Resumo Área 1 - Mecânica Vetorial - Alexandre Luis Braun

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RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS – ÁREA 1 
AULA 01 – ESTÁTICA: REVISÃO 
1. INTRODUÇÃO 
1.1 Conceitos fundamentais da Mecânica Clássica 
� Força: grandeza vetorial que representa a interação entre dois corpos de acordo com a terceira Lei 
de Newton (ação e reação). As forças são geradas por contato (ex.: forças de atrito, pressão de 
fluidos) ou à distância, sendo neste caso obtidas pela ação de campos gravitacionais (força peso) e 
eletromagnéticos. 
 
Descrição vetorial: 
 
x y zf f fij =F = F i + j + k
� � �� � �
λλλλ 
Vetor unitário de direção: 
( )x y zcos ,cos ,cosijij
ij
θ θ θ= =
r
r
�
�
�
λλλλ 
P Pij j i= −r
�
: vetor posição relativa 
x y z, ,θ θ θ : ângulos diretores 
Componentes escalares do vetor força: 
x x y y z zf cos ; f cos ; f cosθ θ θ= = =F F F
� � �
 
ou: 
x y y y
z y
f sen .cos ; f cos ;
f sen .sen
θ φ θ
θ φ
= =
=
F F
F
� �
�
 
As forças que atuam em um corpo são divididas entre forças externas e forças internas. As forças 
externas representam a ação de agentes externos ao corpo, tais como cargas induzidas por contato 
com outros corpos e ação do campo gravitacional, além das próprias reações vinculares. Estes ações 
podem ocorrer de forma estática, quando as forças são aplicadas de uma maneira lenta, ou de forma 
dinâmica, quando são levados em conta os efeitos inerciais do corpo que é submetido ao 
carregamento. Por outro lado, as forças internas desenvolvem-se no interior dos corpos e são 
responsáveis pela manutenção do equilíbrio interno, representando a ação mútua entre as partes que 
constituem um dado corpo. 
 
Forças externas: p = 270 N/m, reações vinculares em A; Forças internas na seção C: Nc, Vc e Mc. 
Dependendo da forma como ocorrem as ações, as respectivas forças que as representam podem ser 
consideradas como sendo concentradas ou ainda distribuídas sobre uma superfície ou sobre uma 
linha. Cargas concentradas são empregadas na representação de forças e pressões atuando sobre 
áreas muito pequenas em comparação com as dimensões do corpo sobre o qual elas atuam, o 
suficiente para serem considerais pontuais. Por outro lado, cargas distribuídas são utilizadas para 
representar uma ação que se estende sobre uma dada área da superfície de um corpo. 
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a) carga concentrada b) carga distribuída por 
unidade de área 
c) carga distribuída por 
unidade de comprimento 
 
.F p A= 
 
( , ) F Vp x y h
A A
γ γ= = = 
 
( ) . .F Vp x e h
L L
γ γ= = = 
 
V: volume da carga; A: área de contato; h: altura da carga; γ: peso específico do material da carga. 
No caso de forças distribuídas, uma força concentrada equivalente deve ser obtida para a 
determinação das reações nos apoios, tendo sua linha de ação na direção do próprio carregamento e 
passando pelo centróide da figura que representa a distribuição de carga. O módulo da força 
equivalente é igual à área (ou volume) abaixo da curva que define a forma de distribuição do 
carregamento. 
a) carga distribuída por unidade de comprimento 
 
 
Força concentrada equivalente: 
F ( )
L
p x dx dA= =∫ ∫ 
Ponto de aplicação: 
. ( )
.
( )
L
L
x p x dx
x dA
x
p x dx dA
= =
∫ ∫
∫ ∫
 
b) carga distribuída por unidade de área 
 
Força concentrada equivalente: 
F ( )
A
p x dA dV= =∫ ∫ 
Ponto de aplicação: 
. ( , )
.
( , )
A
A
x p x y dA
x dV
x
p x y dA dV
= =
∫ ∫
∫ ∫
 
. ( , )
.
( , )
A
A
y p x y dA y dV
y
p x y dA dV
= =
∫ ∫
∫ ∫
 
 
 
 
 
 3
� Momento: grandeza vetorial que mede a tendência de uma força de gerar rotações em um corpo. 
 
Descrição vetorial: 
O OA A= ×M r F
� �
�
 
OAr
�
: vetor posição relativa ao pólo O. 
Módulo do vetor momento: 
O OA A A. sen .dα= =M r F F
� � �
�
 
d: braço de alavanca (menor distância entre o 
ponto O e a linha de ação da força). 
Direção e sentido do vetor momento: 
ortogonal ao plano definido por OAr
�
 e AF
�
 com 
sentido segundo a regra da mão direita. 
 
Componentes escalares do vetor momento: 
O x y z
x y z
r r r
f f f
 
 
=  
 
  
i j k
M
� � �
�
 
O XO YO ZOM M M=M i + j + k
� �� �
 
XO y z z yM r .f r .f= − ; YO z x x zM r .f r .f= − 
ZO x y y xM r .f r .f= − 
Convenção de sinais: 
Sentido anti-horário em relação aos eixos X, Y e Z. 
 
Em problemas planos (plano XY), o vetor momento M
�
 
de uma força F
�
 terá sempre sua direção dada segundo 
o eixo Z, com o módulo dado por .dF
�
. Para facilitar 
os procedimentos de cálculo, emprega-se o teorema de 
Varignon, mostrado ao lado. Assim, são utilizados os 
braços de alavanca das componentes da força ao invés 
do braço de alavanca da linha de ação da força. 
 
1 1 2 2. . .R d F d F d= + 
 
� Partícula e corpo rígido, deformações: a abordagem de partícula na Estática é empregada quando 
temos a concorrência das linhas de ação das forças atuantes em um único ponto. Com isso, o 
equilíbrio pode ser verificado simplesmente pela obtenção de um vetor força resultante nulo. 
 
Abordagem de partícula (forças concorrentes em G): =∑F 0
��
 
Abordagem de corpo rígido: 
 =

=
∑
∑ G
F 0
M 0
��
��
 
Abordagem de corpo deformável: 0ij i
i
b
x
σ ρ∂ + =
∂
 
Por outro lado, a abordagem de corpo rígido é utilizada quando os pontos materiais que compõe o 
corpo apresentam posições relativas fixas entre si, sem alteração na forma do corpo quando 
submetido à ação de forças. O equilíbrio estático é verificado através da existência de um vetor força 
resultante nulo e de um vetor momento resultante nulo, uma vez que a condição estática só pode ser 
confirmada neste caso pela inexistência de acelerações lineares e angulares devido ao fato do 
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sistema de forças atuantes ser não concorrente. Quando deformações finitas são observadas, 
alterando significativamente a forma do corpo, deve-se utilizar a Mecânica de corpos deformáveis 
para o estudo do equilíbrio. Contudo, nos casos em que a configuração deformada do corpo é muito 
próxima da configuração indeformada, a Mecânica de corpos rígidos pode ser utilizada como 
aproximação sem prejuízos quanto à precisão dos resultados. 
� Leis de Newton: As Leis de Newton são um conjunto de axiomas que definem os princípios 
básicos sobre os quais se fundamenta a Mecânica Clássica. Neste contexto, empregam-se os 
conceitos absolutos de espaço e tempo (independem de referencial) em uma descrição geométrica 
Euclidiana. As leis podem ser expressas da seguinte maneira: 
1ª Lei: lei da inércia (conservação da quantidade de movimento) – Todo corpo continua em seu 
estado de movimento uniforme em uma linha reta, a menos que ele seja forçado a mudar aquele 
estado por forças imprimidas sobre ele: 0d m
dt
= =
L
a
�
�
�
. 
2ª Lei: A mudança de movimento é proporcional à força resultante e é produzida na direção e sentido 
desta força resultante: 
d
m
dt
= = ∑
L
a F
�
�
�
. 
3ª Lei: lei da ação e reação � Lei da gravitação: 1 22
m mF G
r
=
 
G = constante de gravitação (G = 6,673x10-11 m3/kg.s2) 
Força peso P = mg; g = Gm/r2 = 9,81 m/s2. 
1.2 Sistemas estaticamente equivalentes 
Dois sistemas de forças são estaticamente equivalentes quando produzem a mesma resultante de 
forças e momentos em um dado ponto de um corpo e as mesmas condições cinemáticas. 
Na figura abaixo é mostrado um exemplo de aplicação do Princípio da Transmissibilidade. Neste 
caso, deseja-se deslocar o ponto de aplicação de uma força F sobre um dado corpo do ponto P 
(sistema a) para o ponto E (sistema b), procurando que sejam mantidas a mesma condição 
cinemática e a mesma condição de estaticidade verificadainicialmente. Através do Princípio da 
Transmissibilidade garante-se que não há alteração nestas condições desde que mantenha-se o 
ponto de aplicação da força sobre a linha de ação original. É importante ressaltar que este princípio 
só é válido quando um corpo é tratado como um corpo rígido, ou seja, sem modificação da distância 
relativa entre os pontos materiais do corpo (sem deformações). 
 
No exemplo ilustrado abaixo, deseja-se alterar o ponto de aplicação de uma força F do ponto P para 
o ponto E do corpo, mantendo-se a mesma condição de estaticidade e a mesma condição cinemática 
observadas inicialmente. Neste caso, deve-se transladar a força para o novo ponto de aplicação 
mantendo-se o mesmo módulo e a mesma direção e sentido observados originalmente. Além disso, 
deve-se também aplicar um momento equivalente ao transporte da força (M = F.d). Em corpos 
rígidos, momentos podem ser transladados livremente sobre o plano. 
 5
 
 
E
z
F FSistema 1:
M F.d
 = +

= +
∑
∑
 
 
 
 
E
z
F FSistema 2 :
M M F.d
 = +

= + = +
∑
∑
 
2. EQUAÇÕES DE EQUILÍBRIO ESTÁTICO DE CORPO RÍGIDO 
Para que um corpo rígido qualquer esteja em equilíbrio estático é necessário que as resultantes de 
força e momento tenham componentes nulas nas direções em que o corpo possa apresentar 
movimentos de corpo rígido. Caso estas resultantes não sejam nulas, o corpo apresentará 
movimentos de translação (deslocamentos lineares) e rotação (deslocamentos angulares). 
Movimentos de corpo rígido são deslocamentos que um corpo sofre quando submetido à ação de 
forças e momentos sem alterar a distância relativa entre dois pontos quaisquer pertencentes a este 
corpo (ou seja, sem alterar a sua forma). No espaço são 6 os movimentos de corpo rígido: 3 
translações + 3 rotações; no plano há 3 movimentos de corpo rígido possíveis: 2 translações + 1 
rotação. 
 
A condição de equilíbrio estático no plano é dada pelo seguinte conjunto de equações: 
 
0
0
0
x
y
p
z
f
f
M
=
=
=
∑
∑
∑
 
Equações de equilíbrio alternativas também podem ser usadas desde que sejam cumpridas algumas 
exigências: 
1ª condição de equilíbrio alternativa: 
1
2
0
0
0
a
p
z
p
z
f
M
M
=
=
=
∑
∑
∑
 
� Exigência: a direção a (a = x ou a = y) escolhida para o equilíbrio de forças não pode ser 
perpendicular à linha que une os pontos p1 e p2. 
 
 
 6
2ª condição de equilíbrio alternativa: 
1
2
3
0
0
0
p
z
p
z
p
z
M
M
M
=
=
=
∑
∑
∑
 
� Exigência: os pontos p1, p2 e p3 não podem ser colineares. 
Obviamente, um elemento estrutural não pode apresentar movimentos de corpo rígido. Para isso, 
devem ser usados os chamados vínculos, que são dispositivos que impedem o movimento 
(translação e/ou rotação) do elemento em uma determinada direção no ponto em que são aplicados. 
Para que um movimento seja impedido, é necessário aplicar uma força ou momento na direção 
correspondente, gerando-se as chamadas reações vinculares. 
Os tipos de vínculos empregados em problemas planos resumem-se a: 
a) Apoio simples ou de 1ª ordem: impede apenas o deslocamento linear na 
direção perpendicular à base de apoio; 
 
 
b) Apoio duplo ou de 2ª ordem (rótula): impede todos os deslocamentos lineares; 
 
c) Engaste ou vínculo de 3ª ordem: impede todos os deslocamentos lineares e 
rotações. 
As reações surgem nas direções dos deslocamentos e/ou rotações impedidos, como mostra a figura 
abaixo. 
 
3. ESTATICIDADE DE UMA ESTRUTURA 
Em função do número de movimentos de corpo rígido e da vinculação existente, as estruturas podem 
ser classificadas da seguinte maneira: 
Estrutura hipostática ou mecanismo: o número de 
restrições vinculares ou sua disposição não impedem 
a totalidade dos movimentos de corpo rígido da 
estrutura, de modo que a mesma adquire movimento 
sob a ação de forças (mecanismo). O número de 
equações de equilíbrio é maior que o número de 
incógnitas (reações vinculares). 
 
 
 
Estrutura isostática ou estaticamente 
determinada: o número e a disposição das 
restrições vinculares impedem a totalidade dos 
movimentos de corpo rígido da estrutura. O 
número de equações de equilíbrio é igual ao 
número de incógnitas. 
 
 
 
 
 7
Portanto, não basta que o número de 
restrições iguale o número de movimentos 
de corpo rígido. É preciso também que os 
vínculos estejam convenientemente 
dispostos para impedir o movimento. As 
estruturas ao lado apresentam 3 
movimentos de corpo rígido e 3 restrições 
vinculares, mas os movimentos não são 
totalmente impedidos. No caso A pode 
ocorrer deslocamento horizontal e no caso B 
podem ocorrer giros em torno do ponto P. 
 
 
 
Estrutura hiperestática ou estaticamente 
indeterminada: o número de restrições 
vinculares é maior que o número de 
movimentos de corpo rígido, ou seja, há mais 
vínculos que o necessário para impedir os 
movimentos da estrutura. Este tipo de 
estrutura não pode ser resolvido somente com 
as equações de equilíbrio, sendo necessário 
acrescentar equações ao sistema 
provenientes de considerações sobre a 
deformação da estrutura (p.ex.: método dos 
deslocamentos, método das forças). 
 
 
EXERCÍCIOS: 
1 – Determine as reações de apoio para as vigas abaixo: 
 
Respostas: 
 
 8
2 – Calcule as reações de apoio para o pórtico abaixo: 
 
As componentes da resultante de uma carga 
distribuída de forma qualquer aplicada a uma 
barra inclinada, bem como seus pontos de 
aplicação, podem ser obtidos considerando-se 
a função de carga original distribuindo-se 
sobre a projeção da barra perpendicular à 
direção da componente a ser calculada. 
Assim, a componente vertical é obtida 
aplicando-se a função de carga distribuída 
sobre a projeção horizontal e a componente 
horizontal é obtida aplicando-se a função de 
carga distribuída sobre a projeção vertical. 
 
Substituindo as cargas distribuídas atuando no pórtico pelas respectivas forças concentradas 
equivalentes, obtém-se a seguinte configuração de cargas: 
 
A solução é obtida aplicando-se as equações de equilíbrio de corpo rígido na seguinte forma: 
 
50.60 40.6 He 0 He 90
2x
F kN= ⇒ − − = ⇒ = −∑ 
0
50.3 50.6
.2 .4 180 He.9 40.2.9 40.6.3 Vd.10 0
2 2
Vd 174
A
zM
kN
=
⇒ − − − + − + + =
⇒ =
∑
 
50.30 Va 40.2 Vd 0 Va 19
2y
F kN= ⇒ − − + = ⇒ = −∑ 
OBS: os sinais negativos em He e Va indicam que o sentido real dessas forças é contrário ao que foi 
arbitrado no diagrama de corpo livre. 
 9
3 – Calcule as reações nos apoios do pórtico abaixo: 
 
Neste exemplo, a carga aplicada sobre a barra AE está indicada por unidade de comprimento da 
projeção da barra sobre a direção horizontal do plano (eixo x). Por outro lado, a carga sobre a barra 
CD vem dada por unidade de comprimento da própria barra, sendo que esta também poderia ser 
expressa da mesma maneira utilizada na barra AE. Neste caso, o valor da taxa de carga deveria ser 
de 50Kn/m a fim de reproduzir a mesma resultante. Cargas deste tipo são empregadas na 
representação de cargas de peso próprio de estruturas inclinadas (ex.: escadas) ou de neve 
acumulada em telhados. 
Para a solução deste problema deve-se observar que os apoios são inclinados. O apoio em D 
restringe apenas translações na direção do eixo da barra CD. Conseqüentemente, uma reação de 
força Rd deve ser aplicada nesta mesma direção, podendo ser decomposta nas direções x e y do 
plano. 
Já no apoio A tem-se a restrição de todas 
as translações no plano, resultando em 
duas reações de força, as quais podem ser 
descritas segundo as direções tangencial e 
normal à barra ou nas direções horizontal 
(eixo x) e vertical (eixo y) do plano, umavez que a resultante será sempre a mesma 
(Ra). 
 
Aplicando-se as equações de equilíbrio de corpo rígido, obtém-se: 
0
4 6Rd.12 30.5.10,5 40. .4 200 0
5 2
Rd 193, 2
A
zM
kN
=
⇒ − − + =
⇒ =
∑
 
30 Ha .193,2 0 Ha 115,9
5x
F kN= ⇒ − = ⇒ =∑ 
6 40 Va 40 30.5 193, 2 0 Va 115,4
2 5y
F kN= ⇒ − − + = ⇒ =∑