A derivada num ponto é considerada como taxa de variação instantânea e geometricamente como a inclinação da reta tangente à curva no ponto dado. É ...

A derivada num ponto é considerada como taxa de variação instantânea e geometricamente como a inclinação da reta tangente à curva no ponto dado. Para encontrar a derivada de uma função, podemos usar regras de derivação que valem para a função em todos os pontos em que ela for derivável. No caso da função f(x) = x^2 + 5x^2, a derivada em x = 1 é dada por f'(x) = 2x + 10x. Portanto, a taxa de variação instantânea é f'(1) = 2(1) + 10(1) = 12. A equação da reta tangente ao ponto onde x = 1 é dada por y = mx + b, onde m é a inclinação da reta (derivada) e b é o ponto de interseção com o eixo y. Substituindo x = 1 e m = 12 na equação, temos y = 12(1) + b. Para encontrar b, podemos substituir as coordenadas do ponto (1, f(1)) na equação. No caso, f(1) = 1^2 + 5(1)^2 = 6. Portanto, temos 6 = 12(1) + b, o que nos leva a b = -6. Assim, a equação da reta tangente é y = 12x - 6. Portanto, a resposta correta é: f'(x) = 2x + 10x, y = 12x - 6.