Estudo do Limite de Funções

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1 Aula 3 – O estudo do limite de func¸o˜es
Nesta aula abordaremos a noc¸a˜o intuitiva de limite que se apresenta com a ob-
servac¸a˜o do comportamento do gra´fico da func¸a˜o. Depois daremos a definic¸a˜o formal de
limite, passando tambe´m pela compreensa˜o dos limites laterais. Finalmente, apresenta-
remos as propriedades para o ca´lculo do limite de func¸o˜es, bem como a demonstrac¸a˜o e
aplicac¸o˜es dos limites fundamentais.
1.1 Noc¸a˜o Intuitiva
Exemplo 1.1. Seja a func¸a˜o f(x) = (1 + 1
x
)x. Encontre os valores para f(1), f(2), f(3),
f(4) e f(100). Calculando temos
f(1) = (1 + 1)1 = 2
f(2) =
(
1 +
1
2
)2
=
(3
2
)2
= 2, 25
f(3) =
(
1 +
1
3
)3
=
(4
3
)3
= 2, 3703
f(4) =
(
1 +
1
4
)4
=
(5
4
)4
= 2, 441406
f(100) =
(
1 +
1
100
)100
=
(101
100
)100
= 2, 70481
Podemos observar que, se x assume valores positivo e muito grande, ou seja, se x
e´ um valor que “tende ao +∞” o valor de f(x) = (1 + 1
x
)x tera´ como limite o nu´mero
e = 2, 71828 · · · .
Vamos escrever esta frase anterior da seguinte forma
lim
x→+∞
(
1 +
1
x
)x
= e
Exemplo 1.2. Suponha que voceˆ tenha um capital de $1 e que voceˆ encontre um ban-
queiro que oferec¸a uma taxa de 100% de juros ao ano.
1. Se o ativo for composto uma vez por ano, o valor final sera´?
V (1) = C + r%C = C(1 + r%)
que neste caso sera´
V (1) = 1 · (1 + 1) = 2
1
2. Se o ativo for composto duas vezes por ano, o valor final sera´?
V (2) =
(
C +
r%
2
C
)
+
r%
2
(
C +
r%
2
C
)
= C
(
1 +
r%
2
)2
que neste caso sera´
V (1) = 1 ·
(
1 +
1
2
)2
=
(3
2
)2
= 2, 25
3. Se o ativo for composto treˆs vezes por ano, o valor final sera´?
V (3) = C
(
1 +
r%
3
)3
que neste caso sera´
V (3) =
(
1 +
1
3
)3
=
(4
3
)3
= 2, 3703
4. Se o ativo for composto m-vezes por ano, o valor final sera´?
V (m) = C
(
1 +
r%
m
)m
que no nosso caso ser
5. Se o ativo for composto treˆs vezes por ano, o valor final sera´?
V (m) = C
(
1 +
1
m
)m
6. Se o juros e´ composto continuamento durante o ano, isto e´, m se torna infinito, o
valor do ativo sera´?
lim
m→+∞
(
1 +
1
m
)m
= e
Exemplo 1.3. Considere agora a func¸a˜o f(x) = 1 − 1
x
. Calculando as imagens que f
assume em cada valor de x dado podemos encontrar a seguinte tabela
x - 1
100
- 1
1000
- 1
10000
-1 -2 -3 -4 - 500 1
100
1
1000
1
10000
1 2 3 4 500
f(x) 101 1001 10001 2 3
2
4
3
5
4
501
500
-99 -999 -9999 0 1
2
2
3
3
4
499
500
Tabela 1: Imagem de f
Observando a tabela e o gra´fico desta func¸a˜o na figura 1 podemos notar que quando
x→ +∞ ou x→ −∞ a imagem de f tem o valor 1 como seu limite, ou seja,
lim
x→+∞
f(x) = lim
x→+∞
(
1− 1
x
)
= 1 e lim
x→−∞
f(x) = lim
x→−∞
(
1− 1
x
)
= 1
2
Figura 1: [2], p.64
Isto ocorre porque limx→±∞ 1x = 0. Ainda olhando a tabela e o gra´fico da func¸a˜o,
observamos que quando x → 0 do lado positivo, temos que a imagem de f tende para
−∞, ou seja,
lim
x→0+
f(x) = lim
x→0+
(
1− 1
x
)
= −∞
E quando x→ 0 do lado negativo, temos que a imagem de f tende para +∞, ou seja,
lim
x→0−
f(x) = lim
x→0−
(
1− 1
x
)
= +∞
Exemplo 1.4. Observe o gra´fico da func¸a˜o f(x) = 2x+1
x−1 dado pela figura 2 e calcule o
valor dos limites pedidos.
Figura 2: [2], p.64
lim
x→2
f(x) = 5 lim
x→1−
f(x) = −∞ lim
x→1+
f(x) = +∞
lim
x→0
f(x) = −1 lim
x→+∞
f(x) = 2 lim
x→−∞
f(x) = 2
3
1.2 Limite e limites laterais
A definic¸a˜o formal de limite e´ a seguinte:
Definic¸a˜o 1.5. Dizemos que limx→a f(x) = L se dado qualquer � > 0, existe δ > 0 tal
que
|x− a| < δ implica que |f(x)− L| < �.
Exemplo 1.6. Seja f(x) = 3x− 1. Use a definic¸a˜o para mostrar que limx→1 f(x) = 2.
Prova: Dado � > 0, vamos mostrar que existe δ tal que |x − 1| < δ implica que
|f(x)− 2| < �. Observe que
|f(x)− 2| = |3x− 1− 2| = |3x− 3| = |3(x− 1)| = |3| · |x− 1| < �
Que implica em
|x− 1| < �
3
Logo, temos que δ = �/3.
Exemplo 1.7. Seja f(x) = ax + b, com a e b nu´meros reais diferentes de zero. Mostre
que limx→M f(x) = aM + b
Prova: Dado � > 0, vamos mostrar que existe δ tal que |x −M | < δ implica que
|f(x)− (aM + b)| < �. Observe que
|f(x)− (aM + b)| = |ax+ b− (aM + b)| = |ax− aM | = |a(x−M)| = |a| · |x−M | < �
Que implica em
|x−M | < �|a|
Logo, temos que δ = �/|a|.
Observac¸a˜o 1.8. Se a = 0 temos que limx→M b = b.
Exerc´ıcio 1.9. Calcule os limites abaixo.
1. limx→2(2x+ 4) =
2. limx→−1(−3x+ 7) =
3. limx→0 0, 3 =
4
Exemplo 1.10. Considere a func¸a˜o de Heaviside H (nome dado em homenagem ao
engenheiro ele´trico Oliver Heaviside (1850–1925)) que pode descrever uma corrente ele´tric
que e´ ligada no tempo t = 0 e e´ definida por
f(x) =
1, se x > 00 se x < 0.
Seu gra´fico e´ dado pela figura 3 que mostra que mostra que quanto t se aproxima de 0 pela
esquerda H(t) se aproxima de 0. Quando t se aproxima de 0 pela direita H(t) se aproxima
de 1. Assim, na˜o ha´ um u´nico nu´mero que H(t) se aproxima quando t se aproxima de 0.
Portanto, limt→0H(t) na˜o existe.
Figura 3: [4], p.92
Definic¸a˜o 1.11. No´s escrevemos limx→a− f(x) = L e dizemos que o limite de f quando
x se aproxima de a pela esquerda e´ L se dado qualquer � > 0, existe δ > 0 tal que
a− δ < x < a implica que |f(x)− L| < �.
Similarmente podemos dizer que o limite de f quando x se aproxima pela direita de
a e´ L e escrever limx→a+ f(x) = L se dado qualquer � > 0, existe δ > 0 tal que
a < x < a+ δ implica que |f(x)− L| < �.
Teorema 1.12.
lim
x→a
f(x) = L se, e somente se, lim
x→a+
f(x) = L e lim
x→a−
f(x) = L
Observac¸a˜o 1.13. Na definic¸a˜o acima limx→a f(x) = L e´ chamado limite global.
Exemplo 1.14. Considere o gra´fico da func¸a˜o g dado pela figura 4 e responda se os
limites globais existem.
lim
x→2+
g(x) = 1 lim
x→2−
g(x) = 3 lim
x→2
g(x) = na˜o existe
lim
x→5+
g(x) = 2 lim
x→5−
g(x) = 2 lim
x→5
g(x) = 2
Apesar deste fato, observe que g(5) = 1.
5
Figura 4: [4], p.93
Exemplo 1.15. Seja o gra´fico da func¸a˜o dado pela figura 5. Encontre os valores dos
limites pedidos.
f(x) =

x2 + 1, se x < 2
2, se x = 2
9− x2 se x > 2.
Figura 5: [2], p.64
lim
x→1
f(x) = lim
x→1
x2 + 1 = 2 lim
x→2+
f(x) = lim
x→2+
9− x2 = 5 lim
x→2−
f(x) = lim
x→2−
x2 + 1 = 5
Apesar do limite limx→2 f(x) = 5 temos que f(2) = 2.
Exerc´ıcio 1.16. Determine limx→0+
|x|
x2
e limx→0−
|x|
x2
. Resp: +∞
1.3 Propriedades para o ca´lculo do limite
Suponha que c e´ uma constante e que os limites
lim
x→a
f(x) e lim
x→a
g(x)
existam. Enta˜o
1. limx→a[f(x) + g(x)] = limx→a f(x) + limx→a g(x)
6
2. limx→a[f(x)− g(x)] = limx→a f(x)− limx→a g(x)
3. limx→a[c · f(x)] = c · limx→a f(x)
4. limx→a[f(x) · g(x)] = limx→a f(x) · limx→a g(x)
5. limx→a
f(x)
g(x)
= limx→a f(x)
limx→a g(x) , se limx→a g(x) 6= 0
6. limx→a[f(x)]n = [limx→a f(x)]n, onde n e´ um inteiro positivo.
7. limx→a n
√
f(x) = n
√
limx→a f(x), onde n e´ um inteiro positivo e se n e´ ı´mpar, assu-
mimos que limx→a f(x) > 0.
8. limx→a logb(f(x)) = logb(limx→a f(x)), desde que limx→a f(x) > 0
Exerc´ıcio 1.17. Considere as func¸o˜es f e g conforme gra´fico da figura 6. Responda:
1. limx→−2[f(x) + 5g(x)] = Resp:− 4
2. limx→1[f(x)·g(x)] = Resp: na˜o existe, pois limx→1+ [f(x)·g(x)] = −2 e limx→1− [f(x)·
g(x)] = −4
Figura 6: [4], p.93
Exerc´ıcio 1.18. Encontre o valor do limite
1. limx→2 x2 + 3x+ 5 = Resp:15
2. limx→0 cosx = Resp: 1
3. limx→3 x−5x3−7 = Resp: -1/10
4. limx→−2
√
x4 − 4x+ 1 = Resp: 5
5. limx→2 ln(x3+ 3) = Resp: ln 11 = 2, 38.
6. limx→0 x
3
x1/2
= Resp: 0
7. limx→1 x
2−1
x−1 = Resp: 2
7
8. limx→−2 x
3−3x+2
x2−4 = Resp: -9/4
9. limx→0
√
x+2−√2
x
= Resp:
√
2/4
10. limh→0
(x+h)2−x2
h
= Resp: 2x
11. limx→0(x3 +
√
x+ 1
x2
) = Resp: +∞
12. limx→+∞ 2x−5x+8 = Resp: 2
13. limx→−∞ 2x
3−3x+5
4x5−2 = Resp: 0
14. limx→+∞ x
2+3
x+2
= Resp: ∞
15. limx→+∞ x
2+3x−1
x3−2 = Resp: 0
16. limx→+∞ 2x
4+3x2+2x+1
4−x4 = Resp: -2
17. limx→+∞ 2x+55√2x2−5 = Resp:
√
2
8
Refereˆncias
[1] A. C. Chiang, K. Wainwright, Matema´tica para Economistas – Campus, 4a. edic¸a˜o,
2006.
[2] D. M. Flemming; M. B. Gonc¸alves. Ca´lculo A: func¸o˜es, limite, derivac¸a˜o, noc¸o˜es de
integrac¸a˜o. Pearson Education, 1992.
[3] A. Howard, B. Irl, D. Steephen, P. Thomas, Calculus-early transcendentals, vol 2,
Wiley, 2002.
[4] J. Stewart, Calculus – Early Transcendentals, 6th edition, 2007.
[5] N. Gregory Mankiw. Introduc¸a˜o a` economia. Traduc¸a˜o: Allan Vidigal Hastings, Eli-
sete Paes e Lima. Revisa˜o te´cnica: Manuel Jose´ Nunes Pinto. Sa˜o Paulo : Cengage
Learning, 2014.
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	Aula 3 – O estudo do limite de funções
	Noção Intuitiva
	Limite e limites laterais
	Propriedades para o cálculo do limite