Material de Cálculo PUC - Unidade 09

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Cálculo I 
Capítulo 8 – REGRAS DE DERIVAÇÃO 
 
Introdução 
 
Já aprendemos como encontrar a derivada de uma função por meio do gráfico 
(calculando a inclinação do gráfico em cada ponto) e como avaliar a derivada de uma função 
dada por uma tabela (encontrando a taxa de variação da função entre os dados apresentados). 
Vamos, neste capítulo, investigar regras que nos permitem achar derivadas de funções 
definidas por fórmulas. Para isso, usaremos a definição de função derivada 
h
)x(f)hx(flim)x(f
h
−+
=′
→0
 
e teremos sempre em mente que a derivada representa uma inclinação e é também uma taxa 
de variação. Neste capítulo estudaremos a derivação das funções lineares, as potências, as 
polinomiais e as racionais. 
 
 
Notas de aula 8 
 
8.1 O que nos diz o gráfico de uma função a respeito de sua derivada 
 
No estabelecimento das regras de derivação, apelaremos para a análise do gráfico de 
cada função. Isso nos permitirá imaginar como deve ser a derivada antes mesmo de encontrá-
la e nos ajudará a avaliar se o resultado encontrado é ou não o esperado. Com um exemplo, 
relembraremos o que nos diz o gráfico de uma função a respeito de sua derivada e, como 
conseqüência, o que nos diz a derivada a respeito da função. 
Título: Unidade 09 
Autor: Jonas Lachini 
 
Orientações 
 
• Estude atentamente as Notas de aula 8. Analise com bastante cuidado os exemplos 
apresentados. 
• Estude este assunto no seu livro de Cálculo. O Questionário 8 pode ajudá-lo nessa 
tarefa. 
• Resolva os Exercícios 8. Eles servem para você fixar conceitos e melhorar sua 
habilidade em lidar com derivadas. 
• Não deixe de esclarecer suas dúvidas. Para isso, recorra ao correio acadêmico, ao 
fórum de discussão, aos chats ou, melhor ainda, a seu grupo de estudos de Cálculo. 
 
Leia sempre o quadro de avisos! 
 
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A Figura 8.1 mostra o gráfico da função ( ) 2xxf = . À esquerda de 0, essa função é 
decrescente e as tangentes estão inclinadas para baixo (têm inclinação negativa); à direita de 
0, a função é crescente e as tangentes estão inclinadas para cima (têm inclinação positiva); no 
ponto 0, a tangente é horizontal. 
 
 
Figura 8.1 
 
Como a derivada é a inclinação da tangente em cada ponto do gráfico, podemos 
afirmar que o sinal da derivada f ′ nos diz se a função está crescendo ou decrescendo. 
 
Se 0>′f em um intervalo, então, f é crescente nesse intervalo. 
Se 0<′f em um intervalo, então, f é decrescente nesse intervalo. 
Se 0=′f em um intervalo, então, f é constante nesse intervalo. 
 
O módulo da derivada nos fornece o módulo da taxa de variação da função. Assim, 
quando o módulo de f ′ for grande, o gráfico de f será muito inclinado para cima (se f ′ for 
positiva) ou muito inclinado para baixo (se f ′ for negativa). Também, quando o módulo de 
f ′ for pequeno, o gráfico de f será levemente inclinado, para cima ou para baixo, de acordo 
com o sinal de f ′ . 
 
8.2 Derivada de uma função constante 
 
O gráfico de uma função constante c)x(f = é uma reta horizontal, ou seja, uma reta 
paralela ao eixo x e sua inclinação é sempre igual a 0. Portanto, a derivada é igual a 0 em 
todos os pontos e podemos escrever: 
 
Se c)x(f = , então, 0=′ )x(f 
 
Na Figura 8.2, está o gráfico da função constante 3=)x(f e o de sua derivada 0=′ )x(f . 
 
 
Figura 8.2 
 
 
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Usando a definição de derivada e considerando c)x(f = , temos: 
0
00
=
−
=
−+
=′
→→ h
cclim
h
)x(f)hx(flim)x(f
hh
 
Exemplo 1 
 
A derivada de 7=)x(f é 0=′ )x(f . 
 
Notação usual: 
Escrevemos )x(
dx
d 2 para indicar a derivada de 2x em relação à variável x. 
Usando essa notação, 07 =)(
dx
d
 e )(
dx
d
pi =0. 
 
8.3 Derivada de uma função linear 
 
O gráfico de uma função linear é uma reta e a inclinação de uma reta é constante. Isso 
significa que a derivada de uma função linear é uma constante. Como a inclinação de uma reta 
é o coeficiente da variável independente, podemos escrever: 
 
Se bmx)x(f += , então, minclinação)x(f ==′ 
 
Na Figura 8.3, está o gráfico da função 53 += x)x(f e o de sua derivada 3=′ )x(f . 
 
 
Figura 8.3 
Exemplo 2 
a) 2122 −=+− )x(
dx
d
; b) se 74 += xy , então, 4=′y ; c) 
5
18
5
=− )t(
dt
d
. 
 
Podemos deduzir essa regra algebricamente. Sendo bmx)x(f += , temos: 
 
m)m(lim
h
mhlim
h
)bmx(b)hx(mlim
h
)x(f)hx(flim)x(f
hhhh
===
+−++
=
−+
=′
→→→→ 0000
 
Observação: A simplificação dos termos da fração 
h
mh
 é possível porque 0≠h . 
 
8.4 Derivada de uma constante multiplicada por uma função 
 
 
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A Figura 8.4 traz o gráfico da função )x(fy = e o gráfico de um múltiplo de f, a 
função )x(fy 2= . Quando multiplicamos f por uma constante c, os zeros permanecem 
inalterados e os picos e vales ocorrem para os mesmos valores de x. O que muda é a 
inclinação da curva em cada ponto. Se a constante c for maior do que 1, o gráfico ficará 
esticado e suas ladeiras mais inclinadas; em outros termos, as inclinações do gráfico ficam 
ampliadas por um mesmo fator de escala. 
 
 
 
Figura 8.4 
 
Considerando que a derivada é a inclinação em cada ponto, podemos escrever: 
 
Se )x(fcy = , então, )x(fcy ′=′ 
 
Exemplo 3 
 
a) Sabendo que a derivada de xseny = é xcosy =′ , podemos afirmar que a derivada de 
xseny 3= é xcosy 3=′ . 
b) Se a derivada de ( ) xexf = é ( ) xexf =′ , então, a derivada de ( ) xexg
5
3
= é 
( ) xexg
5
3
=′ . 
A Figura 8.5 traz o gráfico da função )x(fy = e o gráfico de um múltiplo de f, a função 
 
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)x(fy
2
1
= . Aqui, multiplicamos f por uma constante 
2
1
=c , que está no intervalo ] [10, . 
Também nesse caso, os zeros permanecem inalterados e os picos e vales ocorrem para os 
mesmos valores de x; o que muda é a inclinação da curva em cada ponto. Como 10 << c , o 
gráfico fica encolhido e suas ladeiras menos inclinadas; em outros termos, as inclinações do 
gráfico ficam reduzidas por um mesmo fator de escala. 
 
 
 
 
Figura 8.5 
 
Considerando que a derivada é a inclinação em cada ponto, chegamos à mesma conclusão 
anterior e podemos escrever: 
 
Se )x(fcy = , então, )x(fcy ′=′ 
Exemplo 4 
Sabendo que a derivada de xlny = é 
x
y 1=′ , podemos afirmar que a derivada de xlny
4
1
= 
é 
xx
.y
4
11
4
1
==′ . 
Na Figura 8.6 estão os gráficos de )x(fy
2
1
= e de )x(fy
2
1
−= . Multiplicando por uma 
constante negativa, o gráfico sofre uma rotação em torno do eixo x. 
 
 
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Figura 8.6 
 
O que era subida vira descida e o que era descida vira subida; de modo semelhante, o que era 
pico passa a ser vale e vice-versa, enquanto os zeros permanecem os mesmos. 
Conseqüentemente, as inclinações mudam de sinal. Ainda assim, podemos escrever: 
 
Se )x(fcy = , então, )x(fcy ′=′ 
 
Exemplo 5 
 
a) xcos)xsen(
dx
d 33 −=− ; b) 
t
)tln(
dt
d 55 −=− ; c) Se )x(y 743 −= , então, 34=′y . 
 
A derivada do produto de uma constante por uma função pode ser obtida algebricamente: 
 
[ ] )()()(lim.)()(.lim)()(lim)(
000
xfc
h
xfhxf
c
h
xfhxf
c
h
xfchxfc
xfc
dx
d
hhh
′=
−+
=
−+
=
−+
=
→→→
 
8.5 Derivadas de somas e de diferenças 
 
Na Tabela 8.1 estão listados os valores das funções )x(f e )x(g ; também nela 
aparecem os valores da soma )x(g)x(f + . 
 
x )x(f )x(g )x(g)x(f + 
0 10 0 10 
1 11 2 13 
2 13 4 17 
 
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3 16 6 22 
4 20 8 28 
5 25 10 35 
6 31 12 43 
7 38 14 52 
Tabela 8.1 
 
Quando somamos os incrementos de )x(f e )x(g , obtemos
os incrementos de 
)x(g)x(f + . Assim, por exemplo, quando x varia de 2 até 3, o valor da função )x(f passa 
de 13 para 16, ficando acrescido de 3; por sua vez, a função )x(g vai de 4 para 6 e sofre um 
aumento de 2; enquanto isso, a soma )x(g)x(f + tem um acréscimo de 
( ) ( ) .523461316 =+=−+− 
A análise da Tabela 8.1 nos possibilita afirmar que a taxa de crescimento de 
)x(g)x(f + é a soma da taxa de crescimento de )x(f com a taxa de crescimento de )x(g . 
Como a derivada é uma taxa de crescimento, podemos escrever: 
 
( ) ( )[ ] ( ) ( )xgxfxgxf
dx
d
′+′=+ 
De modo análogo, a taxa de variação de )x(g)x(f − é a diferença entre as taxas de 
variação de )x(f e de )x(g . Usando a notação de derivada, que é uma taxa de variação, 
escrevemos: 
 
( ) ( )[ ] ( ) ( )xgxfxgxf
dx
d
′
−
′=− 
 
 
Exemplo 6 
 
Se 54 +−= x)x(f , 16 += x)x(g e )x(g)x(f)x(k += , determine )x(k′ . 
Solução 
 
Podemos resolver o problema de duas maneiras: 
 
a) Usando a regra de derivação de uma soma: 
 ( ) ( ) ( ) 264 =+−=′+′=′ xgxfxk 
b) Determinando uma fórmula para ( )xk e, depois, calculando )x(k′ : 
 ( ) ( ) 621654 +=+++−=+= xxx)x(g)x(f)x(k 
 ( ) 2=′ xk 
Usando a definição de derivada, justificaremos, a seguir, a regra de derivação da 
diferença: 
 
( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( ) ( )[ ]
h
xgxfhxghxflimxgxf
dx
d
h
−−+−+
=−
→0
 
 
 
( ) ( )
( )
( ) ( )
( ) 









−+
−
−+
=
′′
→
44 344 2144 344 21
.xgédesseitelimO.xfédesseitelimO
h h
xghxg
h
xfhxflim
0
 
 
 
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 ( ) ( )xgxf ′−′= 
 
8.6 Derivada de funções potências 
 
As funções potências são dadas pela fórmula ( ) nxxf = . Vamos mostrar que a 
derivada dessas funções é ( ) 1−= nn xnx
dx
d
. Aplicando essa regra, temos, por exemplo: 
( ) 34 4 xx
dx
d
= , ( ) 43 3 −− −= xx
dx
d
 e ( ) ( )3231
3
1
−
= xx
dx
d
. 
Mostraremos primeiro, que essa regra é válida para n inteiro e positivo, utilizando a 
definição de derivada: 
( ) ( )
h
xhxlimx
dx
d nn
h
x −+
=
→0 
 Precisamos aqui da expansão binomial: 
( ) ( )
4444 34444 21
.hdealtasmaispotênciasouhcontendoTermos
nnnnn h...hxnnhxnxhx
2
221
2
1
++
−
++=+ −−
 
 Usando a expansão binomial, temos: 
( ) ( )
h
xhxlimx
dx
d nn
h
x −+
=
→0 
 
( )
h
xh...hxnnhxnx
lim
nnnnn
h
−





++
−
++
=
−−
→
221
0
2
1
 
 
( )
h
h...hxnnxnh
lim
nnn
h






++
−
+
=
−−−
→
121
0
2
1
 (Fatorando h no numerador.) 
( )






++
−
+= −−−
→
121
0 2
1 nnn
h
h...hxnnxnlim (Todos os termos tendem para 0, exceto 1−nxn .) 
 
 
1−
=
nxn 
Essa regra permanece válida quando o expoente é um inteiro negativo ou uma fração. 
A prova disso será apresentada em outra oportunidade. 
 
( ) 1−= nn xnx
dx
d
 
A regra é válida para toda constante n pertencente aos reais. 
 
Exemplo 7 
 
Determinar a derivada da função ( ) 2xxf = . Plotar em um mesmo sistema o gráfico de 
f e o gráfico de f ′ e, comparando esses gráficos, verificar se f ′ tem as características 
esperadas. 
 
Solução 
 
 
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a) Cálculo da derivada: ( ) ( ) xx
dx
d
xf 22 ==′ . 
b) Na Figura 8.7 está o esboço dos gráficos de f e de f ′ : 
 
 
Figura 8.7 
 
c) Para 0<x , a função ( ) 2xxf = é decrescente e a função ( ) xxf 2=′ é negativa. Para 
0=x , a tangente ao gráfico de ( ) 2xxf = é horizontal e, nesse ponto, o valor da 
derivada é ( ) 0020 ==′ .f . Para 0>x , a função ( ) 2xxf = é crescente e a função 
( ) xxf 2=′ é positiva. Essas três características da derivada eram esperadas, a partir da 
análise do gráfico da função. 
 
Exemplo 8 
 
Determinar a derivada da função ( ) 5xxf = . Plotar em um mesmo sistema o gráfico de 
f e o gráfico de f ′ e, comparando esses gráficos, verificar se f ′ tem as características 
esperadas. 
 
Solução 
 
a) Cálculo da derivada: ( ) 45 xxf =′ . 
b) Na Figura 8.8 está o esboço do gráfico de ( ) 5xxf = e de ( ) 45 xxf =′ . 
 
 
Figura 8.8 
 
 
PUC Minas Virtual • 10 
c) Conforme esperado, a derivada ( ) 45 xxf =′ é positiva para todo 0≠x , fato que 
indica que a função ( ) 5xxf = é estritamente crescente. Como ( ) 0050 4 ==′ .f , o 
gráfico de ( ) 5xxf = tem inclinação 0 para 0=x . 
 
8.7 Derivadas de polinômios 
 
Aprendemos a derivar potências, funções multiplicadas por uma constante, somas e 
diferenças. Por exemplo: 
a) ( ) ( ) 2233 123444 xx.x
dx
d
x
dx
d
=== 
b) ( ) ( ) ( ) ( ) 233434 387272 xx
dx
d
x
dx
d
x
dx
d
xx
dx
d
−=+−=+− 
Utilizando simultaneamente essas regras, podemos derivar qualquer polinômio e 
mesmo expressões que não sejam polinômios. 
 
Exemplo 9 
 
Encontre a derivada de cada uma das funções: 
a) ( ) 223 26 pi−+= xxxf 
b) ( )
t
tttg 733 5 +−= 
c) ( )
xx
xxk
2
1105 2 +−= 
 
Solução 
 
a) ( ) ( ) ( ) ( )223 26 pi
dx
d
x
dx
d
x
dx
d
xf −+=′ ← ( )tetanconsumaé2pi 
 xx 2218 2 += 
 
b) ( ) ( ) ( ) ( )1215 733 −+−=′ t
dt
d
t
dt
d
t
dt
d
tg 
 
2214 7
2
315 −− −−= ttt 
 2
4 7
2
315
tt
t −−= 
 
c) ( ) ( ) ( ) ( )21221
2
1105 −− +−=′ x
dx
d
x
dx
d
x
dx
d
xk 
 
23321
4
120
2
5
−−−
−+= xxx 
 233 4
120
2
5
xxx
−+= 
 
 
8.8 Derivadas de produtos 
 
 
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À primeira vista, parece que a derivada de um produto deveria ser o produto da 
derivada de cada um dos fatores. Assim, para ( ) ( )( )xxxxf ++= 353 , teríamos: 
( ) ( ) ( ) ( ) 3913353 223 +=+=++=′ xxxx
dx
d
.x
dx
d
xf . 
Contudo, se antes de derivar, efetuarmos o produto, teremos: 
 ( ) ( )( ) xxxxxxxxf 535353 2343 +++=++= 
 e 
 ( ) 561512 23 +++=′ xxxxf , um resultado completamente 
diferente do obtido antes. 
Mostraremos, por meio de um exemplo, que a derivada da função ( ) vuxf = é a 
função ( ) vuvuxf ′+′=′ . Nessa fórmula u e v são funções da variável x ; 
dx
dff =′ é a 
derivada de f em relação a x; de f em relação a x; 
dx
du
u =′ indica a derivada de u em relação a 
x e 
dx
dv
v =′ é a derivada de v em relação a x. 
 
Observação: 
Até aqui utilizamos a notação f ′ para indicar a derivada da função f e ainda a 
notação ( )y
dx
d
 para caracterizar a derivada de y em relação a x . Se ( )xfy = , ou seja, se a 
variável y depende da variável x , também é usual escrever: 
( )xf
dx
dy
′= 
Essa notação é devida ao alemão G. W. Leibnitz (1646-1716), um dos matemáticos 
que trabalharam no desenvolvimento do Cálculo no século XVII. É uma notação que nos 
lembra que a derivada é o limite de quocientes da forma 
 
xdevaloresentreDiferença
ydevaloresentreDiferença
x
y
=
∆
∆
 
Assim, podemos pensar que 
x
ylim
dx
dy)x(f
x ∆
∆
==′
→∆ 0
. A notação 
dx
dy
 nos permite 
determinar facilmente a unidade da derivada: a unidade de 
dx
dy é a unidade de y dividida pela 
unidade de x . Por exemplo, se ( )tfs = é a posição de um objeto em movimento, no instante 
t, então ( ) ( )
dt
ds
tftv =′= é a velocidade do objeto no instante t, já que esse quociente sugere 
uma distância, ds , dividida por um tempo, dt . De modo análogo, podemos reconhecer 
( )xf
dx
dy
′= como a inclinação do
gráfico de ( )xfy = , lembrando que a inclinação é o 
incremento vertical, dy , sobre o incremento horizontal, dx . 
 
 A quantidade q de vendas de certo tipo de tênis depende do preço p. Por sua 
vez, p varia de acordo com x, o custo unitário de produção desse calçado. A receita total, R, 
obtida com a venda dos tênis é dada por qpR = . A Tabela 9.2 traz alguns possíveis valores 
para 
produçãodeunitáriocustox = , 
 
PUC Minas Virtual • 12 
( ) têniscadadevendadepreçoxgp == , 
( ) tênisdevendasdequantidadexkq == 
tênisdevendaacomobtidatotalreceitaqpR == 
 
x p q qpR = 
10 110 600 60 000 
11 110 550 60 500 
12 120 500 60 000 
13 130 450 58 500 
14 140 400 56 000 
15 150 350 52 500 
Tabela 8.2 
 
 Usaremos R∆ , o incremento de R , para indicar uma diferença entre valores de R . 
Com essa notação, ( ) ( )xRxxRR −∆+=∆ . 
 O incremento, R∆ , é obtido como a seguir exposto: 
( )( ) qppqqppqqqppRR ∆∆+∆+∆+=∆+∆+=∆+ 
 Como qpR = , temos: 
( )( ) pqqppqqppqRqqppR −∆∆+∆+∆+=−∆+∆+=∆ 
 qppqqpR ∆∆+∆+∆=∆ 
 Por exemplo, quando x varia de 12 para 13, no caso em questão, temos: 
 ( ) ( )501010500501206000058500 −++−=−=∆ ...R 
 500500060001500 −+−=−=∆R 
 15001500 −=−=∆R 
 Dividindo os dois membros da igualdade qppqqpR ∆∆+∆+∆=∆ por x∆ , temos: 
x
pq
x
pq
x
qp
x
R
∆
∆∆+
∆
∆
+
∆
∆
=
∆
∆
 
 Para calcular o limite quando 0→∆x , vamos examinar separadamente cada um dos 
termos dessa igualdade: 
( ) ( ) ( )
dx
dR
xR
x
xRxxRlim
x
Rlim
xx
=′=
∆
−∆+
=
∆
∆
→∆→∆ 00
 
( )xqp
x
qlimp
x
qplim
xx
′=
∆
∆
=
∆
∆
→∆→∆ 00
 
( )xpq
x
plimq
x
pqlim
xx
′=
∆
∆
=
∆
∆
→∆→∆ 00
 
( ) ( ) 00
00000
=′′=∆
∆
∆
∆
∆
=∆
∆
∆
∆
∆
=
∆
∆∆
→∆→∆→∆→∆→∆
.xp.xqxlim.
x
plim.
x
qlimx.
x
p
.
x
qlim
x
pqlim
xxxxx
 
 
 Considerando esses limites, podemos escrever: 
 
 
x
pqlim
x
plimq
x
qlimp
x
Rlim
xxxx ∆
∆∆+
∆
∆
+
∆
∆
=
∆
∆
→∆→∆→∆→∆ 0000
 
 ( ) ( ) ( )xpqxqpxR ′+′=′ 
 ou 
 
dx
dqp
dx
dpq
dx
dR
+= 
 
 Regra do produto 
 
PUC Minas Virtual • 13 
 
 ( ) vuvuvu ′+′=′ 
Em palavras: 
 
A derivada de um produto é a derivada do primeiro fator multiplicada pelo segundo, 
mais o primeiro fator multiplicado pela derivada do segundo. 
 
 
Exemplo 9 
 
Uma partícula move-se segundo a equação da posição ( ) ( )90353 2 +−= tttts , sendo 
t medido em segundos e s em metros. Determine a velocidade dessa partícula no instante 
3=t . 
 
Solução 
 
a) Cálculo da função velocidade, ( ) ( )tstv ′= : 
 ( ) ( ) ( ) ( ) ( )′+−++−′=′= 9035390353 22 tttttttstv 
 ( ) ( )35690353
2
1 2
−++−= tttt
t
 
 
b) Cálculo de ( )3v , que é a velocidade no instante 3=t : 
 ( ) ( ) ( )351839010527
32
13 −++−=v 
 ( ) smv 3153 −= 
 
8.10 Derivadas de quocientes 
Para derivar a função ( )
v
u
xf = , podemos usar a regra do produto. Como ( )xf.vu = , temos: 
( ) ( )xf.vxf.vu ′+′=′ . Resolvendo para ( )xf ′ , obtemos: 
( ) ( ) ( ) ( ) 2v
vuvu
xf
v
v
u
.vu
xfxfvuxf.v ′−′=′⇒
′
−
′
=′⇒′−′=′ 
 
 Regra do quociente 
 2v
vuvu
v
u ′−′
=
′






 
Em palavras: 
 
A derivada de um quociente é igual à derivada do numerador vezes o denominador, 
menos o numerador vezes a derivada do denominador, tudo sobre o denominador ao 
quadrado. 
 
Exemplo 10 
Determine a equação da tangente à curva 
1
3
−
+
=
x
xxy no ponto ( )102,P = . 
Solução 
 
PUC Minas Virtual • 14 
 
a) Cálculo da inclinação da curva em um ponto qualquer: 
 
( ) ( ) ( )( )
( )2
33
1
11
−
′
−+−−
′
+
=′
x
xxxxxxy 
 
( )( ) ( )( )
( ) ( )2
23
2
32
1
132
1
1113
−
−−
=
−
+−−+
=
x
xx
x
xxxx
 
b) Cálculo da inclinação da tangente no ponto ( )102,P = : 
 ( ) 3
1
112162 =−−=′= ym 
c) Equação da tangente: 
 ( )2310 −=− xy ou 43 += xy 
 
8.11 A regra da cadeia 
 
Consideremos a função composta ( )( )xgfy = , sendo f a função de fora e g a de 
dentro. Supondo ( )xgz = , podemos escrever ( )zfy = . A análise dessas funções nos permite 
afirmar que uma pequena variação de x, denotada por x∆ , provoca uma pequena variação em 
z, indicada por z∆ . Por sua vez, z∆ gera uma pequena variação y∆ na variável y. Em outros 
termos, podemos dizer que uma pequena variação em x provoca uma cadeia de variações nas 
outras variáveis. Como x∆ e z∆ não são iguais a zero, podemos afirmar: 
x
z
.
z
y
x
y
∆
∆
∆
∆
=
∆
∆
 
No limite, quando x∆ , y∆ e z∆ ficam cada vez menores, temos: 
 
x
zlim.
z
ylim
x
ylim
xzx ∆
∆
∆
∆
=
∆
∆
→∆→∆→∆ 000
 ⇒ 
dx
dz
.
dz
dy
dx
dy
= 
 
Regra da cadeia 
 
dx
dz
.
dz
dy
dx
dy
= 
 
Se ( )( )xgfy = , então, ( )( ) ( )xg.xgfy ′′=′ 
 
Em palavras: 
 
A derivada de uma função composta é igual a derivada da função de fora, composta com a 
de dentro, multiplicada pela derivada da função de dentro. 
 
Exemplo 11 
Determinar a inclinação da curva ( )52 24 xxy += no ponto de abscissa 50,x = . 
 
Solução 
 
a) Cálculo da inclinação da curva em um ponto qualquer. 
 Aqui, xxz 24 2 += é a função de dentro e 5zy = é a função de fora. 
Como 28 += x
dx
dz
 e 45 z
dz
dy
= , podemos escrever: 
 
PUC Minas Virtual • 15 
( ) ( ) ( )28245285 424 ++=+==′ xxxx.z
dx
dz
.
dz
dyy 
b) Cálculo da inclinação da curva no ponto de abscissa 50,x = . 
 ( ) 4806251 4 ==′ ..y 
 
Exemplo 12 
 
O comprimento L , em centímetros, de uma barra de metal depende da temperatura 
ambiente, CT 0 , que, por sua vez, depende do tempo t , medido em horas. Supondo que o 
comprimento aumente cm2 para todo aumento de C01 e que a temperatura esteja 
aumentando a uma taxa de C03 por hora, determine a que taxa o comprimento está variando. 
 
Solução 
 
De acordo com os dados do problema, temos: 
Ccm
dT
dL
atemperaturdaiaçãovaràrelaçãoem
ocomprimentdoiaçãovardeTaxa 02== 
 
hC
dt
dT
tempodoiaçãovaràrelaçãoem
atemperaturdaiaçãovardeTaxa 03== 
Queremos calcular a taxa segundo a qual o comprimento, L, está aumentado em 
relação ao tempo, ou seja, dtdL . Como o comprimento, L, é uma função da temperatura, T , 
e como T é uma função do tempo, t, podemos escrever, pela regra da cadeia: 
 
h
cm
h
C
.
C
cm
dt
dT
.
dT
dL
dt
dL 632
0
0 =











== 
Assim, o comprimento da barra de metal está aumentando a uma taxa de hcm6 . 
 
Questionário 8 
 
As regras de derivação devem ser decoradas. Para adquirir bom manejo dessas regras, 
precisamos praticá-las até que elas nos sejam bem familiares. Estude esse assunto no seu livro 
de Cálculo. Em geral, os livros têm muitos exercícios de derivação; faça o maior número que 
você puder. Certamente, isso lhe garantirá maior agilidade mental, o que implicará em melhor 
eficiência nas atividades do seu Curso. 
 
1) Escreva as regras de derivação das seguintes funções, em símbolos matemáticos e em 
palavras:
a) Função constante. 
b) Função resultante do produto de uma constante por uma função. 
c) Função soma. 
d) Função diferença. 
e) Função produto. 
f) Função quociente. 
g) Função composta. (Regra da cadeia.) 
 
2) Dê um exemplo para cada uma das seguintes regras de derivação, sendo u e v funções 
da variável x , a uma constante e n um número real não-nulo: 
 
PUC Minas Virtual • 16 
a) ( ) vuvu ′+′=′+ 
b) ( ) vava ′=′ 
c) ( ) vuvuvu ′+′=′ 
d) 2v
vuvu
v
u ′−′
=
′






 
e) ( ) u.
u
u ′=
′
2
1
 
f) ( ) v.vnv nn ′=′ −1 
 
Exercícios 8 
 
1. Ache os pontos sobre a curva 3 2y x x x 1= − − + nos quais a tangente é horizontal. 
2. Determine a equação das retas que passam pelo ponto (2, 3)− e que são tangentes à 
parábola 2y x x= + . 
3. Ache uma parábola com equação 2y ax bx= + cuja reta tangente em (1,1) tenha por 
equação y 3x 2= − . 
4. Determine a equação da reta tangente à curva xy
x 1
=
+
 no ponto de abscissa x 4= . 
5. Suponha que f (5) 1, f (5) 6, g(5) 3 e g (5) 2′ ′= = = − = . Calcule os valores de: 
a) (fg) (5)′ 
b) f (5)
g
′ 
 
 
 
c) g (5)
f
′ 
 
 
 
6. Suponha que f (3) 4, g(3) 2, f (3) 6 e g (3) 5′ ′= = = − = . Calcule os valores de: 
a) (f g) (3)′+ 
b) f (3)
g
′ 
 
 
 
c) (fg) (3)′ 
d) f (3)
f g
′ 
 
− 
 
 
7. Uma partícula move-se segundo a lei do movimento 2f (t) t 10t 12= − + , sendo t 
medido em segundos e a distância, em metros. Determine: 
a) A velocidade dessa partícula no instante t 3s= . 
b) Em que momento(s) a partícula está em repouso. 
c) Em que intervalos a partícula está se movendo no sentido positivo. 
d) A distância total percorrida durante os 8 primeiros segundos. 
 
 
PUC Minas Virtual • 17 
8. Uma partícula move-se segundo a lei do movimento 2
t
s(t)
t 1
=
+
, sendo t medido em 
segundos e a distância em metros. Determine: 
a) A velocidade dessa partícula no instante t 3s= . 
b) Em que momento(s) a partícula está em repouso. 
c) Em que intervalos a partícula está se movendo no sentido negativo. 
d) A distância total percorrida durante os 10 primeiros segundos. 
 
9. Uma partícula move-se segundo a lei do movimento 2s(t) t (3t 35t 90)= − + , sendo t 
medido em segundos e a distância, em metros. Determine: 
a) A velocidade dessa partícula no instante t 4s= . 
b) Em que momento a partícula está em repouso. 
c) Em que intervalos a partícula está se movendo no sentido positivo. 
d) A distância total percorrida durante os 9 primeiros segundos. 
 
10. A função posição de uma partícula é dada por 3 2s(t) t 4,5t 7t= − − , com t medido em 
segundos e a distância em metros. Determine o instante em que a partícula atinge a 
velocidade de 5m s .