Volume de sólidos de revolução

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So´lido de revoluc¸a˜o
Volume de so´lidos de revoluc¸a˜o
Danilo Sande
October 11, 2013
Danilo Sande Volume de so´lidos de revoluc¸a˜o
So´lido de revoluc¸a˜o
I´ndice
1 So´lido de revoluc¸a˜o
Me´todo do disco circular
Me´todo dos invo´lucros cil´ındricos
Danilo Sande Volume de so´lidos de revoluc¸a˜o
So´lido de revoluc¸a˜o
Me´todo do disco circular
Me´todo dos invo´lucros cil´ındricos
So´lido de revoluc¸a˜o
So´lido de revoluc¸a˜o
Um so´lido de revoluc¸a˜o e´ o lugar geome´trico descrito pelos pontos
de uma regia˜o do plano xy onde se realiza uma rotac¸a˜o (uma volta
completa) em torno de uma reta (ou eixo).
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So´lido de revoluc¸a˜o
Me´todo do disco circular
Me´todo dos invo´lucros cil´ındricos
Me´todo do disco circular
Me´todo do disco circular em torno do eixo
Suponhamos que um so´lido de revoluc¸a˜o seja obtido
rotacionando-se, em torno do eixo x, uma regia˜o R delimitada pela
curva y = f (x), sendo f cont´ınua em [a, b], f (x) > 0 e pelas retas
verticais x = a e x = b.
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So´lido de revoluc¸a˜o
Me´todo do disco circular
Me´todo dos invo´lucros cil´ındricos
Me´todo do disco circular
Me´todo do disco circular em torno do eixo
Para cada x ∈ [a, b], um plano perpendicular ao eixo x, determina
uma sec¸a˜o transversal no so´lido, esse sec¸a˜o e´ um c´ırculo centrado
em (x,0) e de raio f (x).
Logo, a a´rea A(x) = pi[f (x)]2:
V =
∫ b
a A(x)dx = pi
∫ b
a [f (x)]
2dx , ou V = pi
∫ b
a [g(y)]
2dy se for em
torno de y.
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So´lido de revoluc¸a˜o
Me´todo do disco circular
Me´todo dos invo´lucros cil´ındricos
Me´todo do disco circular
Me´todo do disco circular com duas func¸o˜es em torno do eixo
Se um so´lido de revoluc¸a˜o e´ obtido rotacionando-se, em torno do
eixo x, uma regia˜o R delimitada pelas curvas y = f1(x), y = f2(x)
e pelas retas verticais x = a e x = b, sendo f1(x) > f2(x) para
a ≤ x ≤ b, o volume sera´ dado por:
V = pi
∫ b
a {[f1(x)]2 − [f2(x)]2}dx , e analogamente para y:
V = pi
∫ b
a {[g1(y)]2 − [g2(y)]2}dy
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So´lido de revoluc¸a˜o
Me´todo do disco circular
Me´todo dos invo´lucros cil´ındricos
Me´todo do disco circular
Exemplo 1
Considere a regia˜o do plano delimitada pelo eixo x e pelo gra´fico
de y =
√
x , para 0 ≤ x ≤ 2, rotacionando ao redor do eixo x e
rotacionando ao redor do eixo y. Calcule o volume dos dois so´lidos
gerados.
a) Rotac¸a˜o em torno de x:
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So´lido de revoluc¸a˜o
Me´todo do disco circular
Me´todo dos invo´lucros cil´ındricos
Me´todo do disco circular
Exemplo 1
b) Rotac¸a˜o em torno de y:
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So´lido de revoluc¸a˜o
Me´todo do disco circular
Me´todo dos invo´lucros cil´ındricos
Me´todo do disco circular
Exemplo 2
Determine o volume do so´lido obtido pela rotac¸a˜o da regia˜o do
plano delimitada por y = x1/3 e y = x4 no primeiro quadrante, ao
redor do eixo x e depois ao redor do eixo y.
a) Rotac¸a˜o em torno de x:
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Me´todo do disco circular
Me´todo dos invo´lucros cil´ındricos
Me´todo do disco circular
Exemplo 2
b) Rotac¸a˜o em torno de y:
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Me´todo do disco circular
Me´todo dos invo´lucros cil´ındricos
Me´todo do disco circular
Me´todo do disco circular com duas func¸o˜es em torno de uma reta
paralela ao eixo
Se ao inve´s do eixo x, a rotac¸a˜o for em torno da reta y = k
(f1(x) > f2(x) e g1(y) > g2(y), com y = K maior ou menor que as
duas func¸o˜es), enta˜o:
V = pi
∫ b
a {[f1(x)− k]2 − [f2(x)− k]2}dx , e analogamente para y
(nesse caso a rotac¸a˜o e´ em torno de x = k):
V = pi
∫ b
a {[g1(y)− k]2 − [g2(y)− k]2}dy
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Me´todo do disco circular
Me´todo dos invo´lucros cil´ındricos
Me´todo do disco circular
Exemplo 3
A regia˜o R, delimitada pela para´bola x = y
2
2 + 1 e pelas retas
x = −1, y = −2 e y = 2, gira em torno de x = −1. Determine o
volume do so´lido de revoluc¸a˜o obtido.
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Me´todo do disco circular
Me´todo dos invo´lucros cil´ındricos
Me´todo do disco circular
Exemplo 4
Determine o volume do so´lido obtido pela rotac¸a˜o da regia˜o
delimitada pelas curvas y = x2 e y =
√
x , ao redor da reta x = −2.
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Me´todo do disco circular
Me´todo dos invo´lucros cil´ındricos
Me´todo dos invo´lucros cil´ındricos
Me´todo dos invo´lucros cil´ındricos
Usamos este me´todo quando a rotac¸a˜o e´ realizada em torno do
eixo y, temos func¸o˜es do tipo y = f (x) e e´ imposs´ıvel escrever x
como func¸a˜o de y (ou para simplificar um dado problema). Vale o
mesmo para rotac¸a˜o em torno do eixo x, com func¸o˜es do tipo
x = g(y).
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Me´todo do disco circular
Me´todo dos invo´lucros cil´ındricos
Me´todo dos invo´lucros cil´ındricos
Me´todo dos invo´lucros cil´ındricos
Suponhamos que um so´lido de revoluc¸a˜o seja obtido
rotacionando-se, em torno do eixo y, uma regia˜o delimitada pela
curva y = f (x), sendo f cont´ınua e positiva em [a, b], e pelas retas
verticais x = a e x = b, conforme a figura:
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Me´todo do disco circular
Me´todo dos invo´lucros cil´ındricos
Me´todo dos invo´lucros cil´ındricos
Me´todo dos invo´lucros cil´ındricos
Dividindo R em faixas de largura infinite´simas ∆x :
Quando a faixa e´ rotacionada em torno do eixo y, ela gera uma
casca cil´ındrica de espessura ∆x e volume ∆V . Essa casca
cil´ındrica e´ a diferenc¸a entre um cilindro exterior de raixo x + ∆x e
um cilindro interior de raio x.
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Me´todo do disco circular
Me´todo dos invo´lucros cil´ındricos
Me´todo dos invo´lucros cil´ındricos
Me´todo dos invo´lucros cil´ındricos
Ambos cilindros possuem altura infinitamente pro´xima de f (x).
Assim, o volume desta casa cil´ındrica e´:
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Me´todo do disco circular
Me´todo dos invo´lucros cil´ındricos
Me´todo dos invo´lucros cil´ındricos
Me´todo dos invo´lucros cil´ındricos em torno do eixo y
∆V ≈ cilindro exterior - cilindro interior:
∆V ≈ pi(x + ∆x)2f (x)− pix2f (x)
∆V ≈ pi(x2 + 2x∆x + (∆x)2 − x2)f (x)
∆V ≈ pi(2x∆x + (∆x)2)f (x) (despreza o termo (∆x)2 por ser
muito pequeno)
∆V ≈ 2pixf (x)∆x
Integrando para todo o intervalo de x:
V =
∫ b
a 2pixf (x)dx
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Me´todo do disco circular
Me´todo dos invo´lucros cil´ındricos
Me´todo dos invo´lucros cil´ındricos
Me´todo dos invo´lucros cil´ındricos em torno do eixo x
Se um so´lido de revoluc¸a˜o S e´ obtido rotacionando-se em torno do
eixo x, uma regia˜o delimitada pela curva x = g(y) cont´ınua e
positiva em [a, b], e pelas retas horizontais y = a e y = b, o
volume de S sera´ dado por:
V =
∫ b
a 2piyg(y)dy
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Me´todo do disco circular
Me´todo dos invo´lucros cil´ındricos
Me´todo dos invo´lucros cil´ındricos
Exemplo 5
Determine o volume do so´lido obtido pela rotac¸a˜o da regia˜o
limitada pelo gra´fico da curva y = 2x2 − x3 e o eixo x, em torno
do eixo y.
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Me´tododo disco circular
Me´todo dos invo´lucros cil´ındricos
Me´todo dos invo´lucros cil´ındricos
Me´todo dos invo´lucros cil´ındricos com duas func¸o˜es em torno do
eixo x
Se um so´lido de revoluc¸a˜o S e´ obtido rotacionando-se em torno do
eixo y, uma regia˜o delimitada pelas curvas y = f1(x), y = f2(x) e
pelas retas x = a e x = b, sendo f1(x) > f2(x) para a ≤ x ≤ b, o
volume de S sera´ dado por:
V =
∫ b
a 2pix [f1(x)− f2(x)]dx
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Me´todo dos invo´lucros cil´ındricos
Me´todo dos invo´lucros cil´ındricos
Me´todo dos invo´lucros cil´ındricos com duas func¸o˜es em torno do
eixo y
Se um so´lido de revoluc¸a˜o S e´ obtido rotacionando-se em torno do
eixo x, uma regia˜o delimitada pelas curvas x = g1(y), x = g2(y) e
pelas retas y = a e y = b, sendo g1(x) > g2(x) para a ≤ y ≤ b, o
volume de S sera´ dado por:
V =
∫ b
a 2piy [g1(y)− g2(y)]dy
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Me´todo do disco circular
Me´todo dos invo´lucros cil´ındricos
Me´todo dos invo´lucros cil´ındricos
Exemplo 6
Determine o volume do so´lido obtido pela rotac¸a˜o da regia˜o
delimitada por y = x1/3 e y = x4 no primeiro quadrante, ao redor
do eixo x.
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Me´todo do disco circular
Me´todo dos invo´lucros cil´ındricos
Me´todo dos invo´lucros cil´ındricos
Me´todo dos invo´lucros cil´ındricos com duas func¸o˜es em torno de
uma reta paralela a x
Se um so´lido de revoluc¸a˜o S e´ obtido rotacionando-se em torno da
reta y = k , uma regia˜o delimitada pelas curvas x = g1(y),
x = g2(y) e pelas retas y = a e y = b, sendo g1(x) > g2(x) para
a ≤ y ≤ b, o volume de S sera´ dado por:
V =
∫ b
a 2pi|y − k |[g1(y)− g2(y)]dy
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Me´todo do disco circular
Me´todo dos invo´lucros cil´ındricos
Me´todo dos invo´lucros cil´ındricos
Me´todo dos invo´lucros cil´ındricos com duas func¸o˜es em torno de
uma reta paralela a y
Se um so´lido de revoluc¸a˜o S e´ obtido rotacionando-se em torno da
reta x = k , uma regia˜o delimitada pelas curvas y = f1(y),
y = f2(y) e pelas retas x = a e x = b, sendo f1(x) > f2(x) para
a ≤ x ≤ b, o volume de S sera´ dado por:
V =
∫ b
a 2pi|x − k |[f1(x)− f2(x)]dx
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Me´todo dos invo´lucros cil´ındricos
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Exemplo 7
Determine o volume do so´lido obtido pela rotac¸a˜o da regia˜o
delimitada pelas curvas y = x2 e y =
√
x , ao redor da reta x = −2.
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