Exercícios de Interpolação Numérica em Cálculo

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Disciplina/Curso: Ca´lculo Nume´rico/Cieˆncia da Computac¸a˜o
Profa.: Heloisa H. M. Silva
Lista de Exerc´ıcios no6
1. (a) Encontrar o polinoˆmio, na forma de Lagrange, que interpola f(x) = 1/x2 sobre os
pontos x0 = 2; x1 = 2.5 e x2 = 4;
(b) Calcular uma aproximac¸a˜o para f(3);
(c) Qual o erro cometido na aproximac¸a˜o obtida no item (b)?
2. Seja a tabela
x 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5
expx 1 1.11 1.22 1.35 1.49 1.65
Usando interpolac¸a˜o linear sobre os pontos adequados:
(a) Calcular exp 0.35;
(b) Dar um limitante superior para o erro de truncamento.
3. Use diferenc¸as divididas para aproximar f(0.3) a partir dos dados f(0.0) = 15.0, f(0.2) =
21.0, f(0.4) = 30.0 e f(0.6) = 51.0.
4. A tabela abaixo relaciona o calor espec´ıfico da a´gua em func¸a˜o da temperatura. Calcular o
calor espec´ıfico da a´gua a uma temperatura de 25oC, usando um polinoˆmio de grau 3 e:
(a) a fo´rmula de Lagrange;
(b) a fo´rmula de Newton;
(c) comparar os resultados obtidos nos itens anteriores com o valor real 0.99852.
Temperatura (oC) Calor Espec´ıfico
20 0.99907
30 0.99826
45 0.99849
55 0.99919
5. Durante 3 dias consecutivos foi tomada a temperatura (em oC) numa regia˜o de uma cidade,
por quatro vezes no per´ıodo das 6 a`s 12 horas. Determinar, usando todos os dados da tabela
abaixo, a me´dia das temperaturas dos treˆs dias a`s 9 horas:
hora \ dia 1 2 3
6 18 17 18
8 20 20 21
10 24 25 22
12 28 27 23
6. Dada a func¸a˜o tabelada:
x 0 1 1.5 2.5 3.0
f(x) 1 0.5 0.4 0.286 0.25
1
(a) Determinar o polinoˆmio de interpolac¸a˜o usando a fo´rmula de Newton sobre dois pontos
(interpolac¸a˜o linear).
(b) Determinar o polinoˆmio de interpolac¸a˜o usando a fo´rmula de Newton sobre tres pontos
(interpolac¸a˜o quadra´tica).
(c) Calcular f(0.5) usando os itens (a) e (b).
Obs: Lembre-se que a forma de Newton permite calcular um polinoˆmio de grau k usando o
polinoˆmio interpolador de grau k−1 mais um termo de ordem k, escolhendo adequadamente
os pontos de interpolac¸a˜o.
7. Sabendo-se que: se y = f(x) for um polinoˆmio de grau n, enta˜o suas diferenc¸as divididas de
ordem n sa˜o iguais a um mesma constante e, consequentemente, suas diferenc¸as divididas de
ordem n + 1 sa˜o identicamente nulas, isto e´, f [x0, x1, . . . , xn, x] = 0, ∀x, resolver o seguinte
problema:
Dada a tabela de valores,
xi −2 −1 0 1 2
p(xi) −7 0 1 β 9
determinar p(1), onde p(x) e´ um polinoˆmio de grau 3.
8. (a) Construa a tabela de diferenc¸as divididas com os dados
x 0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5
f(x) −2.78 −2.241 −1.65 −0.594 1.34 4.564
(b) Observe que, pro´ximo a x = 1.23, existe um k tal que as diferenc¸as divididas de ordem
k sa˜o praticamente iguais a uma mesma constante e as de ordem k + 1 sa˜o pro´ximas a
zero. Pelo enunciado do exerc´ıcio 7, pode-se concluir que a func¸a˜o dada esta´ pro´xima
de um polinoˆmio de grau k. Usando este fato, calcule uma aproximac¸a˜o para f(1.23)
usando um polinoˆmio interpolador de grau adequado.
9. Dada a tabela:
x 2 3 4 5 6 7
f(x) 0.13 0.19 0.27 0.38 0.51 0.67
(a) Determinar o polinoˆmio de interpolac¸a˜o de grau adequado;
(b) Calcular f(4.5);
(c) Dar uma estimativa para o erro de truncamento sabendo que
f [x0, x1, . . . , xn, xn+1] =
f (n+1)(c)
(n+ 1)!
, c ∈ (x0, xn+1).
10. Dada a func¸a˜o y = sen x tabelada:
x 1.2 1.3 1.4 1.5
sen x 0.932 0.964 0.985 0.997
(a) Calcular o polinoˆmio de interpolac¸a˜o usando a forma de Newton-Gregory.
(b) Calcular sen 1.35.
(c) Dar um limitante superior para o erro.
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