Principais Dúvidas . Cálculo Diferencial e Integral 1

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1) Como se faz para verificar se um ponto (a,b) pertence ao gráfico de uma função y = f(x)? 
 
 Basta substituir x = a e y = b na expressão que define a função e verificar se a igualdade se mantém. 
 Por exemplo, para verificar se o ponto (1,2) pertence ao gráfico da função y = 2x - 3, substituímos x = 1 
e y = 2 na equação e observamos o resultado, ou seja, 
 2 = 2(1) - 3 
2 = 2 - 3 
2 = -1 (Falso!) 
 Portanto, o ponto (1,2) não pertence ao gráfico da função 
 y = 2x - 3. 
 
 
2) Como se faz para verificar se x = a pertence ao domínio de uma função y = f(x)? 
 
 Basta substituir x = a na expressão que define a função e verificar se é possível determinar o valor de y 
correspondente. 
 
Por exemplo, para verificar se x = 1 pertence ao domínio da função , substituímos x = 1 na 
equação e verificamos se é possível obter um valor para y, ou seja, 
 
 
 Portanto, x = 1 não pertence ao domínio da função 
 
 
 
 
3) Como se faz para verificar se y = b pertence a imagem de uma função y = f(x)? 
 
 Basta substituir y = b na expressão que define a função e verificar se é possível determinar um valor de x 
tal que y=f(x). 
 
Por exemplo, para verificar se y = 1 pertence a imagem da função , substituímos y = 1 na 
equação e efetuamos as operações necessárias para verificar se é possível encontrar um valor para x tal 
que y = f(x), ou seja, 
 
 
 Portanto, y = 1 pertence a imagem da função 
 
 
 
 
4) Como se faz para verificar se o gráfico de uma função cruza uma assíntota horizontal? 
 
 Apenas para lembrar: uma reta y = b é uma assíntota horizontal para uma função y=f(x), se 
 
 Por exemplo, para verificar se o gráfico da função 
 
cruza a assíntota horizontal y = 1, substituímos y=1 na equação e efetuamos as operações necessárias 
para verificar se é possível encontrar um valor para x tal que y=f(x), ou seja, 
 
 
 Portanto, o gráfico da função não cruza a assíntota horizontal y=1. 
 
 
5) O fato de uma função y = f(x) não estar definida em x = a, significa que x = a é uma assíntota vertical 
para essa função? 
 
 
Apenas para lembrar: uma reta x = a é uma assíntota vertical para uma função racional , se 
g(a) = 0 e 
 
 
 Por exemplo, a função 
 
não está definida para x = 2, mas x = 2 não é uma assíntota vertical para a função, pois nenhuma das 
condições acima está satisfeita. 
 
6) Quais as condições para que uma função y = f(x) seja contínua em x = a? 
 
 Uma função y = f(x) é dita ser contínua em x = a se: 
 
 
 Por exemplo, a função 
 
 
 
não é contínua em x = 2, pois . 
 
 
 
 
 
7) Como determinar o domínio e a imagem de uma função y = f(x) a partir do seu gráfico? 
 
 Para determinar o domínio de uma função y = f(x), a partir de seu gráfico, basta projetar todos os 
pontos do gráfico sobre o eixo das abscissas e verificar qual o intervalo obtido pela projeção. 
 
 Para determinar a imagem de uma função y = f(x), a partir de seu gráfico, basta projetar todos os pontos 
do gráfico sobre o eixo das ordenadas e verificar qual o intervalo obtido pela projeção. 
 
 OBS: Um cuidado maior deve ser tomado, quando estiver trabalhando com funções descontínuas. 
 
8) Qual é o comportamento que o gráfico de uma função deve ter para que ela tenha uma assíntota 
horizontal? 
 
 Para que uma função y = f(x) tenha uma assíntota horizontal y=b, o gráfico da função (os valores de y) 
deve se aproximar da reta y=b, quando x assume valores muito grandes positivos ou muito grande 
negativos. 
 
9) Qual é o comportamento que o gráfico de uma função deve ter para que ela tenha uma assíntota 
vertical? 
 
 Se uma função y = f(x) tem uma assíntota vertical x=a então, à medida que o gráfico se aproxima da 
reta x=a, função (y) vai assumir valores muito grandes positivos ou muito grande negativos. 
 
10) Pode f(x) tender a um limite, quando x tende a c, se f(c) não estiver definido? Se puder, dê um 
exemplo. 
 
 
Quando escrevemos , queremos dizer que os valores de f(x) ficam cada vez mais 
próximos do número c, à medida que x se aproxima do número c (pela direita e pela esquerda), 
mas , ou seja, ao procurar o limite de f(x), quando x tende a c, nunca consideramos x = c. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
11) 
É possível dizer se existe, analisando somente os valores 
de f(x) para x próximo de 2 e maiores do que 2? Explique. 
 
 Não. Para que o limite de uma função exista, devemos analisar o 
comportamento da função, para valores de x próximos de 2 e maiores que 2, e 
valores de x próximos de 2 e menores que 2. Ou seja, é necessário que 
existam os limites laterais e que eles sejam iguais. Observe, na figura abaixo, 
que não existe , pois os limites laterais, apesar de existirem, são 
diferentes. 
 
 
 
12) 
Se soubermos que existe, podemos determinar seu valor se 
soubermos apenas os valores de f(x) para x >2? Explique. 
 
 Sim. 
Sabendo que o limite de f(x) existe, significa que existem os limites laterais e que eles são iguais ao 
limite da função. Portanto, conhecendo os valores de f(x) para x > 2, podemos determinar o valor do 
limite. 
 
 13) 
Se , f deve ser definida em x = 1? Em caso afirmativo, f(1) deve ser igual a 3? Podemos 
concluir alguma coisa sobre os valores de f em x = 1? Explique. 
 
 Não. 
A definição de limite não requer que f seja definida em x = 1, para que o limite exista. 
Se f(1) estiver definido, ele pode ser qualquer número real. Portanto, não podemos concluir nada sobre 
f(1), a partir da informação de que . 
 
 14) Quantas assíntotas horizontais pode ter o gráfico de uma função racional dada? Justifique sua resposta. 
 
 No máximo duas: uma para e, possivelmente, outra para . 
 
 
 
15) Quantas assíntotas verticais pode ter o gráfico de uma função racional dada? 
Justifique sua resposta. 
 
 No máximo o grau do polinômio do denominador, que é zero em uma assíntota vertical. 
Um polinômio de grau 4, por exemplo, tem no máximo 4 raízes reais (ou zeros). 
 16) Qual é a taxa média de variação de uma 
função g(t) ao longo do intervalo t = a a t = 
b? Como isso está relacionado a uma reta 
secante? 
 
 A taxa média de variação de g(t) no intervalo 
[a,b] é definida por: 
 
 
 O coeficiente angular da reta secante que 
passa pelos pontos (a,g(a)) e (b,g(b)) é 
numericamente igual a taxa média de variação 
da função g(t) no intervalo [a,b]. 
 
 
 
 
 
17) Que limite deve ser calculado para encontrar a taxa de variação 
instantânea de uma função f(t) em ? 
 
 O limite que deve ser calculado para encontrar a 
taxa de variação instantânea de 
f(t) em é 
 
 
 Lembre-se que esse limite define a derivada de 
f(t) em que é numericamente igual ao 
coeficiente angular da reta tangente ao gráfico de 
f em . 
 
18) Que tipo de comportamento de uma função implica a não existência de um limite? Dê exemplos 
através de gráficos. 
 
 Lembre-se que, para dizer que um limite existe, ele deve ser igual a um número real. Ainda, dizemos 
que o limite de uma função existe seexistirem os limites laterais e eles forem iguais. 
 Os gráficos abaixo são exemplos de funções onde não existe um limite. 
 
 
 
 
 Os gráficos acima apresentam limites laterais diferentes. 
 
 
 
 Nesse caso, apesar dos limites laterais serem iguais, o limite não existe pois não é igual a um número real. 
 
 
19) Como se calcula o limite de uma função racional quando 
? Exemplifique. 
 
 Você pode calcular o limite de uma função racional, quando , de duas maneiras: 
 
1) Graficamente - analisando o gráfico de uma função , devemos observar o que acontece 
com os valores da função (valores de y), quando os valores de x aumentam positivamente ou 
negativamente. 
 Por exemplo, no gráfico descrito abaixo, você pode observar que, quando os valores de x aumentam 
positivamente ( ), os valores de y (da função) vão ficando cada vez menores, ou seja, cada vez 
mais próximos de zero. O mesmo acontece quando os valores de x aumentam negativamente (
). 
 
 
Escrevemos então: 
 
e dizemos que a função possui uma assíntota 
horizontal y = 0. 
 2) Algebricamente: em primeiro lugar você deve observar o grau da função que está no numerador (ou 
seja, a maior potência de x no numerador) e o grau da função que está no denominador. 
 
 
 Se o grau do numerador é maior do que o grau do denominador, como por exemplo, em 
 
 
 
então, não existe assíntota horizontal e não existe o limite da função, quando (ou quando 
). Tente justificar esse fato. 
 
 Se o grau do numerador é menor do que o grau do denominador, como por exemplo, em 
 
 
 então, o eixo-x (ou seja, a reta y = 0) é a assíntota horizontal e 
 
 
Tente justificar esse fato! 
 
 Se o grau do numerador é igual ao grau do denominador, como por exemplo, em 
 
 
 
faça o seguinte: peque o coeficiente da maior potência de x, do numerador, e divida pelo 
coeficiente da maior potência de x, do denominador. O resultado da divisão será o valor da 
assíntota. No exemplo acima ficará: 
 
 
 
e, portanto, a função f tem uma assíntota horizontal . 
 
 
20) Intuitivamente, dizemos que uma função f é contínua se pudermos traçar seu gráfico sem 
retirar o lápis do papel. Explique o por que disso. 
 
 Dizer que uma função é contínua em x = c, significa que não há interrupção no gráfico de f em c. O 
gráfico de f é ininterrupto em c e não há buracos, saltos ou lacunas. 
 
21) O que significa dizer que uma reta é tangente a uma curva C no ponto P? 
 
 
Em termos simples, a reta tangente ao gráfico de uma função f em um ponto é a reta que 
melhor aproxima o gráfico nas vizinhanças daquele ponto (veja ilustração abaixo). 
 
 
 
 
22) Qual é o significado da fórmula 
 
 ? 
 Interprete essa fórmula geometricamente e fisicamente. 
 
 A fórmula acima nos dá o coeficiente angular (inclinação) da reta tangente ao gráfico de f em 
(x,f(x)). 
 
 
 Fisicamente, a fórmula acima nos dá a taxa de variação instantânea (ou simplesmente taxa de 
variação) de y = f(x) em relação a x. 
 
23) 
Como você determina a reta tangente à curva y = f(x) em um ponto pertencente à 
curva? 
 
 Para determinar a equação de uma reta, precisamos de um ponto e do coeficiente angular dessa reta. O 
ponto foi dado, então resta determinarmos o coeficiente angular (m) da reta tangente, que é dado pela 
derivada da função f calculada em . 
Depois disso, substituímos os valores encontrados, na equação da reta que é dada por: 
 
 
24) 
Como a reta tangente à curva y = f(x) no ponto se relaciona com a derivada da 
função y = f(x) em ? 
 
 
O coeficiente angular (m) da reta tangente ao gráfico de y = f(x) no ponto , é dado pela 
derivada da função f calculada em . 
 
25) Descreva, geometricamente, quando uma função não tem derivada em um ponto. 
 
 Nem toda função é derivável. A ilustração abaixo mostra algumas situações nas quais uma função 
não será derivável em um ponto - retas tangentes verticais, descontinuidades e mudanças bruscas 
formando "bicos" no gráfico. Assim, cada uma das funções mostradas abaixo, é derivável para todos 
os valores de x, exceto em x = 0. 
 
 
 
 
26) 
O fato de existir a derivada de uma função y = f(x) em um ponto está relacionado 
com a continuidade da função nesse ponto? Como? 
 
 Na ilustração abaixo, podemos observar que todas as funções, exceto uma, são contínuas em x = 0, 
mas nenhuma delas é diferenciável em x = 0. Isso mostra que a continuidade não é uma condição 
forte o suficiente para garantir a diferenciabilidade. Em outras palavras, continuidade não implica em 
diferenciabilidade. 
Por outro lado, se uma função é diferenciável em um ponto, então ela deve ser contínua nesse mesmo 
ponto. 
 
 
 
 
27) Como você entende uma derivada segunda de uma função y = f(x)? E 
uma derivada terceira? 
 
 A derivada segunda de uma função y = f(x), é igual a derivada de f', ou seja, a 
derivada da função derivada. 
A derivada terceira de uma função y = f(x), é igual a derivada de f'', ou seja, a 
derivada da função derivada segunda. 
 
28) Qual é a diferença entre taxa de variação média e taxa de variação instantânea? Dê um 
exemplo. 
 
 A taxa de variação instantânea (ou simplesmente taxa de variação) de y = f(x) em x, é o limite da 
taxa de variação média no intervalo , quando tende a 0. 
Por exemplo, a velocidade instantânea de um objeto em queda livre, em um instante t qualquer, é 
definida como sendo a velocidade média desse objeto em um intervalo de tempo infinitesimal (muito 
pequeno). Em outras palavras, é o limite da velocidade média quando o intervalo de tempo tente a 
zero. 
 
 
 
 
28) Qual é a diferença entre taxa de variação média e taxa de variação instantânea? Dê um 
exemplo. 
 
 A taxa de variação instantânea (ou simplesmente taxa de variação) de y = f(x) em x, é o limite da 
taxa de variação média no intervalo , quando tende a 0. 
Por exemplo, a velocidade instantânea de um objeto em queda livre, em um instante t qualquer, é 
definida como sendo a velocidade média desse objeto em um intervalo de tempo infinitesimal (muito 
pequeno). Em outras palavras, é o limite da velocidade média quando o intervalo de tempo tente a 
zero. 
 
29) 
O que representam as quantidades seguintes em termos do gráfico de 
 
(a) (b) (c) 
 
 (a) Representa a variação da função no intervalo [0,9;1,3]. Ou seja, representa o quanto y varia, 
quando x varia de 0,9 a 1,3. 
 
(b) Representa o coeficiente angular (inclinação) da reta tangente ao gráfico de f, em x = 1,3. 
 
(c) Representa o coeficiente angular (inclinação) da reta tangente ao gráfico de f, em um x qualquer. 
 
30) O que é derivação implícita? Quando ela é necessária? Dê exemplos. 
 
 É um procedimento utilizado para encontrar a derivada de uma função y = f(x), quando não é 
possível (ou é muito difícil) escrever y em função de x. 
 
Por exemplo, para determinar dy/dx na equação , escrevemos y em função de x e, em 
seguida, derivamos em relação a x. 
 
Agora, para determinar dy/dx na equação , devemos observar que é muito difícil 
expressar y como uma função de x. Nesse caso, utilizamos o procedimento de derivação implícita.