calculo3lista1

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Ca´lculo III - Lista 1
Calcule as seguintes integrais duplas:
1)
∫ 4
1
∫ 2
1
(
x
y
+
y
x
)
dy dx
2)
∫ 2
1
∫ 1
0
(x+ y)−2 dx dy
3)
∫ 1
0
∫ 1
0
xy
(x2 + y2 + 1)
1
2
dy dx
4)
∫∫
R
cos(x+ 2y) dA, onde R = {(x, y) | 0 ≤ x ≤ pi, 0 ≤ y ≤ pi
2
}
5)
∫∫
R
xy2
x2 + 1
dA, onde R = {(x, y) | 0 ≤ x ≤ 1, −3 ≤ y ≤ 3}
6)
∫∫
R
xsen(x+ y) dA, onde R = [0, 1]× [0, 2]
7)
∫∫
R
xyex
2y dA, onde R = [0, 1]× [0, 2]
8) Determine o volume do so´lido que se encontra abaixo do plano 3x+2y+z =
12 e acima do retaˆngulo R = {(x, y) | 0 ≤ x ≤ 1, −2 ≤ y ≤ 3}.
9) Encontre o volume do so´lido abaixo do parabolo´ide x
2
4
+ y
2
9
+z = 1 e acima
do retaˆngulo R = [−1, 1]× [−2, 2].
10) Encontre o volume do so´lido limitado pela superf´ıcie z = x
√
x2 + y e
pelos planos x = 0, x = 1, y = 0, y = 1 e z = 0.
11)
∫ pi
2
0
∫ cosθ
0
esenθ dr dθ
1
12)
∫∫
∆
e
x
y dA, onde ∆ = {(x, y) | 1 ≤ y ≤ 2, y ≤ x ≤ y3}
13)
∫∫
∆
x
√
y2 − x2dA, onde ∆ = {(x, y) | 0 ≤ y ≤ 1, 0 ≤ x ≤ y}
Determine o volume dos seguintes so´lidos:
14) Abaixo da superf´ıcie z = 2x + y2 e acima da regia˜o limitada por x = y2
e x = y3.
15) Limitado pelos planos x = 0, y = 0, z = 0, e x+ y + z = 1.
16) Limitado pelos cilindros x2 + y2 = r2 e y2 + z2 = r2.
Esboce a regia˜o de integrac¸a˜o e fac¸a a mudanc¸a de ordem nas integrais abaixo:
17)
∫ 3
0
∫ √9−y2
−
√
9−y2
f(x, y) dx dy
18)
∫ 2
1
∫ lnx
0
f(x, y) dy dx
19)
∫ 1
0
∫ pi
4
arctanx
f(x, y) dy dx
Calcule as seguintes integrais:
20)
∫ 3
0
∫ 9
y2
ycos(x2) dx dy
21)
∫ 1
0
∫ pi
2
arcsin y
cosx
√
1 + cos2x dx dy
22)
∫ 8
0
∫ 2
3
√
y
ex
4
dx dy
2