Slides_Yared_Cap5 [Modo de Compatibilidade]

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Instituto de Ciências Exatas e 
Aplicadas (ICEA) - UFOP
Departamento de Engenharia Elétrica 
(DEELT)
Sinais e Sistemas – CEA562
Prof. Glauco F. G. Yared
Baseado em OPPENHEIM, A. V.; WILLSKY, A. S. Sinais e Sistemas. 
2ª Edição. São Paulo: Editora Pearson, 2010.
Capítulo 5
Transformada de Fourier de 
Tempo Discreto
Representação de Sinais Aperiódicos 
por meio da Transformada de Fourier
• Um sinal aperiódico pode ser visto como um 
sinal periódico com um período infinito
• Em termos da série de Fourier de um sinal 
periódico, quanto maior for o período, menor a periódico, quanto maior for o período, menor a 
frequência fundamental
• No limite quando o período N tender ao infinito, 
as componentes de frequência (kω0) se 
aproximam de modo que o somatório da série 
de Fourier se torna uma integral
Transformada de Fourier de 
Tempo Discreto
• Inicialmente, considere um sinal com duração 
finita de modo que [ ]x n
[ ] 1 2direrente de 0, para0, para fora do intervalo
N n N
x n
n N n N
− ≤ ≤
= 
− ≤ ≤
e um sinal periódico que é igual a 
em um período
• Quando o período N →∞, os dois sinais se 
tornam iguais para qualquer valor de “n” 
[ ]
1 20, para fora do intervalo
x n
n N n N
= 
− ≤ ≤
[ ]x n% [ ]x n
Transformada de Fourier de 
Tempo Discreto
Transformada de Fourier de 
Tempo Discreto
• Assim, para o sinal periódico pode-se 
escrever a série de Fourier de tempo 
discreto
[ ] ( )2jk N nx n a e pi= ∑%
sendo
[ ] ( )2jk N nk
k N
x n a e
pi
=< >
= ∑%
[ ] ( )21 jk N nk
n N
a x n e
N
pi−
=< >
= ∑ %
Transformada de Fourier de 
Tempo Discreto
• Lembrando que, em um período N, 
é diferente de zero apenas no intervalo de 
“n” compreendido entre –N1≤ n ≤ N2 e, 
neste caso também é igual a . Então
[ ]x n%
[ ]x nneste caso também é igual a . Então
[ ] ( ) [ ] ( )2
1
2 21 1 Njk N n jk N n
k
n N n N
a x n e x n e
N N
pi pi− −
=< > =−
= =∑ ∑%
[ ]x n
[ ] ( )21 jk N nk
n
a x n e
N
pi
∞
−
=−∞
= ∑
Transformada de Fourier de 
Tempo Discreto
• Fazendo ω = kω0, pode-se definir X(ejω) 
como
( ) [ ] ( ) [ ] 02jk N n jk nj
n n
X e x n e x n epi ωω
∞ ∞
−
−
=−∞ =−∞
= =∑ ∑
• Logo, os coeficientes ak da série de 
Fourier de tempo discreto podem se 
escritos 
( ) [ ]j j n
n
X e x n eω ω
∞
−
=−∞
= ∑
( )1 jka X eN ω=
Transformada de Fourier de 
Tempo Discreto
• Portanto, agora se pode escrever a 
Equação de síntese da série de Fourier de 
tempo discreto como
[ ] ( )2jk N nx n a e pi= ∑%
• Sendo ω0 = (2π) / N → 1 / N = ω0 / (2π), 
então
[ ] ( )2jk N nk
k N
x n a e
pi
=< >
= ∑%
[ ] ( ) ( ) [ ] ( ) ( )0 02 20 012 2jk N n jk N njk jkk N k Nx n X e e x n X e e
pi piω ωω ω
pi pi
=< > =< >
= → =∑ ∑% %
[ ] ( ) ( )0 21 jk N njk
k N
x n X e e
N
piω
=< >
= ∑%
Transformada de Fourier de 
Tempo Discreto
• No limite quando N → ∞, tem-se
[ ] ( ) ( ) ( ) }0 0 0
0 0
2
0 0
0 0
1 1lim lim
2 2
jk N njk jk jk n
N Nk N k N
x n X e e X e e
ω
piω ω ω
ω ω
ω ω
pi pi→∞ →∞
=< > =< >→ →
  
= =   
   
∑ ∑
[ ] ( )
0
0
0
1lim
2
j j n
N k N
x n X e eω ω
ω
ω
pi→∞
=< >→
 
=  
 
∑
[ ] ( )12 j j nx n X e e dω ωω ωpi= ∫
Transformada de Fourier de 
Tempo Discreto
• Com relação aos limites de integração, 
tem-se
0
0
k
N
ω ω
ω ω
=
=
• O intervalo deve ser
0
2
2
N
N
N
N
N
ω ω
pi
ω
pi ω
=
=
=
2
N
N
pi ω=
Transformada de Fourier de 
Tempo Discreto
• Portanto, a expressão completa da 
Transformada Inversa de Fourier de 
tempo discreto deve ser (equação de 
síntese)
enquanto a Transformada de Fourier de
tempo discreto (equação de análise) é dada
por 
[ ] ( )
2
1
2
j j nx n X e e dω ω
pi
ω
pi
= ∫
( ) [ ]j j n
n
X e x n eω ω
∞
−
=−∞
= ∑
Também denominado 
espectro de frequências
de x[n]
Transformada de Fourier de 
Tempo Discreto
• Aspectos importantes da Transformada de 
Fourier de tempo discreto:
– A principais diferenças entre as 
Transformadas de Fourier de tempo discreto Transformadas de Fourier de tempo discreto 
e de tempo contínuo são:
• X(ejω) é periódica na Transformada de Fourier de 
tempo discreto
• Intervalo de integração finito na equação de 
síntese da Transformada de Fourier de tempo 
discreto 
Transformada de Fourier de 
Tempo Discreto
– Tais diferenças se devem ao fato de que as 
exponenciais complexas de tempo discreto que 
diferem em frequência por um múltiplo de 2π são 
todas idênticas
• As implicações desse fato para sinais periódicos são:• As implicações desse fato para sinais periódicos são:
– Os coeficientes da série de Fourier são periódicos
– As equações de síntese e análise da série de Fourier de tempo 
discreto são somas finitas
• As implicações desse fato para sinais aperiódicos são:
– A transformada de Fourier de tempo discreto é periódica com 
período 2π
– A equação de síntese possui uma integração apenas sobre um 
intervalo de frequência finito de 2π
Transformada de Fourier de 
Tempo Discreto
– Por fim, os sinais com frequência ω próxima 
de múltiplos pares de 2π apresentam 
variações lentas enquanto sinais com 
frequência ω próxima de múltiplos ímpares de 
π apresentam variações rápidasπ apresentam variações rápidas
Transformada de Fourier de 
Tempo Discreto
• Exemplo: Transformada de Fourier de 
tempo discreto do pulso retangular
[ ] 11, para n Nx n  ≤= 
para N1 = 2 (neste exemplo)
[ ] 1
1
1,
0,
para n N
x n
para n N
 ≤
= 
>
Transformada de Fourier de 
Tempo Discreto
Transformada de Fourier de 
Tempo Discreto
Assim, pode-se escrever a transformada de
Fourier como
( ) [ ]j j nX e x n eω ω∞ −= ∑ Desenvolvendo( ) [ ]
n=−∞
∑
( ) 1
1
N
j j n
n N
X e eω ω−
=−
= ∑
Mudança de variável 1m n N= +
( ) 12
0
N
j j n
m
X e eω ω−
=
=∑ ( )
1
1
2
2
j
sen N
X e
sen
ω
ω
ω
  
+  
  
=
 
 
 
Transformada de Fourier de 
Tempo Discreto
• Exemplo: Transformada de Fourier de 
tempo discreto de um impulso
( ) [ ]j j nX e x n eω ω∞ −= ∑( ) [ ]
n
X e x n e
=−∞
= ∑
( ) [ ]j j n
n
X e n eω ωδ
∞
−
=−∞
= ∑
( ) 1jX e ω =
[ ] 1Fnδ ←→
Transformada de Fourier de 
Tempo Discreto
• Exemplo: Transformada inversa de 
Fourier de tempo discreto de um pulso 
retangular no domínio da frequência
[ ] ( )1 j j nx n X e e dω ω ω= ∫
Π- W W- Π
1
X(ejω)
ω
[ ] ( )
2
1
2
j j nx n X e e dω ω
pi
ω
pi
= ∫
[ ] 1 1.
2
W
j n
W
x n e dω ω
pi
−
= ∫
[ ] ( )sen Wnx n
npi
=
Transformada de Fourier de 
Tempo Discreto
Wn
pi
  
[ ] ( )sen Wnx n
npi
=
[ ]
Wn
sen
W
x n Wn
pi
pi
pi pi
pi
  
  
  =
 
  
[ ] W Wnx n sync
pi pi
 
=  
 
Transformada de Fourier de 
Tempo Discreto
Note que a figura seguinte ilustra a função 
x[n] obtida para diferentes valores de W. 
Além disso, no caso em que W = , pode-
se escrever:
pi
se escrever:
[ ] ( ) ( ) ( )
'
0, 0
cos .
1, 0L Hopital
para n
sen n
x n sen n n
n para n
n
pi
pi pi pi
pi
pi pi
≠

= = 
→ = =

[ ] [ ],x n n paraWδ pi= =
Transformada de Fourier de Tempo Discreto
Transformada de Fourier de 
Tempo Discreto
• Condições sobre convergência da 
Transformada de Fourier de Tempo 
Discreto
– Considerando que a transformada é obtida – Considerando que a transformada é obtida 
por meio de uma soma infinita,a 
convergência existirá se x[n] for 
absolutamente somável
ou se x[n] possuir energia for finita
[ ]
n
x n
∞
=−∞
< ∞∑
[ ] 2
n
x n
∞
=−∞
< ∞∑
Transformada de Fourier de Tempo 
Discreto de Sinais Periódicos
• Os sinais discretos periódicos também 
podem ser analisados por meio da 
transformada de Fourier
– Seja a função X(ejω) dada por– Seja a função X(ejω) dada por
Então, a transformada inversa de Fourier desta
função deve ser
( ) ( )02 2j
l
X e lω piδ ω ω pi
∞
=−∞
= − −∑
( ) ( )0
2 2
1 1 2 2
2 2
j j n j n
l
X e e d l e dω ω ω
pi pi
ω piδ ω ω pi ω
pi pi
∞
=−∞
 
= − − 
 
∑∫ ∫
Transformada de Fourier de Tempo 
Discreto de Sinais Periódicos
Considerando que, em um intervalo de
integração de 2π, existe apenas um impulso
[ ] ( )0
2
1 2 2
2
j n
l
x n l e dω
pi
piδ ω ω pi ω
pi
∞
=−∞
= − −∑ ∫
em l = r de modo que
Para efeito de simplicidade nos cálculos, seria tambem
possível escolher l = 0
[ ] ( )0
2
1 2 2
2
j nx n r e dω
pi
piδ ω ω pi ω
pi
= − −∫ [ ] ( )0 02j r n j nx n e eω pi ω−= =
( )0 02 2j n F
l
e lω piδ ω ω pi
∞
=−∞
←→ − −∑
[ ] ( )0
2
1 2
2
j nx n e dω
pi
piδ ω ω ω
pi
= −∫ [ ] 0j nx n e ω=
– Adicionalmente, seja uma função periódica 
cuja representação em série de Fourier é 
dada por
Transformada de Fourier de Tempo 
Discreto de Sinais Periódicos
[ ] ( )
}
02jk N n jk n j n
k k kx n a e a e a e
ω
pi ω ω
= = =∑ ∑ ∑
que consiste de uma combinação linear de
exponenciais complexas. Assim, considerando
o resultado do slide anterior tem-se
[ ] k k k
k N k N k N
x n a e a e a e
= = =
= = =∑ ∑ ∑
( ) ( )02 2j k
k l
X e a k lω pi δ ω ω pi
∞ ∞
=−∞ =−∞
 
= − − 
 
∑ ∑
A transformada inversa de Fourier de tempo
discreto pode ser calculada por
Transformada de Fourier de Tempo 
Discreto de Sinais Periódicos
( ) ( )0
2 2
1 1 2 2
2 2
j j n j n
k
k l
X e e d a k l e dω ω ω
pi pi
ω pi δ ω ω pi ω
pi pi
∞ ∞
=−∞ =−∞
  
= − −  
  
∑ ∑∫ ∫
Considerando que em um intervalo de 
integração de 2π existe apenas um impulso, 
para efeito de simplicidade nos cálculos utiliza-
se l = 0. 
2 22 2 k lpi pipi pi =−∞ =−∞  
∫ ∫
Além disso, em um intervalo de integração de
2π existem N coeficientes ak distintos, o que se 
deve a periodicidade da Transformada de
Fourier e da Série de Fourier, ambas de tempo
Transformada de Fourier de Tempo 
Discreto de Sinais Periódicos
Fourier e da Série de Fourier, ambas de tempo
discreto. Então
[ ] ( )0
2
j n
k
k N
x n a k e dω
pi
δ ω ω ω
=
= −∑ ∫ [ ] 0jk nk
k N
x n a e
ω
=
= ∑
( )0 02jk n Fk k
k N k
a e a kω pi δ ω ω
∞
= =−∞
←→ −∑ ∑
• Exemplo: Transformada Discreta de 
Fourier de um trem de impulsos periódico
Transformada de Fourier de Tempo 
Discreto de Sinais Periódicos
[ ] [ ]
k
x n n kNδ
∞
=−∞
= −∑
– Os coeficientes da série de Fourier são 
obtidos por
k=−∞
[ ] 01 jk nk
n N
a x n e
N
ω−
=
= ∑
[ ] 01 jk nk
n N k
a n kN e
N
ωδ
∞
−
= =−∞
 
= − 
 
∑ ∑
Considerando que o somatório em “n” é 
realizado sobre um intervalo com “N” valores
Transformada de Fourier de Tempo 
Discreto de Sinais Periódicos
[ ] 01 jk nk
n N k
a n kN e
N
ωδ
∞
−
= =−∞
 
= − 
 
∑ ∑
realizado sobre um intervalo com “N” valores
sucessivos, logo o único valor de “k” que
corresponde a um impulso dentro deste
intervalo é k = 0. Logo
[ ] 01 jk nk
n N
a n e
N
ωδ −
=
= ∑ 1ka N
=
[ ] [ ] [ ] 0 1, sendojk nSF k k
k k N
x n n kN x n a e a
N
ωδ
∞
=−∞ =
= − ←→ = =∑ ∑
Logo, a Transformada de Fourier de tempo
discreto do trem de impulsos periódico é dada
por
Transformada de Fourier de Tempo 
Discreto de Sinais Periódicos
( ) ( )02j kX e a kω pi δ ω ω∞= −∑( ) ( )02 k
k
X e a kpi δ ω ω
=−∞
= −∑
( ) ( )02j
k
X e k
N
ω pi δ ω ω
∞
=−∞
= −∑
[ ] ( )02F
k k
n kN k
N
piδ δ ω ω
∞ ∞
=−∞ =−∞
− ←→ −∑ ∑
Transformada de Fourier de Tempo 
Discreto de Sinais Periódicos
Propriedades da Transformada de 
Fourier de Tempo Discreto
• Propriedade da Periodicidade da 
Transformada de Fourier de tempo 
discreto
( ) [ ]∞∑( ) [ ]j j n
n
X e x n eω ω
∞
−
=−∞
= ∑
( )( ) [ ] ( ) } [ ] [ ]
1
2 2 2j j n j n j n j n
n n n
X e x n e e x n e x n eω pi ω pi pi ω ω
=
∞ ∞ ∞
+ − +
− − −
=−∞ =−∞ =−∞
= = =∑ ∑ ∑
( ) ( )( )2jjX e X e ω piω +=
Propriedades da Transformada de 
Fourier de Tempo Discreto
• Propriedade da Linearidade
– Dados
[ ] ( )
[ ] ( )
1 1
F j
F j
x n X e
x n X e
ω
ω
←→
←→
então
[ ] ( )2 2F jx n X e ω←→
[ ] [ ] ( ) ( )1 2 1 2. . . .F j ja x n b x n a X e b X eω ω+ ←→ +
Propriedades da Transformada de 
Fourier de Tempo Discreto
• Deslocamento no Tempo
[ ]{ } [ ]0 0
m
j n
n
F x n n x n n e ω
∞
−
=−∞
− = −∑
678
0m n n= −Mudança de variável
[ ]{ } [ ] ( )00 j m n
m
F x n n x m e ω
∞
− +
=−∞
− = ∑
[ ]{ } [ ]00 j n j m
m
F x n n e x m eω ω
∞
− −
=−∞
− = ∑
[ ]{ } ( )00 j n jF x n n e X eω ω−− =
[ ] ( )00 j nF jx n n e X eω ω−− ←→
Propriedades da Transformada de 
Fourier de Tempo Discreto
• Deslocamento na Frequência
( )( ){ } ( )( )0 01
2
1
2
j j j nF X e X e e dω ω ω ω ω
pi
ω
pi
− −
−
= ∫
Mudança de variável 0φ ω ω= −Mudança de variável 0φ ω ω= −
( )( ){ } ( ) ( )0 01
2
1
2
j j njF X e X e e dω ω φ ωφ
pi
φ
pi
− +
−
= ∫
( )( ){ } ( )0 01
2
1
2
j j n j j nF X e e X e e dω ω ω φ φ
pi
φ
pi
−
−
= ∫
( )( ){ } [ ]0 01 j j nF X e e x nω ω ω−− =
[ ] ( )( )00 jj n Fe x n X e ω ωω −←→
Propriedades da Transformada de 
Fourier de Tempo Discreto
– Observação: Dada a resposta em frequência 
de um filtro passa-baixas Hlp(ejω), a qual se 
encontra ilustrada na figura abaixo, pode-se 
obter a resposta frequência de um filtro 
passa-altas H (ejω) da seguinte formapassa-altas Hhp(ejω) da seguinte forma
( ) ( )( )jjhp lpH e H e ω piω −=
[ ] [ ]j nhp lph n e h npi=
[ ] ( ) [ ]1 nhp lph n h n= −
Frequência de corte
ωc
Propriedades da Transformada de 
Fourier de Tempo Discreto
• Conjugação e Simetria Conjugada
– Dada a função x[n], deseja-se obter o 
complexo conjugado desta função
[ ] ( )1 j j nx n X e e dω ω ω= ∫ Mudança de variável φ ω= −[ ] ( )
22
j j nx n X e e dω ω
pi
ω
pi
= ∫
[ ] ( )
2
1
2
j j nx n X e e dω ω
pi
ω
pi
∗
∗
 
=  
 
∫
[ ] ( )
2
1
2
j j nx n X e e dω ω
pi
ω
pi
∗
∗ ∗  =  ∫
[ ] ( )
2
1
2
j j nx n X e e dω ω
pi
ω
pi
∗ ∗ −
= ∫
Mudança de variável φ ω= −
Mudança dos limites
de integração
[ ] ( )
2
1
2
j j nx n X e e dφ φ
pi
φ
pi
∗ ∗ −
= − ∫
Nova mudança dos limites
de integração
[ ] ( )
2
1
2
j j nx n X e e dφ φ
pi
φ
pi
∗ ∗ −
= ∫
Propriedades da Transformada de 
Fourier de Tempo Discreto
– Portanto, a partir da Equação abaixo
pode-se afirmar que
[ ] ( )
2
1
2
j j nx n X e e dφ φ
pi
φ
pi
∗ ∗ −
= ∫
[ ] ( )F jx n X e φ∗ ∗ −←→
Adicionalmente, se x[n] for uma função real,
então
[ ] ( )F jx n X e φ∗ ∗ −←→
[ ] [ ] ( )
2
1
2
j j nx n x n X e e dφ φ
pi
φ
pi
∗ ∗ −
= = ∫
Propriedades da Transformada de 
Fourier de Tempo Discreto
Calculando o conjugado de ambos os lados da
Equação, acima, obtém-se
[ ] [ ] ( )
2
1
2
j j nx n x n X e e dφ φ
pi
φ
pi
∗ ∗ −
= = ∫
Equação, acima, obtém-se
[ ]( ) ( )
2
1
2
j j nx n X e e dφ φ
pi
φ
pi
∗
∗ ∗ −
 
=  
 
∫
[ ] ( ) ( )
21
2
j j nx n X e e dφ φ
pi
φ
pi
∗ ∗
∗ ∗ − =  ∫
[ ] ( )
2
1
2
j j nx n X e e dφ φ
pi
φ
pi
∗ − −
= ∫
Mudança de variável
Mudança dos limites
de integração
ω φ= −
[ ] ( )
2
1
2
j j nx n X e e dω ω
pi
ω
pi
∗
= ∫
Comparando-se as duas expressões 
de x*[n] em destaque, para x[n] real
tem-se ( ) ( )j jX e X eω ω∗ −=
Propriedades da Transformada de 
Fourier de Tempo Discreto
• Diferenciação no tempo
[ ] [ ]{ } ( ) [ ]}1 1
m
j j n
n
F x n x n X e x n eω ω
∞
−
=−∞
− − = − −∑
[ ] [ ]{ } ( ) [ ] ( )∞∑[ ] [ ]{ } ( ) [ ] ( )11 j mj
m
F x n x n X e x m e ωω
∞
− +
=−∞
− − = − ∑
[ ] [ ]{ } ( ) [ ]1 j j j m
m
F x n x n X e e x m eω ω ω
∞
− −
=−∞
− − = − ∑
[ ] [ ]{ } ( ) ( )1 j j jF x n x n X e e X eω ω ω−− − = −
[ ] [ ] ( ) ( )1 1F j jx n x n e X eω ω−− − ←→ −
Propriedades da Transformada de 
Fourier de Tempo Discreto
• Diferenciação na Frequência
( ) [ ]j j n
n
X e x n eω ω
∞
−
=−∞
= ∑
( ) [ ]j j nd dX e x n eω ω∞ −   = ∑( ) [ ]j j n
n
d dX e x n e
d d
ω ω
ω ω
−
=−∞
   =     
∑
( ) [ ]( )j j n
n
dj X e nx n e
d
ω ω
ω
∞
−
=−∞
  =  ∑
[ ] ( )F jdnx n j X ed ωω  ←→  
( ) [ ]j j n
n
d X e j nx n e
d
ω ω
ω
∞
−
=−∞
  = −  ∑
Propriedades da Transformada de 
Fourier de Tempo Discreto
• Reflexão no Tempo
[ ]{ } [ ] j n
n
F x n x n e ω
∞
−
=−∞
= ∑
[ ]{ } [ ] ( )j nω∞ − −− = −∑[ ]{ } [ ] ( )j n
n
F x n x n e ω
∞
− −
=−∞
− = −∑
[ ] ( )F jx n X e ω−− ←→
[ ]{ } [ ] ( )j n
n
F x n x n e ω
∞
− −
=−∞
− = −∑
Propriedades da Transformada de 
Fourier de Tempo Discreto
• Expansão no Tempo
– Dado um sinal x[n] e seja “k” um número 
inteiro positivo
• Pode-se definir um sinal x(k)[n] da seguinte forma:
Como exemplo, suponha que k = 3 e observe a 
função x(k)[n] obtida na Figura seguinte
( ) [ ] [ ], se for multiplo de0, caso contrariok
x n k n k
x n

= 

Propriedades da Transformada de 
Fourier de Tempo Discreto
( ) [ ] [ ]3 3 , se for multiplo de 30, caso contrario
x n n
x n

= 

Foram inseridos k – 1 zeros entre os
valores sucessivos do sinal original
Propriedades da Transformada de 
Fourier de Tempo Discreto
• Considerando que a função x(k)[n] é diferente de 
zero apenas nos valores de “n” múltiplos de “k”, 
isto é, n = r.k, então a transformada de Fourier 
pode ser calculada por
[ ]{ } ( ) [ ]j j nω ω∞ −= = ∑( ) [ ]{ } ( ) ( ) ( ) [ ]j j nk k k
n
F x n X e x n eω ω
∞
−
=−∞
= = ∑
( ) ( ) ( ) [ ]j j rkk k
n
X e x rk eω ω
∞
−
=−∞
= ∑
( ) [ ] [ ]kx n x n k=
( ) [ ] [ ]kx rk x r=( ) ( ) [ ] ( )j k rjk
r
X e x r e ωω
∞
−
=−∞
= ∑
( ) ( ) ( )j jkkX e X eω ω=
sendo
Propriedades da Transformada de 
Fourier de Tempo Discreto
– Outro exemplo pode ser dado para o pulso em tempo 
discreto
Propriedades da Transformada de 
Fourier de Tempo Discreto
• Relação de Parseval
[ ] [ ] [ ]2
n n
x n x n x n
∞ ∞
∗
=−∞ =−∞
=∑ ∑
[ ] [ ] ( )2 12 j j nx n x n X e e dω ω ωpi
∞ ∞
∗ −
=∑ ∑ ∫[ ] [ ] ( )
22n n
x n x n X e e d
pi
ω
pi
=−∞ =−∞
=∑ ∑ ∫
[ ] ( ) [ ]2
2
1
2
j j n
n n
x n X e x n e dω ω
pi
ω
pi
∞ ∞
∗ −
=−∞ =−∞
 
=  
 
∑ ∑∫
[ ] ( ) ( )2
2
1
2
j j
n
x n X e X e dω ω
pi
ω
pi
∞
∗
=−∞
=∑ ∫
[ ] ( ) 22
2
1
2
j
n
x n X e dω
pi
ω
pi
∞
=−∞
=∑ ∫
Transformada de Fourier de 
Tempo Discreto
• Transformada de Fourier de x[n] = 1
[ ] ( )
2
1
2
j j nx n X e e dω ω
pi
ω
pi
= ∫
( )11 j j nX e e dω ω ω= ∫
Considerando que a integral acima é calculada
em um intervalo de 2π, então qualquer impulso
localizado no intervalo de integração satisfaz tal
equação
( )
2
11
2
j j nX e e dω ω
pi
ω
pi
= ∫
( ) { } ( ) [ ]
2
11 1 2 2
2
j j n j
l
X e e d F X e lω ω ω
pi
ω pi δ ω pi
pi
∞
=−∞
= ⇒ = = −∑∫
Transformada de Fourier de 
Tempo Discreto
• Transformada de Fourier de uma
constante “C”, ou seja, para x[n] = C
– Analogamente, a transformada de Fourier 
deve serdeve ser
( ) { } ( ) [ ]
2
1 2 2
2
j j n j
l
C X e e d F C X e C lω ω ω
pi
ω pi δ ω pi
pi
∞
=−∞
= ⇒ = = −∑∫
[ ] ( )
2
1
2
j j nx n X e e dω ω
pi
ω
pi
= ∫
“Diferente da expressão 
obtida para tempo 
contínuo”
Transformada de Fourier de 
Tempo Discreto
• Transformada de Fourier da função 
Degrau Unitário u[n]
– Inicialmente, deve-se definir a função sgn[n] 
tal que
[ ] 1 2, 0para n ≥
tal que
Assim, pode-se escrever
[ ] 1 2, 0sgn
1 2, 0
para n
n
para n
≥
= 
− <
[ ] [ ]
[ ] [ ]
1
sgn
2
1
sgn 1 1
2
n u n
n u n

= +


− = − +

Operação de 
subtração
[ ] [ ] [ ] [ ]sgn sgn 1 1n n u n u n− − = − − [ ] [ ] [ ]sgn sgn 1n n nδ− − =
Transformada de Fourier de 
Tempo Discreto
Calculando a Transformada de Fourier de 
ambos os lados da Equação, obtém-se
[ ] [ ] [ ]sgn sgn 1n n nδ− − =
ambos os lados da Equação, obtém-se
[ ] [ ]{ } [ ]{ }sgn sgn 1F n n F nδ− − =
( ) [ ]{ } [ ]{ } ( )
11 sgn 1 sgn
1
j
je F n F n e
ω
ω
−
−
− = ⇒ =
−
Transformada de Fourier de 
Tempo Discreto
Considerando que 
pode-se escrever
[ ] [ ] 1sgn
2
u n n= +
[ ]{ } [ ]{ } 1sgnF u n F n F  = +  [ ]{ } [ ]{ } 1sgn 2F u n F n F
 
= +  
 
[ ]{ } ( ) [ ]
1 12 2
21 j l
F u n l
e ω
pi δ ω pi
∞
−
=−∞
= + −
−
∑
[ ]{ } ( ) [ ]
1 2
1 j l
F u n l
e ω
pi δ ω pi
∞
−
=−∞
= + −
−
∑
“Diferente da expressão obtida para tempo contínuo”
Transformada de Fourier de 
Tempo Discreto
• Transformada de Fourier de uma 
Convolução
– Dado , deseja-se determinar 
a transformada de Fourier de y[n] 
[ ] [ ] [ ]y n x n h n= ∗
a transformada de Fourier de y[n] 
[ ] [ ] [ ] [ ] [ ]
k
y n x n h n x k h n k
∞
=−∞
= ∗ = −∑
[ ]{ } [ ] [ ] j n
n k
F y n x k h n k e ω
∞ ∞
−
=−∞ =−∞
 
= − 
 
∑ ∑
Mudança de variável m = n - k
[ ]{ } [ ] [ ] ( )j m k
m k
F y n x k h m e ω
∞ ∞
− +
=−∞ =−∞
 
=  
 
∑ ∑
Transformada de Fourier de 
Tempo Discreto
[ ]{ } [ ] [ ] ( )j m k
m k
F y n x k h m e ω
∞ ∞
− +
=−∞ =−∞
 
=  
 
∑ ∑
[ ]{ } [ ] [ ]j m j kF y n h m e x k eω ω∞ ∞− − =  ∑ ∑[ ]{ } [ ] [ ]j m j k
m k
F y n h m e x k eω ω− −
=−∞ =−∞
 
=  
 
∑ ∑
[ ]{ } [ ] ( )j m j
m
F y n h m e X eω ω
∞
−
=−∞
= ∑
[ ]{ } [ ] [ ]{ } ( ) ( )j jF y n F x n h n X e H eω ω= ∗ =
Transformada de Fourier de 
Tempo Discreto
• Transformada de Fourier de uma 
acumulação (equivalente à integração)
– Dado y[n] tal que
[ ] [ ] [ ] [ ] [ ]y n x n u n x k u n k∞= ∗ = −∑
deseja-se calcular a Transformada de Fourier
de y[n] (y[n] realiza uma acumulação)
[ ] [ ] [ ] [ ] [ ]
k
y n x n u n x k u n k
=−∞
= ∗ = −∑
[ ] [ ]n
k
y n x k
=−∞
= ∑
[ ]{ } [ ]n
k
F y n F x k
=−∞
 
=  
 
∑
Transformada de Fourier de 
Tempo Discreto
Assim, tem-se
[ ]{ } [ ]n
k
F y n F x k
=−∞
 
=  
 
∑
[ ]{ } [ ] [ ]{ }F y n F x n u n= ∗
[ ]{ } [ ]{ } [ ]{ }F y n F x n F u n=
[ ]{ } ( ) ( ) [ ]
1 2
1
j
j
l
F y n X e l
e
ω
ω
pi δ ω pi
∞
−
=−∞
 
 = + −
−  
∑
[ ] ( )( ) ( ) [ ]21
j
n
j
j
k l
X e
F x k X e l
e
ω
ω
ω
pi δ ω pi
∞
−
=−∞ =−∞
 
= + − 
− 
∑ ∑
Transformada de Fourier de 
Tempo Discreto
• Transformada de Fourier de uma 
multiplicação
– Dado y[n] = x[n].h[n]e as Transformadas de 
Fourier de tempo discreto Y(ejω), X(ejω) e Fourier de tempo discreto Y(e ), X(e ) e 
H(ejω) correspondentes aos três sinais, pode-
se escrever
Considerando que 
( ) [ ] [ ] [ ]j j n j n
n n
Y e y n e x n h n eω ω ω
∞ ∞
− −
=−∞ =−∞
= =∑ ∑
[ ] ( )
2
1
2
j j nx n X e e dθ θ
pi
θ
pi
= ∫
Transformada de Fourier de 
Tempo Discreto
então se pode escrever
( ) [ ] [ ]j j n
n
Y e x n h n eω ω
∞
−
=−∞
= ∑
( ) [ ] ( )1j j j n j nY e h n X e e d eω θ θ ωθ∞ − =  ∑ ∫( ) [ ] ( )
2
1
2
j j j n j n
n
Y e h n X e e d eω θ θ ω
pi
θ
pi
−
=−∞
 
=  
 
∑ ∫
( ) [ ] ( ) ( )
2
1
2
j nj j
n
Y e h n X e e dω θω θ
pi
θ
pi
∞
− −
=−∞
 
=  
 
∑ ∫
( ) ( ) [ ] ( )
2
1
2
j nj j
n
Y e X e h n e dω θω θ
pi
θ
pi
∞
− −
=−∞
 
=  
 
∑∫
Transformada de Fourier de 
Tempo Discreto
( ) ( ) [ ] ( )
2
1
2
j nj j
n
Y e X e h n e dω θω θ
pi
θ
pi
∞
− −
=−∞
 
=  
 
∑∫
( ) ( ) ( )( )1 jj jY e X e H e dω θω θ θ−= ∫
Portanto
( ) ( ) ( )( )
22
j jY e X e H e dω θ
pi
θ
pi
= ∫
[ ] [ ]{ } ( ) ( )( )
2
1
2
jjF x n h n X e H e dω θθ
pi
θ
pi
−
= ∫
Operação denominada Convolução Periódica
(note que os limites de integração correspondem a um intervalo de 2π) 
Dualidade entre a Transformada de Fourier de 
Tempo Discreto e a Série de Fourier de Tempo 
Contínuo
• Não existe dualidade entre as Equações 
de síntese e análise da Transformada de 
Fourier de tempo discreto
• Em virtude da similaridade entre as • Em virtude da similaridade entre as 
Equações da Transformada de Fourier de 
tempo discreto e as Equações da Série de 
Fourier de tempo contínuo, pode-se 
verificar a existência de dualidade entre as 
mesmas 
Dualidade entre a Transformada de Fourier de 
Tempo Discreto e a Série de Fourier de Tempo 
Contínuo
– As Equações de síntese e análise da 
Transformada de Fourier de tempo discreto 
são
[ ] ( )1 j j nx n X e e dω ω ω= ∫ Note que a está para x[n], assim[ ] ( )
22
x n X e e d
pi
ω
pi
= ∫
( ) [ ]j j n
n
X e x n eω ω
∞
−
=−∞
= ∑
( ) 0jk nk
n
x t a e ω
∞
=−∞
= ∑
( ) 01 jk nk
T
a x t e dt
T
ω−
= ∫
Note que ak está para x[n], assim
como x(t) está para X(ejω)
Dualidade entre a Transformada de Fourier de 
Tempo Discreto e a Série de Fourier de Tempo 
Contínuo
Sistemas Caracterizados por Equações de 
Diferenças Lineares com Coeficientes Constantes
• Dada a Equação de Diferenças de ordem 
N abaixo
[ ] [ ]
0 0
N M
k k
k k
a y n k b x n k
= =
− = −∑ ∑
[ ] [ ]N M   ∑ ∑[ ] [ ]
0 0
N M
k k
k k
F a y n k F b x n k
= =
   
− = −   
   
∑ ∑
( ) ( )
0 0
N M
j k j j k j
k k
k k
a e Y e b e X eω ω ω ω− −
= =
=∑ ∑
( ) ( )( ) 0
0
M
j kj k
j k
Nj j k
k
k
b eY e
H e
X e
a e
ω
ω
ω
ω
ω
−
=
−
=
= =
∑
∑
( ) ( )( )
( )
( )
0
0
M kjj k
j k
Nj kj
k
k
b eY e
H e
X e
a e
ω
ω
ω
ω
ω
−
=
−
=
= =
∑
∑
Sistemas Caracterizados por Equações de 
Diferenças Lineares com Coeficientes Constantes
• Geralmente, obtem-se a resposta em 
frequência H(ejω) e na sequência utiliza-se 
a técnica de expansão em frações parciais
para se obter o sinal (resposta ao impulso para se obter o sinal (resposta ao impulso 
h[n]) no domínio do tempo 
• Os polinômios do numerador e do 
denominador estão na variável e-jω