
一 O e y 一 一 z }一 [(1 ， 一 ı， O )】。
( · , y , z ) ? n . ( · , y , z ) ? kert
A - 113 ) = ker
D eterm inando os autoespaç os V , V o 
e V 3 ·
L ogo, o s a u to va lo res de T s
ã o À ı = 1 , l2 - 0 e l3
- 3 .
入一 3 = 0
À = 0 4 = 2 = 1 , = 0 0 U À = 3 .
1 ー スー O
P (入) 一 0 4 ニ 今 (1 一 入À( 入一 3 ) 一 0 4
コ 孛 。
E Claro que
(1 一 入)((1 一 入)(2 一 人) 一 2) 一 (1
一 大)(入
2
_ 3 1 十 2 - 2 ) 一 (1 一 大)人(入一 3 ).
Ć P
一 (1 一 人尸(2 ー ス)一 2 (l一 人)p(入) 一 p A ( ) 一 dettA 一 人ム) 一 dct 
1 
1
大
P ortanto, o p olinô m io caractcrfstico
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- 13 - 10 - 7
(エ，y , z )? V ı 仁 辛 (写 1 y , z )? ker(A 一 113 ) 一 ker 5 4 3
3 2
D eterm inando os autoespaç os V , V _ 1 e V3 ·
L ogo, o s a u to valores T sã o À I
- 1 , l2 - - 1 e l3 = 3 .
É claro que
一 人3 + 3 2 十 入 一 3 = (入一 1)(一 入
2
+ 2 入 十 3 ) 一 (1 一 入)(1 十 大)(3
一 人)，
p(入) 一 P A (入) 一 det(A
一 )山 ) 一 det
一 13 - 10 - 6
3
入
r4 一 入 2
C onsequentem ente, o p olinô m
io caracterfstico de T 
é dado por
portanto , a m a triz de A de T e
m relaç ã o à base 
B é A =
- 13 - 1
4 2 1 1
T (o, ı , 1 ) = (2 , 7 , - 3 ) = 2 (1 , 1 , 
1 ) + 5 (0 , 1 , 1 )
- 10 (0 , 0 , 1) .
T (1 , 1 , 1 ) = (4 , 9 , - 4 ) = 4 (1 , 1 , 
1 ) + 5 (0 , 1 , 1 )
- 13 (0 , 0 , 1 )
y, Z ; ? ı3 tem os
siderem os a base B = {(1 , 1 , 1), (0 , 1 , 1 ), (
0 , 0 , 1 ) } dc 1 13 , e n tã o 
p nra to d o
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T (p(t)) = p (0 ) + p (1) (t+ t' ) = oo + (ao+ ai+ aa) (t+ t 2) = a o + (ao+ a, + a2 ) t+ (oo+ a, + aa) t2 .
Logo,
p (1) = a o + a l + a 2 ·
(a) Seja p (t) = a o + a lt + a 2 t
2 
u m elem ento arbitrário de P a (m), e n tão p (0 ) = a o e
S olu ç ã o
(c) T (ao + alt + a2 t 
2 ) = (2aı + a2 ) + (3ao - a ı - a 2 ) t + 2a2 6
2
T operador sobre P 2 (ıR ).3 .
■电自■
_ ľ : £
_ r : å
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portanto, V = {p(t) = a o + a ıt + a 2 t
2 
? P 2 (ıR ); aı = - a o e a 2 - - a o } = [1 - t
- t2 ] ·
ヰニ 争 a i 一
一
口
0 
e 口
2
一
一
位
O
。
m ao + al = O
ao + a2 
= 0
1 1 0 
B 
1 1 0 a2 0
ro 0 0 
[ ao + a ıt+ a 2 t
2 ], = [ 0 ]. 1 0 al 
= 0
ro o o ao F o
-
ハ
リ
p (t) = a o + a it + a 2 t 
2 
? V ı a o +
a ıt + a 2
t 
2 
? ker (A - 113 ) = ker 
1 1 0
ro 0 0
D eterm inando os autoespaç os vi, 
Vo e V 2 ·
L ogo, o s a u to v a lo res de 
T sã o À ı = 1 , l2 = 0 e l3
- 2 .
p(入) 一 0 4 ニ 争 (1 ー ス)入(又
一 2) 一 0 4 ニ 令 《
ス ー 2 = 0
À = 0 4 = 2 À = l ı À = 0 0 U À 
= 2 .
1 - = O
É claro que
P ortanto, o p olinô m io característ
ico de T é d
ado por
L ogo, a m a triz de A de T em relaç
āo à base B
é A = [ï ! !]
C onsiderem os B - {1 , t, t 2 } a b c canô nic
a de P 2 (m), en tā o
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p (t) = a o + a it + a 2 t 
2 
? % . A o + ait + azt2 ? ker (A - 0 13 ) = ker £ į į
D eterm inando os autoespaç os V o, V e V 2 ·
L ogo, o s a u to va lo res d e T sāo À , = O , l 2 - 1 e l3 - 2 .
2 - À = O
p( ) 一 0 4 ニ 令
ー ス(1 - À)(2 一 大) 一 0 4 ニ 李 1 一 大一 0 4 ニ 孛 又 一 O , 大 一 1 o u ス ー 2 .
一 人 = O
É Claro que
p(又) 一 P A (人) 一 d ettA 一 大!3 ) 一 det 
0 0 2 二又
ー ス 1 2
portanto , o p o lin ô m io c arac terfstico d e T 
é d a do por
0 0 2
L ogo, a m a triz de A de T em re
laç ã o à base B é A 
= 0 1 2
T (1) = O , T (t) 
= 1 + t e T (t
2 ) = 2 + 2t + 2 t
2
. 
R 0 1 2
C onsiderem os B = {1 , t, t 
2 } a base canô nica de P 2 (m), e n tã o
T (p(t)) = (1+ t) p
'(t) + p
" (t) = (1+ 1) (aı+ 2 a2 t) + 2a2
- (a1 + 2 a2 ) + (aı+ 2 a2 ) t+ 2a2 t
2
.
L ogo,
e ď (t) = 2 a ï ·
(b) seja p (t) = a o + a , t + a 2 t 
2 
u m e lem en to a
rbitrário de P z (m), então (t) = a ı + 2 a 2 t
portanto, V2 - {p (t) = a o + a it + a 2 t
2 
6 P 2 (ıR ) ; ao - O e a 2 - a 1 } 
= [t + t 2 ] ·
-
1 ao + aı - a 2
- 0― ― í
-
0
o
- Oao - a 1 + a2
- 0 
+ a o
- O e a 2
- a ı ·
p (t) = n + oıt+ oıl
'
" " · "
" /
'
" "
- oı,) = '" [ ļ - Ţ. - ţ]
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P ortanto , o p o lin ô m io carac teristico d e T é d ad o p o r
0 0 2
L ogo, a m a triz de A de T em relaç āo à base B é A 
= 3 - 1 - 1
T (1) = 3 4, T (t) = 2 - t e T (t
2) = 1 - t + 2 t2 
0 2
(c) C onsiderem os B = {1 , t, t 
2 } a base canô nica de P 2 (ıR ), e n tão
portanto , V 2 = {p (t) = a o + a it+ a 2 t 
2 
? P 2 (ıR ) ; al - 2 a 2 e a o - 2a2 } = [2 + 2t+ t 
2 ] ·
- 2ao + aı + 2 a2 - 0
-
a
l + 2a2 - 0 a ı = 2a2 e ao
- 2 a 2 ·
0 0 0 a2 0
0 - 1 2 al = 0
0 0 0
o - 1 2 [ ao + ait+ a2 t 
2 ]. = [O ].
一
一 2 1 2
0 - 1 2
p (t) = a o + a lt + a 2 t 
2 
? V 2 
a o + a it + 
a 2 t
2 
? ker (A - 0 13) = ker 
0 0 0
一
一 2 1 2
P ortanto , \
'; = lp (t) = a o + a it + a 2 t 
2 
E P a (ıR ) ; aa - O e ai
- a o} = 11 + tj.
- oo+ o1 + 2 az
- 0 2a2 - 0 < a a - o e al - a o -
p (t)- 0 0 + oıt+ ° l
'
. n - + 0 lt + . P ? 
k , (Jı- ıı. = 1. ° a
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S oluç āo
T operador sobre w
ł
.4 .
P ortanto, V - 3 - {p (t) = a o + a , t + a 2 t 2 ? P a ( ) ; 1 = 3/ 2ao e a2 - 0 . } = [2 + 3 t] ·
{ 3oo + 2 ai + a2 - 0 3ao + 2 ai - a 2 - 0 5a2 - 0 > a l - 3 /2ao e a2 - 0 .
0 0 5
p (t) = a o + a lt + a 2 t 
2 
E 3 ao + alt+ a2 t 
2 
? ker (A + 3 13 ) = ker 3 2 - 1
r3 2 1 1
p (t) = a o + a lt + a 2 t 
2 
? V 2 ao+ aıt+ a2 t 
2 
?ker (A - 2 13 ) = ker 
0
-
0
-
0
一
一 2 2
D eterm inando os autoespagos V 2 e 3 .
Logo, o s a u to va lo res d e T sāo ll
- 2 e l2 - - 3 .
É claro que
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{ " y . 22z +
z +
1
n
リ
n
リ
n
リ
1 
1
@
n
u
门
リ
@
门
石
门
山
n
リ
门
リ
1 
1
エ
ソ
名
切
门
リ
0
@
门
リ
w
ぴ
ー
ニ
门
リ
门
リ
门
リ
门
リ
名
0 0 2 1
(エ，y ，码 1ıì) ? 吣 ヰニ 수 (エl$ , 名 ，w ) ? ker (A 一 0 14 ) 一 ker 0 0 2
0 1 0 0
0 0
0 0 2 0
(£ , y , z , 1 1 1) ? V ı (T , y , z , w ) ? ker (A
- 1 14 ) = k e r 0 0 1
0 0 0 0
0 1 0 0
D eternıinando os autoesp \ V ı, Vo e 1
43 ·
L ogo, o s a u to v a lo res de T sã o 
À , = 1 , 入 2 - 0 e l3
- 3 .
portanto, o p olinô m io caracte
rístico de T é 
dado por
L ogo, " " ń . D e A de T cm
relaç āo à b
e ß é A 
= ĺį : ! !]
C onsiderem os ß a base canô nica de 1 1
4
, e
n tāo(a)
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Scanned by CamScanner
de M 2 (m) , e n tā o
(a) considerem os ıĵ - {t : : ]' [ : : ]' [ : : ]' L : : 11 a ' " ca' " ica
S olu ç ã o
5 . T . p . " d. . sobre A ı, (m)
Scanned by CamScanner
de M 2 (m), en tã o
(b) considerem os B = {t : : ]' [ : : ]' [ : : ]' [ : : ]l a ' " c_ ô nica
0 0
0 0
ヰニ 수 b一 0 .
P ortanto , V2 一 ? M 2 (肌)；b一 O丁a C b d 丁一一
◆
门
リ
门
リ
门
リ
◆
门
リ
门
リ
门
リ
@
门
リ
1
n
リ
n
リ
n
リ
门
リ
门
リ
门
リ
ハ
リ
ハ
リ
门
リ
o
@
a 
L
u 
C 
&
D eterm inando o autoespaç o V2 ·
L ogo , o tinico autoval
or de T é ll 
= 2 .
É claro que 
p (À) = 0 4 = 2 (2
- À) 4 _ 0 4 4 À = 2 .
p (入) = p A (À) = dettA
- 1 14 ) = det
' į' 2 į" , ł. , !. - (2 - Ày
portanto, o p olinô m io caratter
istico de T 
é dado por
L ogo, ' ' " ń . ' " d, ' " ,
' " o à bas
e B é A 
= ĺi-§ łJ
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一 1 1 0
0 0 0
0 ol
p(人) 一 p A (入) 一 dettA
ー スム) 一 det 0 0
0 1 - À
1 一 入
portanto , o p o linô m io caracteris
tico de T é dado por
D eterm inando os autoespaç os Vo e Vı ·
L ogo, o s a u to v a lores de T S 
ll - 0 e 入 2 - 1 .
一 人
0 0
0 0
一 1 1 1 0
L ogo, a m a triz de A de T em 
relaç ã o à bas
e ß é A = 0 0 0 0
0 1 0 0
0 0
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portanto, v - {[: :j. M 2 (m); b_ c = o e d _ - . - [: 1 ]]
- c = O b - c = O e d _ - a .
b = O
― ―
- a - b+ c - d一 O
n
u 
n
u 
n
u
一
C
? V . ĺ :
a 
C
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C onsequentem ente, é autovıılor de A
- 1
.
L ogo ,
À ı + O , a lém disso dettA - À, I . ) = 0 .
(d) C om o ll é um autovalor de A e A é in
vertĺ vel, pelo item anterior sabem os que
portanto , A é invertivel se, e so m e n te se , O nã o 
é autovalor de A .
p (0 ) = O dettA
- O I. ) = O + det A = O A nă o é inver
tivel
( · ) 0 é um a raiz do polinô m io carac
terĺ stico de A , se , e s o m e n te se ,
aı1 t a 2 2 : 
a n n ·
cujas rafzes sã o
m entos da diagonal prin
cipal seg
ue que
C om o o determ inante de um a m atriz 
diagonal o
u triangular 
é o produt
o dos elæ
a1ı
- À , a 2 2 - À , a n rt
- 入.
triangular, c o m elem entos da di
agonal
(b) S e A é diagonal ou triangular, e n tão a m
atriz A
- lam bdal. T a m bém é diag
onal ou
pA T (入) - deţ (A T _ M . ) = dettA 
T
_ 入小 = dettA - 入 I. ) 
T _ dettA - 入 I. ) = P A (À) .
teristico de A r é dado por pA T (入) = dettA 
T _ 入 İ . .) 。
(a) seja pA (入) = (A - 入 I. ) · polinô m io caracterĺ s
tico de A , e
n tāo o polinô m io carac
-
S olu ç ã o
(d) se A é invertĺ vel e ll é um au ţ ovalor de A , e n tão ł é autovalor de A
-
1
(c) Se A é invertfvel, e n tāo o nāo é autovalor de A .
elem entos da diagonal principal.
(b) Se A é m atriz diagonal ou m atriz triangular, e n tā o o 8 
a u to v alores dc A sã o o8