Geometria Analítica

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Questão 1
A área do triângulo limitado pelos gráficos das funções f, g : R → R, cujas expressões são
f(x) = |x| e g(x) = , é
A) 24 unidades de área
B) 20 unidades de área
C) 16 unidades de área
D) 12 unidades de área
Gabarito:
A
Resolução:
Esboçando os gráficos das duas funções no mesmo plano, tem-se:
 
 
O ponto de intersecção de y = x com g(x) é dado quando o valor de x é:
 
 
Assim, P = .
 
O ponto de intersecção de y = –x com g(x) é dado quando o valor de x é:
 
 
O ponto Q é .
 
Portanto, a área do triângulo OPQ é:
 
Questão 2
A figura a seguir mostra uma circunferência tangente ao eixo y, com centro C sobre o eixo x e
diâmetro de 10 unidades.
 
 
 
a) Sabendo que A = (8,4) e que r : 3y + x = 20 é a reta que passa por A e B, calcule a área do
triângulo CAB.
 
b) Encontre as coordenadas do ponto D, indicado na figura acima, no qual a reta r intercepta a
circunferência.
Gabarito:
a) Se o diâmetro da circunferência é de 10 unidades, então seu raio mede 5 unidades e o ponto C tem
coordenadas (5,0).
Como o ponto B pertence ao eixo x (y = 0) e à reta r, temos: 3 · 0 + x = 20 x = 20. O ponto
B tem coordenadas (20,0).
Assim, a área do triângulo ABC é unidades de área.
 
b) A circunferência tem equação (x - 5)2 + y2 = 25. E a reta que a intercepta tem equação x = 20 - 3y.
Assim, substituindo a equação da reta na circunferência, tem-se:
y = 4 → x = 20 - 3 · 4 → x = 8 (ponto A)
y = 5 → x = 20 - 3 · 5 → x = 5 (ponto D)
 
Logo, o ponto D tem coordenadas (5,5).
Questão 3
A figura a seguir mostra, no plano cartesiano, a vista superior de um museu que possui a forma de
um quadrado.
Como parte do sistema de segurança desse museu, há, localizado no ponto (0, 0), um emissor de
raios retilíneos o qual detecta a presença de pessoas. Os raios emitidos são paralelos ao plano do piso
e descrevem trajetórias paralelas às semirretas y = λ x,
com x ≥ 0 , onde λ é um parâmetro que ajusta a direção dos raios, de acordo com o ponto que se
deseja proteger. No museu, só existem entradas nos lados oeste e sul, os quais devem ficar
totalmente protegidos pelo sistema de segurança.
 
De acordo com essas informações, o parâmetro λ deve variar, pelo menos, no intervalo:
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
Gabarito:
B
Resolução:
De acordo com a figura, os raios devem proteger entre o ponto (50, 20) e o ponto (20,50).
Como λ é o coeficiente angular da reta y = λ x, temos:
Para o ponto (50, 20): 
Para o ponto (20, 50): 
Portanto, λ deve variar no intervalo .
Questão 4
A representação gráfica da equação (x + y)2 = x2 + y2 no sistema cartesiano ortogonal é
 
(A) o conjunto vazio.
(B) um par de retas perpendiculares.
(C) um ponto.
(D) um par de pontos.
(E) um círculo.
Gabarito:
B
Resolução:
x = 0 e y = 0 são retas perpendiculares.
Questão 5
A soma das coordenadas do centro da circunferência que tem raio medindo 1 u.c., que está situada
no primeiro quadrante e que tangencia o eixo dos y e a reta 4x – 3y = 0, é
A) 3 u.c.
B) 5 u.c.
C) 4 u.c.
D) 6 u.c.
Sansung
Realce
Sansung
Realce
Gabarito:
C
Resolução:
Se o raio da circunferência mede 1, as coordenadas de seu centro são (1, yc):
Além disso, a distância do centro à reta 4x – 3y = 0 também é 1:
Como y0 > 0, temos que as coordenadas do centro são (1, 3), cuja soma é 4 u.c.
Questão 6
Considere, no plano cartesiano, duas retas, r e s, cujas equações são, respectivamente, dadas por y =
x − 5 e y = 2x + 12. Encontre a equação da reta que passa pelo ponto P(1,3) e intersecta r e s nos
pontos A e B, com A r e B s , de modo que o ponto P seja o ponto médio do segmento AB.
Gabarito:
(Resolução oficial)
 
Seja A(x1, y1) e B(x2, y2), com A r e B s , tem-se:
A(x1, x 1− 5) e B(x 2 , 2x2 + 12) .
Como P é o ponto médio de AB, tem-se que:
 
 e 
 
O que equivale a:
 
Sansung
Realce
 
 
Resolvendo o sistema, tem-se que x2 = −3 e que B(−3,6).
 
Assim, o coeficiente angular da reta é dado por:
 
y − 3 = m (x − 1) → m = 
 
e a equação da reta é:
 .
Questão 7
Considere, num sistema de coordenadas cartesianas, os pontos A = (0,0) , B = (2,0) , C = (6,2) e D =
(x, y) , onde y = 3 + 2x − x2 , com y > 0 . Encontre:
a) a equação da reta r que passa pelo ponto A e é perpendicular à reta s que passa pelos pontos A e
C.
b) as coordenadas do ponto D de modo que o triângulo ABD tenha área máxima.
c) a área do quadrilátero ADBE, onde D é o ponto encontrado no item b) e E é o ponto da reta r cuja
distância ao ponto B é a menor possível.
Gabarito:
a) 
 
b) Se D = (x, y), com y = 3 + 2x − x2 > 0, temos:
A área máxima do triângulo ABD é dada quando D = (1,4).
c) Seja t a reta que contém os pontos B e E. Então t é perpendicular a r, e:
 
O ponto E é o ponto de intersecção da reta r com a reta t:
A área do quadrilátero ABDE é a soma das áreas dos triângulos ABD e ABE:
 .
Questão 8
Dada a reta r : y = 2x do plano cartesiano xy, determine a equação da reta s, a qual é paralela à r, e
está, de r, a uma distância igual a 1 e não intercepta o quarto quadrante do plano cartesiano.
Gabarito:
A equação procurada da reta tem a forma s : y = 2x + b com b > 0, pois ela é paralela à reta r : y =
2x e não intercepta o quarto quadrante.
A distância do ponto P(0,b) para a reta r é igual a 1, portanto 
 .
Daí, segue a equação da reta S, .
Sansung
Realce
Questão 9
Determine uma equação para cada reta que passa pelo ponto (2, 4) e intercepta o gráfico da função f
definida por f(x) = x2 em um único ponto.
Gabarito:
(Resolução oficial) 
Como (2, 4) é um ponto do gráfico de f, existem duas retas que passam pelo ponto (2, 4) e
interceptam o gráfico de f em um único ponto. Uma delas é vertical com equação x = 2. A outra é a
reta tangente ao gráfico de f no ponto (2, 4). Uma equação para ela pode ser calculada da seguinte
maneira: escrevendo-se y = m x + p, tem-se que 4 = 2 m + p (pois a reta deve passar pelo ponto (2,
4)) e a equação quadrática
 
x2 = m x + p
 
possui uma única solução (pois a reta deve interceptar o gráfico de f em um único ponto). Segue-se
então que 4 = 2 m + p e m2 + 4p = 0. Resolvendo-se esse sistema, obtém-se os seguintes valores:
m = 4 e p = −4.
Assim, y = 4 x − 4 é uma equação da reta não vertical que passa pelo ponto (2, 4) e intercepta o
gráfico de f em um único ponto.
Sansung
Realce
Questão 10
Em um sistema cartesiano de origem O, seja P o ponto de coordenadas (1, 2) e r uma reta que passa
por P e intersecta os semieixos positivos das abscissas e ordenadas, respectivamente, nos pontos A e
B. Calcule o menor valor possível para a área do triângulo AOB.
Gabarito:
(Resolução oficial) 
A questão aborda conhecimentos sobre geometria analítica, funções de segundo grau e álgebra
elementar.
Se A(a, 0), B(0, b) e S denota a área de AOB, então a, b > 0 e S = . Por outro lado, a equação da
reta r no sistema Cartesiano em questão é , e, como P r, devemos ter . A
partir disso, há duas possíveis abordagens.
i. S será mínima se e somente se for máxima. Como 
em que u = , é suficiente maximizarmos, para u > 0, a função f (u) = – 2u2 + u. A teoria de
máximos e mínimos de funções de segundo grau garante que o valor máximo de tal função é ,
valor atingido quando u = . Portanto, o valor máximo para é , e daí obtemos que o valor
mínimo para S é 4.
ii. Isolando a em função de b, obtemos a = ; como a > 0, temos b – 2 > 0, e daí
 , 
em que utilizamos a desigualdade entre as médias aritmética e geométrica para dois números reais
positivos na última passagem. Portanto, S 4 , sendo o valor 4 atingido quando b – 2 = , isto
é, quando b = 4.
Questão 11
Na malha quadriculada a seguir, cujos quadrados têm lados medindo 10 metros, encontra-se o mapa
de um tesouro.Sobre o tesouro, sabe-se que:
 
• encontra-se na direção determinada pelos dois pinheiros;
• está a 110 metros a leste do muro.
 
O valor que melhor aproxima a distância do tesouro à margem do rio, em metros, é:
 
a) 44,3.
b) 45,3.
c) 45,7.
d) 46,7.
e) 47,3.
Gabarito:
D
Resolução:
(Resolução oficial)
Considere a interseção do muro com a margem do rio como a origem de um sistema de coordenadas
cujos eixos são dados pela margem do rio e pelo muro, conforme ilustrado a seguir.
 
 
 
O que se pede é a ordenada do ponto de intersecção entre a reta cuja direção é definida pelos
pinheiros e a reta que contém os pontos que estão a 110 m a leste do muro.
As posições desses pinheiros, nesse sistema de coordenadas, são dadas por A(30,20) e B(60,30), já
que cada quadrado da malha tem lado medindo 10 m. 
Equação da reta cuja direção é definida pelos pinheiros:
 
 y – y0 = m (x – x0)
y – 20 = (x – 30)
y = (x – 30) + 20
y = x + 10
 
Equação da reta que contém os pontos que estão a 110 m a leste do muro:
x = 110
O ponto de localização do tesouro será a solução do sistema:
 
 
 
Substituindo a segunda equação na primeira obtém-se:
 
 y = (110) + 10 36,66 + 10 = 46,66.
 
Logo, o ponto de localização do tesouro está a, aproximadamente, 46,66 m da margem do rio.
Questão 12
Determine as equações das retas que formam um ângulo de 135º com o eixo dos x e estão à
distância do ponto (– 4, 3).
 
Gabarito:
Equação da reta que passa por (–4,3) paralela às retas procuradas:
As retas procuradas são da forma:
A distância dessas retas ao ponto (–4,3) é igual a 
Sansung
Realce
Portanto:
Questão 13
Dois dos pontos A = (2, –1), B = (2, –3), C = (1,4), D = (4, –3) estão numa das bissetrizes das retas
3y – 4x – 3 = 0 e 4y – 3x – 4 = 0.
Nessas condições, a equação dessa bissetriz é:
a) y + x – 1 = 0
b) y + 7x –11 = 0
c) y – x – 1 = 0
d) x = 2
e) y + x – 5 = 0
Gabarito:
A
Resolução:
Na figura estão representadas as duas retas e os quatro pontos dados.
Sansung
Realce
Os pontos que pertencem à bissetriz de um dos ângulos formados pelas duas retas são A e D.
Portanto, a bissetriz tem coeficiente angular m = , e sua equação é: 
Questão 14
Em um sistema de coordenadas cartesianas ortogonais, considere os pontos A (1, 5), B (3, 1) e C (0,
17) . Determine
A) a equação da reta r que passa por A e B;
B) a equação da reta s que passa por C e é paralela a r;
C) a equação da circunferência que passa por A e B e é tangente a s.
Gabarito:
A) A equação da reta r é y −1 = ((1− 5) (3 −1)) (x − 3), isto é, 2x + y − 7 = 0 .
 
B) A equação da reta s é y −17 = ((1− 5) (3 −1)) (x − 0), isto é, 2x + y −17 = 0 .
 
C) A circunferência que passa por A e B e é tangente a s deve passar pelo ponto D de interseção da
reta s com a mediatriz do segmento de reta AB. A equação da mediatriz de AB é y − (5 + 1) 2 = −1
((1 − 5) (3 − 1)) (x − (1 + 3) 2), isto é, x − 2y + 4 = 0. As coordenadas de D devem satisfazer
simultaneamente as equações x − 2y + 4 = 0 e 2x + y −17 = 0 e, portanto, D = (6, 5). O centro da
circunferência é o ponto de interseção das mediatrizes de AB e do segmento de reta BD. A equação
da mediatriz de BD é y − (5 + 1) 2 = −1 ((5 −1) (6 − 3)) (x − (6 + 3) 2), isto é, 6x + 8y − 51 = 0. As
coordenadas do centro O da circunferência devem satisfazer simultaneamente as equações x − 2y +
4 = 0 e 6x + 8y − 51 = 0 e, portanto, O = (7 / 2,15 / 4). Como a circunferência passa por B, o
quadrado de seu raio é (3 - 7 / 2 )2 + (1 - 15 / 4)2 = . Logo, a equação da circunferência é 
(x - 7 / 2)2 + (y - 15 / 4)2 = 125 / 16.
Questão 15
Em um supermercado, existem duas câmeras de vídeo instaladas nos pontos A e B. Há duas gôndolas
posicionadas perpendicularmente à parede, uma de 15 metros e a outra de 10 metros de
comprimento, distantes 3 metros entre si. A região na cor cinza corresponde à área em que as
câmeras não conseguem captar imagem. Veja a planta baixa na ilustração:
 
A área da região na cor cinza, em m², mede:
 
a) 7,5
b) 9
c) 10
d) 15
e) 18
Gabarito:
B
Resolução:
Sobrepondo um plano cartesiano na ilustração, obtemos esta figura.
Com base nessa referência, vamos determinar as equações das retas .
 
Equação da reta 
Coeficiente angular: mA = mA = 
Equação da reta: y – 0 = (x – 0) y = x
 
Equação da reta 
Coeficiente angular: mB = mA = 
Equação da reta: y – 3 = (x – 0) y = x + 3
 
Para determinar a coordenada x do ponto P, fazemos:
 
 
Dessa forma, a área A da região é:
Questão 16
Em uma planície, dois caçadores armados estão localizados nos pontos A (2, 1) e B (14, 2). Nos
pontos de coordenadas C (4, 7) e D (11, 14) , encontram-se duas árvores. 
Um ponto que está livre do alcance das balas de ambos os caçadores é:
 
a) (43,−83)
b) (−7,3)
c) (43,83)
d) (−7,−22)
e) (9,22)
Gabarito:
E
Resolução:
Observe a figura:
O ponto X, aquele que está livre do alcance das balas de ambos os caçadores, é obtido pela
intersecção das retas e .
 
Equação da reta 
 
Equação da reta 
 
Dessa forma, o ponto X(x, y) é obtido por meio da seguinte equação:
 
3x – 5 = –4x + 58 7x = 63 x = 9
Assim, y = 3 × 9 – 5 y = 22
 
Portanto, X = (9, 22).