SD Análise Combinatória ALUNO

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Sequência Didática – Matemática 1
NÚMEROS E OPERAÇÕES
Sequência DiDática – ANÁLISE COMBINATÓRIA
ativiDaDe 1 - a DecoraDora
Uma decoradora encomendou, para o mar-
ceneiro, um banco onde cabem 3 almofadas.
1. Mandou fazer diversas almofadas, de 3 cores diferentes, vermelhas (V), azuis (A) e brancas (B), como essas:
V A B
Ela quer saber de quantas maneiras vai poder arrumar essas almofadas nesse banco.
Vamos analisar as situações possíveis.
a) Se ela não quiser repetir a cor, as almofadas podem ser arrumadas assim:
V A B
V B A
Se a 1ª almofada for a vermelha, 
temos 2 possibilidades:
A
A
Se a 1ª almofada for a azul, 
temos 2 possibilidades: (complete)
B
B
Se a 1ª almofada for a branca, 
temos 2 possibilidades: (complete)
 Portanto, no total, são maneiras diferentes de arrumar as almofadas. Podemos escrever: 3 x 
2
b) Se ela não se importar em repetir a cor, vão ser muitas outras possibilidades.
 Usando o diagrama da árvore das possibilidades – você se lembra dele? – complete o esquema:
São possibilidades: 3 vermelhas; 2 vermelhas e uma azul; 2 verme-
lhas e uma branca; uma vermelha, uma azul e outra vermelha;... e assim 
por diante, não importando que as cores das almofadas se repitam.
Nesse caso, temos:
3 x 3 x 3 = 3 = 
Vamos agora eliminar, na árvore ao lado, todas as possibilidades em que 
as cores se repetem.
Com quantas possibilidades ficamos? 
Esse número coincide com o encontrado no item anterior? 
c) Existe uma outra maneira de resolver esse tipo de problema: usando tabelas de dupla entrada.
 São 3 cores de almofadas que devemos arrumar. Como a tabela é de dupla entrada, podemos trabalhar com apenas dois 
dados de cada vez:
1º) Primeiro, veja as possibilidades de arrumar 2 almofadas:
 São possibilidades, com repetição de cores.
V
V
V V V V
A V V A
B V V B
A
V A V
B
A
V
A
B
V
A
B
V
A
B
B
V A B
V VV VA VB
A AV AA AB
B BV BA BB
Sequência Didática – Matemática 3
2º) Agora, vamos inserir essas possibilidades em outra tabela e encontrar as possibilidades de arrumações de 3 almofadas:
 Quantas são as possibilidades? 
 Assinale na tabela apenas as arrumações em que não aparece repetição 
de cores. Quantas são? 
2. Se a decoradora tivesse mandado fazer almofadas de 4 cores – vermelha, azul, branca e cinza – e ainda quisesse acomodar 
essas almofadas no mesmo tipo de banco, onde cabem 3 almofadas, quais seriam as possibilidades?
Vamos analisar as situações possíveis.
a) Se ela não se importar de repetir a cor:
 Para resolver vamos usar as tabelas de dupla entrada.
 São 16 possibilidades, arrumando apenas 2 almofadas. 
 Depois, usando uma 2ª tabela, variamos a 3ª almofada. 
 Quantas possibilidades temos? 
 Podemos escrever como 4 x 4 x 4 = 4 = 
V A B
VV VVV VVA VVB
VA
VB
AV
AA
AB
BV
BA
BB
V A B C
V
A
B
C
1ª tabela
V A B C
VV
AV
BV
CV
2ª tabela
4
b) Se ela não quiser repetir a cor:
 Para resolver, vamos usar outra estratégia, a árvore de possibilidades.
Quantas possibilidades você encontrou? 
Podemos representar assim:
4 x x 
Nesse último caso, temos: 4 x 3 x 2 = 4 x 3 x 2 x 1, que chamamos 
de 4! (quatro fatorial).
Fatorial: Dado um número qualquer n (n N), definimos fatorial de n como
n! = n . (n-1) . (n-2) . (n-3) ..... 3 . 2 . 1 para n ≥ 2, em que 1! = 1 e 0! = 1
Fique sabendo que...
V
A
C V A C
B V A B
B
A V B A
C V B C
C
A V C A
B V C B
A
B
C
C
B
V
B
C
V
A
V
A
C
1ª almofada
(4 possíveis 
cores)
2ª almofada
(3 possíveis 
cores)
3ª almofada
(2 possíveis 
cores)
Sequência Didática – Matemática 5
algumaS obServaçõeS Sobre a ativiDaDe anterior:
No caso do item 1-a temos uma situação de Arranjo simples (sem repetição) de 3 elementos, 3 a 3, 
que também podemos chamar de permutação de 3 elementos.
Representamos por An,p = 
n!
(n – p)!
 ou Pn = n! em que n é o número de elementos e p é como toma-
mos esses elementos.
Nesse caso, temos n = 3 e p = 3, por isso o arranjo é igual à permutação.
Nos casos 1-b e 2-a, temos situações de Arranjos com repetição, que representamos por An,p = n
p, 
em que n indica o número de elementos e p indica quantas vezes tomamos esses elementos.
An,p = n
p = n x n x n....x n
No caso 2-b, temos uma situação de Arranjo simples ou permutação:
An,p = 
n!
(n – p)!
 ou Pn = n!; nesse caso temos An,p = 
4!
(4 – 3)!
 = 4!
p vezes
ativiDaDe 2 - ainDa a DecoraDora...
Em outra encomenda de trabalho, a decoradora aproveitou 4 almofadas que sobraram, nas cores vermelha, azul, branca e cin-
za, agora para um banco em que cabem apenas 2 almofadas. Quantos seriam os possíveis arranjos com elas? Vamos tentar? 
Você pode usar qualquer estratégia.
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ativiDaDe 3
Vamos agora resolver outras situações:
1. Carlos esqueceu a senha de que precisa para acessar um site de compras na internet. Lembra que são 4 dígitos, que usou as 
letras de seu nome sem repetição e que ela começa com L. Quantas possibilidades de senha ele tem? Será que ele vai precisar 
testar todas essas possibilidades?
2. No 1º A, os alunos vão escolher, entre 8 candidatos, o representante e o vice-representante dos alunos no Conselho 
de Escola. De quantas maneiras essa dupla pode ser formada?
3. As letras do alfabeto são 26. Quantos agrupamentos de 4 letras, que formem palavras ou não, podemos formar com elas?
Obs.: nesse caso, é melhor usar a calculadora!
Sequência Didática – Matemática 7
4. Vilma está na mesma situação de Carlos, esqueceu a senha, só que de sua conta no banco. A senha é constituída de 2 letras 
do alfabeto, seguidas de 4 dígitos numéricos. Vilma apenas lembra que usou as letras do seu nome e os dígitos do seu ano 
de nascimento, 1987. Quantas possibilidades tem essa senha?
ativiDaDe 4
Vamos voltar para o caso da decoradora na situação inicial: almofadas de 3 cores diferentes: vermelha, azul e branca. 
De quantas maneiras ela pode combinar essas almofadas num banco de 3 lugares?
Lembre-se que ela podia arranjar essas 3 almofadas de 6 maneiras diferentes: 3 x 2 = 6
V V V
V V V
A A
A A
B B B
B B B
A
A
Para refletir...
Arranjar e combinar são palavras com significados diferentes, pois nes-
ses 6 arranjos a combinação foi de apenas 1 tipo: almofadas vermelha, 
azul e branca.
Então, podemos diferenciar arranjo de combinação e escrever que 
combinação de 3 elementos, 3 a 3, é C3,3 = 1.
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1. E se o banco fosse de 2 lugares? Como seriam as combinações?
Seriam 3 combinações possíveis.
V VA AB B
V
V VV
A VA
B VB
B
V BV
A BA
B BB
A
V AV
A AA
B AB
Quantas podem ser consideradas? 
Usando a árvore de possibilidades:
V B A
V
B
A
Quantas achou? 
Usando a tabela:
2. E se fossem 4 almofadas (vermelha, branca, azul e cinza) para o banco de 2 lugares? Tente responder usando qualquer 
estratégia.
Sequência Didática – Matemática 9
3. E se fossem 4 almofadas em um banco de 3 lugares? Aqui, também, você pode usar qualquer estratégia.
Para refletir...
Conforme vamos aumentando o número de elementos e os agrupamen-
tos, mais trabalhosas vão ficando as resoluções, o que pode incorrer 
em erros e morosidade. Para resolver esse problema, como temos uma 
fórmula para os arranjos, também temos para as combinações:
Cm,n = 
m!
n!(m – n)!
 em que m é o número total de elementos e n é o 
número de elementos em cada agrupamento.
ativiDaDe 5
Volte à atividade 4 e resolva os 3 itens usando, agora, a fórmula.
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ativiDaDe 6
Agora resolva esses outros problemas!
1. Dentre os 8 representantes dos alunos de uma escola, apenas 3 vão ser escolhidos para participar do júri que vai elegera 
melhor música do concurso da escola. Quantas são as possíveis escolhas?
2. Em uma avaliação de 12 questões, os alunos podem escolher 8 para resolver. De quantas maneiras diferentes eles podem 
escolher essas questões? (não importa a ordem da escolha)
3. Das 52 cartas de um baralho, 4 são tiradas uma após a outra, sem reposição. Quantos são os resultados possíveis
a) não se levando em conta a ordem das cartas?
b) levando-se em conta a ordem das cartas?
4. Uma comissão de 5 pessoas precisa ser formada em uma empresa; 8 homens e 10 mulheres se candidataram. De quantas 
maneiras essa comissão pode ser formada, sendo composta por 2 homens e 3 mulheres?
5. Em uma urna há 10 bolas, sendo 4 brancas e 6 pretas. De quantos modos podemos retirar 5 bolas dessa urna de tal forma 
que 2 delas sejam brancas?
Sequência Didática – Matemática 11
ANEXO - ativiDaDe 1
V
V
V
V
V
V
V
V
V
V
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B