Derivada por definição, Regras de derivação, Equação da reta tangente

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Universidade Veiga de Almeida
Ciclo Ba´sico das Engenharias
Ca´lculo Diferencial e Integral I
1a Lista de Exerc´ıcios
Prof(a): Andreia Nogueira
Conteu´do: Derivada por definic¸a˜o, Regras de derivac¸a˜o, Equac¸a˜o da reta tangente
1. Calcule a derivada em relac¸a˜o a` x de f(x) = x3 − x, usando a definic¸a˜o.
OBS: (a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3.
2. Em cada ponto x, a tangente a` reta y = mx+ b coincide com a pro´pria reta e portanto, todas as retas tangentes
teˆm inclinac¸a˜o m. Mostre, usando a definic¸a˜o de derivada, que se f(x) = mx+b, enta˜o f ′(x) = m para todo x.
3. Usando as regras de derivac¸a˜o, calcule as derivadas abaixo.
(a) f(x) = 7.
(b) f(x) = −x12.
(c) f(x) = x4 + 2x.
(d) f(x) = x2 + 5.
(e) f(x) = 3x− 1.
(f) f(x) = (4x2 − 1)(7x3 + x).
(g) f(x) =
x2 − 1
x4 + 1
.
(h) f(x) =
1
x3 + 2x− 3 .
(i) f(x) = x−3 +
1
x7
.
(j) f(x) = ax3 + bx2 + cx + d, onde a, b, c e d sa˜o constantes.
(l) f(x) = −3x−8 + 2x1/2.
4. Seja F (x) = f(x).g(x). Determine F ′(2) dado que f(2) = −1, f ′(2) = 4, g(2) = 1 e g′(2) = −5.
5. Encontre uma equac¸a˜o para reta tangente ao gra´fico de y = f(x) no ponto em que x = −3 se f(−3) = 2 e
f ′(−3) = 5.
1
2
Gabarito
1. f ′(x) = 3x2 − 1.
3. (a) f ′(x) = 0.
(b) f ′(x) = −12x11.
(c) f ′(x) = 4x3 + 2.
(d) f ′(x) = 2x.
(e) f ′(x) = 3.
(f) f ′(x) = 8x(7x3 + x) + (4x2 − 1)(21x2 + 1).
(g) f ′(x) =
−2x5 + 4x3 + 2x
(x4 + 1)2
.
(h) f ′(x) = − 3x
2 + 2
(x3 + 2x− 3)2 .
(i) f ′(x) = −3x−4 − 7x−8.
(j) f ′(x) = 3ax2 + 2bx + c.
(l) f ′(x) = 24x−9 + x−1/2.
4. F ′(2) = 9.
5. y = 5x + 17.