UNIDADE 2 - Retas e Planos

Prévia do material em texto

1 
Profª. Fabiane Regina da Cunha Dantas Araújo 
UNIDADE 2: RETAS E PLANOS (Parte 6) 
2.2.21 DISTÂNCIA ENTRE DOIS PONTOS 
Dados os pontos a distância entre eles é . 
Como, 
 
Tem-se, 
 
Exemplo: 
1. Calcular a distância entre . 
Solução: 
Como . Assim, tem-se 
d( 
2.2.22 DISTÂNCIA DE UM PONTO A UMA RETA 
Dado um ponto P do espaço e uma reta , quer-se calcular a distância 
Consideremos na reta um ponto e um vetor diretor e que determinam um 
paralelogramo cuja altura corresponde a distância . 
A área A do paralelogramo é dada por: 
a) ou 
também por 
b) . Comparando a) e b), 
vem 
 
 
 
 
Exemplo: 
1. Calcular a distância do ponto P(2,1,4) à reta 
 
 
 
 
 
 
2 
Profª. Fabiane Regina da Cunha Dantas Araújo 
Solução: 
A reta r passa pelo ponto A(-1,2,3) e tem direção do vetor Seja ainda o 
vetor Calculemos, 
 
 
 
 
 
Agora, temos 
 
 
 
 
 
 
 
2.2.23 DISTÂNCIA DE PONTO A PLANO 
Dado um ponto e uma plano , quer-
se calcular a distância de . Seja A 
um ponto qualquer de e um vetor normal a 
 . A figura, esclarece que a distância é 
o módulo da projeção de na direção de . 
 
 
 
 
 
Admitindo-se então que ( , , 
como 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Como , suas coordenadas satisfazem a equação de , isto é, 
 
3 
Profª. Fabiane Regina da Cunha Dantas Araújo 
e 
 
Logo, 
 
 
 
 
Observamos que a expressão se obtém substituindo x, y e z no 
primeiro membro da equação geral de pelas coordenadas do ponto 
Exemplo: 
1. Calcular a distância do ponto ao plano : . 
Sol.: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
OBS.: 
A fórmula é também aplicada se tivermos dados: 
a) dois planos paralelos. 
Neste caso: 
 , com 
Ou 
 , com 
Exemplo: 
1) Calcular a distância entre os planos 
 
Solução: 
Um ponto de é e um vetor normal a é . Portanto de 
acordo com o cálculo da distância de um ponto a um plano, tem-se 
 
 
 
 
 
 
 
4 
Profª. Fabiane Regina da Cunha Dantas Araújo 
 
 
 
 
b) uma reta e um plano paralelos. 
Neste caso: 
 , com 
Exemplo: 
1. Calcular a distância da reta , 
 
 
 
 
Solução: 
Observamos primeiramente que , pois 
 
Sendo vetor diretor de r e um vetor normal a . Então, tomando , tem-se 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2.2.24 DISTÂNCIA ENTRE DUAS RETAS 
Dadas as retas e , quer-se calcular a distância . Podemos ter os seguintes casos: 
1) e são concorrentes. 
Neste caso: 
2) e são paralelas. 
Neste caso: 
 com 
Ou 
 com 
3) e são reversas. 
Seja a reta definida pelo ponto e pelo vetor diretor e a reta pelo ponto e 
pelo vetor diretor . 
5 
Profª. Fabiane Regina da Cunha Dantas Araújo 
Os vetores e , por serem não-coplanares, determinam um paralelepípedo cuja 
altura é a distância que se quer calcular (a reta é paralela ao plano da base do 
paralelepípedo definida por e ). O volume V do paralelepípedo é dado por , 
a) 
Ou também por, 
b) 
Comparando a) e b) vem, 
 
 
 
 
Exemplo: 
1. Calcular a distância entre as retas 
 
 
 
 
 
 
 
 
Solução: 
A reta passa pelo ponto e tem a direção de e a reta 
pelo ponto e tem a direção de 
Então, e 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
De acordo temos,