Apostila 05

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1
A DISTRIBUIÇÃO NORMAL DE PROBABILIDADE 
 
Até o momento, estudamos distribuições de probabilidades para variáveis 
aleatórias discretas. No entanto, há várias distribuições contínuas de 
probabilidade, como, por exemplo, os pesos de moedas produzidas. As 
distribuições são discretas ou contínuas e podem ser descritas pela sua forma 
(como, por exemplo, forma de sino). Iremos estudar aqui as distribuições 
normais que são extremamente importantes porque ocorrem com grande 
freqüência nas aplicações. 
 
Como exemplos de populações distribuídas normalmente podemos citar: 
alturas de mulheres adultas, pesos de homens adultos e notas de um teste de 
faculdade. 
 
Uma variável aleatória contínua tem distribuição normal se essa distribuição 
é simétrica e apresenta a forma de um sino; a distribuição de ajusta à equação 
a seguir: 
 
πσ
σ
µ
2
2
2
1 ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ −−
=
x
ey 
 
 
A Distribuição Normal Padronizada 
 
Iremos começar esse assunto utilizando uma distribuição de probabilidade 
contínua para ilustrar uma importante correspondência entre área e 
probabilidade. É mais fácil visualizar essa correspondência em uma distribuição 
uniforme. 
 
Uma distribuição uniforme é uma distribuição de probabilidade em que todos 
os valores da variável aleatória são igualmente prováveis. 
 
A figura 1 mostra uma distribuição uniforme de temperaturas de fabricação, as 
quais variam entre 0ºC e 5ºC. 
 
 
 
Fig.1. Distribuição uniforme de temperatura. 
Temperatura (graus Celsius) 
 2
O gráfico da figura 1 é chamado de curva de densidade. 
 
Uma curva de densidade é o gráfico de uma distribuição contínua de 
probabilidade. Deve satisfazer as propriedades seguintes: 
1) A área total sob a curva deve ser 1. 
2) Todo ponto da curva deve ter uma altura vertical não inferior a 0. 
 
A propriedade de área=1 facilita a resolução de problemas de probabilidade. 
Por exemplo, dada a distribuição uniforme da figura 1, a probabilidade de 
escolher aleatoriamente uma temperatura entre 1ºC e 4ºC é 0,6, que é a área 
da região sombreada. Eis um ponto importante: 
 
Uma curva de probabilidade é o gráfico de uma variável aleatória 
contínua, de forma que a área sob a curva é 1, estabelecendo-se uma 
correspondência entre área e probabilidade. 
 
Exemplo 1: Uma distribuição uniforme de temperaturas varia de 0ºC a 5ºC. 
Escolhida aleatoriamente uma temperatura, determine a probabilidade de ela 
ser superior a 1ºC. 
 
Solução: A probabilidade é (4)(0,2)=0,8. 
 
 
 
 
 
 
 
 
No caso da distribuição uniforme, a curva de densidade origina um retângulo, 
sendo, assim, fácil determinar qualquer área simplesmente multiplicando a 
largura pela altura. A curva de uma distribuição normal tem a forma mais 
complicada de um sino, de modo que é mais difícil achar áreas, mas o princípio 
básico é o mesmo: há uma correspondência entre área e probabilidade. 
 
Assim como há muitas distribuições uniformes diferentes, há também muitas 
distribuições normais diferentes, cada uma dependendo de dois parâmetros: a 
média populacional µ e o desvio-padrão populacional σ. A figura 2 mostra as 
curvas de densidade para alturas de mulheres e homens adultos. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Fig. 2. Alturas de mulheres e homens adultos. 
Mulheres: 
µ=63,6 
σ=2,5 
Homens: 
µ=69,0 
σ=2,8 
Alturas (polegadas) 
 3
Dentre as infinitas possibilidades, há uma distribuição normal que tem especial 
interesse. 
 
A distribuição normal padronizada é uma distribuição normal de 
probabilidade que tem média 0 e desvio-padrão 1. 
 
 
Determinação de probabilidades quando são dados os escores Z 
 
Para determinar probabilidades quando os escores z são dados utiliza-se a 
tabela de distribuição normal padronizada. Essa tabela nos dá a área sob a 
curva delimitada à esquerda por uma reta vertical passando pela média 0 e à 
direita por uma reta vertical passando por um valor arbitrário denotado por z. 
 
Exemplo 2: A Precision Scientific Instrument Company fabrica termômetros 
que devem acusar a leitura de 0ºC no ponto de congelamento da água. Testes 
feitos por uma grande amostra desses termômetros revelaram que no ponto de 
congelamento da água, alguns acusavam valor inferior a 0ºC (denotado por um 
número negativo) e alguns acusavam valor superior a 0ºC (denotado pro um 
número positivo). Suponha que a leitura média seja 0ºC e que o desvio-padrão 
das leituras seja 1,00ºC. Admita também que a distribuição de freqüências dos 
erros se assemelhe a uma distribuição normal. Escolhido um termômetro 
aleatoriamente, determine a probabilidade de que, no ponto de congelamento 
da água, o termômetro marque entre 0ºC e +1,58ºC. 
 
Solução: A distribuição de probabilidade das leituras é uma distribuição normal 
padronizada porque as leituras são distribuídas normalmente com µ = 0 e σ= 1. 
Pela tabela de distribuição normal padronizada a área correspondente à 
probabilidade de escolher aleatoriamente um termômetro com erro entre 0ºC e 
+1,58ºC é 0,4429 (valor encontrado para z = 1,58). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo 3: Com os termômetros do exemplo precedente, determine a 
probabilidade de selecionar aleatoriamente um termômetro que acuse (no 
ponto de congelamento) uma temperatura entre –2,43ºC e 0ºC. 
 
Solução: A tabela de distribuição normal padronizada se aplica apenas a 
regiões à direita da média. Entretanto, a curva de densidade é simétrica. Dessa 
forma, a probabilidade de selecionar aleatoriamente um termômetro que acuse 
(no ponto de congelamento) uma temperatura entre –2,43ºC e 0ºC é igual à 
probabilidade de selecionar aleatoriamente um termômetro que acuse (no 
ponto de congelamento) uma temperatura entre +2,43ºC e 0ºC. Recorrendo à 
tabela, vemos que essa probabilidade é 0,4925. 
 4
 
 
 
 
 
 
 
 
Embora o escore z possa ser negativo, a área sob a curva (ou a 
probabilidade correspondente) nunca pode ser negativa. 
 
OBS: Os valores da regra empírica (regra 68-95-99) do desvio-padrão foram 
achados diretamente a partir de probabilidades na tabela de distribuição normal 
padronizada. 
 
Exemplo 4: Mais uma vez, faça uma escolha aleatória na mesma amostra de 
termômetros. Determine a probabilidade de que o termômetro escolhido acuse 
uma leitura superior a +1,27ºC (no ponto de congelamento da água). 
 
Solução: A tabela de distribuição normal padronizada nos dá a área sob a 
curva delimitada à esquerda por uma reta vertical passando pela média 0 e à 
direita por uma reta vertical passando por um valor arbitrário denotado por z. 
Dessa forma, não é possível determinar diretamente a probabilidade de que o 
termômetro escolhido acuse uma leitura superior a +1,27ºC. Pela tabela de 
distribuição normal padronizada encontramos 0,3980 como área para z=1,27. 
Então, como a área à direita de zero é 0,5 (metade da área total), a 
probabilidade procurada é 0,5-0,3980=0,1020. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo 5: Selecionando aleatoriamente um termômetro de nossa amostra, 
determine a probabilidade de acusar uma leitura entre 1,20ºC e 2,30ºC (no 
ponto de congelamento da água). 
 
Solução: A tabela de distribuição normal padronizada foi elaborada para 
regiões delimitadas à esquerda pela reta vertical em 0. Pela tabela vemos que 
z=1,20 corresponde a uma área de 0,3849, e que z=2,30 corresponde a uma 
área de 0,4893. A probabilidade procurada é 0,4893-0,3849=0,1014. 
 
 
 
 
 
 
 
 5
Notação: 
P(a<z<b) → denota a probabilidade de o valor z estar entre a e b. 
P(z>a) → denota a probabilidade de o valor z ser maior que a. 
P(z<a) → denota a probabilidade de o valor z se menor que a. 
 
No caso de uma distribuição normal, a probabilidade de obter um valor 
determinado é zero, isto é, P(z=a)=0. Daí decorre que P(a≤ z≤b) = P(a<z<b). 
Decorre também que a probabilidade de obter um valor z, no máximo igual a b, 
é a mesma que a probabilidadede obter um valor z menor que b. 
 
A interpretação correta das expressões utilizadas é muito importante. Veja a 
figura 3. 
 
 
 
 
Determinação dos escores z quando são dadas as probabilidades 
 
Conhecida uma probabilidade, para determinar o valor z correspondente 
procedemos como segue: 
1) Identificamos a probabilidade que representa uma área delimitada pela linha 
do centro; pode ser a probabilidade original, ou pode ser determinada pro 
meio desta última. 
2) Com a probabilidade que representa a área delimitada pela linha do centro, 
localizamos a probabilidade mais próxima no corpo da tabela de distribuição 
normal padronizada e identificamos o valor de z correspondente. 
3) Se o valor de z está à esquerda da linha do centro, consideramo-lo 
negativo. 
 
 
 
“maior do que x” 
“pelo menos x” 
“mais do que x” 
“não menos do que x” 
 
 
 
“menos do que x” 
“no máximo x” 
“não mais do que x” 
“não maior do que x” 
 
 
 
 
 
 
“entre x1 e x2” 
 
 
Fig.3. Interpretação correta das áreas. 
 
 
Adicionar 
a 0,5 
 
 
Subtrair de 0,5
Subtrair 
de 0,5 
 
Somar a 0,5 
Somar 
Tomar 
A=C-B
 6
Exemplo 6: Utilize os mesmos termômetros com leituras de temperaturas 
distribuídas normalmente com média 0ºC e desvio-padrão 1ºC. Determine a 
temperatura correspondente a: 
a) P95 
b) P10 
 
Solução: 
a) Devemos achar o valor de z correspondente à área delimitada pela linha do 
centro. Essa área é 0,45 = 0,95-0,5. Procurando o valor 0,45 no corpo da 
tabela de distribuição normal padronizada, encontramos o valor z 
correspondente (z=1,645). Dessa forma, P95 corresponde a 1,645ºC. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
b) A área delimitada pela linha do centro para este caso é 0,40 = 0,50-0,10. No 
corpo da tabela, escolhemos o valor mais próximo (0,3997) que corresponde a 
um valor de z de 1,28. Como P10 está abaixo da média 0, ele deve ser 
negativo. Assim, P10 é, pois, -1,28ºC. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Distribuições Normais Não-Padronizadas: 
 
Determinação de Probabilidades 
 
Para padronizar casos não padronizados, aplicamos a fórmula a seguir: 
σ
µ−= xz 
 
A área delimitada por um valor e pela média populacional é a mesma que a 
área delimitada pelo escore z correspondente e a média zero. Uma vez feita a 
conversão de um valor não-padronizado em um escore z, podemos utilizar a 
tabela de distribuição normal padronizada da mesma forma como utilizamos 
anteriormente. Os passos utilizados para achar probabilidades de valores de 
uma variável aleatória com distribuição normal são: 
1) Trace uma curva normal, assinale a média e outros valores de interesse, e 
sombreie a região que representa a probabilidade desejada. 
 7
2) Para cada valor x fronteira da região sombreada, aplique a fórmula acima 
para achar o escore z correspondente. 
3) Recorra à tabela de distribuição normal padronizada para achar a área da 
região sombreada. Essa área é a probabilidade desejada. 
 
Exemplo 7: As alturas de mulheres têm distribuição normal com média 63,6 in. 
e desvio-padrão de 2,5 in. Selecionada aleatoriamente uma mulher, determine 
a probabilidade de sua altura estar entre 63,6 e 68,6. 
 
Solução: Deseja-se encontrar a área delimitada pelos valores 63,6 (média) e 
68,6. Para usar a tabela de distribuição normal padronizada devemos converter 
os valores em escores z. O valor 68,6 in. é convertido em um escore z como se 
segue: 
00,2
5,2
6,636,68xz =−=σ
µ−= 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Recorrendo à tabela de distribuição normal padronizada vemos que z=2,00 
corresponde a uma área de 0,4772. Assim: 
P(63,6<x<68,6)=P(0<z<2,00)=0,4772. 
 
Exemplo 8: Para se adaptar a uma espaçonave russa Soyuz, um astronauta 
deve ter altura entre 64,5 in. e 72 in. Considerando que as alturas de mulheres 
americanas têm distribuição normal com média 63,6 in. e desvio-padrão de 
2,5in.: 
a) Determine a porcentagem de mulheres americanas que satisfazem a essa 
condição. 
b) Entre 500 mulheres americanas selecionadas aleatoriamente, quantas 
satisfazem aquela condição? 
 
Solução: 
a) Calculando os escores z das alturas 64,5 e 72 in. temos: 
36,3
5,2
6,630,72xz
36,0
5,2
6,635,64xz
=−=σ
µ−=
=−=σ
µ−=
 
 
 
 
 
 
 
 8
Consultando a tabela de distribuição normal padronizada para esses valores de 
z temos que z=0,36 corresponde a uma área de 0,1406 e que z=3,36 
corresponde a uma área de 0,4999. A probabilidade procurada é 0,4999-
0,1406=0,3593. Dessa forma, 35,93% das mulheres americanas satisfazem a 
exigência. 
 
b) Entre 500 mulheres selecionadas aleatoriamente, espera-se que 35,93% 
delas satisfaçam a exigência de altura. O número efetivo é, pois, 179,65 
(500x0,3593). 
 
Exemplo 9: O exército americano exige que a altura das mulheres esteja entre 
58 in. e 80 in. Determine a porcentagem das mulheres que satisfazem a essa 
exigência. Novamente, suponha que as mulheres americanas tenham 
distribuição normal com média 63,6 in. e desvio-padrão de 2,5in. 
 
Solução: Determinando os escores z correspondentes aos valores do 
problema temos: 
 
56,6
5,2
6,630,80xz
24,2
5,2
6,630,58xz
=−=σ
µ−=
−=−=σ
µ−=
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A área delimitada pelo escore –2,24 é 0,4875. A área delimitada pelo escore 
6,56 é 0,4999. Assim, a probabilidade procurada é 0,9874 (0,4875+0,4999). A 
porcentagem de mulheres que satisfazem a condição é 98,74%. 
 
 
Cálculo de valores 
 
Os seguintes passos devem ser seguidos na determinação de valores quando 
as probabilidades são dadas: 
1) Partindo de um esboço de uma curva normal, introduza a probabilidade (ou 
porcentagem) dada na região apropriada no gráfico e identifique os valores 
x procurados. 
2) Utilize a tabela de distribuição normal padronizada para achar o escore z 
correspondente à região delimitada por x e pela reta central do 0. 
3) Utilize a fórmula do escore z para encontrar os valores de x. 
4) Recorrer ao esboço da curva para verificar que a solução tem sentido no 
contexto do gráfico e no contexto do problema. 
 9
Exemplo 10: As alturas das mulheres americanas têm distribuição normal com 
média 63,6 in. e desvio-padrão 2,5 in. Determine o valor de P90, isto é, 
determine a altura que separa os 90% inferiores dos 10% superiores. 
 
Solução: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Procuraremos na tabela de distribuição normal padronizada uma área de 0,400 
(0,500-0,100). A área mais próxima desse valor encontrada na tabela foi 
0,3997, a qual corresponde a um valor de z de 1,28. Como temos os valores de 
z, σ e µ, podemos achar o valor de x pela fórmula do escore: 
8,666,63)28,1)(5,2(x
z.x
xz
=+=
µ+σ=
σ
µ−=
 
 
Exemplo 11: Em um estudo comparou-se o comportamento facial de 
esquizofrênicos não-paranóicos com o de um grupo de controle de pessoas 
normais. O grupo de controle foi cronometrado em relação ao piscar de olhos 
durante um período de 5 minutos, ou 300 segundos. Os tempos acusaram 
distribuição normal com média de 184 s e desvio padrão de 55 s. Como os 
resultados mostraram que os pacientes esquizofrênicos não-paranóicos 
acusavam tempos muito inferiores aos do grupo de controle, decidiu-se 
prosseguir a análise das pessoas do grupo de controle que estavam nos 5% 
inferiores. Para o grupo de controle, determine P5. 
 
Solução: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Procuraremos na tabela de distribuição normal padronizada uma área de 0,45 
(0,50-0,05). Essa área corresponde a um valor de z de 1,645. Como o escore 
está abaixo da média, devemos considerá-lo negativo. Assim z=-1,645. Como 
temos os valores de z, σ e µ, podemos achar o valor de x pela fórmula do 
escore: 
 10
5,93184)645,1)(55(x
z.x
xz
=+−=
µ+σ=
σ
µ−=
 
 
 
O Teorema Central do Limite 
 
Dado: 
1) A variável aleatória x tem distribuição (que pode ser normal, ou não), commédia µ e desvio-padrão σ. 
2) Amostras de tamanho n são extraídas aleatoriamente dessa população. 
 
Conclusões: 
1) Na medida em que o tamanho da amostra aumenta, a distribuição das 
médias amostrais x tende para uma distribuição normal. 
2) A média das médias amostrais será a média populacional µ. 
µ=µx 
 
3) O desvio-padrão das médias amostrais será n/σ . 
nx
σ=σ , 
onde xσ é comumente chamado de erro padrão da média. 
 
Regras práticas de uso comum: 
1) Para amostras de tamanho n>30, a distribuição das médias amostrais pode 
ser aproximada, satisfatoriamente, por uma distribuição normal. A 
aproximação melhora na medida em que aumenta o tamanho da amostra n. 
2) Se a própria distribuição original tem distribuição normal, então as médias 
amostrais terão distribuição normal para qualquer tamanho amostral n. 
 
A seguir, ilustraremos o teorema central do limite. A tabela I traz os quatro 
últimos algarismos do SSN (número do seguro social) de cada um de 50 
estudantes. Esses quatro números são aleatórios. Esse conjunto de 200 
números tem média x = 4,5 e um desvio-padrão s = 2,8, e uma distribuição 
aproximadamente uniforme (veja figura 4). No entanto, calculando a média 
para cada uma das 50 amostras e construindo o histograma dessas médias, 
observamos a formação de uma distribuição normal (veja figura 5). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 11
Tabela I- Algarismos do SSN 
Algarismos do SSN x 
1 
5 
9 
5 
9 
4 
7 
9 
5 
7 
0 
9 
6 
8 
5 
6 
7 
5 
4 
1 
4 
3 
0 
1 
9 
7 
9 
8 
5 
9 
6 
8 
0 
2 
5 
6 
4 
7 
2 
8 
2 
6 
2 
2 
5 
0 
2 
7 
8 
5 
8 
3 
8 
1 
3 
2 
7 
1 
3 
8 
5 
8 
1 
1 
9 
2 
4 
7 
1 
2 
0 
1 
3 
5 
7 
3 
1 
6 
6 
3 
0 
2 
2 
0 
8 
5 
8 
1 
9 
3 
7 
7 
3 
4 
4 
4 
5 
1 
3 
6 
6 
3 
8 
2 
3 
6 
1 
5 
3 
4 
6 
2 
5 
3 
6 
3 
0 
5 
5 
0 
2 
2 
4 
1 
4 
1 
1 
5 
4 
9 
7 
9 
8 
9 
9 
4 
7 
2 
5 
2 
1 
7 
3 
7 
3 
3 
8 
3 
7 
6 
4 
6 
8 
5 
5 
2 
6 
4 
9 
1 
1 
2 
7 
0 
9 
4 
7 
6 
7 
6 
8 
5 
0 
0 
0 
1 
3 
9 
1 
5 
3 
6 
6 
7 
0 
9 
6 
0 
0 
2 
6 
1 
9 
5 
7 
8 
6 
4 
0 
7 
4,75 
4,25 
8,25 
3,25 
5,00 
3,50 
5,25 
4,75 
5,00 
5,00 
3,00 
5,25 
4,75 
3,00 
7,25 
3,75 
4,50 
5,75 
4,25 
2,25 
3,50 
2,75 
1,75 
1,75 
5,00 
3,00 
3,50 
7,00 
4,00 
6,50 
4,00 
6,25 
4,00 
4,50 
5,50 
6,00 
6,25 
2,50 
4,00 
3,75 
4,00 
5,25 
4,25 
4,50 
4,75 
3,75 
5,25 
3,75 
4,50 
6,00 
 
 12
 
 
 
 
 
 
A figura 6 traz uma ilustração geral para essa propriedade do teorema central 
do limite. 
 
 
Exemplo 12: Na engenharia humana e no projeto de produtos, freqüentemente 
é importante considerar os pesos das pessoas, de modo que não haja 
sobrecarga em aviões ou elevadores, as cadeiras não se quebrem, e não 
aconteçam outros acontecimentos perigosos ou embaraçosos. Dado que a 
população de homens tem pesos distribuídos normalmente com média 173 lb e 
desvio-padrão 30 lb, determine a probabilidade de que: 
a) um homem escolhido aleatoriamente pese mais de 180 lb. 
Fig.4. Distribuição de 200 algarismos 
dos números de inscrição no Seguro 
Social (4 últimos algarismos) de 50 
estudantes. 
Fig. 5. Distribuição de 50 médias 
amostrais para 50 estudantes. 
Fig. 6. Distribuição normal, uniforme e assimétrica. 
 
 
Normal 
 
Uniforme 
 
Assimétrica 
População 
original 
Médias amostrais 
(n=5) 
Médias amostrais 
(n=10) 
Médias amostrais 
(n=30) 
 13
b) em 36 homens escolhidos aleatoriamente, o peso médio seja superior a 180 
lb. 
 
Solução: 
a) Como se trata de um valor individual proveniente de uma população com 
distribuição normal não iremos utilizar o teorema central do limite. Iremos 
utilizar o mesmo método utilizado anteriormente. Calculando o escore z para o 
valor 180 temos: 
23,0
30
173180xz =−=σ
µ−= 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Recorrendo à tabela de distribuição normal padronizada vemos que a área da 
região delimitada pelo escore 0,23 é 0,0910. Dessa forma, a probabilidade 
procurada é 0,4090 (0,5-0,0910). 
 
b) Neste caso, estamos lidando com a média para um grupo de 36 valores, e 
não um valor individual. Por isso, iremos utilizar o teorema central do limite. 
Assim: 
173x =µ=µ 
 
5
36
30
nx
==σ=σ 
O valor do escore z para o valor 180 é calculado como se segue: 
40,1
5
173180xz
x
x =−=σ
µ−= 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A área delimitada pelo escore z igual a 1,40 é 0,4192. Dessa forma, a 
probabilidade procurada é 0,0808 (0,5-0,4192). 
 
 14
Ao aplicar o teorema central do limite, a utilização de n/x σ=σ supõe que a 
população tenha um número infinito de elementos. No caso da amostragem 
com reposição a população é, de fato, infinita. Entretanto, muitas aplicações 
realísticas envolvem amostragem sem reposição, de modo que as amostras 
sucessivas dependem dos resultados anteriores. Para tais populações finitas, 
devemos ajustar xσ . Eis uma regra empírica comum: 
 
No caso de amostragem sem reposição, quando o tamanho n da amostra é 
superior a 5% do tamanho N da população finita (isto é, n>0,05N), ajustamos o 
desvio-padrão da média amostral xσ multiplicando-o pelo fator de correção 
para população finita: 
1N
nN
−
− 
 
 
A Distribuição Normal como Aproximação da Distribuição Binomial 
 
A distribuição binomial de probabilidade, ao contrário da distribuição normal, 
aplica-se a uma variável aleatória discreta. 
 
Vimos, anteriormente, três maneiras de calcular probabilidades pela 
distribuição binomial. Em muitos casos, entretanto, esses métodos não são 
práticos. Como solução para esses casos, vamos introduzir um novo método 
pelo qual aproximamos a distribuição binomial por uma distribuição normal. 
 
Se 5nqe5np ≥≥ , então a variável aleatória binomial tem distribuição 
aproximadamente normal com média e desvio-padrão dados por: 
np=µ 
 
npq=σ 
 
O processo de aproximação pela normal envolve os seguintes passos: 
1) Verificar se a distribuição de probabilidade binomial é aplicável. 
2) Utilize (se possível) programas ou uma calculadora. 
3) Se não dispuser de programas, procure resolver o problema utilizando a 
tabela de distribuição binomial. 
4) Se não puder utilizar a tabela de distribuição binomial, considere a 
fórmula da probabilidade binomial. Se puder resolver o problema 
facilmente com a fórmula binomial, aplique-a. Em caso contrário, passe 
à etapa 5. 
5) Certifique-se de que a distribuição normal é uma aproximação 
conveniente da binomial, verificando se 5nqe5np ≥≥ . 
6) Determine os valores dos parâmetros µ e σ , calculando np=µ e 
npq=σ . 
7) Identifique o valor discreto x que representa o número de sucessos no 
experimento binomial. Modifique o valor discreto x substituindo-o pelo 
 15
intervalo de x-0,5 a x+0,5. Trace uma curva normal e introduza os 
valores de µ , σ e/ou x-0,5 ou x+0,5, conforme apropriado. 
8) Determine o escore z para o valore de x modificado. 
9) Com o escore z achado, consulte a tabela de distribuição normal 
padronizada para achar a área entre µ e x-0,5 ou x+0,5, conforme 
adequado. Identifique a área correspondente à probabilidade desejada. 
 
A modificação do valor x no passo 7 corresponde a uma correção de 
continuidade. Essa correção é necessária uma vez que a distribuição normal é 
contínua e a distribuição binomial é discreta. 
 
Para os problemas em que se utiliza a distribuição normal como aproximação 
da distribuição binomial a correção de continuidade é passo fundamental e a 
interpretação das expressões utilizadas nesses problemas é muito importante. 
Vamos ver os casos comuns para o caso de um valor de x igual a 64 (cujos 
valores corrigidos são 63,5 e 64,5): 
 
AfirmaçãoÁrea 
Pelo menos 64 (inclui 64 ou mais) 
Mais de 64 (não inclui 64) 
No máximo 64 (inclui 64 ou menos) 
Menos de 64 (não inclui 64) 
Exatamente 64 
À direita de 63,5 
À direita de 64,5 
À esquerda de 64,5 
À esquerda de 63,5 
Entre 63,5 e 64,5 
 
Exemplo 13: Suponha que o quadro administrativo de sua faculdade tenha 
igual número de candidatos e candidatas a emprego, e que 64 dos 100 
funcionários recém-admitidos são homens. Estime a probabilidade de obter 
pelo menos 64 homens, se cada contratação é feita independentemente e sem 
qualquer discriminação quanto a sexo. (A probabilidade de obter exatamente 
64 homens na verdade não nos diz nada, porque, em 100 provas, a 
probabilidade de qualquer número determinado de homens é por demais 
pequena. Em lugar disso, necessitamos da probabilidade de obter um resultado 
pelo menos tão extremo como o verificado.) Com base no resultado, parece 
que a faculdade está fazendo discriminação quanto ao sexo? 
 
Solução: O problema envolve uma distribuição binomial com n=100, provas 
independentes, duas categorias (homem e mulher), probabilidades que 
supomos permanecerem constantes. Como, neste caso, fica inviável aplicar a 
fórmula da distribuição binomial e não podemos utilizar a tabela da distribuição 
binomial, vamos verificar se é possível aproximar a distribuição binomial pela 
distribuição normal: 
np=(100)(0,5)=50 (Portanto, 5np ≥ .) 
nq=(100)(0,5)=50 (Portanto, 5nq ≥ .) 
 
Calculando os valores de µ e σ ... 
50)5,0)(100(np ===µ 
 
5)5,0)(5,0)(100(npq ===σ 
 
 16
O valor discreto x é o 64. Fazendo as correções de continuidade devemos 
representar os valores 63,4 (64-0,5) e 64,5 (64+0,5) no esboço da curva 
normal. Como pretendemos achar a probabilidade de ao menos 64 homens, 
devemos achar a área à direita do valor 63,5. Calculando o valor de Z para 
x=63,5 temos: 
70,2
5
505,63xz =−=σ
µ−= 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Recorrendo à tabela de distribuição normal padronizada vemos que z=2,70 
corresponde a uma área de 0,4965. Assim a área procurada é 0,5-
0,4965=0,0035. Como a probabilidade de obter pelo menos 64 homens é tão 
pequena, concluímos que ou ocorreu um evento bastante raro, ou a hipótese 
de homens e mulheres terem a mesma chance é incorreta.