RESOLUÇÃO DE EXERCIOS ESTRUTURAS II - METODO DOS ESFORÇOS

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Módulo 4 - Resolução de estruturas uma vez hiperestáticas externamente e com todas as suas barras 
solicitadas por momento fletor, sem a presença de torção, através do Processo dos Esforços. 
 
O Processo dos Esforços considera os esforços externos aplicados à estrutura como as ações (causas), 
sendo os deslocamentos na estrutura os efeitos dessas ações. 
Seguindo o que se coloca nas normas de cálculo estrutural, nas quais o carregamento é o conjunto das 
ações na estrutura, chamaremos carregamento, portanto, ao conjunto dos esforços externos ativos 
aplicados à estrutura. 
Observamos que, nas normas, as ações podem incluir deslocamentos impostos e variação de 
temperatura. 
Na resolução de estruturas hiperestáticas pelo Processo dos Esforços, vamos escrever equações 
adicionais àquelas fornecidas pela Estática, visando a determinação dos esforços. 
Tais equações adicionais, chamadas equações de compatibilidade de deslocamento, expressam 
deslocamentos conhecidos da estrutura (em geral, deslocamentos que sabemos ser nulos) em termos de 
esforços. Entre esses esforços das equações adicionais (equações de deslocamento nulo), estarão 
incógnitas de esforços que queremos determinar, que chamaremos incógnitas hiperestáticas, indicadas 
pela letra X. 
Neste módulo trataremos das estruturas uma vez hiperestáticas (com grau de hiperestaticidade igual a 
um), sendo, ainda, estas hiperestáticas de grau 1 (um) estruturas externamente hiperestáticas. Isto quer 
dizer que teremos uma única incógnita , que será um esforço de reação de apoio (esforço externo), e uma 
única equação de deslocamento nulo, adicional às equações da Estática. 
Neste processo, primeiramente obtemos uma estrutura isostática (isostática fundamental), através da 
liberação de um deslocamento em hiperestática. Note que, no presente módulo, liberamos sempre um 
único deslocamento, pois as estrutura que vamos tratar são uma vez hiperestáticas, sendo que esta 
liberação do deslocamento é feita em um apoio, pois a estrutura é externamente hipeestática. 
Assim, retiramos do apoio, com essa liberação de deslocamento, uma incógnita de reação de apoio, que 
passa ser a nossa incógnita hiperestática X. 
Consideramos, então, que a isostática fundamental irá se comportar exatamente como a hiperestática que 
a originou, isto é, nela teremos os mesmos efeitos (deslocamentos) da hiperestática, se nela, isostática, 
aplicarmos o carregamento (conjunto dos esforços externos aplicados ou ações) da hiperestática, e mais a 
reação de apoio retirada, como se fosse parte do carregamento. O esforço de reação retirado torna-se 
uma ação na isostática fundamental, juntamente com os esforços aplicados que constituem o 
carregamento da hiperestática. 
Interessa-nos, em particular, um efeito do carregamento, que deve ser exatamente igual na hiperestática e 
na isostática, quando na isostática aplicamos o carregamento descrito: 
O deslocamento que liberamos na hiperestática, para criarmos a isostática fundamental, deve ser nulo 
(zero) na isostática sujeita aos mesmos esforços acima descritos, exatamente como acontece na 
hiperestática 
Dividimos, em seguida, o carregamento (conjunto de ações) aplicado à isostática, acima descrito, em dois 
casos de carregamento, aplicados também à isostática: 
 
Caso zero de carregamento: No caso zero de carregamento, aplicamos à isostática o carregamento da 
hiperestática. 
 
Caso um de carregamento: Aplicamos à isostática apenas o esforço de reação retirado (incógnita 
hiperestática X). Para formular melhor a equação que iremos escrever adiante, consideramos, ainda, esse 
carregamento como um carregamento de um único esforço unitário adimensional, que é multiplicado por 
nossa incógnita hiperestática (reação), à qual chamaremos X (e não HA, ou MB, por exemplo) para 
generalizar a formulação. 
Obs. Esse carregamento de esforço unitário é o nosso caso 1 de carregamento. Tal carregamento é 
idêntico ao caso barra de carregamento, que usaremos para calcular deslocamentos mais adiante. 
 
Pelo Princípio da Superposição, sabemos que o deslocamento liberado, mas igual igual a zero na 
isostática se nela temos o carregamento da hiperestática + reação retirada, pode ser obtido pela soma do 
deslocamento liberado na isostática na qual aplicamos o caso zero de carregamento mais o deslocamento 
liberado na isostática submetida ao esforço adimensional unitário ( caso um de carregamento) multiplicado 
por X (reação retirada). 
 
O caso barra usado para calcular o deslocamento liberado na isostática é idêntico ao caso 1 de 
carregamento, tanto no cálculo desse deslocamento no caso zero como no caso 1. 
 
Para estrutura sujeita apenas à solicitação por momento fletor, por exemplo, os deslocamentos são dados 
por: 
 
0M Mdx
EI
u  
 
 
Em nossos cálculos, porém, será sempre válida a igualdade abaixo, uma vez que o caso barra de 
carregamento é igual ao caso 1 de carregamento: 
 
1M M
 
 
Para o caso zero, o deslocamento liberado na hiperestática será dado por: 
 
 
0 0 1
0
M M M M
u dx dx
EI EI
  
 
 
Para o caso 1, o deslocamento que foi liberado na hiperestática será: 
 
 
2
1 1 1 1
1
M M M M M
u dx dx dx
EI EI EI
    
 
 
O deslocamento total, na isostática com os esforços da isostática, que é igual ao deslocamento da 
hiperestática (portanto, igual a zero), é, pela superposição dos efeitos (deslocamentos) nos casos zero e 1: 
 
0 1
2
0 1 1
u u
M M M
u dx x. dx 0
EI EI
   
 
 
Da expressão acima, x que é a nossa incógnita (reação), é dado por: 
 
0 1
2
1
M M
dx
EI
x
M
dx
EI
 

 
 
E para estruturas constituídas de barras prismáticas de material homogêneo (EI = constante): 
 
0 1
0 1 0 1
2
221
11
M M 1
dx M M dx M M dx
EI EI
x dx
1M M dxM dxdx
EIEI
     
  
 
Para os próximos exemplos vamos utilizar a expressão: 
0 1
2
1
M M dx
x dx
M dx
 


 
 
 
As integrais podem ser calculadas utilizando o resultado atribuído a Vereschagin: 
 
= M1 
= M1 
dx = 
   
A B L 2
a.L b a A B A
2 2 3
  
     
 
A integral do produto de duas funções em um trecho (intervalo) = área, no trecho, do gráfico (diagrama) da 
primeira função, multiplicado pelo valor da segunda função na posição do C.G. do gráfico (no trecho) da 
primeira função. 
 
Ou utilizar as expressões: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
a 
b 
A 
B 
x 
L L 
(área da parábola) 
dx 
Exemplos resolvidos: 
 
1- Determinar a reação vertical do apoio A da barra prismática. 
 EI = constante 
 
 
 
 
 
 
 
 
Solução: 
 
Isostática fundamental adotada 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
0 1
1
M M dx 4x20x x( 4) 160kN.m³
2
   
 
2
1
4x4 2
M dx x x4 21,33m³
2 3
 
 
 
0 1
A 2
1
M M
dx
160EI
V x 7,5kN
21,33M
dx
EI

      


 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
4
m 
 4 m 
 B 
 A 
1 
4
m 
20 kN.m 
 4 m 
 B 
 A 
 M0(kN.m) 
 20 
4
m 
 4 m 
 B 
 A 
 M1(m) 
 4 
 Caso 1 de carregamento Caso zero de carregamento 
4
m 
20 kN.m 
 4 m 
 B A 
2 - Determinar a reação horizontal no apoio A da estrutura. 
 EI = constante 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Isostática fundamental adotada: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 4 m 
 3 m 
 A 
 B 
 4 m 
 3 m 
 A 
 B 
 6 tf.m 
 4 m 
 3 m 
 A 
 B 
Caso zero de carregamento Caso 1 de carregamento 
HB0 = 0 
1 
VB1 = 0 
VA1 = 0 
VA0 = 1,5 tf 
 6 tf.m 
 4 m 
 3 m 
 A 
 B 
VB0 = 1,5 tf 
 M0(tf.m) 
 6 3 
 3 
 M1(m)0 1
4x6 2
M M dx 0 x x3 24tf .m³
2 3
  
 
2
1
3x3 2 4x3 2
M dx x x3 x x3 9 12 21m³
2 3 2 3
    
 
 
0 1
A A2
1
M M
dx
24EI
H x 1,143tf H 1,143tf
21M
dx
EI
          


(para a esquerda) 
 
A reação HA ter resultado negativa significa que o sentido de HA é contrário ao sentido adotado do esforço unitário. 
 
Exercícios propostos: 
 
3 - Determinar a reação MB de momento no engastamento da barra prismática. 
EI = constante 
 
 
 
 
 
 
 
 
Resposta: MB = 20 kN.m, sentido horário 
 
 
 
4 - Determinar a reação vertical VA do engastamento em A da barra prismática. 
 EI = constante 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Resposta: VA = 37,5 kN para cima 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
B 
4m 
B 
A 
10 kN/m 
B 
4
m 
A 
 3 m 
A B 
20 kN/m 
5 - Determinar a reação de momento no engastamento deslizante da seção B. 
 EI = constante 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Resposta: MB = 4 kN.m sentido horário 
 
6 - Determinar o a reação vertical do apoio móvel da seção B. 
 EI = constante 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Resposta: 1 tf para cima 
 
7 - Determinar a reação de momento no engastamento deslizante da seção C. 
 EI = constante 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Resposta: MC = 10kN.m, sentido horário 
 
8 - Determinar a reação horizontal no engastamento da seção A. 
 EI = constante. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Resposta: HA = 3,75 tf, para a esquerda. 
A B C 
2 m 1 m 
6 tf.m 4 tf.m 
40 kN.m 
A B C 
80 kN.m 
 4 m 
 3 m 
 A 
 B 
2tf/m 
2 m 
A 
B 
3 m 
10 kN.m 
 1 m 3 m