lista2_funcoes_cal1.pdf

Prévia do material em texto

Lista 2
Func¸o˜es
Exerc´ıcio 1: Seja f(x) = 2x + 1, para todo x ∈ IR. Determine:
a)f(1); b)f(−1); c)f
(
1
4
)
; d)
1
f(4)
; e)f(a + b) f)f(a) + f(b).
Exerc´ıcio 2: Sejam f(x) = x + 2 e g(x) = 2− x para todo x ∈ IR. Determine:
a)f(1).g(1); b)f(1)− g(1); c)f(2)
g(4)
; d)g(f(4)); e)f(g(4)) f)f(a) + g(b).
Exerc´ıcio 3: Seja f(x) = x2, para todo x ∈ IR. Determine para que valores de x, y, z as
seguintes fo´rmulas sa˜o verdadeiras:
a)f(x) = f(−x); b)f(x) + f(y) = f(x+ y); c)f(x)− f(y) = (x− y)(x+ y); d)f(2y) = 4f(y).
Exerc´ıcio 4: Seja f(x) = |x + 4|+ |x− 2| para todo x ∈ IR. Determine:
a)f(−1); b)f(0); c)f(2); d)f(3); e)para que valores de x, f(x + 1) = f(x).
Exerc´ıcio 5: Sejam A = {1, 2, 3, 4, 5, 6} e f : A→ A dada por f(x) =
 x + 1 , x 6= 61 , x = 6 .
a) Compute f(3), f(6) e f(f(2)).
b) Ache uma imagem inversa de 2 e 1.
Exerc´ıcio 6: Calcule os domı´nios das seguintes func¸o˜es:
f(x) =
√
x− 1 + x
x− 4 g(x) =
√
x2 − 3x + 2
x− 1
Exerc´ıcio 7: Para cada uma das seguintes func¸o˜es reais (i) Calcule seu domı´nio;
(ii) Calcule sua imagem;
(iii) Trace um gra´fico aproximado
(iv) Encontre os seguintes conjuntos:

C0(f) = {x ∈ Domf/f(x) = 0}
C+(f) = {x ∈ Domf/f(x) > 0}
C−(f) = {x ∈ Domf/f(x) < 0}.
a) f(x) = 2(x− 1) + 3
b) f(x) = x3
c) f(x) = 2(x− 5)2 − 1
d) f(x) = 1− 3
x + 2
e) f(x) = |x− 1|+ 5
1
f) f(x) =
 2x + 1 se x > 1x2 se x ≤ 1 g) f(x) =
 1/x se x < 2x2 se x ≥ 2
Exerc´ıcio 8: Sejam f, g, h : IR −→ IR dadas por: f(x) = x + 2, g(x) = x2 e h(x) = x − 2.
Calcule f ◦ g, g ◦ f , f ◦ h, h ◦ g e determine seus domı´nios e suas ima´gens.
Exerc´ıcio 9: Escreva como obter r atrave´s de composic¸o˜es das func¸o˜es f , g e h, sendo:
f(x) = |x|, g(x) = x− 2, h(x) = 3x.
a)r(x) = |x− 2|; b)r(x) = |x| − 2; c)r(x) = 3|x− 2|; d)r(x) = |3x− 2|.
Exerc´ıcio 10: Sejam f(x) =
2x− 1
3x2 + 3x− 6 e g(x) =
√
x.
a) Determine C0(f), C+(f) e C−(f).
b) Encontre o domı´nio de g ◦ f e calcule sua expressa˜o.
Exerc´ıcio 11: Verifique, em cada caso, se y0 pertence a imagem da func¸a˜o f .
a)f(x) = x2 − 2x− 3, y0 = 0;
b)f(x) =
√
2x + 3, y0 = 3;
a)f(x) =
2x− 3
x + 1
, y0 = 1.
Exerc´ıcio 12: Seja f(x) = |x2 − 8x + 12| − 7.
a) Fac¸a o gra´fico de f ;
b) Determine graficamente a imagem de f . f e´ injetiva?
c) Encontre o maior intervalo [a, b] que contenha x0 = 5, de forma que f seja injetiva em [a, b].
Exerc´ıcio 13: Calcule a analiticamente a imagem de:
a)f(x) =
3x + 5
2x− 3; b) f(x) =
√
4x− 1.
Exerc´ıcio 14: Sejam f(x) =
1√
1− x2 e g(x) =
√
x2 − 1
x
a) Determine a func¸a˜o composta f ◦ g?
b) Qual o dominio de g ◦ f?
2
Exerc´ıcio 15: Para cada uma das seguintes func¸o˜es escolha os intervalos A e B de IR de tal
forma que f : A −→ B seja bijetiva. Calcule f−1:
a)f(x) = 3x− 7 b)f(x) = −2(x + 1)2 + 3 c) f(x) = −2√x + 3 d)f(x) = x2 − 2x + 2
e)f(x) =
4x + 3
x + 2
.
Exerc´ıcio 16: Dadas as func¸o˜es f, g : IR −→ IR, prove que:
a) Se f e´ par enta˜o g ◦ f e´ par,
b) Se g e´ par e f ı´mpar enta˜o g ◦ f e´ par, e
c) Se f e g sa˜o ı´mpares enta˜o g ◦ f e´ ı´mpar.
Exerc´ıcio 17: Sejam as func¸o˜es f(x) = 5x− 9 e g(x) = √x− 7. Encontre:
a) (f − g)(x) b) (2.f + g)(x) c)(f.g)(x).
Exerc´ıcio 18: Dadas as func¸o˜es f : IR −→ IR a seguir, determine a quantidade
ϕ(x, h) =
f(x + h)− f(x)
h
,
chamada de taxa de crescimento finita de f .
a) f(x) = 3x
b) f(x) = 12x
c) f(x) = 4− 5x
d) f(x) = x2
e) f(x) = x2 + 3x
3