Cálculo 2 - Derivadas Direcionais, Gradientes e Pontos Críticos

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4. Derivadas Direcionais, Gradientes 
e Pontos Críticos 
 
 
Cálculo II 
Derivadas Direcionais 
As derivadas parciais de uma função de duas variáveis f(x,y) são 
consideradas na direção do eixo x (fx) ou do eixo y (fy). 
Quando se considera uma direção qualquer no domínio de f(x,y), 
ou seja, no plano xy, têm-se a derivada direcional que vale: 
)..).(.sen.(cos j
y
f
i
x
f
ji
u
f
fu








 
Foi considerada a direção do vetor unitário u, u = cosi + senj 
. 
A curva z = f (x, y0) 
no plano y = yo 
Esta reta tangente tem 
coeficiente angular fx(x0, y0) 
A curva z = f (x, y0) 
no plano x = xo 
Esta reta tangente tem 
coeficiente angular fy (x0, y0) 
Derivadas Parciais 
Derivadas Direcionais 
Superfície S: 
Reta tangente 
Gradiente de uma função de várias variáveis 
O segundo termo do produto escalar da 
derivada direcional é o vetor gradiente. 
 
 
 
Este vetor fornece a direção e sentido no qual 
ocorre a maio variação da função de duas 
variáveis. 
j
y
f
i
x
f
yxfyxfGrad ..),(),((






Decréscimo mais 
rápido de f 
Aumento mais 
rápido de f 
Variação zero 
de f 
Curvas de Nível 
 A curva 
Decréscimo mais 
rápido de f 
Exercícios 
1) Se f(x,y) = 5x2 + 3y, ache o gradiente e o valor da função 
no ponto (1,2). Ache tb a taxa de variação de f(x,y) na 
direção que forma um ângulo de 25 graus com a direção do 
eixo x neste ponto. 
 
2) A temperatura em cada ponto (x,y) de uma placa 
retangular situada no plano xy é determinada pela 
expressão: T(x,y) = x2 + y2 . 
 
(a) Ache a taxa de variação da temperatura no ponto (3,4) 
na direção e no sentido que fazem um ângulo de 33 graus 
com o eixo x positivo. (b) ache a direção e o sentido em que 
a taxa de variação no ponto (-3,1) é máxima. 
Pontos Críticos 
 
 Máximo e Mínimo Local: 
a) f(a,b) é um valor máximo local de f(x,y), se f(a,b) > f(x,y) 
para todos os pontos do domínio (x,y) em um disco aberto 
centrado em (a,b). 
b) f(a,b) é um valor mínimo local de f(x,y), se f(a,b) < f(x,y) 
para todos os pontos do domínio (x,y) em um disco aberto 
centrado em (a,b). 
 
 Nestes dois casos fx = fy = 0 
 
Máximos e Mínimos 
Máximo local 
(não existe um valor de f maior próximo) 
Mínimo local 
(não existe um valor de 
f menor próximo) 
Superfície z = f(x, y) 
Máximos e Mínimos 
No Ponto de Sela.também fx = fy = 0 
Pontos Críticos de f(x,y) 
 
 Critérios: 
 
(a) Máximo: fxxfyy – (fxy)
2 > 0 e fxx < 0 
 
(b) Mínimo: fxxfyy – (fxy)
2 > 0 e fxx > 0 
 
(c) Ponto de sela: fxxfyy – (fxy)
2 < 0 
 
(d) Teste inconclusivo: fxxfyy – (fxy)
2 = 0 
Exercícios 
1) Encontrar os valores extremos locais da função 
 f(x,y) = xy - x2 - y2 - 2x - 2y+ 4. 
 
2) Encontrar os valores extremos locais da função 
 f(x,y) = xy.