Fundamentos de Álgebra: Operações e Grupos

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Fundamentos de Álgebra
Ana Lucia de Sousa
Revisão 1
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Exercício 1: Seja a operação binária ∆ definida por: 
Mostre que a operação ∆ é uma operação interna em Z. 
Aula 1
OPERAÇÕES BINÁRIAS E GRUPO
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Exercício 2 
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Aula 2
TÁBUA DE UM GRUPO FINITO E OPERAÇÕES NO CONJUNTO Zm
Exercício: 
Determine x no conjunto Z5 tal que a equação 3x +1 = 2
 
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Aula 3
SUBGRUPOS E GRUPOS CÍCLICOS
Exercício 1: 
Determine o grupo (Z10,+). Determine um subgrupo gerado
pelo elemento 4.
 
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Exercício 2: 
A tábua abaixo com a operação * mostra que o conjunto 
G = {e,a,b,c,d,f} é um grupo. Determine a ordem do elemento d.
 
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Aula 4
SUBGRUPO NORMAL E GRUPO QUOCIENTE
Exercício 1: 
Considere um grupo comutativo e H = subgrupo de.
Determine o conjunto das classes laterais à esquerda de H.
Solução:
0 + H = {0 + 0, 0 + 2, 0 + 4} = {0,2,4} = H + 0
1 + H = {1 + 0, 1 + 2, 1 + 4} = {1,3,5} = H + 1
2 + H = {2 + 0, 2 + 2, 2 + 4} = {2,4,0} = H + 2
3 + H = {3 + 0, 3 + 2, 3 + 4} = {3,5,1} = H + 3
4 + H = {4 + 0, 4 + 2, 4 + 4} = {4,0,2} = H + 4
5 + H = {5 + 0, 5 + 2, 5 + 4} = {5,1,3} = H + 5
G/H = {H, 1 + H, 2 + H}
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Exercício 2: 
Considere o grupo G = (Z10, +). Vamos considerar também o
subconjunto H2 = {0,2,4,8,6} de G.
H2 é candidato a subgrupo de G, pois pelo Teorema de
Lagrange H2 tem 5 elementos e 5 divide 10. 
Verificando se H2 = {0,2,4,8,6} é subgrupo G = (Z10, +).
0 é um elemento de H e é o elemento neutro de G.
O simétrico de 2 em G é 8, pois 2 + 8 = 10 = 0 e 8 H2
O simétrico de 4 em G é 8, pois 4 + 6 = 10 = 0 e 6 H2
O simétrico de 8 em G é 8, pois 8 + 2 = 10 = 0 e 2 H2
O simétrico de 6 em G é 8, pois 6 + 4 = 10 = 0 e 4 H2
Portanto, H2 é um subgrupo de G.
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Exercício 3: 
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Exercício 4: 
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Aula 5 
HOMOMORFISMOS DE GRUPOS, ISOMORFISMOS DE GRUPOS E GRUPOS DE PERMUTAÇÕES
Exercício 1: 
Verifique se a função f(x) = x2 definida de R em R é um 
homomorfismo de grupo.
f(x + y) = (x + y)2 = x2 + 2xy + y2 ≠ x2 + y2 = f(x) + f(y).
Portanto, f não é homomorfismo, pois f(2 + 3) = 52 = 25 e
f(2) + f(3) = 22 + 32 = 4 + 9 = 13.
Logo, f(2 + 3) ≠ f(2) + f(3) 
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Exercício 2: 
Verifique se a função f(x) = x2 definida de R em R é um 
homomorfismo de grupo.
f(x + y) = (x + y)2 = x2 + 2xy + y2 ≠ x2 + y2 = f(x) + f(y).
Portanto, f não é homomorfismo, pois f(2 + 3) = 52 = 25 e
f(2) + f(3) = 22 + 32 = 4 + 9 = 13.
Logo, f(2 + 3) ≠ f(2) + f(3) 
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Exercício 3: 
Determine o núcleo do homorfismo de grupo abaixo.
f(x) = 1/x2 definida de (R*,.) em (R*,.).
Elemento neutro do contradomínio: e = 1
f(x)= 1 → 1/x2 = 1 → x2 = 1 → x = 1 e x = -1
Portanto, N(f) = {1, -1}
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Isomorfismo de grupos
Dois conjuntos G1 e G2 possuem a mesma cardinalidade. 
 
2. Se um grupo for abeliano, o outro também deverá ser abeliano.
3. Se determinado tipo de equação tem solução em um deles, então uma equação equivalente também tem solução no outro.
4. Dois grupos são isomorfos quando possuem a mesma propriedade algébrica
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Exercício 4: