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TEORIA DE CONJUNTOS Conceitos Primitivos (não-definidos) – Conjunto e Elemento A idéia de conjunto é a mesma de coleção. Conjunto é uma coleção de elementos. Ex.: Uma coleção de revistas é um conjunto; cada revista é um elemento desse conjunto. Um time de futebol é um conjunto; cada jogador do time é um elemento desse conjunto. Os alunos de sua sala de aula formam um conjunto; cada aluno é um elemento desse conjunto. Representação de um Conjunto Representação tabular Podemos representar um conjunto sob forma de tabela, escrevendo seus elementos entre chaves { } e separados por vírgula. Ex.: É usual representarmos os conjuntos por letras maiúsculas A, B, C, D, ... . Representação através de diagramas de Venn Os elementos de um conjunto são representados por pontos interiores a uma região plana, limitada por uma linha fechada simples, isto é, uma linha que não se entrelaça. Ex.: (a) (b) Representação através de uma propriedade Se uma propriedade p é comum a todos os elementos de um conjunto A, e somente esses elementos têm a propriedade p, então o conjunto A pode ser descrito por: A = {x | x tem a propriedade p}. Lê-se: “A é o conjunto formado por todos os elementos x tal que x tem a propriedade p”. Ex.: (a) A = {x | x é país da Europa} o conjunto A é formado por todos os países da Europa. (b) B = {x | x é mamífero} o conjunto B é formado por todos os mamíferos. Relação de Pertinência Exemplos: note que u é elemento do conjunto A e não é elemento do conjunto B. Tais fatos serão respectivamente indicados por: u ( A (lê-se “u pertence a A”) e u ( B (lê-se “u não pertence a B”) De um modo geral, para relacionar elemento e conjunto, só se pode usar os símbolos: ( (pertence) e ( (não pertence) Tipos de Conjunto Conjunto unitário Conjunto unitário é aquele formado por um único elemento. Ex.: (a) C = {5} (b) B = { x | x é estrela do sistema solar} Conjunto vázio Conjunto vazio é o conjunto que não possui elemento algum. Representa-se o vazio por ( ou { }. Ex.: D = {x | x é ímpar e múltiplo de 2} = ( E = {x | x é computador sem memória} = { } Conjunto finito Conjunto finito é aquele que conseguimos chegar ao “fim” da contagem de seus elementos. Ex.: B = {1, 2, 3, 4} D = {x | x é brasileiro} H = {x | x é jogador da seleção brasileira de futebol} Conjunto infinito Conjunto infinito é aquele que, se contarmos seus elementos um a um, jamais chegaremos ao “fim” da contagem. Ex.: N = {0, 1, 2, 3, 4, 5 ...} ou {1, 2, 3, 4, 5, ..., n, ...} A = { x ( N | x é par} = {0, 2, 4, 6, ...} Conjuntos Iguais Dois ou mais conjuntos são iguais quando possuem os mesmos elementos. Assim, se A é o conjunto das letras da palavra “arte”: A = {a, r, t, e} e B é o conjunto das letras da palavra “reta”: B = {r, e, t, a}, temos A = B, pois os conjuntos possuem os mesmos elementos, não importando a ordem em que os elementos foram escritos. Se A não é igual a B, escrevemos A ( B (lê-se “A é diferente de B”). Conjunto Universo (U) Conjunto universo de um estudo é um conjunto ao qual pertencem todos os elementos desse estudo, ou seja, é o conjunto que possui todos os elementos com os quais se deseja trabalhar. Ex.: Quais são os números menores que 5? A resposta irá depender do conjunto universo considerado. Se o conjunto universo for o conjunto dos números naturais, teremos como resposta o conjunto solução S = {0, 1, 2, 3, 4}. Se o conjunto universo for o conjunto dos números naturais pares, teremos como conjunto solução S = {0, 2, 4}. Subconjunto Sendo A e B dois conjuntos, diz-se que A é subconjunto de B se, e somente se, todo elemento de A pertence a B. Indica-se que A é subconjunto de B por: A ( B (lê-se “A está contido em B”), ou ainda, por B ( A (lê-se “B contém A”). A ( B ( {( x ( A, x ( B} Ex.: Consideremos o conjunto B, formado por todos os brasileiros. Com os elementos de B podemos formar o conjunto A, dos homens brasileiros, e o conjunto C, das mulheres brasileiras. Dizemos que os conjuntos A e C são subconjuntos de B. Propriedades 1 – O conjunto vazio é subconjunto de qualquer conjunto: ( ( A, ( A Ex.: 2 – Todo conjunto A está contido no próprio A, isto é, todo conjunto é subconjunto de si mesmo: A ( A, ( A Para indicar que um conjunto A não é subconjunto de B, escreve-se: , (lê-se “A não está contido em B”) Ex.: (a) {a, b, c} ( {a, b, d} Notas: 1 – A relação de inclusão (() é usada exclusivamente para relacionar um subconjunto B com um conjunto A que contém B: B ( A. 2 – A relação de pertinência (() é usada exclusivamente para relacionar um elemento x com um conjunto A que possui x como elemento: x ( A. Conjunto cujos elementos são conjuntos Os elementos de um conjunto podem também ser conjuntos. Considere, por exemplo, o conjunto: P = {(, {a}, {b}, {a, b}} Nesse caso, ( é elemento de P e, portanto, escrevemos ( ( P e não ( ( P. O mesmo ocorre com os outros elementos: {a} ( P, {b} ( P, {a, b} ( P. Vejamos alguns subconjuntos de P: {(} ( P; {{a}} ( P; {{a, b}} ( P; {{a}, {b}} ( P. Conjunto das Partes de um Conjunto Considere o conjunto A = {1, 2}. Vamos escrever os subconjuntos de A: com nenhum elemento: ( com um elemento: {1}, {2} com dois elementos: {1,2} Chama-se “conjunto das partes de um conjunto A”, e indica-se por P(A) (lê-se P de A) ao conjunto cujos elementos são todos os subconjuntos de A. Ex.: No exemplo acima, P(A) = {(, {1}, {2}, {1,2}}. (b) Dado um conjunto B = {m, n, p}, escrevemos P(B): P(B) = {(, {m}, {n}, {p}, {m, n}, {m, p}, {n, p}, {m, n, p}} Observe que, no primeiro exemplo (a), o conjunto A tem dois elementos e obtivemos P(A) com 4 (22) elementos, isto é, A tem 4 subconjuntos. No segundo exemplo (b), B tem três elementos e obtivemos 8 (23) subconjuntos. De um modo geral, se um conjunto A tem n elementos, o números de elementos de P(A) é 2n. Ex.: Se A = {2, 4, 7, 9, 3}, então P(A) terá 25 = 32 elementos. Nota: Na formação de um subconjunto de A, para cada um de seus elementos há duas possibilidades: ou o elemento considerado pertencerá ao conjunto a ser formado ou não. Assim, um subconjunto estará determinado quando escolhermos para cada elemento de A uma das possibilidades, sim (S) ou não (N). Escolhida a alternativa S, o elemento fará parte do subconjunto a ser formado. Escolhida a alternativa N, o elemento não fará parte do subconjunto. Teremos então os seguintes subconjuntos para A = {a, b, c} a b c subconjunto S S S {a, b, c} S S N {a, b} S N S {a, c} S N N {a} N S S {b, c} N S N {b} N N S {c} N N N ( Na última coluna, se encontram todos os subconjuntos de A. Como A tem 3 elementos, então possui 8 subconjuntos e P(A) terá, portanto, 8 elementos. Operações com Conjuntos Intersecção de conjuntos (() Dados dois conjuntos A e B, chama-se intersecção de A com B ao conjunto formado pelos elementos comuns ao conjunto A e ao conjunto B. A intersecção entre A e B é indicada por A ( B (lê-se ”A intersecção B”). Em símbolos, define-se: A ( B = {x | x ( A e x ( B} A ( B = {x tal que x pertence a A e x pertence a B} Ex.: A = {2, 3, 5, 6, 8} B = {3, 5, 8, 9} A ( B = {3, 5, 8} A = {3, 5} B = {2, 3, 4, 5, 6} A ( B = {3, 5} = A A = {2, 3, 5} B = {4, 6} A ( B = ( Propriedades da intersecção de conjuntos:B ( A ( A ( B = B, ( A, B A ( B = B ( A, ( A, B (A ( B) ( C = A ( (B ( C), ( A, B, C União (ou Reunião) de conjuntos (() Dados dois conjuntos A e B, chama-se união (ou reunião) de A com B ao conjunto formado pelos elementos que pertencem a A ou a B. A união de A com B é indicada por A ( B (lê-se ”A união B”). Em símbolos, define-se: A ( B = {x | x ( A ou x ( B} A ( B = {x tal que x pertence a A ou x pertence a B} Ex.: A = {2, 3, 5, 6, 8} B = {3, 5, 8, 9} A ( B = {2, 3, 5, 6, 8, 9} A = {3, 5} B = {2, 3, 4, 5, 6} A ( B = {2, 3, 4, 5, 6} = B A = {2, 3, 5} B = {4, 6} A ( B = {2, 3, 4, 5, 6} Propriedades da união de conjuntos: B ( A ( A ( B = A, ( A, B A ( B = B ( A, ( A, B (A ( B) ( C = A ( (B ( C), ( A, B, C Diferença de conjuntos (() Dados dois conjuntos A e B, chama-se diferença entre A e B ao conjunto formado pelos elementos de A e que não pertençam a B. A diferença entre A e B é indicada por A ( B (lê-se ”A menos B”). Em símbolos, define-se: A ( B = {x | x ( A e x ( B} A ( B = {x tal que x pertence a A e x não pertence a B} Ex.: A = {2, 3, 5, 6, 8} B = {3, 5, 8, 9} A – B = {2, 6} B – A = {9} A = {3, 5} B = {2, 3, 4, 5, 6} A – B = { } = ( B – A = {2, 4, 6} A = {2, 3, 5} B = {4, 6} A – B = {2, 3, 5} = A B – A = {4, 6} = B Propriedades da diferença de conjuntos: ( ( Conjunto complementar (C) Se A e B são conjuntos tais que A ( B, então a diferença B – A é chamada complementar de A em B. O complementar de A em B é indicado por (lê-se “complementar de A em B). Em símbolos, define-se: e , onde Ex.: A = {2, 3, 5, 6, 8} B = {3, 5, 8, 9} Como , então não existe A = {3, 5} B = {2, 3, 4, 5, 6} Existe , pois A ( B. Nota: Complementar de um conjunto A em relação a um conjunto universo Quando tivermos um conjunto universo previamente fixado, indicaremos o complementar de A em relação a U simplesmente por A’ (ou ) no lugar de . Propriedades do complementar: , ( A Nota: As propriedades III. e IV. são conhecidas como “leis de De Morgan”. Símbolo Significado ou Conjunto vazio Pertence Não pertence Está contido Contem Existe | Tal que Qualquer que seja = Igual Diferente > Maior < Menor Maior ou igual Menor ou igual E Ou I – Exercícios de Conjunto 1) Determine as afirmativas falsas (F) e as verdadeiras (V): 1 ( {1, 2 } ( ) 1 ( {1, 2, 3 } ( ) {a} ( {a, {a}} ( ) {a, b, c} ( {a, b} ( ) {a, b} ( { {a}, a, b } ( ) {{a}} ( {a, {a}, {{a}} } ( ) {{a}} ( {a, {a}, {{a}} } ( ) a ( ( ( ) ( ( A ( ) a ( ( ( ) {(} ( {(} ( ) {(} ( {(, {(}} ( ) ( ( {(, {(}} ( ) ( ( {a, b, c} ( ) ( ( {(, a, b} ( ) {a, b, c, d} ( {a, b} ( ) 2) Dados os conjuntos A = , B = e C = , assinale verdadeiro(V) ou falso(F) nas afirmativas abaixo: ( ) 3 ( A ( ) 3 ( A ( ) {3} ( A ( ) {3} ( A ( ) {3,4} ( A ( ) {3,4} ( A ( ) {1,3} ( B ( ) {1,3} ( B ( ) {3,4} ( C ( ) {3,4} ( C ( ) ( ( B ( ) ( ( B ( ) ( ( ( ( ) ( ( ( ( ) O Conjunto das Partes de C tem 16 elementos. ( ) B tem 8 subconjuntos. 3) Obtenha o conjunto de todos os valores inteiros de k, de modo que k + 17 seja um múltiplo de k –4. 4) Segundo o Censo do IBGE no ano 1996, 81% dos brasileiros possuíam televisão, 75% possuíam geladeira e 8% não tinham TV nem geladeira. Qual o total de brasileiros que possuíam apenas televisão? 5) Sendo a , b , c respectivamente os algarismos das centenas , dezenas e unidades do número N de 3 algarismos e sendo 35a + 7b + c = 256 com b < 5 e c < 7 então calcule o número de divisores naturais de N. 6) (MACKENZIE) Num grupo constituído de K pessoas, das quais 14 jogam xadrez, 40 são homens. Se 20% dos homens jogam xadrez e 80% das mulheres não jogam xadrez, então o valor de K é: a) 62 b) 70 c) 78 d) 84 e) 90 7) Seja E = {0, 1, 2, 3, ..., 99} e a função f: E ( E definida por f(x) = soma dos algarismos de x. Determine o número de elementos do Conjunto A= {x |f(x) = 12}. 8) (UERJ) Em um posto de saúde foram atendidas, em determinado dia, 160 pessoas com a mesma doença, apresentando, pelo menos, os sintomas diarréia, febre ou dor no corpo, isoladamente ou não. A partir dos dados registrados nas fichas de atendimento dessas pessoas, foi elaborada a tabela abaixo. Na tabela, X corresponde ao número de pessoas que apresentaram, ao mesmo tempo, os três sintomas. Pode-se concluir que X é igual a: a) 6 b) 8 c) 10 d) 12 9) (UFAL) Na figura abaixo têm-se representados os conjuntos A, B e C, não disjuntos. A região sombreada representa o conjunto: a) C - (A ( B) b) (A ( B) - C c) (A ( B) - C d) A ( B ( C e) A ( B ( C 10) Em um determinado teste da loteria esportiva, 12 jogos já estavam encerrados, faltando apenas o jogo 13, flamengo e fluminense. Os 12 primeiros jogos tiveram seus resultados acertados por 100 apostadores. Analisando-se os cartões dessas 100 pessoas, observou-se que: 22 assinalaram só a coluna 1 no jogo 13 (flamengo). 28 assinalaram só a coluna do meio no jogo 13 (empate). 23 assinalaram só a coluna 2 no jogo 13 (fluminense). Se o flamengo vencesse haveria 41 ganhadores. Se o fluminense vencesse haveria, também, 41 ganhadores. 7 assinalaram palpite triplo no jogo 13. Sabendo que o Fla x Flu terminou empatado, quantos foram os ganhadores? 11) (UFRJ) Em 10 caixas, 5 contém lápis, 4 contém borrachas e 2 contém lápis e borracha. Em quantas caixas não há nem lápis e nem borracha? 12) (ITA 2008) Sejam X, Y, Z, W subconjuntos de N tais que (X - Y) º Z = {1, 2, 3, 4}, Y = {5, 6}, Z º Y = ¹, W º (X - Z) = {7, 8}, X º W º Z = {2, 4}. Então o conjunto [X º (Z » W)] - [W º (Y » Z)] é igual a a) {1, 2, 3, 4, 5} b) {1, 2, 3, 4, 7} c) {1, 3, 7, 8} d) {1, 3} e) {7, 8} 13) (PUC 2008) Numa pesquisa de mercado, verificou-se que 150 pessoas utilizam pelo menos um dos produtos B ou C. Sabendo que 95 dessas pessoas não usam o produto C e 25 não usam o produto B, qual é o número de pessoas que utilizam os produtos B e C? 14) (PUC 2008) Um trem viajava com 242 passageiros, dos quais: - 96 eram brasileiros, - 64 eram homens, - 47 eram fumantes, - 51 eram homens brasileiros, - 25 eram homens fumantes, - 36 eram brasileiros fumantes, - 20 eram homens brasileiros fumantes. Calcule: a) o número de mulheres brasileiras não fumantes; b) o número de homens fumantes não brasileiros; c) o número de mulheres não brasileiras, não fumantes. 15) Segundo o Censo do IBGE no ano 1996, 81% dos brasileiros possuíam televisão, 75% possuíam geladeira e 8% não tinham TV nem geladeira. Qual o total de brasileiros que possuíam apenas televisão? 16) (AFA) Num grupo de 142 pessoas foi feita uma pesquisa sobre 3 programas de televisão A, B, C e constatou-se : I – 40 não assistem a nenhum dos três. II – 103 não assistem ao programa C. III – 25 só assistem ao programa B. IV – 13 assistem ao programa A e B. V – O número de pessoas que assistem somente aos programas B e C é a metade dos que assistem a A e B. VI – 25 só assistem a dois programas.VII – 72 só assistem a um programa. Pode-se afirmar que o número de pessoas que assistem: a) ao programa A é 30. b) ao programa C é 39. c) aos três programas é 6. d) aos programas A e C é 13. e) aos programas A ou B é 63. 17) Em uma cidade existem dois jornais A e B que têm, juntos, 4000 leitores. O jornal A tem 3400 leitores e os dois jornais têm 900 leitores comuns. Quantos são leitores do jornal B? R. 1500 18) Em uma assembleia internacional existem 135 pessoas das quais 75 falam francês, 81 falam inglês e 14 não falam nenhum desses dois idiomas. Quantas pessoas falam francês e inglês? R.35 19) Dois clubes A e B têm, juntos, 6000 sócios. O clube B tem 4000 sócios e os dois clubes têm 500 sócios comuns. Quantos sócios têm o clube A? R.2500 20) Em uma escola, os alunos devem estudar uma língua que pode ser francês ou inglês. Se quiserem podem estudar as duas. Sabendo que: . há 200 estudando francês ; . há 130 estudando inglês; . o total de alunos da escola é 300; Determine o número de alunos que estudam inglês e francês. R.30 21) Em uma escola cujo total de alunos é 3600, foi feita uma pesquisa sobre os refrigerantes que os alunos costumam beber. O resultado foi: . 1100 bebem o refrigerante A; . 1300 bebem o refrigerante B; . 1500 bebem o refrigerante C; . 1300 bebem o refrigerante B; . 300 bebem A e B; . 500 bebem B e C; . 400 bebem A e C; . 100 bebem A, B e C. Quantos alunos bebem: a) apenas o refrigerante A? 500 b) apenas o refrigerante B? 600 c) apenas os refrigerantes B e C? 1700 d) apenas um dos três? 1800 e) mais de um dos três? 1000 f) Quantos alunos não bebem nenhum dos três? 800 22) Numa comunidade constituída de 1800 pessoas, há três programas de TV favoritos: esporte (E), novela (N) e humorismo (H). A tabela a seguir indica quantas pessoas assistem a esses programas: Determine o número de pessoas que não assistem a qualquer dos três programas. R.200 23) Em uma universidade são lidos os jornais A e B. Exatamente 80% dos alunos leem o jornal A e 60% , o jornal B. Sabendo que todo aluno é leitor de pelo menos um dos jornais, qual o percentual de alunos que leem ambos os jornais? R.40% 24) Em exames de fezes feitos em 41 crianças, foi constatada a presença de três tipos de bactérias (A, B e C). Exatamente: . 23 crianças apresentam a bactéria A; . 25 crianças apresentam a bactéria B; . 22 crianças apresentam a bactéria C; . 11 crianças apresentam as bactérias A e B; . 12 crianças apresentam as bactérias B e C; . 9 crianças apresentam as bactérias A e C. Quantas crianças apresentam: as três bactérias? 3 apenas a bactéria A? 6 apenas a bactéria B? 5 duas ou mais bactérias? 26 25) Em um grupo de 44 operários de uma indústria automobilística, 28 trabalham em montagem, 4 trabalham só em montagem, 1 só em eletricidade, 21 trabalham em pintura e montagem, 16 trabalham em eletricidade e pintura e 13 trabalham em montagem e eletricidade. Quantas pessoas trabalham: nos três setores? 10 em pintura? 36 em eletricidade? 20 26) Foram entrevistadas 50 mulheres sobre suas preferências em relação a duas marcas A e B de sabão em pó. Constatou-se que 21 usam a marca A, 10 usam as duas marcas e 5 não usam nenhuma das duas. a) Quantas mulheres usam somente a marca A? 11 b) Quantas usam somente a marca B? 24 c) Quantas usam A ou B? 45 27) Dados os conjuntos A= { a, b, c, d}, B={c, f} e D={a, b, c, d, e, f}. Classifique em verdadeiro (V) ou falso (F) cada afirmação abaixo: D ( B ( ) {a} ( A ( ) B ( D ( ) D ( B ( ) {e, f} ( B ( ) A ( D ( ) 28) Reescreva cada conjunto dando um a um os seus elementos: A= { x ( x é número natural ímpar} B= { x ( x é número natural múltiplo de 5} 29) Sendo A={a, c, g}, determine P(A). 30) Sendo B={h,n}, determine P(B). 31) Determine quantos elementos tem P(A) nos casos: Se A tem 8 elementos Se A tem 15 elementos 32) Sendo A={1, 2, 3}, B={2, 3, 4}, C={2,3} e D={4, 5, 6}, determinar: A ( B = B ( D = C – B = C ( D = 33) Nas sentenças abaixo, assinale com V as sentenças verdadeiras e com F, as falsas: {2} ( { 0, 1, 2} ( ) ( ( { 5, 6, 7} ( ) ( ( {(, 4} ( ) 5 ( { 3, {5,1}, 4} ( ) 34) Rescreva cada conjunto dando um a um os seus elementos: A= { x ( x é número natural par} B= { x ( x é número natural múltiplo de 3} 35) Sendo A={a, b, c}, determine P(A). 36) Sendo B={e,f}, determine P(B). 37) Determine quantos elementos tem P(A) nos casos: Se A tem 1 elementos Se A tem 4 elementos 38) Sendo A = {1, 2, 3}, B = {2, 3, 4}, C = {2, 3} e D = {4, 5, 6}, determinar: (d) (g) C ( D (e) (h) (f) (i) Resp. (a) {1,2,3,4}; (b) {1,2,3}; (c) {1,2,3,4,5,6}; (d) {4}; (e) { }; (f) {4}; (g) { }; (h) {4,5,6}; (i) não existe, porque A ( D 39) Sendo A= {x,y, z}, B={a, b, c, d}, C={a,b,c, x , y, z} e D={z, b}. Classifique em verdadeiro (V) ou falso (F) cada afirmação abaixo: B ( D = {b} ( ) (A ( B) ( C ( ) A ( D = {x, y, z, b} ( ) D ( C = C ( ) 40) Dados os conjuntos A= { a, b, c, d}, B={c, f} e D={a, b, c, d, e, f}. Classifique em verdadeiro (V) ou falso (F) cada afirmação abaixo: A ( B ( ) {f} ( A ( ) B ( A ( ) D ( A ( ) {f} ( B ( ) A ( D ( ) 41) Se x ( A e x ( B, determinar se as sentenças são verdadeiras ou falsas: (a) x ( (A ( B) (b) x ( (A ( B) (c) x ( (A – B) (d) x ( (B – A) Resp. (a) V; (b) F; (c) V; (d) F 42) Sabendo-se que A ( B, determinar se as sentenças são verdadeiras ou falsas: (a) A ( B = B (b) A ( B = A (c) A – B = ( (d) B ( A = B Resp. (a) V; (b) V; (c) V; (d) F 43) Dados os conjuntos A = {0, 1, 3, 4}, B = {2, 3, 4, 5}, C = {4, 5} e D = {5, 6, 7}, determinar: (a) (A ( C) ( B (b) (B ( C) ( D (c) (B – A) ( C (d) Resp. (a) {3,4,5}; (b) {4,5,6,7}; (c) {5}; (d) {2,3,4} 44) São dados os conjuntos A={1,2,3,4,5, 6, 8, 9}, B={3,4,5,6,8,9} e C={4,5,6,7,8}. Determine: A ( B e) B ( C f) A ( C g) B - C A – B h) C - A 45) Dados A= {1,2,3,4,5}, B={1,2,4,5,6,7}, C={4,5,6,7,8} e D={1,2, 3}, determinar: (C ( D) ( B (A - B) ( D (A ( D) ( (B - C) (A ( D) ( (B ( C) 46) Dados A = {1, 2, 3}, B = {1, 2, 4, 5, 6}, C = {4, 5, 6} e D = {2, 3}, determinar: (C ( D) ( B (d) (A ( D) ( (B ( C) (g) (B – C) ( (A – D) (A ( B) ( D (e) (B – C) ( D (h) (A ( D) ( (B ( C) (f) B – (A ( D) (i) Resp. (a) {2,4,5,6}; (b) {1,2,3}; (c) {2,3,4,5,6}; (d) {1,2}; (e) {1,2,3}; (f) {4,5,6}; (g) {1}; (h) {1,2}; (i) A 47) Sejam A, B e C três conjuntos em um universo U. Identifique as sentenças verdadeiras e as falsas: A ( (A ( C) ( A x ( (A – B) ( (x ( A e x ( B) A ( (B ( C) = (A ( B) ( (A ( C) B ( B’ = B [A ( (A ( B)] ( B ( A | A ( B = A (A ( B)’ = A’ ( B’ Resp. (a) V; (b) V; (c) V; (d) F; (e) V; (f) V; (g) V 48) Desejando verificar qual o jornal preferido pelos estudantes, uma pesquisa apresentou os resultados constantes na tabela abaixo: jornais A B C A e BA e C B e C A, B e C nenhum leitores 300 250 200 70 65 105 40 150 Quantas pessoas lêem apenas o jornal A? Quantas pessoas lêem o jornal A ou B? Quantas pessoas não leem o jornal C? Quantas pessoas foram consultadas? Resp.: (a) 205; (b) 480; (c) 500; (d) 700. 49) Ao realizar-se uma prova contendo três questões A, B e C, 5 alunos acertaram as três questões, 7 acertaram as questões A e B, 9 acertaram B e C, 6 acertaram A e C, 11 acertaram A, 18 acertaram B, 16 acertaram C e 2 não acertaram nenhuma. Quantos alunos realizaram a prova? Resp. 30 50) Um professor de português passou uma pesquisa numa sala de aula de trinta alunos, perguntando quem havia lido os livros B e C. O resultado da pesquisa foi precisamente: 19 alunos leram o livro B; 20 alunos leram o livro C; 3 alunos não leram nenhum dos dois livros. Com base nesse resultado, quantos alunos leram os dois livros? Resp.: 12 alunos leram ambos os livros. 51) Nas sentenças abaixo, assinale com V as sentenças verdadeiras e com F, as falsas: {2} ( {0 ,1 ,2} ( ( {5, 6, 7} ( ( {(, 4} 5 ( {3, {5, 1}, 4} {5, 6} ( {5, 6, 7} Resp. (a) F; (b) V; (c) V; (d) F; (e) F 52) Sejam A ( B = {a, b, c, d, e, f, g, h}, A ( B = {d, e} e A – B = {a, b, c}. Qual o conjunto B? Resp. B = {d,e,f,g,h} 53) Sejam A e B dois conjuntos tais que A ( B = (. Nessas condições, qual é o conjunto ? Resp. { } 54) Sejam A, B e C subconjuntos do conjunto X = {1, 2, 3} tais que, simultaneamente, A ( (C – B) = {1}, B ( (A – C) = {2}, C ( (B – A) = {3}. Sendo Y = A ( B ( C, determinar Y. Resp. Y = { } 55) Represente no diagrama abaixo o seguinte conjunto (A’ )’. Resp. (A’)’=A 56) A parte hachurada no diagrama representa: (B ( C)’ ( C (B ( C)’ C’ ( B’ ( A’ A – (B ( C) A – (A ( B ( C) Represente os demais conjuntos acima em diagramas semelhantes. Resp. (d) 57) As marcas de cerveja mais consumidas em um bar, num certo dia, foram A, B e S. Os garçons constataram que o consumo se deu de acordo com a tabela a seguir: Marcas Consumidas Nº de Consumidores A 150 B 120 S 80 A e B 60 B e S 40 A e S 20 A, B e S 15 Outras 70 a) Quantos beberam cerveja no bar, nesse dia? b) Dentre os consumidores de A, B e S, quantos beberam apenas duas dessas marcas? c) Quantos não consumiram a cerveja S? d) Quantos não consumiram a marca B nem a marca S? Resp. a) 315 b) 90 c) 235 d) 155 58) Numa classe de 30 alunos, 16 alunos gostam de Matemática e 20 de História. O número de alunos desta classe que gostam de Matemática e de História é: a) exatamente 16 b) exatamente 10 c) no máximo 6 d) no mínimo 6 e) exatamente 18 Resp. (D) 59) As figuras abaixo representam diagramas de Venn dos conjuntos X, Y e Z. Marque a opção em que a região hachurada representa o conjunto . Exercícios Conjuntos: 1. Dados os conjuntos A = , B = e C = , assinale verdadeiro (V) ou falso (F) nas afirmativas abaixo: ( ) 1 ( A ( ) 1 ( A ( ) {1} ( A ( ) {1} ( A ( ) {1,2} ( A ( ) {1,2} ( A ( ) {1,3} ( B ( ) {1,3} ( B ( ) {3,4} ( C ( ) ( B ( ) {3,4} ( C ( ) ( B ( ) O Conjunto das Partes de C tem 16 elementos ( ) B tem 8 subconjuntos 2. (PUC) Considere os seguintes subconjuntos de números naturais: N = {0,1,2,3,4,...}; P = { x ( |N / 6 ( x ( 20 }; A = { x ( P / x é par}; B = {x ( P / x é divisor de 48 }; C = { x ( P / x é múltiplo de 5} O número de elementos do conjunto (A - B) ( C é: a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 6 3. (ITA) Considere as seguintes afirmações sobre o conjunto U = {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}: (I) ( ( U e n(U) = 10 (II) ( ( U e n(U) = 10 (III) 5 ( U e {5} ( U (IV) {0,1,2,5} ( {5} = 5. Pode-se dizer, então, que é (são) verdadeira(s): a) apenas I e III b) apenas II e IV c) apenas II e III d) apenas IV e) todas as afirmações. 4. (UNIFOR) Se X e Y são dois conjuntos não vazios, então (X – Y) ( (X ∩ Y) é igual a: a) Ø b) X c) Y d) X ∩ Y e) X ( Y 5. (UFF) Os conjuntos S, T e P são tais que todo elemento de S é elemento de T ou P. O diagrama que pode representar esses conjuntos é: 6. (UFRN) As figuras a seguir representam diagramas de Venn dos conjuntos X, Y e Z. Marque a opção em que a região hachurada representa o conjunto Y ( (Z-X). 7. Com relação a parte sombreada do diagrama, é correto afirmar que: a) A – (B – C) b) A – (B ( C) c) A – (B ∩ C) d) A – (C – B) e) Nenhuma das respostas anteriores. 8. (UFPB) A metade do número 221 + 412 é: a) 220 + 223 b) 221/2 + 45 c) 212 + 421 d) 220 + 46 e) 222 + 413 9. O valor da expressão é igual a: a) 377 b) 590 c) 620 d) 649 e) 750 10. (UNIFOR) Simplificando- se a expressão , obtém-se: a) b) c) d) e) 11. Escreva em ordem crescente os números reais , e . 12. (UFRJ) Um clube oferece a seus associados aulas de três modalidades de esporte: natação, tênis e futebol. Nenhum associado pode se inscrever simultaneamente em tênis e futebol, pois, por problemas administrativos, as aulas destes dois esportes serão dadas no mesmo horário. Encerradas as inscrições, verificou-se que: dos 85 inscritos em natação, 50 só farão natação; o total de inscritos para as aulas de tênis foi de 17 e, para futebol, de 38; o numero de inscritos só para as aulas de futebol excede em 10 o numero de inscritos só para as de tênis. Quantos associados se inscreveram simultaneamente para aulas de futebol e natação? 13. (UFPE) Os alunos de uma turma cursam alguma(s) dentre as disciplinas Matemática, Física e Química. Sabendo que: - o número de alunos que cursam Matemática e Física excede em 5 o número de alunos que cursam as três disciplinas; - existem 7 alunos que cursam Matemática e Química, mas não cursam Física; - existem 6 alunos que cursam Física e Química, mas não cursam Matemática; - o número de alunos que cursam exatamente uma das disciplinas é 150; - o número de alunos que cursam pelo menos uma das três disciplinas é 190. Quantos alunos cursam as três disciplinas? 14. Se A e B são conjuntos tais que n(A ( B) = 24, n(A – B) = 13 e n(B – A) = 9, então: a) n(A ( B) – n(A ∩ B) = 20 b) n(A) – n(B) = n(A – B) c) n(A ∩ B) = 3 d) n(B) = 11 e) n(A) = 16 15. Num homicídio praticado na Rua X, a polícia fez as seguintes anotações, no boletim de ocorrência, sobre as pessoas encontradas no local do crime: I. Havia 5 mulheres II. 5 pessoas usavam óculos III. 4 homens não usavam óculos IV. 2 mulheres usavam óculos. Considerando que todas as pessoas encontradas no local do crime são suspeitas, então quantos são os suspeitos? a) 8 b) 9 c) 10 d) 11 e) 12 16. Denotemos por n(X) o número de elementos de um conjunto finito X. Sejam A, B e C conjuntos tais que n(A ( B) = 8, n(A ( C) = 9, n(B ( C) = 10, n(A ( B ( C) = 11 e n(A ∩ B ∩ C) = 2. Então, n(A) + n(B) + n(C) é igual a: a)11 b) 14 c)15d) 18 e) 25 17. Coloque (V) ou (F) nas afirmações. ( ) Um número racional é sempre um número real. ( ) é um número irracional. ( ) ( ) ( ) 18. Dados os conjuntos reais , e , exiba os conjuntos pedidos: a) A ∩ B = b) A – B = c) (A ∩ C) – (C – B) = B A 3 2 4 1 a u o e i �EMBED PBrush��� �PAGE �20� _1058284866.unknown _1058450667.unknown _1393253344.unknown _1393596884.unknown _1393598868.unknown _1393599430.unknown _1393599565.unknown _1472284966.unknown _1393599616.unknown _1393599527.unknown _1393599005.unknown _1393596960.unknown _1393598805.unknown _1393596922.unknown _1393596573.unknown _1393596611.unknown _1393596623.unknown _1393596592.unknown _1393596486.unknown _1393596549.unknown _1393596295.unknown _1180209414.unknown _1201172994.unknown _1393253320.unknown _1393253335.unknown _1393253228.unknown _1392846547.unknown _1201172873.unknown _1201172909.unknown _1180209780.unknown _1058450671.unknown _1058772404.unknown _1058772431.unknown _1059662565.unknown _1058450672.unknown _1058450669.unknown _1058450670.unknown _1058450668.unknown _1058450659.unknown _1058450663.unknown _1058450665.unknown _1058450666.unknown _1058450664.unknown _1058450661.unknown _1058450662.unknown _1058450660.unknown _1058450651.unknown _1058450655.unknown _1058450657.unknown _1058450658.unknown _1058450656.unknown _1058450653.unknown _1058450654.unknown _1058450652.unknown _1058284872.unknown _1058284874.unknown _1058450648.unknown _1058450649.unknown _1058284875.unknown _1058284873.unknown _1058284869.unknown _1058284870.unknown _1058284867.unknown _1058284858.unknown _1058284862.unknown _1058284864.unknown _1058284865.unknown _1058284863.unknown _1058284860.unknown _1058284861.unknown _1058284859.unknown _1058284854.unknown _1058284856.unknown _1058284857.unknown _1058284855.unknown _1058284850.unknown _1058284852.unknown _1058284853.unknown _1058284851.unknown _1058284848.unknown _1058284849.unknown _1058284846.unknown _1058284847.unknown _1058284845.unknown
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