2018215 74556 Class+2+Pêndulos

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Física: Ondulatória 
Aula 2 – Sistemas Oscilantes 
Prof. Sandro: sandro.quirino@etep.edu.br 
Objetivos: 
Compreender e reconhecer os 
conceitos relativos aos sistemas 
osciladores pendulares. 
Sistemas oscilantes 
Todos são formados por 
sistemas físicos padrão: os sistemas oscilantes 
HALLIDAY, David; RESNICK, Robert; WALKER, Jearl. 
Fundamentos de física v. 03. São Paulo: LTC, 2006. 
TIPLER, Paul A. Física – para cientistas e engenheiros. Vol 
03.São Paulo: LTC, 2004. 
SERWAY, R A. Princípios de Física vol.3. Rio de Janeiro: LTC, 
2008. 
4 
Pêndulo Simples 







0
2
2
y
x
a
x
dt
xd
a 





)cos(
)sin(


mgP
mgP
y
x
xgxmmgmaP xx   )sin()sin(   Lx  ;~)sin(;1)sin(
000 2   ps
L
g
gL 
Lg  
00 2   ps
L
g 
Esta 
componente 
puxa na 
direção do 
fio. 
Esta 
componente 
puxa na 
direção do 
equilíbrio. 






yy
xx
maPT
maP

amPTF


iPjPjTF ˆˆˆ


5 
Pêndulo Físico 
 I
 I
 )sin( rP  ~)sin(
 hmg
  hmgI 
0 
I
mgh
 02  pf
I
mgh
pf 

I
mgh
f
pf
pf 

2
1
2
mgh
I
f
T
pf
pf 2
1

6 
Pêndulo Torção 
    IR  IR 

I
PT


I
f
pT
pT



2
1
2


 I
f
T
PT
PT 2
1


Coeficiente de Torção. 
I
Momento de Inércia. 
 I  0I
02   PT 0


I

7 
Relação entre MHS e MCU 





)sin()()(
)cos()()(


ttyty
ttxtx
m
m
y
x
R
222 )()( Rtytx 
  t
Quando uma partícula se move 
com velocidade constante em um 
círculo, sua projeção sobre o 
diâmetro do círculo representa um 
movimento harmônico simples, 
MHS. 
8 
Uma partícula de massa m = 0,5 kg está presa na extremidade de um 
fio inextensível de comprimento L = 1,0 m, formando um pêndulo 
simples descrito na figura abaixo. A partícula está em repouso e é solta, 
partindo do ponto inicial A na horizontal. Considere que a aceleração 
local da gravidade vale 10 m/s2. Qual é a força de tensão na corda, 
quando a partícula passa pelo ponto B? Resp. 15N 
9 
Em 1851, o francês Jean Bernard Foucault realizou uma experiência 
simples e engenhosa que demonstrou a rotação da Terra. No Panthéon 
de Paris, ele montou um pêndulo que oscilava com período de 
aproximadamente 16 segundos. 
Abandonado da posição mostrada na 
figura 1, um pêndulo igual ao de 
Foucault passará pela terceira vez 
pela posição mostrada na figura 2 
após quanto tempo? Resp. 20 s 
10 
Determine o período de oscilação de um pêndulo simples que possui 
comprimento de 1 m, oscilando em um local onde a aceleração da 
gravidade corresponde a 16 m/s2. Resp. 1,5 s 
11 
1) (p. 395 – 9ª ed.) A figura abaixo mostra uma barra fina de comprimento L = 12,4 
cm cuja a massa é 135 g, suspensa por um fio longo pelo ponto médio. O período 
do seu MHS angular vale Tb = 2,53 s. Um objeto de forma irregular chamado de 
objeto X, é pendurado no mesmo fio e seu período vale Tx = 4,76 s. Qual é o 
momento de inércia Ix em relação ao ponto de suspensão? 
241012,6.Re mkgIsp b

12 
2) (p. 398 – 9ª ed.) Na figura abaixo, uma régua de 1 m de comprimento oscila no 
entorno do ponto O. Este ponto está a uma distância h do centro de massa da 
régua. Um pêndulo simples de comprimento L0 está ao lado. Este pêndulo tem o 
mesmo período do pêndulo físico. A) qual é o período de oscilação T? B) Qual é a 
distância L0 entre o ponto O da régua e o centro da régua? 
cmLBsTAsp 7,66);64,1).Re 0 
13 
3) (ex. 38 – 9ª ed.) Uma esfera de massa m = 95 kg e raio r = 15 cm é está 
pendurada por um fio. Um torque de 0,2 Nm é necessário para rotacionar a esfera 
por um ângulo relativo a 0,85 rad e manter esta orientação. Qual é o período de 
oscilação da esfera quando ela é liberada para oscilar? Resp. T = 12 s 
14 
4) (ex. 39 – 9ª ed.) O balanço de um relógio antiquado oscila com amplitude angular 
de π rad e período de 0,5 s. Encontre A) a velocidade angular máxima do balanço, 
B) a velocidade angular na deslocamento de (π/2) rad, C) a aceleração angular no 
deslocamento de (π/4) rad. Resp. A) 39,5 rad/s; B) -34,2 rad/s; C) 124,0 rad/s2 
15 
5) (ex. 40 – 9ª ed.) Um pêndulo físico consiste em uma barra de um metro, fixada 
em ponto a uma distância de 50 cm acima do centro de massa. Seu período de 
oscilação é 2,5 s. Encontre d. Resp. d = 0,056 m 
16 
6) (ex. 41 – 9ª ed.) Na Figura abaixo, o pêndulo consiste em um disco uniforme com 
raio r = 10,0 cm e massa de 500 g preso a uma haste uniforme com comprimento L 
= 500 mm e massa de 270 g. A) Calcule o momento de inércia em torno do ponto de 
pivô. B) Qual é a distância entre o ponto de pivô e o centro de massa, d, do 
pêndulo? C) Calcule o período de oscilação. sTCmdBmkgIAsp 5,1);477,0);205,0).Re
2 
17 
7) (ex. 44 – 9ª ed.) Um pêndulo físico consiste de duas barras unidas como mostra a 
figura abaixo. Ambas as barras tem comprimento L e massa M. Qual é o período de 
oscilação com relação ao ponto A. Resp. T = 1,83 s 
18 
8) (ex. 49 – 9ª ed.) O ângulo do pêndulo representado na figura abaixo é dado por: 
)44,4cos()(   tt m
Se no tempo t = 0 s, θ = 0,040 rad e dθ/dt = -0,200 rad/s. Quais são: A) a constante 
de fase, B) o ângulo θm ? radBradAsp m 0602,0);845,0).Re  
19 
9) (ex. 51 – 9ª ed.) Na Figura abaixo, uma haste de comprimento L = 1,85 m oscila 
como um pêndulo físico. A) Que valor da distância x entre o centro de massa da 
haste e o seu ponto de pivô O fornece o menor período? B) Qual é este período 
mínimo? 
sTBmxAsp 1,2);53,0).Re 
20 
10) (ex. 52 – 9ª ed.) A figura abaixo mostra um cubo de massa m = 3,0 kg e aresta d 
= 6,0 cm e é montado em um eixo através do seu centro. Uma mola de constante k 
= 1200 N/m conecta o cubo a uma parede. Inicialmente a mola está relaxada. Se o 
cubo é rotacionado por 3,00 e liberado, qual é o período de oscilação MHS? sTsp 18,0.Re 
21 
11) (ex. 53 – 9ª ed.) Na vista superior da Figura abaixo, uma haste longa e uniforme 
de comprimento L e massa m = 0,600 kg está livre para girar em um plano horizontal 
em torno de um eixo vertical que passa pelo seu centro. Uma mola com constante 
de força k = 1850 N/m está ligada horizontalmente entre uma extremidade da haste 
e uma parede fixa. Quando a haste está em equilíbrio, ela está paralela à parede. 
Qual o período das pequenas oscilações resultantes quando giramos ligeiramente a 
haste e depois a soltamos? Resp. 0,0653 s. 
Eixo de rotação 
Parede 
22 
12) (ex. 54 – 9ª ed.) Na figura abaixo, uma chapa de metal é montada em um eixo 
através de seu centro de massa. A mola com constante elástica k = 2 x 103 N/m, é 
conectada a uma parede com ponto em sua borda, a uma distância r = 2,5 cm a 
partir do centro de massa. Inicialmente, a mola está em repouso. Se a chapa é 
rotacionada em 7,00 e liberada para oscilar. A sua posição angular é dada pelo 
gráfico da figura abaixo. A escala do eixo horizontal é ts = 20 ms. Qual é a o 
momento de inércia da chapa com relação ao eixo do centro de massa? 
25103,1.Re kgmIsp 
23 
13) (ex. 55 – 9ª ed.) Um pêndulo é formado fixando um longo e fino cilindro no 
entorno de um ponto do mesmo. Numa série de experimentos, o período é medido 
como função da distância x entre o pivô e centro do cilindro. A) Se o comprimento do 
cilindro é L = 2,20 m e sua massa é m = 22,1g, qual é o período mínimo? B) Se x é 
escolhido para minimizar o período e então L é aumentado, o período aumenta, 
diminui ou não se altera? C) Se, m é aumentado, mantendo L fixo, o que acontece 
com o período? 
mesmoCaumentaBsTAsp ););26,2).Re 
24 
14) (ex. 56 – 9ª ed.) Na figura abaixo, um disco de massa m = 2,5 kg e diâmetro D = 
42,0 cm é suportado por um cilindro de comprimento L = 76,0 cm e massa 
desprezível. A) Sem a mola conectada, qual é o período de oscilação? B) Com a 
mola conectada, qual é a constante de torção da mola se o período de oscilação 
diminui por 0,5 s? 
radNmBsTAsp /50,18);0,2).Re  
25