Vibrações de Sistemas Mecânicos com respostas

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Vibração de Sistemas Mecânicos 1 
 
Vibrações de Sistemas Mecânicos 
Prof. Dr. Milton Dias Junior 
 
1. Um movimento harmônico é descrito por ( )φ+= tXtx .100cos.)( . As condições 
iniciais são mmx 4)0( = e 
s
mx 1)0( =& . Encontre X e φ. Expresse x(t) na forma 
( ) ( )tBtAx .sen..cos. ωω += . 
 
 
2. Determine a equação de movimento do sistema a seguir. 
 
Figura 1: Exercício 2. 
 
 
3. Uma barra uniforme de massa m e comprimento l está conectada no ponto A e presa 
por cinco molas como mostra a figura. Encontrar a freqüência natural do sistema se 
Nmk 2000= , 
rad
Nmkt 1000= , kgm 10= e ml 5= . 
 
 
Figura 2: Exercício 3. 
 
4. Encontre a equação de movimento do sistema abaixo, considerando as barras rígidas 
e de massa desprezível. 
Vibração de Sistemas Mecânicos 2 
 
Figura 3: Exercício 4. 
 
5. Uma locomotiva de massa 2000 kg se movendo a uma velocidade de 
s
mv 10= é 
parada no final da linha por um sistema mola-amortecedor como mostrado na figura. 
Se a rigidez da mola é de 40 N/mm e a constante de amortecimento é de 20 Ns/mm, 
determine: 
(a) o deslocamento máximo da locomotiva após o engate no sistema mola-
amortecedor. 
(b) O tempo necessário para que o sistema alcance o deslocamento máximo. 
 
Figura 4: Exercício 5. 
6. Um cilindro de massa m e momento de inércia de massa oJ está livre para rolar sem 
deslizamento, mas está preso por duas molas 1k e 2k , como mostrado na figura. 
Encontre a freqüência natural do sistema. Determine também o valor de a que 
maximiza a freqüência natural do sistema. 
 
Figura 5: Exercício 6. 
 
Vibração de Sistemas Mecânicos 3 
7. Uma barra rígida AB é articulada em A conforme a figura abaixo. 
(a) Escrever a equação de movimento do sistema; 
(b) Obter a expressão para a constante de amortecimento crítico e a freqüência 
natural amortecida de vibração (assumir 1<ξ ). 
 
Figura 6: Exercício 7. 
 
8. No sistema torsional mostrado a seguir é submetido ao amortecimento, obter: 
(a) Equação de movimento do sistema; 
(b) Assumir que a constante de amortecimento Tc é desconhecido, mas que 1Tk , 
2Tk e I são conhecidos, e que a freqüência df amortecida de vibração foi 
medida, obter uma expressão para o valor de Tc . 
 
Figura 7: Exercício 8. 
9. Seja o sistema abaixo, onde x representa o deslocamento absoluto da massa m e y o 
deslocamento absoluto da mola k. O ponto A é movido de acordo com a relação 
( )tYy .sen. ω= . 
(a) Construa o diagrama de corpo livre para a massa m; 
(b) Escrever a equação do movimento para m; 
(c) Obter a solução particular para o sistema ( px ); 
(d) Determinar a relação para a força de compressão em A; 
(e) Obter a expressão para força transmitida para o suporte em B. 
Vibração de Sistemas Mecânicos 4 
 
Figura 8: Exercício 9. 
 
 
10. Para o sistema a seguir, 
(a) Construir o diagrama de corpo livre para m; 
(b) Escrever a equação do movimento; 
(c) Obter uma solução particular para o sistema; 
(d) Determine a relação para a força de compressão em A. 
 
 
Figura 9: Exercício 10. 
 
 
11. Um volante de massa 70 lb (31,75 kg), apoiado pela face interior do aro, oscila 
como um pêndulo. Determinar o momento de inércia do volante em relação ao seu 
eixo geométrico se o período de oscilação medido é 1,5 segundos. Considere a 
distribuição de massa uniforme e o CG no centro geométrico. (12 in = 0,3048 m e 
16 in = 0,4064 m) 
 
Figura 10: Exercício 11. 
Vibração de Sistemas Mecânicos 5 
 
12. Um excitador de pesos excêntricos de contra-rotação é usado para determinar as 
características vibratórias de uma estrutura de massa 400 lb. À velocidade de 900 
rpm, um estroboscópio mostra a posição dos excêntricos no topo, no instante em que 
a estrutura se desloca para cima, passando pela posição de equilíbrio estático. A 
amplitude de deslocamento é 0,85 pol. Se o desbalanço de cada excêntrico é de 4 
lb.pol, determinar: 
(a) a freqüência natural do sistema; 
(b) o fator de amortecimento da estrutura; 
(c) a amplitude, a 1200 rpm; 
(d) a posição angular dos excêntricos no momento em que a estrutura completa 
seu deslocamento para cima da sua posição de equilíbrio. 
 
Figura 11: Exercício 12. 
 
13. Um cilindro de massa m ligado a uma mola de rigidez k é excitado através de atrito 
viscoso c, por meio de um pistão de movimento ( )tYy .sen. ω= . Determinar a 
amplitude do movimento do cilindro e sua fase em relação ao pistão. 
 
Figura 12: Exercício 13. 
14. Considere um sistema com desbalanceamento de rotação como mostrado na figura 
abaixo. A deflexão na ressonância é 0,05 m e a razão de amortecimento é medida 
como 1,0=ξ . A massa desbalanceada é estimada em 10%. Localize a 
excentricidade e. 
Vibração de Sistemas Mecânicos 6 
 
Figura 13: Exercício 14. 
 
15. O barco e o trailer mostrados são rebocados a uma velocidade v por uma estrada 
ondulada. O contorno da estrada pode ser aproximado por uma curva senoidal de 
comprimento de onda de ml 3= e amplitude de mmY 12= . A deflexão estática 
total d das molas e pneus devido ao peso do barco e trailer foi medida como 37 mm. 
Assumindo que o amortecimento inerente do sistema seja viscoso e o fator de 
amortecimento tenha valor de 5%, determine: 
(a) a velocidade v para a qual o barco e trailer atingirão a ressonância; 
(b) o valor da amplitude nesta condição; 
(c) a amplitude de movimento quando o barco e trailer estiverem numa 
velocidade de 80 km/h. 
 
 
Figura 14: Exercício 15. 
 
16. A estrutura da figura consiste em uma viga bastante rígida soldada a dois pilares 
verticais. O momento de inércia de área cI , de cada pilar em relação ao eixo de 
flexão é 54 cm4. Um excitador excêntrico de massa 25 kg é fixado à viga horizontal 
de massa 1000 kg e usado para excitar a estrutura. A massa desbalanceada do 
excitador é de 2,5 kg e possui uma excentricidade e de 50 mm. Pela variação da 
rotação do excitador pode-se determinar o momento em que a ressonância ocorre, e 
também a amplitude máxima de vibração nesta condição. A amplitude máxima 
encontrada foi de 40 mm. Assumindo que a flexão da viga horizontal seja 
desprezível e considerando os pilares engastados nas extremidades, determinar: 
(a) a freqüência natural de vibração lateral do sistema estrutura + excitador; 
(b) o fator de amortecimento do sistema; 
(c) o fator de amplificação na ressonância. 
Vibração de Sistemas Mecânicos 7 
Assumir também que a massa dos pilares é muito pequena em relação à massa da 
viga. 
 
Dados: 
3
210
4
.12
150
3
/1021
54
l
I
EK
cml
mL
mNxE
cmI
c
c
=
=
=
=
=
 
 
 
Figura 15: Exercício 16. 
 
 
17. Um novo modelo de veículo é suspenso como um pêndulo, usando cabos fixados 
aos eixos dianteiro e traseiro. Com ml 6,4= o período de oscilação é de 4,3 
segundos. Com ml 6,2= , o período decresce para 3,3 segundos. Determine a 
distância h entre os eixos e o centro de gravidade, conforme ilustra a figura. 
 
Vibração de Sistemas Mecânicos 8 
 
Figura 16: Exercício 17. 
 
 
18. Determine a equação de movimento do sistema apresentado a seguir. 
 
Figura 17: Exercício 18. 
 
 
19. Uma pequena máquina apresenta um desbalanceamento rotativo no seu eixo 
principal. A máquina pesa 300 N e, quando apoiada sobre isoladores elásticos de 
vibração (que têm a função de mola e amortecedor), o deslocamento de equilíbrio 
estático é de 50 mm. Além disso, quando a máquina é deslocada da posição de 
equilíbrio e solta, o movimento subseqüente diminui de uma amplitude de 60 mm 
para 3,5 mm em exatamente 3 ciclos. Uma amplitude de 0,5 mm é observada 
quando a máquina opera na ressonância. (a) Determine a constantede 
amortecimento do sistema; (b) determine o valor da massa desbalanceada, 
considerando que está a uma distância de 38 mm do eixo de rotação e (c) determine 
a amplitude em regime permanente quando a máquina opera a uma velocidade duas 
vezes maior que a freqüência de ressonância. 
 
 
 
Vibração de Sistemas Mecânicos 9 
20. Um motor elétrico de massa 10 kg é montado sobre quatro molas idênticas. O motor 
opera com velocidade constante de 1750 rpm. O raio de giração é 100 mm. 
Assumindo que as molas não possuem amortecimento, escolha um projeto (um dos 
valores de k indicados na tabela) em que a razão de transmissibilidade na direção 
vertical é 0,194. Com este valor de k, determine a razão de transmissibilidade para a 
vibração torsional (isto é, calcule em função de θ). 
 
Tabela 1: Catálogo com propriedade de rigidez e amortecimento de isolamento (off-the-
shelf). 
N° R-1 R-2 R-3 R-4 R-5 M-1 M-2 M-3 M-4 M-5 
k(103.N/m) 250 500 1000 1800 2500 75 150 250 500 750 
c(N.s/m) 2000 1800 1500 1000 500 110 115 140 160 200 
 
 
Figura 18: Exercício 20. 
 
 
Respostas 
 
1. 
x = 0,0108 m 
°−= 20,68φ 
 
2. 
0
2
3
=+ kxxm && (momento de inércia em relação ao CG é 2
2
1
mrICG = ) 
 
3. 
Vibração de Sistemas Mecânicos 10 
A
t
n
I
mgl
k
kl
69
10 2
++
=ω , IA momento de inércia em relação ao ponto A. 
 
4. 
a) [ ] ( ) gbmgdmkacaamdbm 112222221 )( =−++++ θθθ &&& 
b) ( ) mgbmgdkacadbm 22)(2 2222 =−+++ θθθ &&& 
 
5. 
a) Xmax = 0,7624 m 
b) tparada = 0,2152 s 
 
 
6. 
a) 
2
2
21 ))((
mRJ
Rakk
o
n +
++
=ω 
b) RaRaR =⇒<<− 
 
7. 
a) 0222 =++ θθθ kbcaml &&& 
b) 
ml
ackbml
d 2
4222
2
4 −
=ω 
 
8. 
222
21 4)(2 IfkkIc dtt π−+= 
 
9. 
b) ).sen( tkYkxxcxm ω=++ &&& 
c) 











−
+
+−
=
km
c
t
ckm
Yk
tx p 2222
22
arctan.sen
)()(
)(
ω
ω
ω
ωω
 
d) 
( )
( ) 



















−
+
+−
−=
km
c
t
ckm
kY
tYkFA 2222
2
arctan.sen
)(
).sen(
ω
ω
ω
ωω
ω 
Vibração de Sistemas Mecânicos 11 
e) 
( )












−
+
+−
=
km
c
t
ckm
kY
cFB 2222
2
arctan.cos
)()( ω
ω
ω
ωω
ω 
 
10. 
b) ).cos().sen( tYctkYkxxcxm ωωω +=++ &&& 
c) 
( )
( ) 2222
22
)(
)(
);.cos().sen()(
ω
ωω
ωω
ωω
ωω
mk
AcYc
Be
cmk
YcmkkY
AtBtAtx p −
−
=
+−
+−
=+= 
d) ppA xcxktYctkYF ..).cos().sen( −−+= ωωω 
 
11. 
ICG = 1,9677 kgm², 
1 kg = 2,205 lb e 1 m = 39,370 in 
 
12. 
a) 
s
rad
n 25,94=ω 
b) 01176,0=ζ 
c) X = 0,04568 in 
d) °= 3089,2φ 
 
Atenção: Texto do enunciado errado, corrigir pela nova lista disponibilizada 
(11/04/2003). 
 
13. 
( ) ( )












−
+
−+
=+=
2222
arctan.sen).sen()(
ω
ω
ω
ωω
ω
φω
mk
c
t
mkc
cY
tAtx p 
 
14. 
e = 0,1 m 
 
15. 
a) v = 7,77 m/s 
b) mX aressonânci 1206,0= 
Vibração de Sistemas Mecânicos 12 
c) mX hkm 001739,0/80 = 
 
16. 
a) 
s
rad
n 05,28=ω 
b) 001524,0=ζ 
c) 328=
em
mX
e
 
 
17. 
h = 0,1424 m 
 
18. 
0
)(4
.
21
21 =
+
+ x
kk
kk
xm && 
19. 
a) c = 128,08 kg/s 
b) me = 0,12 kg 
c) X = 198,82 µm 
 
20. 
a) 4271,516 −−⇒= MouR
m
kN
k (depende do amortecimento 
requerido) 
b) Transmissibilidade de Momento = 0,1204 (para o valor de rigidez adotado no 
item anterior) 
 
Raio de giração: 2. go rmI = 
 
Atenção: Corrigir na lista o valor da transmissibilidade para 0,194. (11/04/2003)