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Lista de Exerc´ıcios no2 1. Localize, graficamente, as raizes das equac¸o˜es abaixo: (a) ex − x2 + 3x− 2 = 0; (b) x2 − 1− sen x = 0; (c) 2x − 3x = 0. (d) 2 ln (x) + 0.4x− 2 = 0. 2. Seja xi+1 = g(xi) um me´todo iterativo para obter aproximac¸o˜es para uma raiz da equac¸a˜o f(x) = 0. (a) Sabendo-se que f(x) = 0 tem uma raiz no intervalo (1.5, 2.5), quais dos me´todos ite- rativos abaixo convergira˜o para essa raiz? Justifique analiticamente sua resposta. • xi+1 = x2i − 2 ; • xi+1 = √ 2 + xi ; • xi+1 = 1 + 2 xi . (b) Dado x0 > 2, escolha adequadamente um dos me´todos dados acima e determine, grafi- camente, x1 e x2. 3. Sabe-se que a equac¸a˜o cos(x)− e−x = 0 tem uma raiz x¯ no intervalo (1.1, 1.5). (a) Verifique este fato graficamente. (b) Calcule o nu´mero de iterac¸o˜es necessa´rias para se obter uma aproximac¸a˜o para x¯, com precisa˜o ε = 10−3, pelo me´todo da bissecc¸a˜o ; (c) Use o Me´todo da Bissecc¸a˜o e determine um intervalo de comprimento ≤ 0.1 que con- tenha x¯. (d) Tome os extremos deste intervalo como aproximac¸o˜es iniciais para o Me´todo da Secante e calcule uma aproximac¸a˜o para a raiz x¯ com erro < 10−3 . Use, pelo menos, 6 d´ıgitos significativos. 4. Seja p(x) = x3 − 2x− 1 = 0. a) Determine um intervalo que contenha a raiz positiva de p(x); b) Use o me´todo da Posic¸a˜o Falsa para calcular uma aproximac¸a˜o inicial para o me´todo de Newton com precisa˜o ε ≤ 0.1. c) Calcule a raiz positiva de p(x), pelo me´todo de Newton com ε ≤ 10−2. 5. Calcule o zero de f(x) = x3 − 5 que esta´ no intervalo [1.5, 2], pelo me´todo da Secante, ate´ que |f(xi)| < 10−2. 6. Seja f(x) = ex − 4x2 e x¯ sua raiz no intervalo (0, 1). Tomando x0 = 0.5, encontre x¯ com erro < 10−3, usando: (a) o MPF com a func¸a˜o de iterac¸a˜o g(x) = 1 2 ex/2; (b) o me´todo de Newton. Compare a rapidez de convergeˆncia. 1 7. Seja f(x) = x e−x − e−3. (a) Verifique, gra´fica e analiticamente, que f(x) possui um zero no intervalo (0, 1); (b) Justifique teoricamente o comportamento da sequencia xk colocada a seguir, gerada pelo me´todo de Newton para o ca´lculo do zero de f(x) em (0, 1), com x0 = 0.9 e precisa˜o ε = 5× 10−6. x0 = +0.9 x5 = −3.4962 x10 = −0.3041 x1 = −6.8754 x6 = −2.7182 x11 = +0.0427 x2 = −6.0024 x7 = −1.9863 x12 = +0.0440 x3 = −5.1452 x8 = −1.3189 x13 = +0.0480 x4 = −4.3079 x9 = −0.7444 8. Dado o polinoˆmio p(x) = x3 − 8x2 + 17x− 10: (a) Usando a Regra de Sinais de Descartes, analisar o nu´mero de ra´ızes reais de p(x) = 0; (b) Determinar a raiz que esta´ pro´xima a x = 3 pelo Me´todo de Newton. Usando o teorema de Horner, determinar as outras raizes. 9. Considere o seguinte polinoˆmio p(x) = x4 − 5x3 + 6x2 + 4x− 8 Partindo de x0 = 0.5, calcule a aproximac¸a˜o x3 de uma raiz x¯, pelo me´todo de Newton e usando o algoritmo de Briot-Ruffini-Horner. Fac¸a os ca´lculos retendo 4 casas decimais e usando arredondamento no corte dos d´ıgitos. 10. Determinar a regia˜o circular que conte´m todas as raizes da equac¸a˜o 3x5−x4−x3+x+1 = 0. 11. Uma bo´ia esfe´rica de raio R e densidade espec´ıfica ρ, ao flutuar na a´gua, afunda de uma quantidade x, dada por x3 + 2Rx − 4ρR3 = 0. Achar o afundamento quando R = 3 e o material e´ cortic¸a (ρ = 0.25). 2
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