Barras Carregadas Transversalmente - Flexão

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Barras Carregadas Transversalmente
FLEXÃOFLEXÃO
Prof. Helio F. Vieira
Barras Flexionadas
Cargas Externas:
• Transversais – Cargas Concentradas, Distribuídas,
Momentos com Vetor Transversal
Cargas Internas:
• Momento Fletor → Tensões Normais na Flexão
• Esforço Cortante → Tensões Tangenciais na Flexão
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Competências:
• Esforços solicitantes internos na flexão: Cortantes e Fletores
• Equação matemática para cálculo das Tensões Normais (σx) e Tensões
Tangenciais (τ)Tangenciais (τ)
• Distribuição das tensões normais e tangenciais nos corpos solicitados
a flexão
• Superfície neutra e Linha Neutra
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Esforços Solicitantes na Flexão
Normal (N) e Cortante (V)Normal (N) e Cortante (V)
Expressões e Diagrama
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Expressões e Diagrama Normal (N) e Cortante (V)
• A determinação das tensões normais e tangenciais requer a
identificação dos esforços internos cortantes e fletores nas
seções.
• Inicialmente, identificam-se pontos de descontinuidades,
posteriormente, analisa-se as expressões de Vx e Mx para
uma seção genérica da barra distante de “x” da extremidadeuma seção genérica da barra distante de “x” da extremidade
analisada.
• Os esforços internos cortantes e fletores num ponto podem
ser determinados seccionando a viga pela secção
transversal correspondente e realizando uma análise de
equilíbrio estático na porção da viga à esquerda ou à direita
desse ponto, tal como ilustrado nas figuras (a) e (b)
(Método das Secções).
• Convenção de sinais positivos para os esforços cortantes V
e V’ e esforços de flexãoM eM’:
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Relação entre Carregamento, Esforço Cortante e Mto Fletor
( )
qdxdV
qdxdVVVFy
−=
=−+−=∑ 0:0
qdV −=
( )
( )221
0
2
:0
dxqdxVdM
dxqdxdxVMdMMMC
−=
=+−−+=∑ ′
q
dx
dV
−=
V
dx
dM
=
q
dVV +
dMM +
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Resumindo: exemplo prático
Procedimento: Método das Seções
• Considerando a viga como um corpo rígido,
determine as forças reativas nos apoios.
• Considere seções genéricas entre descontinuidades
de cargas (ativas e reativas).
• Aplique as equações de equilíbrio estático nos• Aplique as equações de equilíbrio estático nos
diagramas de corpo livre assim obtidos.
• Serão determinadas as funções matemáticas de “x”
que fornecem os esforços internos cortantes e
fletor a cada ponto da seção (cada valor de x).
• Represente graficamente a distribuição dos
esforços internos cortantes e fletor em função da
variável “x” eixo da barra (atribuindo valores a x).
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Para a viga com o carregamento
indicado, desenhe os diagramas de
esforços internos cortante e fletor.
Método das Seções
• Inicialmente, determine as forças reativas
nos apoios A e D.
• Identifique na viga os vãos entre
Exercício Resolvido
• Represente graficamente a distribuição dos
esforços internos cortantes e fletor em
função das expressões encontradas.
• Identifique na viga os vãos entre
descontinuidades de cargas.
• Aplique as equações de equilíbrio nos
diagramas de corpo livre de cada vão
analisado, de modo determinar as
expressões do cortante e fletor para cada
vão.
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Análise dos solicitantes em pontos específicos
• Cálculo das reacções nos apoios:
• Análise de equilíbrio em seções específicas dos vãos
( )( )
kN200kN200 11
==+∑ =
−==−−∑ = VVFy
∑ ∑ ==== N14kN46:00 kRRMF DBBy
( )( ) 00m0kN200 111 ==+∑ = MMM
( )( ) mkN500m5.2kN200
kN200kN200
222
22
⋅−==+∑ =
−==−−∑ =
MMM
VVFy
0kN14
mkN28kN14
mkN28kN26
mkN50kN26
66
55
44
33
=−=
⋅+=−=
⋅+=+=
⋅−=+=
MV
MV
MV
MV
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Análise genérica dos solicitantes em cada vão
Análise genérica do vão AB 0 < X < 2,5
Análise genérica do vão BC 2,5 < X < 5,5
01 =∑ SF 020 =+ABV 20−=ABV
01 =∑ SM 020 =+ xM AB xM AB 20−=
02 =∑ SF 04620 =−+BCV 26=BCV
Análise genérica do vão CD 5,5 < X < 7,5
02 =∑ SM ( ) 05,24620 =−−+ xxM BC
( ) xxM BC 205,246 −−=
03 =∑ SF
03 =∑ SM
0464020 =−++CDV 14−=CDV
( ) ( ) 05,2465,54020 =−−−++ xxxM CD
( ) ( )5,540205,246 −−−−= xxxM CD
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Construção do diagrama
Representação gráfica dos esforços internos cortantes e de flexão:
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Exemplos com respostas
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Tensões Normais na Flexão
(σx)
Esforço Solicitante Momento Fletor
(M)
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Obtenção da Grandeza das Tensões Normais
Para analisar as tensões normais vamos considerar a barra AB
abaixo com o carregamento mostrado:
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Podemos observar que os momentos fletores ao longo de todo o 
vão da barra AB são sempre momentos positivos (tracionam fibras 
superiores e comprimem as inferiores):
Vamos analisar a seção transversal no ponto C, supondo que o
solicitante fletor já tenha sido calculado neste ponto:
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Como o momento é positivo, sabe-se que as fibras superiores 
da barra são comprimidas (tensões de compressão) enquanto que as 
inferiores são tracionadas (tensões de tração), proporcionando uma 
distribuição como é mostrado abaixo: 
xσ−
neutra
linha
Eixo horizontal – Linha Neutra
Como a distribuição das tensões passam de uma região comprimida para
uma tracionada, em um ponto (ou eixo) intermediário teremos
certamente tensões nulas.
xσ+
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Vamos considerar uma área infinitesimal “dA” distante “y” da
Linha neutra:
Sabemos que se multiplicarmos uma tensão pela área onde ela atua,
neutra
linha
dA
Sabemos que se multiplicarmos uma tensão pela área onde ela atua,
teremos uma força concentrada atuando nessa área:
*N = é uma força
Sendo assim:
*Se fizermos o somatório de todas as forças na seção e tendo a seção
duas regiões, uma comprimida e outra tracionada, esse somatório
será:
AN
A
N
xx .σσ =→=
dAdF x .σ=
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Eq. Eq. Estático:
Sabendo que:
E que a deformação numa barra fletida apresenta a seguinte relação:
∫ ∫ ∫=→== dAFdAdF xx .0. σσ
HookedeLeiE xx ... →= εσ
∑ = 0HF
Com isso:
ρ
ε
y
x =
curvaturaraio.=ρ
ρ
σ
yE
x
.
=
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Sendo assim: , obtém-se:
sendo “E” e “ρ” = Ctes
Para que o produto seja igual a zero, é necessário que:
∫ == 0.dAF xσ ρ
σ
yE
x
.
=
∫ == 0.
. dAyEF
ρ ∫
= 0. ydAE
ρ
∫ = 0.dAy
A condição para que o Momento Estático de uma área em relação a um 
eixo seja zero, é necessário que esse eixo de referência passe pelo CG 
da área.
Com essa análise conclui-se que: “A linha neutra da seção transversal
de uma barra submetida a uma flexão simples passa sempre no
centro de gravidade dessa seção.”
∫ = 0.dAy
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Obtenção da Fórmula da Tensão Normal
Inicialmente, utilizaremos a eq. eq. Estático e obtemos a expressão:
Como a barra está em equilíbrio externa e internamente, efetuamos 
∑ = 0LNM ydAdM x ..σ=
Como a barra está em equilíbrio externa e internamente, efetuamos 
o somatório dos momentos internos em toda a seção.
Este é o momento resistente interno que irá equilibras o momento 
fletor na seção (devido às cargas externas).
∫ ∫= ydAdM x ..σ ∫= dAy
yEM ...
ρ
∫= dA
EM y 2ρ
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→ este é o momento retangular de inércia da seção
transversal em relação a linha neutra. Portanto:
→
LNIdAy =∫
2
ρ
LNIEM
.
= M
IE LN.
=ρ
M
IEyE LN
x
..
=
σ⇒
→
Fórmula da Tensão Normal:* d → distância da LN ao ponto em que está
sendo analisada a tensão (y) na seção.
* M→ momento fletor na seção analisada.
ρ
σ
yE
x
.
=
x
yE
σ
ρ .=
Mxσ
LN
x I
dM .±=σ
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Tensões Tangenciais na Flexão
(τ)
Esforço Solicitante Cortante
(V)
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Obtenção da Grandeza das Tensões Tangenciais
Para analisar as tensões tangenciais vamos considerar a barra
abaixo com o carregamento transversal, ou seja, uma viga com
seção transversal retangular, de largura b e altura h, sujeita à carga
distribuída q sujeita a solicitação de flexão.
Sob a ação do carregamento, surgem esforços cortantes e momentos
fletores nas seções transversais e, conseqüentemente, tensões normais
e Tensões Tangenciais (cisalhantes), esta última objetivo da análise.
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Analisando um elemento mn retirado da barra carregada, nota-se que,
devido à presença do esforço cortante, haverá distribuição uniforme das
tensões tangenciais verticais ao longo da largura mn do elemento.
Conforme as propriedades das tensões tangenciais , conclui-se que as tensões
de cisalhamento verticais são acompanhadas por tensões tangenciais horizontais
de mesma intensidade (na face perpendicular).
A existência de tensões de cisalhamento horizontais em vigas pode serA existência de tensões de cisalhamento horizontais em vigas pode ser
demonstrada experimentalmente.
Uma pilha de tábuas sobrepostas submetida à carga concentrada P. Observa-se que a
flexão de uma será diferente da outra: cada uma sofrerá compressão nas fibras
superiores e tração nas inferiores. Se as tábuas forem colada impedido
escorregamento entre elas, surgiriam tensões tangenciais na cola.
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As Tensões Tangenciais podem ser obtidas pela condição de
equilíbrio de um elemento pn p1n1, cortado da viga por duas
seções transversais adjacentes, mn e m1n1, à distância dx uma da outra.
Observamos que o elemento analisado tem sua face superior distante y1
da LN e a inferior é a própria face da viga.
1NF 2NF
TdF
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Pela condição de equilíbrio do elemento analisado, temos:
A grandeza de cada uma das forças da expressão acima será obtida em
função dos esforços internos resistentes atuantes – Tensões.
∑ = 0HF 21 NNT FFdF =+
xT dbdF ..τ=
Como a tensão normal σx1 atua na área infinitesimal, teremos uma força
infinitesimal. Efetuando o somatório em toda a seção do elemento
analisado, ou seja, dentro dos limites de y1 e h/2, teremos:
dA
I
yMdAdF
LN
xN .
.
.11 ==σ ∫=
2/
1
1
.
.
h
y LN
N dAI
yMF
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A mesma consideração anterior vale para análise da força F2.
Sendo assim, teremos:
Efetuando o somatório das forças horizontais que atuam em todo
( ) dA
I
ydMMdAdF
LN
xN ..22
+
==σ
( )
∫
+
=
2/
2
1
.
h
y LN
N dAI
ydMMF
Efetuando o somatório das forças horizontais que atuam em todo
elemento analisado teremos:
∫ ∫ ∫+=+
2/ 2/ 2/
1 1 1
.
.
.
.
.
.
..
h
y
h
y
h
y LNLNLN
dA
I
ydMdA
I
yMdA
I
yMdxbτ
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Efetuando a expressão anterior, obtemos:
esforço cortante (V)
∫ ∫==
2/ 2/
1 1
...
.
..
h
y
h
yLNLN
dAy
I
dMdA
I
ydMdxbτ
∫=
2/
1
..
.
1
.
h
yLN
dAy
Ibdx
dM
τ →dx
dM
2/h
momento estático da seção
(QLN)
Fórmula da Tensão Tangencial é, portanto:
1
→∫
2/
1
.
h
y
dAy
LN
LN
Ib
QV
.
.
=τ
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Na expressão anterior, tem-se que:
QLN → é o momento estático da área da seção transversal, área esta
compreendida entre o ponto onde está sendo calculada a tensão e a
face externa da seção, em relação a linha neutra;
b → é a largura da seção transversal no ponto em que se desejab → é a largura da seção transversal no ponto em que se deseja
determinar a tensão tangencial;
ILN → é o momento de inércia da seção transversal da barra em relação
a linha neutra;
V → é o esforço cortante na seção transversal em estudo.
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Distribuição de Tensões Normais e Tangenciais em Seções
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Exemplo 01 – tensões tangenciais
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Exemplo 01 – tensões tangenciais
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Exemplo 02 – tensões tangenciais
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Exemplo 02 – tensões tangenciais
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Fluxo de Cisalhamento
(f)(f)
Força Cisalhante por Unidade de Comprimento
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FLUXO DE CISALHAMENTO
Em engenharia alguns elementos estruturais são construídos a partir da
união de diferentes peças para poderem resistir as cargas.
Nestes casos, a união das diferentes peças do elemento é feita através de
cola, pregos, parafusos, ou seja, elementos de ligação, constituindo as
Vigas Compostas.
Vigas compostas são vigas com uma seção transversal definida,
formada pela composição de diversas peças. Esta composição é,
geralmente obtida através de soldagem, cola, prego, parafuso, etc.
Para o projeto destes elementos é necessário o conhecimento dos
esforços que ocorrem nas ligações dos elementos constituintes.
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O cálculo de uma viga composta consiste nas seguintes
considerações:
• Considera-se a viga como uma peça única;
• Dimensionam-se os Elementos de Ligação (parafusos, pregos, cola,
solda, etc) de modo a suportar os esforços que ocorrem na ligação,
assegurando o comportamento como viga única;assegurando o comportamento como viga única;
• As fórmulas utilizadas são as mesmas utilizadas como peça única,
vistas até agora;
• O cálculo dos elementos de ligação baseia-se na Força Cortante
Horizontal por unidade de comprimento – Fluxo de Cisalhamento (f)
que é transmitida nas ligações das peças que constituem a viga.
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Vamos Imaginar a seção abaixo é uma viga compostas por
várias tábuas coladas umas as outras. Vamos supor que iremos
analisar apenas a tábua mais inferior.
TdF
Nosso objetivo é determinar a grandeza da força horizontal infinitesimal
“dFT” por unidade de comprimento. Conforme já foi analisado
anteriormente, essa força é dada pela fórmula:
TdF
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Em lugar de trabalhar com uma força diferencial dFT que se desenvolve 
∫ ∫ ∫ ∫=−+=
2/ 2/ 2/ 2/
1 1 1 1
..
.
.
.
.
.
h
y
h
y
h
y
h
yLNLNLNLN
T dAyI
dMdA
I
yMdA
I
ydMdA
I
yMdF
21 NNT FFdF =+ 12 NNT FFdF −=
Em lugar de trabalhar com uma força diferencial dFT que se desenvolve 
numa distância dx, é mais significativo trabalharmos com uma força 
similar por unidade de comprimento da barra, a qual será chamada de 
Fluxo de Cisalhamento (f).
LN
LN
h
yLN
T Q
I
VfdAy
Idx
dM
dx
dF
=== ∫
2/
1
..
1
.
LN
LN
I
QVf .=
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Materiais Massa
Específ.
(ton/m3)
Módulo
Elast.Long.
(GPa)
Módulo
El.Transv.
(GPa)
σσσσ
(Tração)
(MPa)
σσσσ
Compres
(MPa)
ττττ
Cisalh.
(MPa)
σσσσ
(Tração)
(MPa)
σσσσ
Compres
(MPa)
ττττ
Cisalh.
(MPa)
Elong.
Percent
(%)
Coef.
Dil.Tér.
(10-6C-1)
Aço Estrutural 7,87 200 76 250 250 150 450 450 270 28 11,7
Aço 1020 (temp) 7,87 210 80 230 230 138 620 620 370 22 11,7
Aço 1040(lamn) 7,87 210 80 360 360 215 580 580 350 29 11,7
AçoInox (recoz) 7,92 190 78 510 510 305 1300 1300 780 12 11,7
ρ GE Tensão Limite Escoamento Tensão Limite Ruptura ε α
AçoInox (recoz) 7,92 190 78 510 510 305 1300 1300 780 12 11,7
Ferro Fundido 7,37 165 69 - - - 210 800 - 4 12,1
Alumínio trab. 2,77 70 28 300 300 215 410 410 240 20 23,6
Latão 8,75 105 39 100 100 60 270 270 130 50 17,6
Bronze 8,86 100 45 140 140 85 340 340 200 50 16,9
Concreto2,41 24 - - - - - 25 - - 10
Vidro 2,50 75 27 - - - 5 10 - - 950
Madeira(Pinho) 0,55 13 - - - - - 51 7,6 - -
Carvalho 0,69 12 - - - - - 48 13 - -
Polietileno 0,91 3 - - - - 48 90 55 - -
Prof. Helio F. Vieira
Determine a quantidade de pregos necessária para manter os
elementos da viga abaixo de 3m de comprimento, unidos quando
submetida a um cortante de 2kN. A tensão admissível dos pregos de
diâmetro d = 2 mm é τadm = 225Mpa.
f
f Prof. Helio F. Vieira
A viga abaixo é formada pela união de diferentes perfis
parafusados entre si. Determine a máxima força cortante que a viga
pode suportar se os parafusos resistem a uma força cortante de 11 kN e
estão espaçados de 200 mm.
f
f
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