Lista 01

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1 Universidade Federal Fluminense � Departamento de Matemática Aplicada � 2012-2
1a. Lista de Exercicíos de Equações Diferenciais
1. Ver�que se as sequências convergem ou divergem.
(a) {21−n} (b)
{
2n+ 1
3n− 2
}
(c)
{
sen
(npi
2
)}
(d)
{
ln(n)
n2
}
(e)
{
en
n
}
(f)
{(
1 +
1
3n
)n}
(Sugestão para o item (f): lim
x→0
(1 + x)1/x = e)
2. Veri�que se as sequências são crescentes, decrescentes ou não-monótonas.
a)
{
n
2n+ 1
}
(b)
{
n!
3n
}
(c)
{
nn
n!
}
3. Veri�que que as sequências abaixo são decrescentes e tem limitante inferior. O que você
pode dizer a respeito da convergência destas sequências.
a)
{ n
3n
}
(b)
{
5n
3n n!
}
4. Determine se a série geométrica converge ou diverge, e calcule sua soma no caso de
convergência.
(a) 1 +
(−1)√
5
+ · · ·+
(−1√
5
)n−1
+ · · ·
(b) 0, 37 + 0, 0037 + · · ·+ 37
(100)n
+ · · ·
(c)
∞∑
n=1
2−n3n−1
5. Prove que as séries são divergentes.
(a)
∞∑
n=1
3n
5n− 1 (b)
∞∑
n=1
1
n
√
e
(c)
∞∑
n=1
[(
3
2
)n
+
(
2
3
)n]
(d)
∞∑
n=1
n sen
(
1
n
)
6. Prove que as séries abaixo convergem, e determine as suas somas.
(a)
∞∑
n=1
(
1
8n
+
1
n(n + 1)
)
(b)
∞∑
n=1
1
4n2 − 1
7. Use o Teste da Integral para determinar se as séries abaixo convergem ou divergem.
(a)
∞∑
n=1
ln(n)
n
(b)
∞∑
n=1
arctg(n)
1 + n2
(c)
∞∑
n=1
n2−n
2
(d)
∞∑
n=2
1
n 3
√
ln(n)
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8. Use o teste da comparação para determinar se as séries abaixo convergem ou divergem.
(a)
∞∑
n=2
1√
4n3 − 5n (b)
∞∑
n=1
√
n
n + 4
(c)
∞∑
n=1
n + ln(n)
n3 + n+ 1
(Sugestão: ln(n) < n)
(d)
∞∑
n=1
ln(n)
n3
9. Determine todos os valores reais k para os quais
∞∑
n=2
1
nkln(n)
converge.
10. Determine se as séries alternadas abaixo convergem ou divergem.
(a)
∞∑
n=1
(−1)n−1 1
ln(n + 1)
(b)
∞∑
n=2
(−1)n n
ln(n)
(c)
∞∑
n=1
(−1)n−1 n
2 + 1
n3 + 1
11. Obtenha uma aproximação com três casas decimais da soma de cada série.
(a)
∞∑
n=0
(−1)n 1
n!
(b)
∞∑
n=1
(−1)n−1 n+ 1
5n
12. Determine se as séries abaixo são absolutamente convergentes, condicionalmente conver-
gentes ou divergentes.
(a)
∞∑
n=1
(−1)n−1 3n + 1
2n
(b)
∞∑
n=1
5n
n(3n+1)
(c)
∞∑
n=1
(−1)n−1
√
n
n2 + 1
(d)
∞∑
n=1
(−1)n n
2 + 1
n3 + 1
(e)
∞∑
n=2
(−1)n 1
n(ln(n))5
(f)
∞∑
n=1
(−1)n−1 2
n3 + en
(g)
∞∑
n=1
nn
10n
(h)
∞∑
n=1
n!
(−5)n (i)
∞∑
n=1
(n!)2
(2n)!
(j) 1 +
1.3
2!
+
1.3.5
3!
+ · · ·+ 1.3.5. · · · (2n− 1)
n!
+ · · ·
13. Determine o intervalo de convergência de cada uma das séries:
(a)
∞∑
n=2
ln(n)
n3
xn (b)
∞∑
n=0
n!
100n
xn (c)
∞∑
n=0
2n
(2n)!
x2n
(d)
∞∑
n=0
n2
23n
(x+ 4)n (e)
∞∑
n=1
(−1)n 1
n6n
(2x− 1)n
14. Determine o raio de convergência de
∞∑
n=0
(−1)n 1.3.5. · · · .(2n− 1)
3.6.9. · · · .(3n) x
n
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15. Utilize séries já estabelecidas para determinar o desenvolvimento de f em séries de
MacLaurin, e indique o raio de convergência:
(a) f(x) = senh(x) (b) f(x) = xsen(3x)
(c) f(x) = cos2(x) (Sugestão: Use cos2(x) = (1 + cos(2x))/2).
16. Estabeleça a série de Taylor de f no ponto c indicado:
(a) f(x) = sen(x); c = pi/4 (b) f(x) = 1/x, c = 2
17. Use série de potências para obter uma aproximação, com quatro casas decimais, de cada
uma das integrais.
(a)
∫
1/3
0
1
1 + x6
dx (b)
∫
1
0
e−x
2/10 dx
Respostas:
4. (a) Converge,
√
5/(
√
5 + 1) (b) Converge, 37/99 (c) Diverge
6. (a) 8/7 (b) 1/2
7. (a) Diverge (b) Converge (c) Converge (d) Diverge
8. (a) Converge (b) Diverge (c) Converge (d) Converge
9. Converge de k > 1, diverge se k ≤ 1
10. (a) Converge (b) Diverge (c) Converge
11. (a) 0.368 (b) 0.305
12.
(a) Absolutamente convergente (b) Divergente (c) Absolutamente convergente
(d) Condicionalmente convergente (e) Absolutamente convergente (f) Absolutamente convergente
(g) Divergente (h) Divergente (i) Absolutamente convergente
(j) Divergente
13. (a) [−1, 1] (b) Converge apenas de x = 0 (c) (−∞,∞)
(d) (−12, 4) (e) (−5/2, 7/2]
14. 3/2
15. (a)
∞∑
n=0
1
(2n+ 1)!
x2n+1, ∞ (b)
∞∑
n=0
(−1)n 3
2n+1
(2n+ 1)!
x2n+2, ∞ (c) 1+
∞∑
n=1
(−1)n2
2n−1
(2n)!
x2n, ∞
16. (a)
∞∑
n=0
(−1)n√
2(2n+ 1)!
(
x− pi
4
)2n+1
+
∞∑
n=0
(−1)n√
2(2n)!
(
x− pi
4
)2n
(b)
∞∑
n=0
(−1)n
2n+1
(x− 2)n
17. (a) 0.3333 (b) 0.9677