Comprimento de arco de curvas paramétricas

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Comprimento de arco de curvas parame´tricas
Comprimento de arco de curvas parame´tricas
Danilo Sande
October 30, 2013
Danilo Sande Comprimento de arco de curvas parame´tricas
Comprimento de arco de curvas parame´tricas
Comprimento de arco de curvas parame´tricas
Comprimento de arco
Queremos calcular o comprimento de arco de uma curva C, dada
na forma parame´tricas pelas equac¸o˜es:{
x = x(t)
y = y(t)
, t ∈ [α, β], onde x = x(t) e y = y(t) sa˜o cont´ınuas
com derivadas cont´ınuas e x ′(t) 6= 0 para todo t ∈ [α, β].
A derivada da func¸a˜o y = f (x) atrave´s de suas equac¸o˜es
parame´tricas e´ dydx =
y ′(t)
x ′(t) (aula 10).
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Comprimento de arco
Para calcular o comprimento de arco de C, vamo fazer uma
mudanc¸a de varia´veis na eq. cartesiana para o comprimento de
arco:
S =
∫ b
a
√
1 + [f ′(x)]2dx , faremos x = x(t); dx = x ′(t)dt e
f ′(x) = dydx =
y ′(t)
x ′(t) , assim:
S =
∫ β
α
√
1 + [
y ′(t)
x ′(t)
]2x ′(t)dt, onde x(α) = a e x(β) = b.
Portanto:
S =
∫ β
α
√
[x ′(t)]2 + [y ′(t)]2dt.
Obs: Se ~v(t) e´ o vetor velocidade de um mo´vel, enta˜o
S =
∫ β
α
| ~v(t)|dt e´ a distaˆncia percorrida por ele.
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Comprimento de arco de curvas parame´tricas
Exemplo 1
Calcule o comprimento de arco da curva dada por:{
x = 4 cos t + 1
y = 4 sin t + 2
, t ∈ [0, 2pi]
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Exemplo 2
Calcule o comprimento de arco da curva dada por:{
x = 2(cos t − 1)
y = 2(t + sin t)
, t ∈ [0, 2pi]
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Exemplo 3
Calcule o comprimento de arco da curva dada por:
{
x = 2 sin3 t
y = 2 cos3 t
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Exemplo 4
Calcule o comprimento de arco da curva dada por:
{
x = t − t2
y = 5
,
0 ≤ t ≤ 1
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Exemplo 5
As equac¸o˜es parame´tricas a seguir determinam a posic¸a˜o de uma
part´ıcula em cada instante t, durante o intervalo de tempo
0 ≤ t ≤ pi:{
x = cos(2t)
y = sin2 t
. Calcule a distaˆncia total percorrida por essa
part´ıcula.
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