EQUAÇÕES DIFERENCIAIS LINEARES DE ORDEM “N”

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UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO GRANDE – FURG 
INSTITUTO DE MATEMÁTICA, ESTATÍSTICA E FÍSICA – IMEF 
CÁLCULO III 
 
EQUAÇÕES DIFERENCIAIS LINEARES DE ORDEM “N” 
 
1. FUNDAMENTOS GERAIS 
 
1.1DEFINIÇÕES E TEOREMA DA UNICIDADE 
 
Uma equação diferencial linear de ordem n é uma equação da forma: 
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )xgyxbyxbyxbyxbyxb nnnn =+′+′′+++ −− 01211 K (1) 
onde os coeficientes ( ) njxb j ,,2,1,0, K= , e ( )xg são admitidos contínuos em algum 
intervalo I e ( ) 0≠xbn , Ix∈∀ . Observe que ( ) njxb j ,,2,1,0, K= , dependem somente 
da variável x, em outras palavras, não dependem de y nem de nenhuma de suas 
derivadas. 
 
 Ex.: 1) A equação diferencial ( ) 22 2 =−′+′′ ysenxyxyx é de segunda ordem, e 
nesta equação ( ) xxb 22 = , ( ) 21 xxb = , ( ) senxxb −=0 e ( ) 2=xg . Como estas funções 
não dependem de y ou de qualquer derivada sua, a equação diferencial é linear. 
 2) A equação diferencial 2xyyxyy =+′+′′′ é de terceira ordem, e nesta 
equação temos yb =3 , é uma função que depende de y, portanto a equação não é linear. 
 
 
TEOREMA 1: Consideremos o PVI constituído pela equação diferencial (1) e pelas n 
condições iniciais 
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 101201000 ,,,, −− ==′′=′= nn cxycxycxycxy K (2) 
Se ( )xg e ( ) njxb j ,,2,1,0, K= , são funções contínuas em algum intervalo I contendo 
0x e se ( ) 0≠xbn , Ix∈∀ , então o PVI dado por (1) e (2) tem uma e somente uma 
solução definida em I. 
 
 Quando prevalecem as condições do Teorema 1 sobre ( )xbn , podemos dividir 
ambos os membros da equação diferencial (1) por ( )xbn , obtendo: 
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )xyxayxayxayxay nnn φ=+′+′′+++ −− 01211 K (3) 
onde 
( )
( )
1,,2,1,0, −== nj
xb
xb
a
n
j
j K e ( )
( )
( )xb
xg
x
n
=φ . 
 Se ( ) 0≡xφ (ou ( ) 0≡xg ), então a equação diferencial (3) (ou (1)) é homogênea. 
Em caso contrário, é não-homogênea. (Observe que, neste contexto, as equações 
diferenciais de ordem n homogêneas não têm a mesma definição das equações 
diferenciais de 1ª ordem com coeficientes homogêneos.) 
 Se todos os coeficientes ( )xa j (ou ( )xb j ) em (3) (ou (1)) são constantes, a 
equação se chama equação diferencial de coeficientes constantes. Se algum dos 
coeficientes não é constante, a equação é de coeficientes variáveis. 
 
COROLÁRIO 1: A única solução da equação diferencial de ordem n homogênea 
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 001211 =+′+′′+++ −− yxbyxbyxbyxbyxb nnnn K 
com condições iniciais nulas 
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0,,0,0,0 01000 ==′′=′= − xyxyxyxy nK 
é a solução identicamente nula. 
 
 
1.2 OPERADOR DIFERENCIAL LINEAR 
 
 Definimos o operador diferencial linear ( )yL por 
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )yxayxayxayxayyL nnn 01211 +′+′′+++≡ −− K (4) 
onde ( ) 1,,2,1,0, −= nixai K , são contínuas em algum intervalo I. Então a equação 
diferencial (3) pode ser escrita como: 
( ) ( )xyL φ= (5) 
Em particular, uma equação diferencial linear homogênea pode expressar-se como: 
( ) 0=yL (6) 
 
TEOREMA 2: O operador ( )yL é linear; isto é, 
( ) ( ) ( )22112211 yLcyLcycycL +=+ (7) 
onde 1c e 2c são constantes arbitrárias e, 1y e 2y são funções arbitrárias n-vezes 
deriváveis. 
PROVA: 
 Sejam ( )xyy 11 = e ( )xyy 22 = funções n-vezes deriváveis, 1c e 2c constantes 
arbitrárias , então: 
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )221102211122112
2
2
22111
1
122112211
ycycxaycyc
dx
d
xaycyc
dx
d
xa
ycyc
dx
d
xaycyc
dx
d
ycycL
n
n
nn
n
++++++
+++++≡+
−
−
− K
 
 Através da álgebra das derivadas, temos: 
 
( ) nk
dx
yd
c
dx
yd
cycyc
dx
d
k
k
k
k
k
k
,,2,1,22
1
12211 K=+=+ 
Portanto, podemos escrever: 
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2021012121112
2
2
222
1
2
21
1
2
1
121
1
1
11
2
2
1
12211
yxacyxac
dx
dy
xac
dx
dy
xac
dx
yd
xac
dx
yd
xac
dx
yd
xac
dx
yd
xac
dx
yd
c
dx
yd
cycycL
n
n
nn
n
nn
n
n
n
++++++
+++++≡+
−
−
−−
−
− K
 
Logo obtemos: 
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) 





++++++
+





+++++≡+
−
−
−
−
−
−
20
2
12
2
2
21
2
1
1
2
2
10
1
12
1
2
21
1
1
1
1
12211
yxa
dx
dy
xa
dx
yd
xa
dx
yd
xa
dx
yd
c
yxa
dx
dy
xa
dx
yd
xa
dx
yd
xa
dx
yd
cycycL
n
n
nn
n
n
n
nn
n
K
K
 
logo 
( ) ( ) ( )22112211 yLcyLcycycL +=+ 
 
TEOREMA 3; (Princípio da Superposição) Se 1y e 2y são duas soluções de ( ) 0=yL , 
então 2211 ycyc + é também solução de ( ) 0=yL para 1c e 2c constantes arbitrárias. 
PROVA: 
 Sejam 1y e 2y duas soluções de ( ) 0=yL , então temos que ( ) 01 =yL e 
( ) 02 =yL . Pelo Teorema 2, se 1c e 2c são duas constantes arbitrárias temos: 
( ) ( ) ( )22112211 yLcyLcycycL +=+ 
portanto 
( ) 02211 =+ ycycL 
então 2211 ycyc + é também solução de ( ) .0=yL 
 
2. TEORIA DAS SOLUÇÕES 
 
2.1 DEPENDÊNCIA LINEAR 
 
 Um conjunto de funções ( ) ( ) ( ){ }xyxyxy n,,, 21 K é linearmente dependente no 
intervalo I, se existem constantes nccc ,,, 21 K , não todas nulas, tais que 
( ) ( ) ( ) 02211 ≡+++ xycxycxyc nnK (8) 
em I. 
 Em outras palavras, podemos dizer que um conjunto de funções é linearmente 
dependente se existe outro conjunto de constantes, não todas nulas, tais que (8) se 
verifica. Note que 021 ==== nccc K é um conjunto de constantes que sempre 
satisfaz (8). 
 
2.2 INDEPENDÊNCIA LINEAR 
 
 Um conjunto de funções ( ) ( ) ( ){ }xyxyxy n,,, 21 K é linearmente independente no 
intervalo I, se não é linearmente dependente em I, isto é, se as únicas constantes que 
satisfazem (8) em I são 021 ==== nccc K . 
 
Ex.: 1) O conjunto { }senxxx ,1,5, é linearmente dependente no intervalo [ ]1,1− , pois 
existem constantes 0,1,5 321 ==−= ccc e 04 =c , não todas nulas, tais que (8) se 
verifica, ou seja: 
0010515 ≡⋅+⋅+⋅+⋅− senxxx 
 2) O conjunto { }xx ee −, é linearmente independente no intervalo ( )+∞∞− , , pois 
considerando a equação: 
021 ≡+
− xx ecec 
Obtemos: 
xxx eccecec 21212 −≡⇒−≡
− 
portanto, para qualquer valor não nulo de 1c , o membro esquerdo da equação 
xecc 212 −≡ é constante, enquanto que o direito não é, logo a única solução para esta 
equação é 021 == cc . 
 
 
2.3 SOLUÇÕES LINEARMENTE INDEPENDENTES 
 
TEOREMA 4: A equação diferencial linear homogênea de ordem n ( ) 0=yL sempre 
tem n soluções linearmente independentes. Se ( ) ( ) ( )xyxyxy n,,, 21 K representam essas 
soluções, então a solução geral de ( ) 0=yL é 
( ) ( ) ( ) ( )xycxycxycxy nn+++= K2211 (9) 
onde nccc ,,, 21 K são constantes arbitrárias. 
 
Ex.: As funções ( ) xsenxy 21 = e ( ) xxy 2cos2 = são soluções da equação diferencial 
linear de segunda ordem 04 =+′′ yy , pois 
( ) xxy 2cos21 =′ e ( ) xsenxy 241 −=′′ , então 04 11 =+′′ yy 
( ) xsenxy 222 −=′ e ( ) xxy 2cos42 −=′′ , então 04 22 =+′′ yy 
Além disso, estas soluções são linearmente independentes, pois 
002cos2 2121 ==⇔=+ ccxcxsenc 
 Logo a solução geral da equação diferencial 04 =+′′ yy é 
( ) xcxsencxy 2cos2 21 += 
 
OBS.: O Teorema 4 realça a importância de podermos determinar se um conjunto de 
soluções de ( ) 0=yL é linearmente independente ou não. Em geral, o problema não 
pode ser resolvido diretamente a partir de (8); não podemos experimentar todos os 
possíveis valores de nccc ,,, 21 K . Existe,entretanto, outro método para resolver este 
problema. 
 
2.4 WRONSKIANO 
 
Definição: Sejam ( ) ( ) ( )xyxyxy n,,, 21 K as n soluções da equação diferencial linear de 
ordem n ( ) 0=yL , definimos o Wronskiano dessas soluções no ponto x pelo 
determinante: 
( ) ( )( )
)1()1(
2
)1(
1
21
21
21
21 ,,,
−−−
′′′′′′
′′′
==
n
n
nn
n
n
n
n
yyy
yyy
yyy
yyy
xyyyWxW
L
MMM
L
L
L
K (10) 
 
 OBS.: No caso 2=n , isto é para as equações diferenciais de segunda ordem 
( ) ( ) ( ) 001 =+′+′′= yxayxayyL 
temos: 
( ) ( )( ) 2121
21
21
21 , yyyy
yy
yy
xyyWxW ′−′=
′′
== 
 
Ex.: O Wronskiano do conjunto de soluções { }xxsen 2cos,2 da equação diferencial 
04 =+′′ yy é: 
( ) ( ) ( ) 2222cos2
2cos2
2cos2
2cos2
−=
−
==
xsenx
xxsen
x
dx
d
xsen
dx
d
xxsen
xW 
 
 
TEOREMA 5: Se f e g forem funções deriváveis em um intervalo aberto I, e se 
( )( ) 0, 0 ≠xgfW em um ponto Ix ∈0 , então f e g são linearmente independentes em I. 
De outra forma, se f e g forem linearmente dependentes em I, então ( )( ) 0, =xgfW para 
todo Ix∈ . 
PROVA: 
 Para provar a primeira parte deste Teorema, imaginemos uma combinação linear 
( ) ( )xgcxfc 21 + e suponhamos que esta expressão seja nula em todo o intervalo I. 
Calculando esta expressão e a sua derivada em um ponto Ix ∈0 , obtemos: 
( ) ( )
( ) ( )


=′+′
=+
0
0
0201
0201
xgcxfc
xgcxfc
 (11) 
O determinante dos coeficientes do sistema de equações (11) é ( )( ) 0, 0 ≠xgfW , então a 
única solução do sistema de equações (11) é 021 == cc , portanto f e g são linearmente 
independentes. 
 A segunda parte deste Teorema é consequência imediata da primeira. 
Imaginemos que f e g sejam linearmente dependentes e suponhamos que a conclusão é 
falsa, ou seja, ( )( )xgfW , não seja nulo para todo Ix∈ . Então existe um ponto Ix ∈0 
tal que ( )( ) 0, 0 ≠xgfW ; pela primeira parte do Teorema isto determina que f e g são 
linearmente independentes, o que é uma contradição com a hipótese, e portanto 
completa a prova. 
 
 
TEOREMA 6: (TEOREMA DE ABEL) Fixadas duas soluções ( )xy1 e ( )xy2 da 
equação diferencial linear de segunda ordem ( ) ( ) ( ) 001 =+′+′′= yxayxayyL , onde 
( )xa1 e ( )xa0 são funções contínuas no intervalo I, então o Wronskiano ( )xW é dado 
por 
( ) ( )∫= − dxxaCexW 1 , (12) 
onde C é uma constante que depende do par de soluções 1y e 2y , mas não depende de 
x. Além disso, ( )xW ou é nulo para todo Ix∈ (se 0=C ), ou nunca é nulo em I (se 
0≠C ). 
PROVA: 
 Inicialmente observamos que se ( )xy1 e ( )xy2 são soluções da equação 
diferencial de segunda ordem ( ) ( ) ( ) 001 =+′+′′= yxayxayyL , então 
( ) ( ) ( ) 0101111 =+′+′′= yxayxayyL 
( ) ( ) ( ) 0202122 =+′+′′= yxayxayyL 
 Multiplicando a primeira equação por 2y− , a segunda por 1y , e somando as 
duas equações resultantes, obtemos: 
( ) ( ) ( ) ( ) 01201211221021121 =+′+′′+−′−′′− yyxayyxayyyyxayyxayy 
ou seja 
( )( ) 0212112121 =′−′+′′−′′ yyyyxayyyy (13) 
 Fazendo 
( ) 2121
21
21
yyyy
yy
yy
xW ′−′=
′′
= (14) 
e 
( ) 212121212121 yyyyyyyyyyyyxW ′′−′′=′′−′′−′′+′′=′ (15) 
 
Podemos escrever a equação (13) como: 
 
( ) 01 =+′ WxaW (16) 
A equação (16) pode ser facilmente resolvida, pois é uma equação diferencial linear de 
primeira ordem, com as variáveis separáveis, logo a sua solução geral é: 
( ) ( )∫= − dxxaCexW 1 (17) 
onde C é uma constante. O valor de C depende do par de soluções da equação 
( ) ( ) ( ) 001 =+′+′′= yxayxayyL . Porém, como a função exponencial nunca é nula, 
( )xW não é nulo, a menos que 0=C , e neste caso ( ) IxxW ∈∀= ,0 . 
 
 Ex.: As funções ( ) xxy =1 e ( )
x
xy
1
2 = são soluções da equação diferencial 
0,032 2 >=−′+′′ xyyxyx 
pois 
( ) 2
1
1 2
1 −
=′ xxy e ( ) 2
3
1 4
1 −
−=′′ xxy 
então substituindo na equação diferencial, obtemos: 
0
2
3
22
1
3
4
1
2 2
1
2
12
1
2
1
2
1
2
3
2 =−+−=−







+







−
−−
xx
x
xxxxx 
De modo análogo, 
( )
22
1
x
xy −=′ e ( )
32
2
x
xy =′′ 
Logo substituindo na equação diferencial, obtemos: 
0
13411
3
2
2
23
2 =−−=−




−+





xxxxx
x
x
x 
 Observe que 
( ) 2
3
2
3
2
3
2
2
1
2
1
2
3
2
1
1
2
1
1
−−−
−
−=−−=
−
= xxx
x
x
x
x
xW 
 Agora, para utilizarmos a equação (17), devemos escrever a equação diferencial 
dada na forma: 
0,0
2
1
2
3
2
>=−′+′′ xy
x
y
x
y 
de modo que ( )
x
xa
2
3
1 = , então temos: 
( ) 2
3
ln
ln
2
3
2
3
2
3
−−−
===∫=
−
CxCeCeCexW x
xdx
x 
onde esta última equação dá o Wronskiano de qualquer solução da equação diferencial 
dada. No caso das soluções particulares explícitas neste exemplo, devemos escolher 
2
3
−=C . 
 
OBS.: De modo análogo ao Teorema 6, fixadas n soluções ( )xy1 , ( )xy2 ( )xyn,K da 
equação diferencial linear de ordem n 
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 00111)( =+′+++= −− yxayxayxayyL nnn K , 
onde ( ) 1,,2,1,0, −= nkxak K são contínuas no intervalo I, o Wronskiano ( )xW é dado 
por 
( ) ( )∫= −− dxxanCexW 1 , 
onde C é uma constante que depende do par de soluções nyyy ,,, 21 K , mas não 
depende de x. Além disso, ( )xW ou é nulo para todo Ix∈ (se 0=C ), ou nunca é nulo 
em I (se 0≠C ). 
 
 
TEOREMA 7: Sejam 1y e 2y as soluções da equação diferencial linear de segunda 
ordem 
( ) ( ) ( ) 001 =+′+′′= yxayxayyL , 
onde ( )xa1 e ( )xa0 são contínuas no intervalo aberto I. Então 1y e 2y são linearmente 
dependentes em I se e somente se ( )( ) 0, 21 =xyyW para todo Ix∈ . Ou, de outra forma, 
1y e 2y são linearmente independentes em I se e somente se ( )( ) 0, 21 ≠xyyW para todo 
Ix∈ . 
PROVA: 
 Sabemos do Teorema 6, que ( )( )xyyW 21 , ou é nulo em todo I ou nunca é nulo 
em I. Para demonstrar o Teorema 7, observamos inicialmente, que se 1y e 2y forem 
linearmente dependentes, então ( )( ) 0, 21 =xyyW para todo It∈ , em virtude do 
Teorema 5. Falta demonstrar o inverso, isto é, que se ( )( ) 0, 21 =xyyW para todo It∈ , 
então 1y e 2y são linearmente dependentes. Seja 0x um ponto qualquer do intervalo I; 
então necessariamente ( )( ) 0, 21 =xyyW . Logo o sistema de equações 
( ) ( )
( ) ( )


=′+′
=+
0
0
022011
022011
xycxyc
xycxyc
 (18) 
tem uma solução não-trivial. Com estes valores de 1c e 2c , seja 
( ) ( ) ( )xycxycx 2211 +=φ , 
 então ( )xφ é uma solução da equação ( ) ( ) ( ) 001 =+′+′′= yxayxayyL e pelas 
equações (18), ( )xφ também satisfaz as condições iniciais 
( ) 00 =xφ e ( ) 00 =′ xφ (19) 
Portanto pelo Corolário 1, temos ( ) 0=xφ para todo Ix∈ . Uma vez que 
( ) ( ) ( )xycxycx 2211 +=φ , onde 1c e 2c não são ambas nulas, isto significa que 1y e 2y 
são linearmente dependentes. Segue-se, então, e imediatamente, a outra forma do 
enunciado do Teorema. 
 
Ex.: Vimos que as funções ( ) xsenxy 21 = e ( ) xxy 2cos2 = são duas soluções 
linearmente independentes da equação diferencial 04 =+′′ yy e que o Wronskiano do 
conjunto de soluções { }xxsen 2cos,2 é: 
( ) IRxxW ∈∀≠−= ,02 . 
Observe que neste caso os coeficientes ( ) 01 =xa e ( ) 40 =xa são funções contínuasIRx∈∀ . 
 
OBS.: O Teorema 7, embora tenha sido considerado para as equações diferenciais 
lineares de segunda ordem, continua sendo válido para uma equação diferencial linear 
de ordem n. 
 
TEOREMA 8: Seja ( ) ( ) ( ){ }xyxyxy n,,, 21 K um conjunto de n soluções da equação 
diferencial linear homogênea de ordem n ( ) 0=yL . Esse conjunto é linearmente 
independente no intervalo I, se e somente se o Wronskiano do conjunto não é 
identicamente nulo nesse intervalo. 
 
OBS.: Lembre-se de que, os coeficientes de ( )yL devem ser contínuos no intervalo I, 
no caso dos Teoremas 7 e 8. Se essa condição de continuidade não é satisfeita, estes 
teoremas não são verdadeiros. 
 
TEOREMA 9: Consideremos agora a equação diferencial linear geral (não-
homogênea) ( ) ( )xyL φ= . Seja py uma solução particular qualquer da mesma, e seja 
hy a solução geral da equação homogênea associada ( ) 0=yL , então a solução geral de 
( ) ( )xyL φ= é 
ph yyy += 
 
Ex.: Seja a equação diferencial xyy =+′′ 4 . Uma solução particular desta equação é 
4
x
y p = e a solução geral da equação homogênea associada, 04 =+′′ yy , é 
xcxsencyh 2cos2 21 += , logo a solução geral da equação diferencial dada é: 
4
2cos2 21
x
xcxsencyyy ph ++=+= 
 
 
 
 
3. EQUAÇÕES DIFERENCIAIS LINEARES HOMOGÊNEAS DE SEGUNDA 
ORDEM COM COEFICIENTES CONSTANTES 
 
3.1 A EQUAÇÃO CARACTERÍSTICA 
 
 A equação diferencial 
001 =+′+′′ yayay (20) 
em que 1a e 0a são números reais, corresponde a equação algébrica 
001
2 =++ aa λλ (21) 
obtida de (20) mediante a substituição de y ′′ , y ′ e y por 2λ , 1λ e 10 =λ , 
respectivamente. A equação (21) é chamada equação característica de (1). 
 
Ex.: A equação característica de 012 =−′+′′ yyy é 0122 =−+ λλ . 
 
 A equação característica pode ser fatorada como segue: 
( )( ) 021 =−− λλλλ (22) 
 
3.2 SOLUÇÃO EM TERMOS DAS RAÍZES CARACTERÍSTICAS 
 
 A solução de (20) se obtém diretamente a partir das raízes de (22). Há três casos 
a considerar. 
 
 CASO 1: Se 1λ e 2λ são ambas reais e distintas, então 
x
e 1
λ e xe 2λ são duas 
soluções linearmente independentes da equação diferencial (20) e a sua solução geral é 
xx ececy 21 21
λλ += (23) 
 No caso especial 12 λλ −= , a solução (23) pode ser escrita como: 
xsenhkxky 1211 cosh λλ += (24) 
onde 211 cck += , 212 cck −= , 2
cosh
11
1
xx
ee
x
λλ
λ
−+
= e 
2
11
1
xx
ee
xsenh
λλ
λ
−−
= 
 
 CASO 2: Se iba +=1λ é complexo, então como em (20) e (21), 1a e 0a são 
números reais, as raízes de (21) devem aparecer em pares conjugados; assim a outra raiz 
é iba −=2λ . Duas soluções linearmente independentes da equação diferencial (20) 
neste caso são ( )xibae + e ( )xibae − , e a solução geral (complexa é): 
( ) ( )xibaxiba ekeky −+ += 21 
 Usando as relações de Euler 
isenbxbxe ibx += cos e isenbxbxe ibx −=− cos 
podemos escrever a solução geral como: 
( )
( ) ( )[ ]
( ) ( )[ ]senbxkkibxkke
isenbxbxkisenbxbxke
ekekeeekeeky
ax
ax
ibxibxaxibxaxibxax
2121
21
2121
cos
coscos
−++=
=−++=
=+=+= −−
 
 
 Definindo 211 kkc += e ( )212 kkic −= como duas novas constantes arbitrárias, 
podemos escrever a solução geral como: 
senbxecbxecy axax 21 cos += (25) 
 A equação (25) é real se 1c e 2c são ambas reais, o que ocorre se e somente se 
1k e 2k são complexos conjugados. Como estamos interessados na solução geral real, 
devemos impor a 1k e 2k a restrição de serem complexos conjugados. 
 
CASO 3: Se 1λ e 2λ são ambas reais e iguais, ou seja, 21 λλ = , então 
x
e 1
λ e xxe 1λ são 
duas soluções linearmente independentes da equação diferencial (20), e sua solução 
geral é: 
xx xececy 11 21
λλ += (26) 
 
OBS.: As soluções acima não são válidas se a equação diferencial não é linear ou se não 
tem coeficientes constantes. 
 
 
Ex.: Resolva as seguintes equações diferenciais: 
 
1) 02 =−′−′′ yyy 
Equação característica: 022 =−− λλ 
Raízes da equação característica: 11 −=λ e 22 =λ são reais e distintas, logo a 
solução geral da equação diferencial dada é: 
 xx ececy 221 +=
−
 
 
2) 04 =−′′ yy 
 Equação característica: 042 =−λ 
 Raízes da equação característica: 21 =λ e 22 −=λ são reais e distintas, logo a 
solução geral da equação diferencial dada é: 
xx ececy 22
2
1
−+= 
Ou então, como 21 λλ −= , de acordo com a equação (24) podemos escrever a solução 
geral como: 
xsenhkxky 22cosh 21 += 
 
3) 054 =+′+′′ yyy 
 Equação característica: 0542 =++ λλ 
 Raízes da equação característica: i+−= 21λ e ,22 i−−=λ são complexas e 
conjugadas, logo de acordo com a equação (25), a solução geral da equação diferencial 
dada é: 
senxecxecy xx 22
2
1 cos
−− += 
 
3) 044 =+′+′′ yyy 
 Equação característica: 0442 =++ λλ 
 Raízes da equação característica: 221 −== λλ , são reais e iguais, logo de 
acordo com a equação (26), a solução geral da equação diferencial dada é: 
xx xececy 22
2
1
−− += 
 
 
4. EQUAÇÕES DIFERENCIAIS LINEARES HOMOGÊNEAS DE ORDEM “N” 
COM COEFICIENTES CONSTANTES 
 
4.1 A EQUAÇÃO CARACTERÍSTICA 
 
 Considere a equação diferencial linear homogênea de ordem “n” com os 
coeficientes constantes 
( ) ( ) 001
1
1 =+′+++
−
− yayayay
n
n
n
K (27) 
onde 1,2,1,0, −= nja j K são constantes. A equação característica associada à equação 
diferencial (27) é dada por: 
001
1
1 =++++
−
− aaa
n
n
n λλλ K (28) 
 A equação característica (28) é obtida substituindo ( )jy por njj ,,2,1,0, K=λ . 
 
 Ex.: A equação característica associada à equação diferencial linear de quarta 
ordem ( ) 0234 =−′+′′+′′′− yyyyy é 0123 234 =−++− λλλλ . 
 
 
4.2 SOLUÇÃO EM TERMOS DAS RAÍZES CARACTERÍSTICAS 
 
Assim como para as equações diferenciais lineares homogêneas de 2ª ordem e 
coeficientes constantes, as raízes da equação característica (28) determinam a solução 
da equação diferencial (27). 
 Se as raízes são todas reais e distintas, a solução da equação diferencial (27) é 
dada por: 
 xn
xx necececy
λλλ +++= K21 21 (29) 
 Se as raízes são distintas, mas algumas delas são complexas, a solução ainda é 
da forma (29), sendo que os termos que envolvem exponenciais complexas também 
podem combinar-se de modo a encontrar termos contendo senos e cossenos. 
 Se kλ é raiz de multiplicidade p da equação característica, isto é, se ( )
p
kλλ − é 
um fator da mesma, mas ( ) 1+− pkλλ não é, então haverá p soluções linearmente 
independentes associadas a kλ dadas por: .,,,,
12 xpxxx kkkk exexxee
λλλλ −
K Estas soluções, 
combinadas da forma usual com as outras soluções associadas às demais raízes da 
equação característica formam a solução completa da equação diferencial (27). 
 
 Ex.: 1) Considere a equação diferencial linear homogênea de 3ª ordem: 
06116 =−′+′′−′′′ yyyy 
cuja equação característica associada é dada por: 
06116 23 =−+− λλλ 
então 2,1 21 == λλ e 33 =λ são as raízes características, logo a solução geral da 
equação diferencial considerada é: 
xxx ecececy 33
2
21 ++= 
 
 Ex.: 2) Considere a equação diferencial linear homogênea de 4ª ordem: 
( ) 02094 =+′′− yyy 
cuja equação característica associada é dada por: 
0209 24 =+− λλ 
então as raízes características são: 2,5,5321 =−== λλλ e 23 −=λ , logo a solução 
geral da equação diferencial considerada é: 
xxxx ececececy 24
2
3
5
2
5
1
−− +++= 
ou então 
xsenhkxkxsenhkxky 22cosh55cosh 4321 +++= 
 
 Ex.: 3) Considere a equação diferencial linear homogênea de 3ª ordem: 
03626 =+′+′′−′′′ yyyy 
cuja equação característica associada é dada por: 
03626 23 =++− λλλ 
então 24,2 21 i+=−= λλ e 243 i−=λ são as raízes características, logo a solução 
geral da equação diferencial considerada é: 
( ) ( )xixix ecececy 243
24
2
2
1
−+− ++= 
ou então, usando as relações de Euler, temos: 
xsenekxekecy xxx 22cos 43
4
2
2
1 ++=
− 
 
Ex.: 4) Considere a equação diferencial linear homogênea de 3ª ordem: 
( ) ( ) 02245 =−′+′′+′′′−− yyyyyy 
cuja equação característica associada é dada por: 
0122 2345 =−++−− λλλλλ 
então 1321 === λλλ e 154 −== λλ são as raízes características, onde a raiz 1 é de 
multiplicidade 3 e a raiz -1 é de multiplicidade 2, logo a solução geral da equação 
diferencial considerada é: 
xxxxx xececexcxececy −− ++++= 54
2
321 
 
 Ex.: 5) Considere a equação diferencial linear homogênea de 4ª ordem: 
( ) 024 =+′′+ yyy 
cuja equação característica associada é dada por: 
012 24 =++ λλ ou ( ) 01 22 =+λ 
então i== 21 λλ e i−== 43 λλ são as raízes características, logo a solução geral da 
equação diferencial considerada é: 
ixixixix xececxececy −− +++= 4321 
ou então 
xsenxkxxksenxkxky 4321 coscos +++= 
 
 
5. EQUAÇÕES DIFERENCIAIS LINEARES NÃO HOMOGÊNEAS DE 
ORDEM “N” COM COEFICIENTES CONSTANTES: 
 
 Já vimos que a solução geral da equação diferencial linear 
( ) ( ) ( ) ( )xyayayayyL nnn φ=+′+++= −− 0111 K (30) 
é dada por: 
ph yyy += (31) 
onde hy é a solução da equação diferencial homogênea associada (27) e py é uma 
solução particular da equação diferencial (30). 
 Na seção anterior, apresentamos o processo de obtenção da solução hy da 
equação diferencial linear homogênea de ordem n com coeficientes constantes ( ) 0=yL . 
A seguir apresentaremos os seguintes métodos para a obtenção da solução py : o 
Método dos Coeficientes a Determinar e o Método da Variação dos Parâmetros. 
 
 
5.1 O MÉTODO DOS COEFICIENTES A DETERMINAR 
 
 O Método dos Coeficientes a Determinar (MCD) inicia-se supondo conhecida a 
forma da solução particular py , a menos de constantes multiplicativas, que serão 
determinadas levando-se a suposta solução py na equação diferencial (30) e 
identificando-se os seus coeficientes. Esse método é aplicado com sucesso para alguns 
casos especiais da função ( )xφ . 
 
5.1.1 FORMA SIMPLES DO MÉTODO 
 
 Admite-se que a função procurada, py , possa ser expressa como uma soma dos 
termos que compõem ( )xφ , a menos de constantes multiplicativas. 
 
1° Caso: Se ( ) ( )xpx n=φ é um polinômio de grau n em x, então procuramos a solução 
na forma: 
01
1
1 AxAxAxAy
n
n
n
np ++++=
−
− K (31) 
onde njA j ,,2,1,0, K= são constantes a determinar. 
 
Ex.: Vamos encontrar a solução geral da equação diferencial 
132 3 +=−′+′′ xyyy 
 Sabemos que a solução geral é da forma: 
ph yyy += 
 A equação característica da equação homogênea associada é: 
0322 =−+ λλ 
cujas raízes reais e distintas são: 11 =λ e 32 −=λ , portanto temos: 
xx
h ececy
3
21
−+= 
 Neste exemplo, a função ( )xφ é o polinômio ,13 +x de modo que a solução py 
é suposta na forma: 
DCxBxAxy p +++=
23 
Então 
CBxAxy p ++=′ 23
2 e BAxy p 26 +=′′ 
Logo substituindo na equação diferencial dada, obtemos: 
( ) ( ) ( ) 1323226 3232 +=+++−++++ xDCxBxAxCBxAxBAx 
ou seja 
( ) ( ) 1322346363 323 +=−++−++−+− xDCBxCBAxBAAx 
daí, identificando os termos semelhantes, chegamos ao seguinte sistema: 







=−+
=−+
=−
=−
1322
0346
036
13
DCB
CBA
BA
A
 
cuja solução é: 
27
49
,
9
14
,
3
2
,
3
1
−=−=−=−= DCBA . 
Portanto 
27
49
9
14
3
2
3
1 23 −−−−= xxxy p 
 a solução geral da equação diferencial dada é: 
27
49
9
14
3
2
3
1 233
21 −−−−+=
− xxxececy xx
 
 
2° Caso: Se ( ) ( )xpex nxαφ = , onde α é uma constante conhecida e ( )xpn é um 
polinômio de grau n em x, então procuramos a solução na forma: 
( )0111 AxAxAxAey nnnnxp ++++= −− Kα (32) 
onde njA j ,,2,1,0, K= são constantes a determinar. 
 
Ex.: Vamos encontrar a solução geral da equação diferencial 
( ) xexyyy 2244 +=+′+′′ 
 Sabemos que a solução geral é da forma: 
ph yyy += 
 A equação característica da equação homogênea associada é: 
0442 =++ λλ 
cujas raízes reais e repetidas são: 221 −== λλ , portanto temos: 
xx
h xececy
2
2
2
1
−− += 
 Neste exemplo, a função ( ) ( ) xexx 22+=φ , de modo que a solução py é suposta 
na forma: 
( ) xp eBAxy 2+= 
Então 
( ) xp eBAAxy 222 ++=′ e ( ) xp eBAAxy 2444 ++=′′ 
Logo substituindo na equação diferencial dada, obtemos: 
( ) ( ) ( ) ( ) xxxx exeBAxeBAAxeBAAx 2222 24224444 +=+++++++ 
ou seja 
( ) ( ) xx exeBAAx 22 216816 +=++ 
daí, identificando os termos semelhantes, chegamos ao seguinte sistema: 



=+
=
2168
116
BA
A
 
cuja solução é: 
32
3
,
16
1
== BA . 
Portanto 
x
p exy
2
32
3
16
1





 += 
 e a solução geral da equação diferencial dada é: 
xxx e
x
xececy 222
2
1 32
3
16





 +++= −−
 
 
3° Caso: Se ( ) ( ) xsenxpex nx βφ α= , onde α e β são constantes conhecidas e ( )xpn é 
um polinômio de grau n em x, então procuramos a solução na forma: 
( )
( )0111
01
1
1
cos BxBxBxBxe
AxAxAxAxseney
n
n
n
n
x
n
n
n
n
x
p
+++++
+++++=
−
−
−
−
K
K
β
β
α
α
 (33) 
onde njBA jj ,,2,1,0,, K= são constantes a determinar. 
 
4° Caso: Se ( ) ( ) xxpex nx βφ α cos= , onde α e β são constantes conhecidas e ( )xpn é 
um polinômio de grau n em x, então procuramos a solução na forma: 
( )
( )0111
01
1
1
cos BxBxBxBxe
AxAxAxAxseney
n
n
n
n
x
n
n
n
n
x
p
+++++
+++++=
−
−
−
−
K
K
β
β
α
α
 (34) 
onde njBA jj ,,2,1,0,, K= são constantes a determinar. 
 
 
Ex.: Vamos encontrar a solução geral da equação diferencial 
xsenyyy 22 =−′−′′ 
 Sabemos que a solução geral é da forma: 
ph yyy += 
 A equação característica da equação homogênea associada é: 
022 =−− λλ 
cujas raízes reais e repetidas são: 11 −=λ e 22 =λ ,portanto temos: 
xx
h ececy
2
21 +=
− 
 Neste exemplo, a função ( ) xsenx 2=φ , de modo que a solução py é suposta na 
forma: 
xBxAseny p 2cos2 += 
Então 
xBsenxAy p 222cos2 −=′ e xBxAseny p 2cos424 −−=′′ 
Logo substituindo na equação diferencial dada, obtemos: 
xsenxBxAsenxBsenxAxBxAsen 22cos222222cos22cos424 =−−+−−− 
ou seja 
( ) ( ) xxsenxBAxsenBA 2cos022cos62228 ⋅+=−−++− 
daí, identificando os termos semelhantes, chegamos ao seguinte sistema: 



=−−
=+−
062
128
BA
BA
 
cuja solução é: 
20
1
,
20
3
=−= BA . 
Logo 
xxseny p 2cos20
1
2
20
3
+−= 
e a solução geral da equação diferencial dada é: 
xxsenececy xx 2cos
20
1
2
20
32
21 +−+=
−
 
5.1.2 GENERALIZAÇÃO 
 
Quando a função ( )xφ é a soma (ou diferença) de funções dos tipos 
apresentados, admitimos para a solução particular py a soma (ou diferença) das 
supostas soluções correspondentes. 
 
5.1.3 MODIFICAÇÕES EVENTUAIS 
 
Se qualquer termo da suposta solução particular py , semconsiderar as 
constantes multiplicativas, coincidir com algum termo da solução geral hy da equação 
diferencial homogênea associada, a solução py deve ser modificada, multiplicando-a 
por mx , onde m é o menor inteiro positivo tal que o produto de mx pela solução 
procurada não tenha nenhum termo em comum com hy . 
 
Ex.: Consideremos a EDO senxeeyyy xx +−=+′−′′ 2223 . A solução geral da 
equação homogênea associada é: 
xx
h ececy
2
21 +=
 
e de acordo com a descrição do método, a solução particular deveria ser do tipo: 
xDCsenxBeAey xxp cos
2 +++= 
que contém termos idênticos aos que aparecem na solução hy , então a solução 
particular deve ser modificada, sendo substituída pela função: 
xDCsenxBxeAxey xxp cos
2 +++= 
 Substituindo py na equação diferencial, obteremos a equação: 
( ) ( ) senxeexDCsenxDCBeAe xxxx +−=+−++++− 22 2cos33 
que será satisfeita em qualquer x quando 
10
1
,2,1 =−=−= CBA e 
10
3
=D . A solução 
geral é, portanto: 
xsenxxexeececy xxxx cos
10
3
10
1
2 2221 ++−−+= 
 
5.1.4 LIMITAÇÕES DO MÉTODO 
 
Naturalmente o Método dos Coeficientes a Determinar não se aplica às equações 
diferenciais ordinárias que não possuem coeficientes constantes ou àquelas em que a 
função ( )xφ não é de algum dos tipos considerados anteriormente, então nestes casos 
aplicamos o Método da Variação dos Parâmetros, que veremos a seguir. 
 
 
5.3 O MÉTODO DA VARIAÇÃO DOS PARÂMETROS 
 
A Variação dos Parâmetros é um método alternativo, mais geral do que o 
Método dos Coeficientes a Determinar, para determinar uma solução particular da 
equação diferencial linear de ordem n 
( ) ( ) ( ) ( )xyayayayyL nnn φ=+′+++= −− 0111 K (35) 
desde que se conheça s solução da homogênea associada ( ) 0=yL . Lembremos que se 
( ) ( ) ( )xyxyxy n,,, 21 K são n soluções linearmente independentes de ( ) 0=yL , então a 
solução geral de ( ) 0=yL é: 
nnh ycycycy +++= K2211 (36) 
 
5.3.1 VARIAÇÃO DOS PARÂMETROS 
 
Uma solução particular de ( ) ( )xyL φ= tem a forma 
nnp yvyvyvy +++= K2211 (37) 
onde niyi ,,2,1, K= são dadas por (36) e nivi ,,2,1, K= são funções incógnitas de xá 
serem determinadas. 
 Para determinar iv , resolvemos primeiro o seguinte sistema de equações lineares 
em iv′ : 
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )







=′++′+′
=′++′+′
=′′++′′+′′
=′++′+′
−−−
−−−
xyvyvyv
yvyvyv
yvyvyv
yvyvyv
n
nn
nn
n
nn
nn
nn
nn
φ1122
1
11
22
22
2
11
2211
2211
0
0
0
K
K
M
K
K
 (38) 
 Em seguida, integramos cada iv′ para obter a iv correspondente, desprezando 
todas as constantes de integração. Isto é válido porque estamos procurando apenas uma 
solução particular. 
 As 1−n primeiras equações do sistema (38) provêm da exigência de que as 
1−n primeiras derivadas de py (37) e hy (36), sejam formalmente as mesmas (com os 
v′ s substituindo os c′ s). Então, a última equação de (38) é uma consequência direta da 
verificação ( ) ( )xyL p φ= . 
 Como ( ) ( ) ( )xyxyxy n,,, 21 K são n soluções linearmente independentes de 
( ) 0=yL , seu Wronskiano é diferente de zero. Isto significa que o sistema (38) tem 
determinante diferente de zero, admitindo pois, solução única para 
( ) ( ) ( )xvxvxv n′′′ ,,, 21 K . 
 
5.3.2 OBJETIVO DO MÉTODO 
 
O Método da Variação dos Parâmetros pode ser aplicado a todas as equações 
diferenciais lineares de ordem n. É portanto mais poderoso do que o Método dos 
Coeficientes a Determinar que, de modo geral, é restrito as equações diferenciais 
lineares com os coeficientes constantes e as formas particulares de ( )xφ . Nos casos em 
que ambos os métodos são aplicáveis, recomendamos o Método dos Coeficientes a 
Determinar, por ser em geral mais eficaz. 
Nos casos de impossibilidade prática de integração das funções ( )xvi′ devemos 
recorrer a outros métodos (em particular, métodos numéricos). 
 
Ex.:Consideremos as equação diferencial linear de 3ª ordem: 
xyy sec=′+′′′ 
Temos que: 
senxcxccyh 321 cos ++= , 
logo 
senxvxvvy p 321 cos ++= 
Como senxyxyy === 321 ,cos,1 e ( ) xx sec=φ , decorre de (20) que: 
( )
( ) ( )



=−′+−′+′
=′+−′+′
=′+′+′
xsenxvxvv
xvsenxvv
senxvxvv
sec.cos.0.
0cos..0.
0.cos.1.
321
321
321
 
Resolvendo o sistema, obtemos: 1,sec 21 −=′=′ vxv e tgxv −=′3 , e portanto: 
( )∫∫ +==′= tgxxxdxdxvv seclnsec11 
∫∫ −=−=′= xdxdxvv 122 
( )∫∫ =−=′= xtgxdxdxvv cosln33 
Substituindo ( ) ( )xvxv 21 , e ( )xv3 em senxvxvvy p 321 cos ++= , obtemos: 
( ) ( ) ( )xsenxxxtgxxy p coslncossecln +−+= 
Logo a soluço geral da equação diferencial considerada é: 
( ) ( ) ( )xsenxxxtgxxsenxcxccyyy ph coslncosseclncos 321 +−++++=+=