2a Avaliacao Parcial de Algebra Linear II - 2013-02

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Curso: Engenharia Aluno(a):
Disciplina: Matr´ıcula: Turma: Per´ıodo:
Professor(a): Semestre: Data: Nota:
INFORMAC¸O˜ES GERAIS:
1. Leia com atenc¸a˜o a sua prova. Cada questa˜o valera´ ate´ (2,5) pontos.
2. Esta avaliac¸a˜o e´ Individual e sem consulta.
3. O aluno so´ podera´ entregar a prova trinta minutos apo´s o in´ıcio da mesma.
4. As du´vidas de ordem te´cnica, constantes na prova, so´ podera˜o ser esclarecidas pelo professor da disciplina, nos primei-
ros quarenta minutos iniciais da prova.
5. E´ proibido destacar pa´ginas da prova, bem como utilizar qualquer outra folha de papel, a na˜o ser a entregue pelo(a)
professor(a) fiscal da prova.
6. A avaliac¸a˜o pode ser respondida a a la´pis, pore´m o resultado final da quesra˜o devera´ ser apresentado, obrigatoriamen-
te, em caneta, tinta azul ou preta.
7. E´ proibido uso de celulares, tablets e outros aparelhos de comunicac¸a˜o durante a prova.
8. Todo material e´ de uso individual, na˜o sendo permitido empre´stimo de qualquer material durante a prova
9. O tempo ma´ximo para realizac¸a˜o da prova e´ de 100 minutos.
10. A portaria n. 024/2008/GD/EST/UEA estabelece que, em dia de prova, o aluno dos cursos de Engenharia, Tecnolo-
gia, Licenciatura em Informa´tica e Meteorologia comparec¸a ao local determinado da para a realizac¸a˜o da prova munido
de documento oficial, original, com foto, para apresentac¸a˜o, se solicitado.
2a Avaliac¸a˜o Parcial de A´lgebra Linear II
Questo˜es Obrigato´rias
Questa˜o 1. [2, 5 pontos] Determinar o operador linear T : R3 → R3, cujos autovalores 1 e −1 sa˜o
associados aos subespac¸os
V1 = {(x, y, z) ∈ R3; y = 0}
e
V−1 = {reta gerada por (0, 2, 0)}
de R3, respectivamente.
Questa˜o 2. [2, 5 pontos] Sejam T : R3 → R3 um operador linear, α = {(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)},
a base canoˆnica de R3, e
[T ]αα =
 1 0 0−2 −1 0
2 1 −2
 .
(a) [ 1, 0 ponto] Encontre o polinoˆmio caracter´ıstico de T e os seus respectivos autovalores.
(b) [ 1, 0 ponto] Determinar os autovetores de T .
(c) [ 0, 5 ponto] Seja p o polinoˆmio caracter´ıstico de T e γ uma base de R3, constitu´ıda de autovetores
de T . Calcular p([T ]γγ).
1
Questa˜o 3. [2, 5 pontos] Considere o operador T :M2×2(R)→M2×2(R) definido por
T (B) = PBP−1
onde P e´ uma matriz fixada.
(a) [1, 0 ponto] Mostrar que se P2 = P(isto e´, P e´ idempotente) e B e´ uma matriz diagonal, enta˜o
T 2(B) e´ uma matriz diagonaliza´vel.
(b) [1, 5 pontos] Mostrar que se P−1 = P(isto e´, P e´ auto-reflexiva), enta˜o T 2 e´ um operador
diagonaliza´vel.
(Observac¸a˜o: T 2 = T ◦ T ).
Questa˜o 4. [2, 5 pontos] Considere o espac¸o vetorial real
C0
([
0,
pi
2
])
=
{
f :
[
0,
pi
2
]
→ R; f e´ cont´ınua em
[
0,
pi
2
]}
munido com o produto interno
〈f, g〉 =
∫ pi
2
0
f(t)g(t)dt, ∀ f, g ∈ C0
([
0,
pi
2
])
.
Dadas as func¸o˜es f(t) = sen t e g(t) = cos t, determine o aˆngulo θ formado entre f e g.
(Sugesta˜o: as relac¸o˜es cos2 t =
1
2
+
1
2
cos 2t e sen2 t =
1
2
− 1
2
cos 2t podem ser u´teis).
Questo˜es Extras (OPCIONAL)
Questa˜o 5. [2, 0 pontos] Sejam v e w vetores de um espac¸o vetorial real V com produto interno.
Prove a seguinte identidade polar:
〈v, w〉 = 1
4
(‖v + w‖2 − ‖v − w‖2).
(Sugesta˜o: use a relac¸a˜o ‖u‖2 = 〈u, u〉.)
Questa˜o 6. [2, 0 pontos] Seja V = F(R,R) o espac¸o das func¸o˜es f : R→ R. Considere o subespac¸o
S = [e2x senx, e2x cosx, e2x]
de V e o operador linear D : S → S definido por D(f) = f ′ (derivada de f). Considere ainda as
func¸o˜es f1(x) = e
2x senx, f2(x) = e
2x cosx e f3(x) = e
2x em V . Determine:
(a) [1, 0 ponto] a matriz de D em relac¸a˜o a` base β = {f1, f2, f3} de S.
(b) [1, 0 ponto] os autovalores de D e as func¸o˜es de S que sa˜o autovetores de D.
Boa Sorte!
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