Exercícios equação do 2°grau 03

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EQUAÇÕES DO 2º GRAU 
 
CONTEÚDOS 
 Equações do 2º grau 
 Processo resolutivo de uma equação 
 Discriminante de uma equação 
AMPLIANDO SEUS CONHECIMENTOS 
Iniciaremos agora o estudo das equações do 2º grau com uma incógnita. As equações são 
constantemente utilizadas para resolver problemas que aparecem no dia a dia. Vamos 
discutir o uso das equações resolvendo o problema da reforma da casa de Pedro. 
Na reforma de sua casa, Pedro decidiu ampliar a sala, essa decisão impactou na falta de 
material, isso porque todo o piso já estava comprado. Antes da ampliação Pedro tinha 
disponível 16 m² de piso, quantidade que seria ideal para execução da obra. Com as novas 
medidas, a sala que antes era quadrada, ficou retangular, sofrendo o aumento de 1,5 m em 
seu comprimento e 0,5 m em sua largura. Ao término da ampliação, a sala está com 5,5 m 
de comprimento e 4,5 m de largura. 
Como é possível afirmar que a sala ficou com 5,5 m de comprimento após a ampliação? 
Para pensar sobre a situação colocada, vamos fazer um esboço que representa a sala de 
Pedro antes e depois da reforma. 
 
 
 
 
 
 
Sala após a reforma 
5,5 m 
Sala antes da reforma 
Área = 16 m² 
4,5 m 
 
 
A sala antes da reforma tinha o formato quadrado, e a medida de seu lado era 
desconhecida. Para encontrar essa medida, vamos 
identificá-la como x. 
Assim: 
Tendo a sala o formato quadrado, vale lembrar que a área 
do quadrado é igual a medida do lado ao quadrado, E 
portanto, a área da sala é: 
x.x = 16 x² = 16 
Para determinar a medida inicial do comprimento da sala, descrevemos uma equação. Essa 
equação recebe o nome de equação do 2º grau com uma incógnita. 
Identifica-se como equação do 2º grau na incógnita x, toda equação que apresenta a forma 
ax² + bx + c = 0. Em que a, b e c são números reais e a ≠ 0. 
Em uma equação do 2º grau os valores a, b e c são chamados de coeficientes da equação. 
No caso da equação que representa a área da sala, ela é identificada como equação do 2º 
grau incompleta, isso porque ela não apresenta o coeficiente b. 
Antes de determinar a medida inicial da sala de Pedro, vamos discutir um pouco mais as 
equações do 2º grau com uma incógnita. 
 Essas equações podem ser divididas em completas e incompletas. Veja alguns exemplos: 
 2x² + 2x = 0, temos uma equação do 2º grau na incógnita x. Essa equação é 
incompleta e apresenta apenas os coeficientes a e b, em que a = 2 e b = 2. 
 4y² - 100 = 0, temos uma equação do 2º grau na incógnita y. Essa equação é 
incompleta e apresenta apenas os coeficientes a e c, em que a = 4 e c = - 100. 
 x² - 4x + 4 = 0, temos uma equação do 2º grau na incógnita x. Essa equação é 
completa e portanto apresenta os coeficientes a, b e c, em que a = 1, b = - 4 e 
c = 4. 
 
 
Em uma equação do 2º grau fazemos as seguintes identificações, em relação aos 
coeficientes: 
 O coeficiente a está relacionado a incógnita que está elevada a segunda potência. 
 O coeficiente b está relacionado a incógnita que está elevada a primeira potência. 
 O coeficiente c é identificado como termo independente. É o coeficiente sem a 
incógnita. 
A forma reduzida de uma equação 
Quando uma equação está escrita na forma ax² + bx + c = 0, dizemos que ela está escrita 
na forma reduzida de uma equação. A equação x² = 16, que representa a medida inicial da 
sala de Pedro não está representada em sua forma reduzida. Para representá-la, podemos 
aplicar o princípio aditivo. Acompanhe: 
 x² = 16 
x² - 16 = 16 – 16 ( aplicamos o princípio aditivo somando – 16) 
x² - 16 = 0 ( forma reduzida da equação) 
Vejamos mais alguns exemplos de como representar uma equação em sua forma reduzida: 
 5x² - 14x + 24 = 3x² 
5x² - 3x² - 14x + 24 = 3x² - 3x² (aplicamos o princípio aditivo somando – 3x²) 
2x² - 14x + 24 = 0 (forma reduzida da equação) 
 x.( x - 5) = - 4 
x² - 5x = - 4 ( aplicamos a distributiva) 
x² - 5x + 4 = - 4 + 4 (aplicamos o princípio aditivo somando + 4) 
x² - 5x + 4 = 0 ( forma reduzida da equação) 
 
 
 
 
 
 
Resolução das equações incompletas 
Equações na forma ax² + c = 0 
Iniciaremos o processo resolutivo utilizando a equação x² = 16 , a qual representa a medida 
inicial da sala de Pedro. 
Vamos lembrar que a forma reduzida dessa equação é: x² - 16 = 0. Neste caso a equação 
não apresenta o coeficiente b. Temos a = 1 e c = - 16. 
Resolvendo a equação: 
x² - 16 = 0 ( equação dada) 
x² - 16 + 16 = 16 ( aplicamos o princípio aditivo e somamos + 16) 
x² = 16 
x = 
16
 x = - 
16
 x = - 4 ou x = + 
16
 x = + 4 
Temos dois valores que representam as raízes da equação, são eles: - 4 e 4. 
Considerando que essa equação representa a medida da área da sala de Pedro, sendo x 
a medida do lado da sala, neste caso, o valor de x será apenas o valor positivo. Logo, 
sabemos agora que medida inicial da sala de Pedro era de 4,0 m, passando a ter 5,5 m de 
comprimento após a reforma. 
 Veja que a resolução da equação permitiu responder a pergunta que gerou nossos 
estudos. Lembra-se dela? “Como é possível afirmar que a sala ficou com 5,5 m de 
comprimento após a ampliação? ” 
Já temos a resposta: 
Sabemos que após a reforma, a sala ficou com 5,5 m de comprimento porque inicialmente 
sua medida era de 4,0 m, e considerando a ampliação de 1,5 m, a medida final será de 
5,5 m. 
 
 
Raízes da equação: Um número é identificado como raiz quando ao substituí-lo no lugar 
da incógnita, ele torna a igualdade verdadeira. 
Equações na forma ax² + bx = 0 
Dada a equação 2x² - 2x = 0, o primeiro passo para resolvê-la é aplicar a fatoração. 
Vamos lá! 
2x.( x – 1) = 0 ( aplicando a fatoração) 
Sendo 2x.( x – 1) = 0, temos 2.x = 0 ou x -1 = 0, resolvendo cada uma dessas equações, 
temos: 2.x = 0 x = 
2
0
 x = 0 ou x – 1 = 0 x = 1 
Saiba mais: 
A fatoração é a transformação de uma soma ou 
subtração de termos, em um produto de dois ou mais 
fatores. 
Vamos entender melhor! 
Para fatorar a expressão ao lado, o primeiro passo é 
encontrar um número que seja divisor comum dos 
números 32 e 48. Neste caso, os dois termos são pares, 
logo são divisíveis por 2. Porém, na fatoração, devemos encontrar o maior divisor comum 
entre os termos da expressão que deseja-se fatorar. Sendo assim, deve-se considerar não 
somente um divisor comum, mas o maior divisor comum entre os termos envolvidos. 
Entre os números 32 e 48, o maior divisor será o número 16. Logo, podemos expressar os 
números 32 e 48 por meio de multiplicações que envolvem o número 16. 
Ao escrever 32 como 2.16 e 48 como 3.16, observa-se que há um fator comum, ou seja, o 
próprio número 16. 
Colocamos então esse fator comum em evidência, representamos a soma 32 + 48 por meio 
de uma multiplicação de termos. 
Fatorando a expressão 
32 + 48 
 
 2.16 + 3.16 
 
 16.( 2 + 3) 
Observe que: 
 32 + 48 = 16.( 2 + 3) 
 
 
 
As raízes da equação são 0 e 1. Dizemos que esse é o conjunto solução da equação. Para 
representar esse conjunto utilizamos a seguinte simbologia: S = {0,1}. 
O processo resolutivo de equação completa 
Para discutir o processo resolutivo de uma equação completa, suponha um retângulo que 
apresenta comprimento de medida igual a (x + 5), largura igual a x e área igual a 24 m². 
 
Sendo a área de um retângulo obtida ao multiplicar a medida de seu comprimento por sua 
largura, temos: 
x .( x + 5) = 24 ( aplicando a distributiva) 
x² + 5x = 24 
x² + 5x – 24 = 24 – 24 ( aplicando o princípio aditivo) 
x² + 5x – 24 = 0 
Ao resolver a equação apresentada,encontramos a medida x, que representa a largura do 
terreno. Para determinar as raízes dessa equação, um dos processos resolutivos é 
realizado ao utilizar a fórmula de Bhaskara. Vejamos como ocorre esse processo: 
 
 
 
 
(x + 5) 
x 
 
 
Resolução da equação completa do 2º grau 
Para resolver as equações completas do 2º grau faremos uso da tão conhecida fórmula de 
Bhaskara, a qual é descrita pela expressão: x = 
2a
4acb²b-  
Curiosidade 
Bhaskara era um matemático hindu e viveu no século XII. Nesse período a escrita algébrica 
ainda não era conhecida. Somente no século XVI que essa notação passa a ser utilizada. 
Foi o francês François Viète que iniciou o desenvolvimento da escrita algébrica, permitindo 
assim o uso da álgebra para descrever resoluções e até mesmo permitir a padronização 
das tais chamadas fórmulas. A exemplo temos a fórmula utilizada para extração das raízes 
de uma equação do 2º grau, a famosa fórmula de Bhaskara. 
Na verdade Bhaskara não conheceu essa fórmula, e somente aqui no Brasil atribui-se esse 
nome a fórmula resolutiva para extração das raízes de uma equação do 2º grau. Registros 
históricos mencionam que métodos resolutivos para solucionar equações do 2º grau já eram 
conhecidos pelos babilônios. Batizar a fórmula com o nome de Bhaskara ocorreu por volta 
de 1960, e alguns registros indicam que isso tenha ocorrido com o objetivo de fazer uma 
espécie de homenagem a um dos mais importantes matemáticos hindus (Bhaskara), que 
apresentou em duas das suas obras, resolução de problemas que envolviam as equações 
do 2º grau. 
Vamos agora utilizar a fórmula resolutiva, para resolver a equação x² + 5x – 24 = 0. 
Para utilizar a fórmula de Bhaskara, vamos seguir os seguintes passos: 
1º: Identifique os coeficientes da equação: 
a = 1 b = 5 c = - 24 
2º: Calcule separadamente o valor da raiz 
4.a.cb² 
. Para tanto, substitua os valores dos 
coeficientes. 
)24.(1.4²5 
 
9625 
 
11121 
 
 
 
4º: Após calcular a raiz, substitua o valor encontrado na expressão. Neste momento, 
substitua também os coeficientes a e b por seus respectivos valores. 
2.1
115
x


 
5º: Agora que você já tem todos os valores substituídos, você realizará dois cálculos. 
O primeiro será da seguinte maneira: 
2.1
115
x1


 
3
2
6
x1 
 ( primeira raiz da equação) 
O segundo será realizado desta forma: 
2.1
115
x 2


 
8
2
16
x 2 
 ( segunda raiz da equação) 
Após todos esses passos, chegamos aos valores que representam as raízes da equação. 
Neste caso específico, uma das raízes representa a medida da largura do terreno, como 
temos uma das raízes negativas, sabemos que o comprimento inicial é de 3 m, ou seja, 
valor da raiz positiva. Portanto, o terreno tem largura igual a 3 m e comprimento igual a 8 
m. 
 
O discriminante de uma equação 
Você acabou de estudar o processo resolutivo da equação do 2º grau por meio da utilização 
da fórmula da Bhaskara. Analisaremos agora o número de raízes de uma equação a partir 
do estudo do discriminante. Para tanto, é preciso que seja compreendido qual é a expressão 
que está sendo chamada de discriminante. 
 Na fórmula x = 
2.a
4.a.cb²b  , a expressão b² - 4.a.c, que é um número real, usualmente 
é chamada de discriminante e representada pela letra grega  ( delta). 
 
Sendo assim, temos: 
 = b² - 4.a.c 
E a fórmula resolutiva pode ser representada por x = 
2.a
b  . 
 
 
Vejamos agora, algumas análises que podem ser feitas a partir do discriminante. 
 
Dada a equação x² - 2x +1 = 0, vamos determinar as raízes dela, porém primeiro faremos 
o cálculo do delta. 
Acompanhe: x = 
2.a
b  
 = b² - 4.a.c  = (-2)² - 4.1.1  = 4 – 4  = 0 
 
x = 
2.1
0(-2)  x = 
2
0 2 
 x1 = 
1
2
0 2


 x2 = 
1
2
0- 2

 
 
Observe que neste caso, o valor do discriminante é igual a zero e a equação tem duas 
raízes iguais. 
Toda equação do 2º grau que apresentar o discriminante igual a zero, terá duas raízes 
iguais. Podemos dizer que a equação apresenta uma única raiz real. 
 
Vamos para mais uma análise: 
Dada a equação x² - 20x + 99 = 0 vamos determinar suas raízes, semelhante ao primeiro 
caso, iniciaremos pelo cálculo do discriminante. 
Acompanhe: x = 
2.a
b  
 = b² - 4.a.c  = (-20)² - 4.1.99  = 400 - 396  = 4 
 
x = 
2.1
4(-20)  x = 
2
2 20 
 x1= 
11
2
2 20


 x2 = 
9
2
2- 20

 
 Observe que neste caso, o valor do discriminante é um número real positivo e a equação 
apresenta duas raízes. 
Toda equação do 2º grau que apresenta em seu discriminante um número maior que zero, 
terá duas raízes reais e distintas. 
 
 
E por último, faremos a análise da seguinte equação: x² - 2x + 2 = 0 
Para calcular as raízes dessa equação, faremos o mesmo processo utilizado nos exemplos 
anteriores. 
Acompanhe: x = 
2.a
b  
 = b² - 4.a.c  = (-2)² - 4.1.2  = 4 - 8  = - 4 
 
x = 
2.1
4(-2)  x = 
2
42  
 
 
 
ATIVIDADES 
 
1. Na equação x² + 4x – 140 = 0, identifique os coeficientes a, b e c. 
 
2. Identifique como completa ou incompleta as equações do 2º grau. 
a) - x² + 2x = 0 b) x² - 5x + 6 = 0 c) - 4r² + 6r = 0 
d) 10x² + 3x – 1 = 0 e) x² - 25 = 0 f) 8x² + 56x = 0 
g) x² = 1 h) 10y² = - 2y i) 4x² = 0 
 
3. Utilizando o conhecimento que você já construiu acerca das equações do 2º grau, 
procure descrever uma equação que representa a seguinte situação: 
O quadrado de um número, somado com o dobro desse número é igual a 35. 
 
 
Observe que o valor do discriminante é 
um número negativo. E, não existe raiz 
real de um número negativo. Portanto, 
dizemos que essa equação não tem raiz 
real. 
 
 
4. Represente a equação descrita no exercício 3 em sua forma reduzida. 
5. Identifique os coeficientes da equação descrita no exercício 3 e classifique-a como 
completa ou incompleta. 
6. Represente, na forma reduzida, as seguintes equações: 
a) x² - 7x = - 10 
b) 3x² + 2 = 7x 
c) 4y² + 8 = - 3 
d) x. (x – 4) = + 8x 
7. Na equação x² + 4x – 140 = 0, quais são suas raízes? 
8. A medida do segmento 
AB
 somada a medida do segmento 
BC
 resulta em 21 cm. 
Conhecendo as medidas de cada um desses segmentos, quantos centímetros o segmento 
BC
 é maior que o 
AB
? 
 
9. Resolvendo apenas o discriminante, coloque verdadeiro (V) ou falso (F) para as 
seguintes afirmações: 
a) A equação 2x² - 2x – 12 = 0 tem duas raízes iguais. ( ) 
b) A equação 3x² + 5x + 6 = 0 tem uma raiz.( ) 
c) A equação x² + 2x = 0 tem duas raízes reais distintas. ( ) 
d) A equação x² - 2x + 1 = 0 não tem raiz real. ( ) 
e) A equação 2x² - 12x + 48 = 0 tem duas raízes reais distintas. ( ) 
 
 
 
x² 4x 
 
 
10. Dada a equação 12x² - 9x + 7 = 0, em relação a sua raiz pode-se afirmar que: 
a) é um número real maior que zero. 
b) é igual a zero. 
c) é um número real menor que zero. 
d) não existe no conjunto dos números reais. 
11. O discriminante da equação 2x² - 20x + 48 = 0 é um número 
a) inteiro positivo. 
b) inteiro negativo. 
c) primo. 
d) múltiplo de 5. 
 
12. O triângulo ilustrado tem área igual a 60 cm². Dado sua altura e a medida de seu 
comprimento, pode-se afirmar que sua área pode ser expressa pela equação 
 
 
 
a) x² + 2x – 60 = 0 
b) x² + 2x – 120 = 0 
c) 2x² - 4x – 120 = 0 
d) 2x² + 2x – 60 = 0 
x + 2 
x 
Lembre-se: 
Para calcular a área deum 
triângulo utiliza-se a 
seguinte expressão: 
2
 altura x base
Área 
 
 
 
13. As informações inseridas em um contrato de compra e venda de uma sala comercial de 
formato quadrado, permitiam entender que ao subtrair da área da sala, a medida de seu 
perímetro, o valor encontrado seria zero. O comprador questionou o corretor da imobiliária 
dizendo que com essa informação é possível concluir que a sala tem um comprimento igual 
a 4 metros, valor que difere da sala que ele visitou, a qual tem uma área igual a 64 m². 
Em relação as informações mencionadas pelo comprador, é correto dizer que 
a) a sala tem comprimento igual a 64 m. 
b) a sala tem comprimento igual a 8 m. 
c) a sala tem perímetro igual a 8 m. 
d) a sala tem perímetro igual a 64 m. 
 
14. A soma das medidas dos segmentos 
DE
e 
EF
é igual a 9 cm. 
 
 
Conhecendo as medidas de cada um deles, pode-se afirmar que o segmento 
DE
é 
 
a) 6 cm maior que o segmento 
EF
. 
b) 3 cm maior que o segmento 
EF
. 
c) 2 cm maior que o segmento 
EF
. 
d) 9 cm maior que o segmento 
EF
. 
15. A área de um retângulo de comprimento igual a x + 2 e largura igual a 2x – 3 é igual a 
130 cm². Qual é a diferença entre a largura desse quadrilátero e seu comprimento? 
 
 
 
 
6x 3x² 
 
 
LEITURA COMPLEMENTAR 
 
Relações de Girard para equações do segundo grau 
Já sabemos que uma “ equação do segundo grau na variável x e com coeficientes reais” é 
uma equação da forma ax² + bx + c = 0, 
Onde a, b e c são números reais, com a ≠ 0, ditos coeficientes da equação: 
 a é dito o coeficiente de x²; 
 b é dito o coeficiente de x; 
 c é dito o coeficiente independente. 
O que discutiremos aqui é que existem relações entre os coeficientes de uma equação 
desse tipo e suas raízes. Essas relações foram descobertas pelo matemático Albert 
Girard e, portanto, são conhecidas como relações de Girard. 
 
(i) Uma das relações de Girard afirma que a soma das raízes de uma equação do 
segundo grau é igual à razão entre o oposto do coeficiente de x e o coeficiente de x², ou 
seja, a soma das raízes da equação ax² + bx + x = 0 é dada por 
.
a
b

 
Veja uma maneira de demonstrar essa propriedade: 
Pela fórmula resolutiva da equação do segundo grau, tem-se que as raízes da equação 
ax² + bx + c = 0 são dadas por 
2a
Δb
1
x


 e 
2a
Δb
2
x


 onde 
4.a.cb²Δ 
 
 
Então a soma das raízes é igual a: 

2
x
1
x
2a
Δb 
+ 
2a
Δb 
= 
a
b
2a
2b
2a
ΔΔbb 




 
 
Assim, de fato, 
a
b
2
x
1
x


 
(ii) Uma outra relação de Girard afirma que o produto das raízes de uma equação do 
segundo grau é igual à razão entre o seu termo independente c e o seu coeficiente de x², o 
que implica dizer que o produto das raízes da equação ax² + bx + c = 0 é dado por 
.
a
c
 
 
 
Veja como demonstrar essa segunda propriedade: 
Sendo, 
2a
Δb
1
x


 e 
2a
Δb
2
x


 as raízes da equação do segundo grau ax² + bx + c = 0, o 
produto dessas raízes será dado por: 

2
.x
1
x















 
2.a
Δb
.
2.a
Δb
= 
a
c
4a²
4ac
4a²
4.a.c)(b²b²
4a²
Δb²
4a²
ΔΔbΔbb)²(






 
Logo, necessariamente, 
a
c
.xx 21 
 
Aplicação: Para determinarmos a soma e o produto das raízes de uma equação do segundo 
grau, não é necessário resolvê-la. Ilustraremos esse resultado com alguns exemplos. 
Exemplo 1: Quais são os valores da soma e do produto das raízes de uma equação da 
equação do segundo grau 2x² + 7x – 6 = 0? 
Solução: Chamaremos S a soma e P o produto, então temos: S = 
2
7
a
b 


 e P = 
3
2
6
a
c

. 
Exemplo 2: Quais são os valores da soma e do produto das raízes da equação 
x² + 4x – 9 = 0. 
Solução: Sendo S a soma e P o produto, então temos S = 
4
1
4
a
b




 e 
P = 
9.
1
9
a
c



 
Disponível em:<http://clubes.obmep.org.br/blog/texto_004-relacoes-de-girard/>. Acesso em: 24 maio 2016. 
10h. 
INDICAÇÕES 
Consulte também na Biblioteca Digital do Portal EJA, na área de indicações o texto sobre 
equações do segundo grau. No material você encontrará a proposta de resolução de 
algumas equações. Você pode acessá-lo no seguinte endereço eletrônico: 
http://www.eja.educacao.org.br/bibliotecadigital/indicacoes/textos_site/Lists/Texto/DispFor
m.aspx?ID=154&Source=http%3A%2F%2Fwww%2Eeja%2Eeducacao%2Eorg%2Ebr%2F
bibliotecadigital%2Findicacoes%2Ftextos%5Fsite%2FLists%2Ftexto%2Fmatematica%2E
aspx 
 
 
 
REFERÊNCIAS 
 
CELESTINO, Kamila Gonçalves. XI Encontro Nacional de Educação Matemática: 
História da equação do segundo grau em livros didáticos. Curitiba, 2013. Disponível 
em:<http://sbem.web1471.kinghost.net/anais/XIENEM/pdf/2832_1080_ID.pdf>. Acesso 
em: 16 maio 2016. 12h40min. 
 
GIOVANNI, José Ruy. GIOVANNI, Jo´se Ruy Júnior. BENEDICTO, Castrucci. A conquista 
da Matemática. São Paulo: FTD, 2015. p. 92 – 132. 
 
OBMEP, Clube de Matemática. Relações de Girard. Disponível em: 
http://clubes.obmep.org.br/blog/texto_004-relacoes-de-girard/>. Acesso em: 24 maio 2016. 
10h. 
 
SÃO PAULO (Estado). Secretaria da Educação (SEE). Educação de Jovens e Adultos: 
Mundo do Trabalho modalidade semipresencial, v 1. Matemática: caderno do estudante. 
Disponível em: 
<http://www.ejamundodotrabalho.sp.gov.br/ConteudoCEEJA.aspx?MateriaID=78&tipo=Alu
no>. Acesso em: 18 maio. 2016. 10h. 
 
GABARITO 
1. 
a= 1 ( coeficiente que acompanha a incógnita que está elevada a segunda potência) . 
b= 4 ( coeficiente que acompanha a incógnita elevada a primeira potência) 
c= - 140 ( coeficiente sem incógnita, também chamado de termo independente) 
 
2. Equações completas: b e d. 
Equações incompletas: a, c, e, f, g, h, e i. 
3. Identificando o número desconhecido como x, temos: x² + 2.x = 35 
4. x² + 2.x – 35 = 35 – 35 
 x² + 2.x – 35 = 0 
5. Os coeficientes são: a = 1, b = 2 e c = - 35. A equação é completa. 
 
 
 
6. 
 a) x² - 7.x - 10 = - 10 + 10 x² - 7.x + 10 = 0 
b) 3x² + 2 – 7.x = 7.x – 7.x 3x² + 2 – 7.x = 0 
c) 4y² + 8 + 3 = - 3 + 3 4y² + 11 = 0 
d) x² - 4x = 8.x x² - 4.x - 8.x = 8.x – 8.x x² - 12.x = 0 
7. Para determinar as raízes da equação é necessário resolvê-la. Para tanto, faremos uso 
da fórmula de Bhaskara. 
x = 
2a
4acb²b-  x = 
2.1
4.1.(-140)4²4-  x = 
2
560164-  
x = 
2
5764-  x = 
2
244- 
 x1 = 
2
244- 
 = 
10
2
20

 
x2 = 
2
244- 
 = 
14
2
28


 
As raízes da equação são: - 14 e 10 
8. Para saber quantos centímetros o segmento 
BC
 é maior que o 
AB
, primeiro é 
necessário resolver a equação que possibilita que a medida de cada um desses segmentos 
seja conhecida. 
x² + 4.x = 21 x² + 4.x – 21 = 0 
x = 
2a
4acb²b- 
 x = 
2.1
4.1.(-21)4²4- 
 x = 
2.1
84 164- 
 
x = 
2
1004- 
 x = 
2
104- 
 x1= 
2
104- 
= 3 x2= 
2
104- 
= - 7 
Ao resolver a equação encontramos dois possíveis valores que representam a raiz da 
equação e consequentemente permitem determinar a medida de cada segmento. Sendo 
um desses valores negativos, esse não será válido nessa situação, já que não existe 
medida negativa. Utilizaremos então apenas a raiz 3, assim, temos: 
AB
= x² 
AB
= 9 
BC
 = 4.x 
BC
 = 12Se o segmento 
BC
 mede 12 cm e o segmento 
AB
 mede 9 cm, 
BC
é 3 cm maior que 
AB
. 
9. 
a) F 
 = b² - 4.a.c  = (-2)² - 4.2.(-12)  = 4 + 96  = 100 
b) F 
 = b² - 4.a.c  = 5² - 4.3.6  = 25 – 72  = - 47 
c) V 
 = b² - 4.a.c  = (-2)² - 4.1.0  = 4 – 0  = 4 
d) F 
 = b² - 4.a.c  = (-2)² - 4.1.1  = 4 – 4  = 0 
e) F 
 = b² - 4.a.c  = (-12)² - 4.2.48  = 144 – 384  = - 240 
 
10. A alternativa correta é letra D. 
Para identificar a quantidade de raízes da equação, vamos calcular o valor do seu 
discriminante. 
 = b² - 4.a.c  = (-9)² - 4.12.7  = 81 – 336  = - 255 
Sendo o discriminante negativo, conclui-se que a raiz dessa equação não existe no conjunto 
dos números reais. 
11. A alternativa correta é a letra A. 
 = b² - 4.a.c  = ( -20)² - 4.2.48  = 400 – 384  = 16 
 
 
 
 
12. A alternativa correta é letra B. 
 Sabendo que para calcular a área de um triângulo faz-se uso da expressão, 
2
 altura x base
Área 
, temos: 
60 = 
2
2)xx( 
 120 = x² + 2x 0 = x² + 2x – 120 
13. A alternativa correta é a letra B. 
Considerando as observações do comprador e identificando como x a medida do 
comprimento da sala, temos: 
Área = x² 
x² = 64 
x = 
64
 
x = 8 
Portanto, se o comprimento da sala é igual a 8 m. 
14. Para saber a medida do segmento 
DE
, pode-se estabelecer entre esses segmentos a 
seguinte relação: 
3x² + 6 x = 9 
3x² + 6x – 9 = 0 
Resolvendo a equação, tem-se: 
x = 
2a
4acb²b- 
 x = 
2.3
4.3.(-9)6²6- 
 x = 
6
108366- 
 
x = 
6
1446- 
 x = 
6
126- 
 x1 = 
1
6
126-


 x2 = 
3
6
126-


 
Sendo x uma medida, utilizaremos neste caso apenas a raiz positiva. 
Sendo: 
EF
= 3.x² e x = 1, 
EF
é igual a 3. 
DE
= 6.x e x = 1, 
DE
 é igual a 6. 
Se o segmento 
DE
tem 6 cm e o segmento 
EF
tem 3 cm, 
DE
é 3 cm maior que 
EF
. 
 
 
15. Para conhecer as medidas desse quadrilátero, vamos inicialmente fazer um esboço 
para visualizar a descrição mencionada no exercício. 
 
 
Temos então: 
(x + 2). (2.x – 3) = 130 
2x² - 3x + 4x – 6 = 130 
2x² + x – 6 = 130 
2x² + x – 6 – 130 = 0 
2x² + x – 136 = 0 
Dada a equação do 2º grau, utilizaremos a fórmula de Bhaskara para resolvê-la. 
x = 
2a
4acb²b- 
 x = 
2.2
4.2.(-136)1²1- 
 x = 
4
1.088 11- 
 
x = 
4
1.089 1- 
 x = 
4
331- 
 x1 = 
8
4
331-


 x2 = 
8,5
4
331-


 
Calculada as raízes, observa-se que uma delas é negativa, como estamos trabalhando com 
uma medida, utilizaremos apenas a raiz positiva. 
Assim temos: 
Comprimento = x + 2 
Comprimento = 8 + 2 
Comprimento = 10 
(x + 2) 
(2.x – 3) 
 
 
Largura = 2.x – 3 
Largura = 2.8 – 3 
Largura = 16 – 3 
Largura = 13 
Portanto a largura é 3 cm maior que o comprimento