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UFRRJ/ICSA/DCAC (Notas de Aula - 2014/I) EXERCÍCIOS PARA REVISÃO: AP1 Profa. Coorda. MARCIA REBELLO DA SILVA 1/19 Exercícios para Revisão: AP1 LEIA COM TODA ATENÇÃO Nas Avaliações Presenciais: Não serão consideradas as questões se: (1) todos os cálculos não tiverem sidos efetuados e evidenciados na folha de resposta; (2) o desenvolvimento estiver errado; (3) o desenvolvimento for pelas teclas financeiras de uma calculadora; (4) a resposta não estiver correta ou não estiver com a unidade quando necessária na folha de resposta. Todos os cálculos efetuados e respostas deverão ser à tinta com caneta esferográfica azul ou preta, se estiverem a lápis não será feita revisão da questão. É imprescindível calculadora científica e não será permitido o uso de celular durante a avaliação. Abaixo o FORMULÁRIO que será fornecido junto com as questões nas avaliações, portanto, aconselha-se ao fazerem os exercícios a seguir usando o formulário. FORMULÁRIO S = P + J J = P i n S = P (1 + i n) D = N −−−− V N = (Vr) (1 + i n) Dr = (Vr) (i) (n) Dr = .N i n Dc = N i n 1 + i n Vc = N (1 −−−− i n) ief = . i S = P (1 + i)n J = P [(1 + i)n −−−− 1] 1 − i n S = R [(1 + i)n −−−− 1] = R (sn┐i) S = R [(1 + i)n −−−− 1] (1 + i) = R (sn┐i ) (1 + i) i i A = R [1 −−−− (1 + i)−−−− n] = R (an┐i) A = R [1 −−−− (1 + i)−−−− n] (1 + i) = R (an┐i) (1 + i) i i A = R A = R (1 + i) i i Cn = . In . −−−− 1 Cac = . In −−−− 1 In−1 I0 Cac = [(1 + C1) (1 + C2)…(1 + Cn)] −−−− 1 (1 + i) = (1 + r) (1 + θθθθ) UFRRJ/ICSA/DCAC (Notas de Aula - 2014/I) EXERCÍCIOS PARA REVISÃO: AP1 Profa. Coorda. MARCIA REBELLO DA SILVA 2/19 1) Uma nota promissória foi descontada meio ano antes do vencimento sendo que a taxa de desconto simples comercial foi 12% a.q. Calcular a taxa de juros efetiva bimestral cobrada? (UA 4) n = 0,5 ano = 3 bim. i = 12% a.q. ief = ? (a.b.) Solução: .ief = (i) [1 − (i) (n)]−1. ief = . (0,12) (1/2) . 1 − (0,12) (1/2) (3) ief = 0,0732 = 7,32% Resposta: 0,0732 ou 7,32% 2) Se um investimento está pagando por uma aplicação de quarenta dias uma taxa de juros de 80%, nestas mesmas condições, qual seria a taxa de juros por cem dias? (UA 5) i40 dias = 80% i100 dias = ? Solução: ���� Como não está explícito o regime de capitalização (simples ou composto), então, será o que acontece na prática que é o regime de capitalização composto. P (1 + i40dias)(360/40) = P (1 + i100dias)(360/100) (1 + i40dias)(100/40) − 1= i100dias (1,80)(2,5) − 1 = i100dias i100dias = 334,69% Resposta: 334,69% 3) Aplicou-se dois capitais diferentes, um por sete trimestres a taxa de juros de 4% a.m, outro capital foi 25% inferior por dois semestres e meio a taxa de juros 9% a.t. Se os capitais somaram $ 35.600, qual será o valor total acumulado no final do prazo, se o regime para as aplicações foi de capitalização simples? (UA 1) P1 = ? i1 = 4% a.m. n1 = 7 trim = 21 meses. P2 = P1 − 0,25 P1 = 0,75 P1 i2 = 9% a.t. n2 = 2,5 sem = 5 trim. P1 + P2 = $ 35.600 ST = S1 + S2 = ? Solução : S = P [1 + (i) (n)]. P1 + 0,75 P1 = 35.600 1,75 P1 = 35.600 UFRRJ/ICSA/DCAC (Notas de Aula - 2014/I) EXERCÍCIOS PARA REVISÃO: AP1 Profa. Coorda. MARCIA REBELLO DA SILVA 3/19 P1 = $ 20.342,86 P2 = 0,75 P1 = (0,75) (20.342,86) = $ 15.257,15 ST = S1 + S2 = 20.342,86 [1+ (0,04) (21)] + 15.257,15 [1+ (0,09) (5)] ST = $ 59.553,73 Resposta: $ 59.553,73 4) Foi aplicado $ 13.500 pelo prazo de dois anos e meio a uma taxa de juros de 3% a.m. capitalizado trimestralmente. Calcular o montante. (UA 5) P = $ 13.500 Taxa nominal = 3% a.m. prazo = 2,5 anos S = ? Solução: Trata-se de um problema de juros compostos porque está explícito na taxa: capitalizado trimestralmente. A Taxa Efetiva de juros (i) será: (3%) (3 meses) => i = 9% a.t. (mês) (1 trim) O Número de Períodos de Capitalizações Trimestrais (n) será: n = (2,5 anos) (4 trim.) n = 10 trim. (1 ano) Como a incógnita do problema é o montante (valor acumulado no final do prazo = Capital + Juros) em regime de capitalização composto então, usaremos a seguinte fórmula: .S = P (1 + i)n. S = 13.500 (1,09)10 S = $ 31.959,41 Lembrete: Se trabalhar com período de capitalização que não seja trimestre, terá achar a taxa equivalente (e não proporcional) a partir da taxa efetiva de 9% a.t. Por exemplo, se desejar trabalhar com a capitalização anual: P (1 + it)4 = P (1 + ia)1 ia = (1,09)4 − 1 n = 2,5 anos Então: .S = P (1 + i)n. S = 13.500 [1 + (1,09)4 − 1]2,5 UFRRJ/ICSA/DCAC (Notas de Aula - 2014/I) EXERCÍCIOS PARA REVISÃO: AP1 Profa. Coorda. MARCIA REBELLO DA SILVA 4/19 S = 13.500 [(1,09)(4)] (2,5) S = 13.500 (1,09)10 = $ 31.959,41 Resposta: $ 31.959,41 5) Uma nota promissória de valor de emissão igual a $ 22.000 foi descontada a uma taxa de desconto simples “por dentro” igual a 4% a.m. Se o valor descontado foi $ 17.000; quanto tempo antes do vencimento foi descontada a nota promissória? (UA 3) N = $ 22.000 → Valor de emissão => Valor de face ou Valor nominal i = 4% a.m n = ? Valor descontado => Valor atual ou Valor recebido ou Valor de resgate: V Desconto “por dentro” é o desconto racional; ou real; ou verdadeiro, ou a taxa de juros. Vr = $ 17.000 Solução 1: .N = (Vr ) [1 + (i) (n)]. 22.000 = 17.000 [1 + (0,04) (n)] [22.000 − 1] (1/0,04) = n 17.000 n = 7,35 meses ≈ 7,4 Solução 2: .Dr = (Vr ) (i) (n). Dr = N − Vr . 22.000 − 17.000 = (17.000) (0,04) (n) n = 7,35 meses ≈ 7,4 Resposta: 7,4 meses 6) Investiu-se $ 60.000 pelo prazo de dois anos a uma taxa de juros simples de 4% a.m. Se foi pago Imposto de Renda e se a rentabilidade efetiva do investimento foi 2,5% a.m, de quanto foi a alíquota do IR? (UA 2) P = $ 60.000 prazo = (2) (12) = 24 meses i = 4% a.m. Aliquota de IR = X = ? iefet. = 2,5% a.m. Solução: .J = P (i) (n)]. Jnom = (P) (inom) (n) = (60.000) (0,04) (24) = $ 57.600 IR = (X) (57.600) = 57.600 X UFRRJ/ICSA/DCAC (Notas de Aula - 2014/I) EXERCÍCIOS PARA REVISÃO: AP1 Profa. Coorda. MARCIA REBELLO DA SILVA 5/19 Jefet. = Jnom − IR = 57.600 – 57.600 X Jefet. = (P) (iefet) (n) 57.600 – 57.600 X = (60.000) (0,025) (24) 57.600 – 36.000 = 57.600 X X = 37,50% Resposta: 37,50% 7) Um lojista deve $ 7.900; e $ 25.200 que vencem daqui a vinte meses e dois anos respectivamente. Não podendo saldá-los nos prazos de vencimento acima, deseja reformá-lo de modo a fazer três pagamentos iguais. Se os pagamentos vencerem respectivamente no 1º; 2º e 3º quadrimestre e se o dinheiro valer 1,5% a.m. capitalizado quadrimestralmente, qual será o valor de cada pagamento? (UA 7) i = (1,5% ) (4) = 4,5% a.q. $ 7.900 vence:(20) (1/4) = 5 quad. $ 25.200 vence: (2) (3) = 6 quad. 1º pag. = 2º pag. = 3º pag. = X 1º pag.: vencim. = 1 quad. 2º pag.: vencim. = 2 quad. 3º pag.: vencim. = 3 quad. Solução: Data Focal = 3 quad. 7.900 (1,045)(DF − 5) + 25.200 (1,045)(DF − 6) = X (1,045)(DF − 1) + X (1,045)(DF − 2) + + X (1,045)(DF − 3) 7.900 (1,045)(3 − 5) + 25.200 (1,045)(3 − 6) = X (1,045)(3 − 1) + X (1,045)(3 − 2) + + X (1,045)(3 − 3) Eq. de Valor na Data Focal: 3 quad. 7.900 (1,045)− 2 + 25.200 (1,045)− 3 = X (1,045)2 + X (1,045) + X X = $ 9.345,46 Resposta: $ 9.345,46 8) Máquinas industriais estão sendo vendidas à vista por $ 147.300; e a prazo por $ 152.600, sendo que uma entrada de 15% do preço à vista, e o saldo um quadrimestre após a compra. Calcular a taxa efetiva de juros simples mensal. (UA 2) Preço à Vista = $ 147.300 Prazo = $ 152.600 Entrada = (0,15) (147.300) = $ 22.095 Saldo = Prestação → n = 1 quad. iefet. = ? (a.m.) Solução: Preço a Prazo = Entrada + Prestação (= Saldo) UFRRJ/ICSA/DCAC (Notas de Aula - 2014/I) EXERCÍCIOS PARA REVISÃO: AP1 Profa. Coorda. MARCIA REBELLO DA SILVA 6/19 152.600 = 22.095 + Saldo Saldo = 152.600 − 22.095 = 130.505 Valor Financiado = 147.300 − 22.095 = Pefet = $125.205 Solução: .J = P (i) (n)]. Jefet = (Pefet) (iefet) (n) 130.505 − 125.205 = 125.205 (i) (1) (4) i = 1,06% Resposta: 1,06% 9) Uma revendedora de produtos de limpeza deseja substituir duas letras de câmbio, uma de valor de face de $ 10.300, com vencimento para quatro meses; e a outra de valor de face de $ 22.500 com vencimento para um ano; por uma letra de valor de face de $ 38.400 e vencimento para um ano e meio. Se o desconto for simples “por fora”, qual deverá ser a taxa de desconto? (UA 4) N1 = $ 10.300 n1 = 4 meses. N2 = $ 22.500 n2 = 1 ano = 12 meses N3 = $ 38.400 n3 = 1,5 ano = 18 meses i = ? desconto simples “por fora” => desconto simples comercial $ 125.205 $ 130.505 4 meses 0 $ 147.300 $ 22.095 $ 130.505 4 meses 0 UFRRJ/ICSA/DCAC (Notas de Aula - 2014/I) EXERCÍCIOS PARA REVISÃO: AP1 Profa. Coorda. MARCIA REBELLO DA SILVA 7/19 Solução: .Vc = N [1 – (i) (n)]. P1 + P2 = P3 se somente se V1 + V2 = V3 N1 (1 − i n1) + N2 (1 − i n2) = N3 (1 − i n3) 10.300 [1 − (i) (4)] + 22.500 [1 − (i) (12)] = 38.400 [1 − (i) (18)] Dividindo a equação por 1.000 fica: 10,3 [1 − (i) (4)] + 22,5 [1 − (i) (12)] = 38,4 [1 − (i) (18)] 10,3 − 41,2 (i) + 22,5 − 270 (i) = 38,4 − 691,2 (i) 10,3 + 22,5 − 38,4 = − 691,2 (i) + 41,2 (i) + 270 (i) − 5,6 = − 380 (i) Multiplicando por menos uma equação fica: 5,6 = 380 (i) i = 0,0147 = 1,47% a.m. Resposta: 0,0147 ou 1,47% a.m. 10) Um estudante aplicou $ 13.000 em uma poupança e após certo tempo ele recebeu de juros $ 18.554,41. Se a taxa de juros paga foi de 18% a.s, por quantos meses ficou o dinheiro aplicado? (UA 6) P = $ 13.000 J = $ 18.554,41 n = ? (meses) (meses) ���� Como não está explícito o regime de capitalização (simples ou composto), então, será sempre o que acontece mais na prática que é o regime de capitalização composto. Taxa = 18% a.s. (é a taxa nominal: taxa declarada). Como não está explícito qual é a capitalização, então: 18% a.s. capitalizado semestralmente (a capitalização é ao semestre porque a taxa declarada é ao semestre) => taxa nominal é também a taxa efetiva (i) Solução 1: Trabalhando com capitalização semestral e fórmula dos Juros Como o problema é de capitalização composto usaremos a seguinte fórmula: J = P [(1 + i)n.− 1]. 18.554,41 = 13.000 [(1,18)n − 1] Nota: O desenvolvimento não pode ser feito através das teclas financeiras de uma HP-12, tem que ser por álgebra. UFRRJ/ICSA/DCAC (Notas de Aula - 2014/I) EXERCÍCIOS PARA REVISÃO: AP1 Profa. Coorda. MARCIA REBELLO DA SILVA 8/19 18.554,41 + 1 = (1,18)n 13.000 2,4273 = (1,18)n (Trabalhar no mínimo com duas casas: 2,4273 ≈ 2,43) Ln 2,43 = (n) Ln 1,18 n = Ln 2,43 Ln 1,18 n = 5,36 sem. n = (5,36) (6) = 32,16 ≈ 32 Solução 2: Trabalhando com capitalização semestral e fórmula do Montante Como o problema é de capitalização composto usaremos as seguintes fórmulas: .S = P + J. .S = P (1 + i)n. 13.000 + 18.554,41 = 13.000 (1,18)n 31.554,41 = (1,18)n 13.000 2,4273 = (1,18)n (Trabalhar no mínimo com duas casas decimais: 2,4273 ≈ 2,43) Ln 2,43 = (n) Ln 1,18 n = Ln 2,43 Ln 1,18 n = 5,36 sem. n = (5,36) (6) = 32,16 ≈ 32 Solução 3: Trabalhando com capitalização mensal Teremos que mudar a capitalização semestral para a capitalização mensal que será através de taxas equivalentes, porque o regime é de capitalização composto. P(1 + is)1= P (1 + im)6 1,18 = (1 + im)6 im = (1,18)1/6 − 1 = 0,0280 Usando as seguintes fórmulas: .S = P + J. .S = P (1 + i)n. 13.000 +18.554,41 = 13.000 (1 + im)n 31.554,41 = (1 + 0,0280)n 13.000 UFRRJ/ICSA/DCAC (Notas de Aula - 2014/I) EXERCÍCIOS PARA REVISÃO: AP1 Profa. Coorda. MARCIA REBELLO DA SILVA 9/19 2,43 = (1,0280)n Ln 2,43 = (n) Ln 1,028 n = 32,15 ≈ 32 Resposta: 32 11) Dois capitais diferentes foram aplicados, sob regime de juros simples; o primeiro capital a uma taxa de 3% a.t, por dois anos; e o segundo capital a uma taxa de 36% a.a, por oito semestres. Sabendo- se que o rendimento do segundo capital foi inferior ao rendimento do primeiro capital em $ 5.000 e os dois rendimentos totalizaram $ 9.000, calcule o montante total. (UA 1) P1 n1 = 2 anos i1 = 3% a.t. P2 n2 = 8 sem. i2 = 36% a.a. J2 = J1 − $ 5.000 J1 + J2 = $ 9.000 S1 + S2 = ? Solução 1: J1 + J1 − 5.000 = 9.000 2 J1 = 14.000 => J1 = $ 7.000 J2 = J1 − 5.000 = 7.000 − 5.000 => J2 = $ 2.000 .J = P i n. 7.000 = (P1) (0,03) (2) (4) => P1 = $ 29.166,67 2.000 = (P2) (0,36) (8) (1/2) => P2 = $ 1.388,89 .S = P + J. S1 + S2 = 29.166,67 + 1.388,89 + 9.000 S1 + S2 = $ 39.555,56 Resposta: $ 39.555,56 Solução 2: J2 = J1 − $ 5.000 (P2) (0,36) (8) (1/2) = (P1) (0,03) (2) (4) − 5.000 1,44 P2 = 0,24 P1 − 5.000 (1) J1 + J2 = 9.000 (P2) (0,36) (8) (1/2) + (P1) (0,03) (2) (4) = 9.000 1,44 P2 + 0,24 P1 = 9.000 (2) UFRRJ/ICSA/DCAC (Notas de Aula - 2014/I) EXERCÍCIOS PARA REVISÃO: AP1 Profa. Coorda. MARCIA REBELLO DA SILVA 10/19 Um sistema com duas equações: 1,44 P2 = 0,24 P1 − 5.000 (1) 1,44 P2 + 0,24 P1 = 9.000 (2) Resolvendo 1,44 P2 − 0,24 P1 = − 5.000 (1) 1,44 P2 + 0,24 P1 = 9.000 + (2) Somando a equação (1) com a equação (2) fica: 2,88 P2 = 4.000 P2 = 1.388,89 Substituindo P2 na equação (2) fica: 1,44 (1.388,89) + 0,24 P1 = 9.000 2.000 + 0,24 P1 = 9.000 P1 = $ 29.166,67 .S = P + J. S1 + S2 = 29.166,67 + 1.388,89 + 9.000 S1 + S2 = $ 39.555,56 Resposta: $ 39.555,56 12) Uma firma pegou um empréstimo por dois anos e meio a uma taxa de juros simples de 3% a.m. Sefoi pago $ 26.800 dez meses antes da data do vencimento a uma taxa de juros simples de 7% a.b, quanto foi pago de juros? (UA 2) P i1 = 3% a.m. n1 = 2,5 anos. V = $ 26.800 i2 = 7% a.b. n2 = 10 meses. J = ? Solução: N = (26.800) [1 + (0,07) (10) (1/2)] = $ 36.180 36.180 = P [1 + (0,03) (2,5) (12)] P = $ 19.042,11 J = 26.800 − 19.042,11 J = $ 7.757,89 Resposta: $ 7.757,89 UFRRJ/ICSA/DCAC (Notas de Aula - 2014/I) EXERCÍCIOS PARA REVISÃO: AP1 Profa. Coorda. MARCIA REBELLO DA SILVA 11/19 13) Se foi aplicado $ 7.300 pelo prazo de sete trimestres em um fundo e se o valor de resgate foi $ 12.111,06; qual foi a taxa de juros ao ano capitalizado trimestralmente? (UA 6) P = $ 7.300 Taxa = ? (a. a. capitalizado trimestralmente) prazo = 7 trim . S = $ 12.111,06 Solução: Taxa é capitalizada => Regime de Capitalização Composto .S = P (1 + i)n. 12.111,06 = 7.300 (1 + i)7 Nota: O desenvolvimento não pode ser feito através das teclas financeiras de uma HP-12, tem que ser por álgebra, e todos os cálculos devem ser evidenciados 12.111,06 = (1 + i)7 (No mínimo duas casas decimais) 7.300 (1,66)1/7 − 1 = i i = 0,0751 = 7,51% Taxa = (7,51%) (4) = 30,04% Resposta: 0,3004 ou 30,04% 14) Uma nota promissória de $ 14.700 foi descontada em um banco a taxa de desconto simples de 36% a.a. Se o valor descontado foi $ 11.200, quantos dias antes do vencimento foi descontada a nota promissória? (UA 3) N = $ 14.700 i = 36% a.a. Vc = $ 11.200 n = ? (dias) ���� Como não está explícito se o desconto é racional ou comercial, então, em regime de capitalização simples (desconto simples) será sempre o que mais ocorre na prática que é o desconto comercial. Solução 1: Vc = N [1 – (i) (n)] 11.200 = 14.700 [1 − (0,36) (1/360) (n)] [1 − 11.200] (360/0,36) = n 14.700 n = 238 dias Solução 2: .Dc = (N) (i) (n). Dc = N – Vc. UFRRJ/ICSA/DCAC (Notas de Aula - 2014/I) EXERCÍCIOS PARA REVISÃO: AP1 Profa. Coorda. MARCIA REBELLO DA SILVA 12/19 14.700 − 11.200 = (14.700) (0,36) (1/360) (n) n = 238 dias Resposta: 238 15) Investiu-se inicialmente em uma poupança $ 55.200, depois foram feitas duas retiradas uma de $ 13.700 no 6º mês e a outra $ 24.900 no 15º mês. Calcular o saldo no final do segundo ano para uma taxa de juros de 3,5% a.t. (UA 7) Dep. Inicial = $ 55.200 i = 3,5% a.t. Ret = $ 13.700 (6o mês = 2º trim) Ret = $ 24.900 (15o mês = 5º trim.) Saldo: 2º ano = X = ? (2º ano = 8º trim.) Solução: Data Focal = Oitavo Trimestre ∑ Dep.(DF = 8) − ∑ Ret.(DF = 8) = Saldo(DF = 8) 55.200 (1,035)(8 − 0) − 13.700 (1,035)(8 − 2) − 24.900 (1,035)(8 − 5) = X (1,035)(8 − 8) Eq. de Valor na Data Focal = 8 trimestres 55.200 (1,035)8 − 13.700 (1,035)6 − 24.900 (1,035)3 = X X = $28.239,99 Resposta: $28.239,99 16) Um varejista aplicou $ 25.000 em uma poupança cuja rentabilidade foi 18% a.s. Decorridos dois anos, ele retirou toda quantia e aplicou 80% do rendimento em um fundo por um ano que pagou 2% a.m. Para um regime de capitalização simples, quanto o varejista resgatou no fundo? (UA 1) P1 = $ 25.000 i1 = 18% a.s. n1 = 2 anos. P2 = (80%) (J1) i2= 2% a.m. n2 = 1 ano. Sfundo = ? Solução: Trata-se de um problema de juros simples, uma vez que, o regime é de capitalização simples segundo o enunciado. .J = P i n. J1 = (25.000) (0,18) (2) (2) = $ 18.000 P2 = (0,80) (18.000) = $ 14.400 .S = P (1 + i n). Sfundo = (14.400) [ 1 + ( 0,02) (1) (12)] Sfundo = $ 17.856 UFRRJ/ICSA/DCAC (Notas de Aula - 2014/I) EXERCÍCIOS PARA REVISÃO: AP1 Profa. Coorda. MARCIA REBELLO DA SILVA 13/19 Resposta: $ 17.856 17) Se o principal for $ 17.000; o prazo quatro anos; a taxa de juros para os dois primeiros anos 3% a.q; e para os anos seguintes 2,5% a.m; quanto será o juro, se o regime for de capitalização composto? (UA 5) P = $ 17.000 prazo = 4 anos J =? Solução 1: S = P (1 + i)n J = S − P S = 17.000 (1,03)(2) (3) (1,025)(2) (12) S = 17.000 (1,03)(6) (1,025)(24) S = $ 36.715,13 J = 36.715,13 − 17.000 J = $ 19.715,13 Solução 2: .J = P [(1 + i)n − 1]. J = 17.000 [(1,03)6 (1,025)24 − 1] J = $ 19.715,13 Resposta: $ 19.715,13 18) Um título de crédito de valor de nominal de $ 24.700; está sendo descontada a taxa de desconto simples real de 9% a.t. Se o valor atual for $ 19.800, quantos meses antes da data de vencimento está sendo descontado o título de crédito? (UA 3) N = $ 24.700 Vr = $ 19.800 i = 9% a.t. n = ? (meses) Desconto simples real → desconto simples racional Solução 1: .N = Vr [1 + (i) (n)] . 24.700 = 19.800 [1 + (0,09) (1/3)(n)] $ 17.000 2 anos 2 anos ano i = 3% a.q. i = 2,5% a.m. S 0 n = (2) (3) = 6 quad. n = (2) (12) = 24 meses UFRRJ/ICSA/DCAC (Notas de Aula - 2014/I) EXERCÍCIOS PARA REVISÃO: AP1 Profa. Coorda. MARCIA REBELLO DA SILVA 14/19 [24.700 – 1] (3/0,09) = n 19.800 n ≈ 8,25 meses Solução 2: .Dr = N − Vr . .Dr = (Vr ) (i) (n)]. 24.700 – 19.800 = (19.800) (0,09) (n) (1/3) . (4.900) (3) = n (19.800) (0,09) n ≈ 8,25 meses Resposta: ≈ 8,25 meses 19) Inicialmente depositou-se em uma poupança $ 57.000, depois foram feitas duas retiradas iguais a $ 18.000, uma no final do 6º mês e a outra no início do 14º mês; por último fez-se um depósito de $ 12.000 no 17º mês. Calcular o saldo no final do 25º mês, sendo que a taxa de juros para os dez primeiros meses foi 3% a.m. e para os meses restantes foi 4% a.m. (UA 7) Dep. Inicial = $ 57.000 i1 = 3% a.m. (até 10º mês) 2 Ret. (6º e 13º mês) = $ 18.000 i2 = 4% a.m. (a partir do 10º mês) Dep. (17º mês) = $ 12.000 Saldo (25º mês) = X = ? Solução: Data Focal = 25º mês ∑ Dep.(DF = 25) − ∑ Ret.(DF = 25) = Saldo(DF = 25) 57.000 (1,03)10(1,04)15 − 18.000 (1,03)4 (1,04)15 − 18.000 (1,04)12 + 12.000 (1,04)8 = X X = $ 89.076,74 Resposta: $ 89.076,74 20) Qual o valor de emissão de uma duplicata que sofreu um desconto simples comercial no valor de $ 4.500, descontada 2,5 bimestres antes do vencimento, a uma taxa efetiva de juros simples 63% a.s? (UA 4) Dc = $ 4.500 n = 2,5 bim. ief = 63% a.s. N = ? Solução: .Dr = (Vr) (i) (n)]. Dc = (Vc) (ief) (n) 4.500 = (Vc) (0,63) (2,5) (1/3) Vc = $ 8.571,43 UFRRJ/ICSA/DCAC (Notas de Aula - 2014/I) EXERCÍCIOS PARA REVISÃO: AP1 Profa. Coorda. MARCIA REBELLO DA SILVA 15/19 .Dc = N – Vc. 4.500 = N − 8.571,43 N = $ 13.071,43 Resposta: $ 13.071,43 21) Dois capitais iguais foram aplicados em regime de juros compostos; se um deles foi por treze bimestres a taxa de juros de 18% a.s. capitalizado mensalmente; e outro por dois anos a taxa de juros de 10% a.q; qual foi o juro total se o capital total foi $ 18.000? (UA 5) PT = P1 + P2 = $ 18.000 P1 = (18.000) (1/2) = $ 9.000 i1 = (18%) (1/6) = 3% a.m. n1 = (13) (2) = 26 meses P2 = $ 9.000 i2 = 10% a.q. n2 = (2) (3) = 6 quad.JT = J1 + J2 = ? Solução: .J = P [(1 + i)n − 1]. JT = 9.000 [(1,03)26 − 1] + 9.000 [(1,10)6 − 1] JT = $ 17.353,37 Resposta: $ 17.353,37 22) Uma duplicata de valor de emissão igual a $ 9.000 foi descontada cento cinqüenta dias antes da data de vencimento, sendo os juros no valor de $ 1.125. Calcular a taxa de desconto simples ao mês. (UA 3) N = $ 9.000 n = 150 dias Juros = Desconto = $ 1.125 i = ? (a.m.) => desconto comercial (regime de capitalização simples quando não está explícito se é racional ou comercial é sempre o comercial). Solução: .Dc = (N) (i) (n). 1.125 = (9.000) (i) (150/30) (1.125) (30). = i (9.000) (150) i = 0,025 = 2,5% Resposta: 2,5% UFRRJ/ICSA/DCAC (Notas de Aula - 2014/I) EXERCÍCIOS PARA REVISÃO: AP1 Profa. Coorda. MARCIA REBELLO DA SILVA 16/19 23) Achar o montante, sabendo-se que o principal foi $ 10.200; o prazo de três anos e meio; e a taxa de 30% a.a; e se for usado: (a) convenção exponencial; e (b) convenção linear. (UA 6) S = ? P = $ 10.200 prazo = 3,5 anos i = 30% a.a. (a) Convenção Exponencial Solução: .S = P (1 + i)n. S = 10.200 (1,30)3,5 S = $ 25.550,65 (b) Convenção Linear Solução: S = 10.200 (1,30)3 [1 + (0,30) (0,5)] S = $ 25.770,81 Resposta: (a) $ 25.550,65 (b) $ 25.770,81 24) Em uma revendedora de auto-peças são concedidos descontos de 15% no preço das mercadorias para vendas à vista. Esta mesma revendedora cobra 30% de juros simples para as vendas com prazo de pagamento em um trimestre. Calcular a taxa efetiva semestral. (UA 2) Preço = X Preço à Vista = X – 0,15 X = 0,85 X Preço a prazo = 30% acréscimo (JS) n = 1 trim. Preço a prazo = X + 0,30 X = 1,30 X ief = ? (a.s.) Solução: .J = P (i) (n)]. 1,30 X – 0,85 X = 0,85 X (i) (1) (1/2) 0,45 = 0,85 (i) (1) (1/2) i = 105,88% Resposta: 105,88% 25) Um carro à vista custa $ 17.800; e a prazo é necessário uma entrada e mais três pagamentos trimestrais; sendo o valor do 1º pagamento o dobro do 2º pagamento, e este o dobro do 3º pagamento; vencendo respectivamente em um semestre; um ano e um ano e meio. Se o 3º pagamento for $ 2.300 e taxa de juros for 3% a.m. qual será o valor da entrada? (UA 7) UFRRJ/ICSA/DCAC (Notas de Aula - 2014/I) EXERCÍCIOS PARA REVISÃO: AP1 Profa. Coorda. MARCIA REBELLO DA SILVA 17/19 P = $ 17.800 i = 3% a.m. 3º pagam = $ 2.300 vencendo: 1,5 ano = 18 meses 2º pagam = (2.300) (2) = $ 4.600 vencendo: 1 ano = 12 meses 1º pagam = (4.600) (2) = $ 9.200 vencendo: 1sem = 6 meses Entrada = X = ? Solução: Data Focal = Zero. Preço a Prazo se equivale ao Preço à Vista Preço a Prazo(DF) = Preço à Vista(DF) Preço a Prazo(DF = 0) = Entrada(DF = 0) + Prestações(DF = 0) X (1,03)(DF − 0) + 9.200 (1,03)(DF − 6) + 4.600 (1,03)(DF − 12 ) + 2.300 (1,03)(DF − 18 ) = = 17.800 (1,03)(DF − 0) X (1,03)(0− 0) + 9.200 (1,03)(0 − 6) + 4.600 (1,03)(0 − 12 ) + 2.300 (1,03)(0 − 18 ) = = 17.800 (1,03)(0 − 0) Eq. de Valor na Data Focal = Zero X + 9.200 (1,03)−−−− 6 + 4.600 (1,03)−−−− 12 + 2.300 (1,03)−−−−18 = 17.800 X = $ 5.517,79 Resposta: $ 5.517,79 26) Um empresário deve duas duplicatas: uma de $ 10.500 e a outra de $ 25.700, vencíveis respectivamente, em um trimestre e um ano. Desejando renegociar suas dívidas, o empresário propõe e o credor aceita substituir esse esquema de pagamento por outro equivalente, constituído por duas duplicatas sendo a primeira 30% superior a segunda e vencendo respectivamente, em um dez meses, e um ano e meio. Determinar o valor da duplicata que vence em dez meses, sabendo-se que a taxa de juros simples negociada foi de 42% a.s. (UA 4) N1 = $ 10.500 n1 = 1 trim. N2 = $ 25.700 n2 = 1 ano N3 = ? = 1,3 N4 n3 = 10 meses. N4 n4 = 1,5 ano i = 42% a.s Solução: ���� Desconto a Taxa de Juros Simples => Desconto Racional Simples P1 + P2 = P3 + P4 se V1 + V2 = V3 + V4 .N = (Vr) [1 + (i) (n)]. N1 + N2 . = N3 + N4 . 1 + i n1 1 + i n2 1 + i n3 1 + i n4 UFRRJ/ICSA/DCAC (Notas de Aula - 2014/I) EXERCÍCIOS PARA REVISÃO: AP1 Profa. Coorda. MARCIA REBELLO DA SILVA 18/19 10.500 + 25.700 = 1,3 N4 + N4 . 1 + (0,42) (1/2) 1 + (0,42) (1) (2) 1 + (0,42) (10/6) 1 + (0,42) (1,5) (2) 8.677,69 + 13.967,39 = (0,76 + 0,44) N4 22.645,08 = 1,20 N4 N4 = $ 18.870,90 N3 = (1,3) (18.870,90) N4 = $ 24.532,17 Resposta: $ 24.532,17 27) Se um principal for $ 17.400 o montante $ 73.200 e a taxa de juros for 4,5% a.t. capitalizado anualmente, por quantos trimestres ficou aplicado o principal? (UA 6) P = $ 17.400 S = $ 73.200 Prazo = ? (trim) i = (4,5%) (4) = 18% a.a. Solução: .S = P (1 + i)n. 73.200 = 17.400 (1,18)n 73.200 = (1,18)n 17.400 4,21 = (1,18)n n = ln 4,21 ln 1,18 n = 8,7 anos Prazo = (8,7) (4) = 34,8 Resposta: ≈ 35 28) Um tomador de empréstimo pagou por um empréstimo de $ 53.600 de quinze meses uma taxa de 6% a.t. de juros simples. Se os juros foram pagos antecipadamente, qual foi taxa efetiva semestral cobrada no empréstimo? (UA 2) Pnom. = $ 53.600 n = 15 meses inom. = 6% a.t. ief. = ? (a.s.) Solução: .J = P (i) (n)]. Jnom = ($ 53.600) (0,06/trim) (15 meses) (1 trim/3 meses) Jnom = $ 16.080 UFRRJ/ICSA/DCAC (Notas de Aula - 2014/I) EXERCÍCIOS PARA REVISÃO: AP1 Profa. Coorda. MARCIA REBELLO DA SILVA 19/19 Pefet. = $ 53.600 − $ 16.080 Pefet. = $ 37.520 Solução 1: .S = P [1 + (i) (n)]. Sefet = (Pefet) [1 + (iefet.) (n)] $ 53.600 = ($ 37.520) [1 + (iefet.) (15 meses) (1 sem/6 meses)] iefet. = 17,14%. Solução 2: .J = P (i) (n)]. Jefet = (Pefet) (iefet.) (n) $ 16.080 = ($ 37.520) (iefet.) (15/6) iefet. = 0,2118 a.a ou 21,18% a.a. Resposta: 17,14% $ 37.520 $ 53.600 meses 10 $ 53.600 J = $ 16.080 $ 53.600 meses 15 0
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