CONTEUDO INTERATIVO AULA 09

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FUNDAMENTOS DA ALGEBRA 
AULA 09 - ELEMEMNTOS DE UM ANEL E CORPO 
Corpo Vamos começar esta aula conhecendo a definição de corpo. Veja: Um corpo é um anel comutativo com unidade que chamaremos de K. Este anel é denominado corpo se todo elemento não nulo de K possuir inverso multiplicativo, ou seja, Se ∀xϵK,x≠0, então, ∃x-1∈K tal que x∙x-1=1 Podemos concluir que um corpo é um anel unitário e comutativo no qual todo elemento diferente de zero possui inverso. Além disso, podemos dizer que todo corpo é um anel.
Atenção ! Usaremos a notação x∙y-1 como x dividido por y. Assim, dizemos que um corpo é um conjunto fechado em relação às operações de adição, multiplicação e divisão.
Exemplos de estrutura de corpos
A seguir, veja alguns exemplos de estrutura de corpos:
I –São exemplos clássicos de Corpos os conjuntos numéricos: 
ℝ : o conjunto dos números reais;
ℚ : o conjunto dos números racionais;
ℂ : o conjunto dos números complexos.
II-(Q, +, . ) é um corpo.
Ele é um anel comutativo com unidade 1. Além disso, para a = x /y ϵ Q , x e y são elementos de Z e y ≠ 0. Daí vem que x ≠ 0 e x/y . Então, a-1 = x/y ϵ Q , 𝑝𝑜𝑖𝑠 x/y . y/x= 1 .
III- (R, +, . ) é um corpo.
Ele é um anel comutativo com unidade 1. Além disso, para 𝑥∈𝑅, 𝑥≠0, 𝑒𝑛𝑡ã𝑜 1/x ϵR 𝑒 x. 1/x =1 , ou seja, todo elemento não nulo tem inverso. 
IV-O anel das funções RR não é um corpo, pois ele não é um anel de integridade.
V- No conjunto das matrizes Mn(A), mesmo que A seja um corpo, temos que Mn(A) não é um anel de integridade para n ≥ 2.
Observe que o conjunto dos números inteiros Z, não é um corpo, pois nem todo elemento de Z possui inverso multiplicativo. Veja que 3ϵ Z, mas não existe y ϵ Z tal que 3y=1.
Exercício
Vamos fazer uma pausa para um exercício. Verifique se um determinado conjunto apresenta uma estrutura de corpo: Seja A=(ℚ,+,.) onde a operação de adição é a operação usual e * é definida por a*b = ab/3 Mostre que A é um corpo.
Resultados sobre a estrutura do corpo
Veja, agora, alguns resultados sobre a estrutura do corpo:
	
Proposição I
	
SAIBA MAIS Podemos observar, ainda, que existe anel de integridade que não é corpo. Faremos isso através de um exemplo, veja:
Exemplo
Seja o anel (Z, +, .). Ele é um anel de integridade, mas não é um corpo. Se ele é um anel de integridade, tem como elemento neutro o zero, como elemento simétrico o -x e como unidade o número 1. Porém, ele não é um corpo, pois, como já foi apresentado, se considerarmos um elemento desse conjunto, por exemplo, o 3, observaremos que não existe x em Z tal que 3x = 1.
	
Proposição II
	
	
Proposição III
	Sejam K um corpo e B um subanel de K. São equivalentes:
(i) B é um subcorpo de K.
(ii)B tem unidade e b-1 ϵ B,0≠bϵB.
Exemplos de subcorpos
R: o conjunto dos reais;
Q: o conjunto dos números racionais;
C: o conjunto dos números complexos.
	
Proposição IV
	
	
Proposição V
	
	
Proposição VI
	
Elementos notáveis em um anel
A partir de agora, vamos falar sobre alguns elementos existentes nos anéis e que são importantes quando desejamos realizar algumas operações com os anéis. São eles: inversíveis, divisores de zero, regulares, idempotentes e nilpotentes. Vamos começar pelos elementos inversíveis. Podemos citar um exemplo clássico encontrado na literatura. Veja: 
Em um anel unitário (A, +, .), queremos resolver uma equação da forma ax = b, onde a e b são elementos do anel A, ou seja, queremos encontrar um valor para a variável x que satisfaça a equação dada. Nesse caso, não poderíamos resolver sem antes reconhecermos que, no anel A, temos um elemento a que é inversível, e seu inverso é a-1. Agora, basta multiplicarmos os dois lados dessa equação pelo inverso de a e encontrarmos x = a-1.b.
Definição de elementos inversíveis
Observe a seguinte definição: Considerando o anel unitário (A, +, .), e a um elemento desse anel, podemos dizer que a é um elemento inversível do anel A, se existe um elemento b em A, tal que ab = ba = 1. Nesse caso, dizemos que a é inversível e b é chamado de inverso de a. Lembramos que o inverso de um elemento inversível é único, assim, vamos usar a notação a-1 para representar o inverso de a. A partir dessa definição, podemos dizer que o conjunto dos elementos inversíveis do anel unitário (A, +, .) será denotado por: 𝑼(𝑨)={𝒂∈𝑨; ∃𝒃∈𝑨∕𝒂 𝒃=𝒃𝒂=𝟏}. Veja alguns exemplos:
	I
Em Z4 = {0,1,2,3}, veja que U(Z4) = {1,3}.
De fato:
3-1 = 3, pois 3.3 = 9 e 9 dividido por 4 deixa resto 1
1-1 =1.
ATENÇÃO!
Quando estudamos as propriedades dos anéis, vimos que x.0 = 0 para todo x em A. Vimos, também, que o elemento neutro da adição de um anel nunca é inversível. Agora, considerando 1, que é o elemento neutro da multiplicação, onde 1.1 = 1, veja que ele é sempre inversível.
O mesmo ocorre quando temos (-1)(-1) = 1.1 = 1. Assim, -1 é inversível e (-1)-1 = -1. Daí, se a é inversível, podemos dizer que a-1 também será, ou seja, (a-1)-1 = a.
	II
I
Em Z12, temos que U(Z12) = {1,5,7,11}.
De fato:
1-1 = 1
5-1 = 5, pois 5.5 = 25 e 25 dividido por 12 deixa resto 1
7-1 = 7, pois 7.7 = 49 e 49 dividido por 12 deixa resto 1
11-1 = 11, pois 11.11 = 121 e 121 dividido por 12 deixa resto 1
	III
Em Z7, todos os elementos não nulos são inversíveis. 
De fato:
1-1 = 1
2-1 = 4
3-1 = 5
Elementos: divisor de zero, regular, idempotente e nilpotente
Antes de conhecer a definição desses elementos, observe o enunciado abaixo:
Seja A um anel com as operações usuais de adição e multiplicação. Dizemos que, dado um x em A, ele é elemento:
Divisor de zeroQuando x ≠ 0 e existe y em A - {0}, tal que xy = 0 ou yx = 0 Notação: Ddz(A ) Conjuntos dos divisores de zero do anel A .
Regular Quando x ≠ 0 e x não é divisor de zero. Notação: Reg(A) Conjuntos dos elementos regulares do anel A.
Aqui, estamos dizendo que não existe y em A, y ≠ 0, tal que xy =0 ou yx = 0. Também podemos dizer que, se x é um elemento de A, e x ≠ 0, ele é regular quando xy ≠ 0 e yx ≠ 0.
Idempotente Quando um elemento x do anel A, x2 = x. Notação: Idemp(A) Conjuntos dos elementos idempotentes do anel A.
Exemplo: Seja o anel Z6. Temos que (1)2 = 1, (3)2 = 3, (4)2 = 4 Logo, Idemp (Z6) = {1,3,4}
Nipotente Quando existe um número natural n, N - {0}, tal que xn = 0. Notação: Nilp(A) Conjuntos dos elementos nilpotentes do anel A. Exemplos: 1- Seja o anel Z8. Temos que (0)2 = 0, (2)3 = 0, (4)2 = 0, (6)2 = 0 Logo, Nilp (Z8) = {0,2,4, 6} 2- Seja o anel Z4, temos que: U(Z4) = {1,3} Ddz(Z4) = {2} Reg(Z4) = {1,3} Idemp(Z4) = {0,1} Nilp(Z4) = {0,2}
Proposições dos elementos notáveis em um anel
Veja, agora, alguns resultados sobre os elementos notáveis em um anel:
	PROPOSIÇÃO 1
Se D é um domínio, então,
i) Ddz(D) = Ø
ii) Reg(D) = D - {0}
iii) Idemp(D) = {0,1}
iv) Nilp(D) = {0}
	PROPOSIÇÃO 2
Em um corpo K, temos:
i) U(K,) = K, - {0}
ii) Ddz(K,) = Ø
iii) Reg(K,) = K, - {0}
iv) Idemp(K,) = {0,1}
v) Nilp(K,) = {0}
	PROPOSIÇÃO 3
Seja A um anel, x um elemento de A, x ≠ 0. São equivalentes:
i) x é um elemento regular
ii) Se xa = bx então a = b, para todo a e b em A
 Se ax = xb então a = b, para todo a e b em A
	PROPOSIÇÃO 4
Seja n um número natural, n ≥ 0. São equivalentes:
𝑎) 𝑥∈𝑈(𝑍𝑚)
𝑏) 𝑥∈Re𝑔(𝑍𝑚)
𝑎) 𝑚𝑑𝑐(𝑥,𝑚)=1
Divisibilidade de um anel Definição Sejam A um anel e a, b elementos de A. Dizemos que a divide b em A quando existe um elemento c em A tal que ac = b. O elemento c é chamado quociente de divisão de b por a. Também podemos dizer que a é um divisor de b, ou que b é um múltiplo de a, ou que b é divisível por a. Notação: a|b Para entender melhor a definição de divisibilidade de um anel, observe o exemplo a seguir: Em Z, temos que: 4|12, pois 12 = 3.4 4|11 ? não, pois não existe c em Z tal que 11 = c.4 Agora, vamos considerar o anel Z8. Veja que 2 divide 6, pois 2.3 = 6, mas podemos observar que o mesmo ocorre com 2.7 = 14 = 6. Notamos que 2 divide 6 com dois quocientes.
SAIBA MAIS A proposição abaixo, mostra um resultado da divisibilidade de um anel. veja: Proposição 5 Seja A um anel de integridade, considere a e b elementos de A, sendo a ≠ 0. Se a|b, então, o quociente é único.
Propriedades da divisibilidade em anéis de integridadeObserve as seguintes informações: Sejam A um anel de integridade e a, b, c, d, x, y elementos de A. i) Se a|b e b|c, então, a|bc ii) 1A|a iii) Se a|b e b|c, então, a|(bx + cy) iv) Se a|b e c|d, então, ac|bd v) Se a|b, então, a|bx vi) Se a|b e b|d, então a|d vii) Se u é um elemento de U(A), então, ua|a
Essas informações nos levam à seguinte definição de propriedades da divisibilidade em anéis de integridade: Seja D um domínio e a e b elementos de D. Podemos dizer que a e b são associados quando a|b e b|a.
Notação: a ~ b
A definição que vimos, nos diz que dois elementos de um anel de integridade são chamados de elementos associados se existir um elemento invertível u em A, tal que b = u.a. Logo, vale a proposição abaixo: Proposição 6 Sejam D um domínio e a, b elementos de D. São equivalentes: i) a ~ b ii) Existe u em U(D), tal que b = au Veja alguns exemplos:
	 1 – Determinar os elementos associados a 2 em Z.
U(Z) = {1,-1}
Assim, os elementos associados a 2 são 2 e -2, pois 2 = 2.1 e -2 = 2.(-1)
	2- Determinar os elementos associados a 2 em Z6.
U(Z6) = {1,5}
Assim, os elementos associados a 2 são 2 e 4, pois 2 = 2.1 e 2.5 = 10 = 4
	3-Determinar os elementos associados a 1 em Z7.
U(Z6) = {1,5}
Assim, os elementos associados a 1 são {1,2,3,4,5,6}, pois Z7 é um corpo e 7 é primo. Podemos dizer que, se K for um corpo, e a um elemento de K, a ≠ 0, então, os associados a a são K - {0} = U(K).
ATIVIDADE 
1- Qual dos anéis abaixo não pode ser definido como um corpo?
R - Conjunto dos números inteiros.
2- Calcule U(Z6).
R - U(Z6) = {1,5}
3- Determine os elementos associados a 1 em Z7.
R- {1,2,3,4,5,6}
4- No anel Z6, determine Idemp(Z6). 
Idemp (Z6) = {1,3,4}
5- No corpo Z11, resolva a equação x3 = x. Podemos afirmar que:
R - S = {0,1,10}
Caderno de exercícios
01 - Verifique se (L, +, .) é um subcorpo de (R, +, .). 𝐿={𝑎+𝑏 √3∕𝑎,𝑏∈𝑍}. 02-Verifique se (L, +, .) é um subcorpo de (R, +, .). 𝐿={𝑎+𝑏 √3∕𝑎,𝑏∈𝑄} . 03- Verifique se (L, +, .) é um subcorpo de (R, +, .). 𝐿={𝑎+𝑏 ∛3∕𝑎,𝑏∈𝑄} . 04- No corpo Z11, resolva a equação x3 = x. 05- No anel Z8, determine Nilp (Z8 ).
SAIBA + 
Para saber mais sobre os assuntos estudados nesta aula, leia os seguintes artigos:
Breve História da Álgebra Abstrata. Disponível aqui.
Introdução à Teoria de Anéis. Disponível aqui.
Divisibilidade em domínios de integridade. Disponível aqui.